高校連絡板

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数,連続,微分可能について／18.12.31］

図がめちゃくちゃ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何の話をしているのかなと不思議に聞こえましたが，Chromeでは数学座標→物理座標の変換がSVGグラフィックスの仕様通りに働くが，Safariでは変換されずに，上下逆になるという事のようです．
　少々日時を要しますが，Safari, Chromeの両方共通に働く記述方法を見つけて書き換えるということになりそうです -- なお，IEはそもそも無理のようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の値について／18.12.26］

tan1°が0.0175と出たので計算してみたのですが、正解にならないのでtan1°=0.01745506492で計算してみると1/0.01745506492=57.2899616577。 1/0.0175=57.1428571429と比べると結構誤差が出てしまったのですが
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校数学の三角関数表は，小数点以下4桁までの小数で表示することになっていますので，tna1°=0.0175です.正解にならなかったということについては，全角で入力したなど，別の原因が考えられます．なお,有効数字の桁数を変えれば，数字が変わるのは当然のことで，何桁使っても（仮に100万桁解答しても）真の値とは一致しません．三角関数表として示されている値を使って示さなけばダメです.（この話を言う必要があるのか？）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／18.12.26］

センター対策に抜群でした！このサイトを見つけることができて良かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／18.12.25］

問題形式で面白かったです。不等式の性質の３番は、a＞bではなく、a1＜ではないでしょうか。(解説部分)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の最後の部分に書き損じがありますが，話は分かりましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[センター試験問題２次関数について／18.12.23］

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/ koukou/center_quadratic_fun1.htm 上記URLの【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第２問】において、ツ - ニの解説で、途中式に一部誤りがあります。 -正- (3a-9)ではなく、(3a-8)です。（イ）　－2≦a≦2のとき ... 9a2－27a+8=0 (3a－1)(3a－8)=0 -誤- （イ）　－2≦a≦2のとき ... 9a2－27a+8=0 (3a－1)(3a－9)=0 P.S. 高校数学を数年ぶりに解きなおしているのですが、当サイトの解説が非常に分かり易く助かっております。これからも引き続き、サイト運営を続けていただければと存じます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数方程式について／18.12.17］

良いところはヒントがあること、悪いところは簡単なのでもっと応用が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．iPadでは左上にあるサブメニューが見えないかもしれませんので，メインのメニューを見て，指数方程式の次のページを選んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式・有理関数・無理関数の不定積分について／18.12.17］

問題を解いたてクリックしたら、数問終わるまで正不が分からなかった…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正誤いずれの場合も解説が出ますので，それを読めば，正誤は分かるはずです．
　他に気になるのは，あなたの場合，このページを2分で読んで，4分で解き終わっていますが，それは「全然分からない（googleから偶然中学生が入ってしまったような）場合- - 空打ちの白紙答案-- 全問不正解」か「全部暗算でできる（完全にわかっている）場合」です．これらは，いずれも当教材の想定外の読者です．当教材は，やらなくてはならないが，分からないので困っているレベルの生徒を想定しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／18.12.15］

問題4の(４)の答えが違うのではないのでしょうか。私の間違いだったらすいません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説が出ますので読んでください．あなたはどう考えるのですか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不定方程式の整数解について／18.12.14］

例２の５２７x－４０３y＝３１で、yの値が４となっていますが正解は－４です。途中で符号を間違えているかと。 P.S. いろいろな方法が載っているこのページは、数学と真剣に向き合う生徒にとってはとても助けになると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ゴール寸前でコケてしまったようです．実に，百里の道は九十九里が半ばのようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[位置ベクトルの応用について／18.12.12］

全問正解したときに桜？の木が出るのが気持ちいいですね
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／18.12.11］

めちゃくちゃためになりました！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／18.12.11］

とてもよかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／18.12.11］

確認問題がとても助かりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分--積分順序の変更について／18.12.09］

とってもわかりやすかったです！！！！基本的なことなので教科書では省かれていてわからなかったので本当に助かりました…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分について／18.12.07］

∫k(f(x)+g(x))のときはどうなりますか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$\int k\{f(x)+ g(x)\}dx=\int kf(x)dx+\int kg(x)dx$
$=kF(x)+ kG(x)+ C$
本当に分からないのですか？それとも数学の土台を疑っているのですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.12.06］

少し複雑な問題も欲しいですが、授業より分かりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．本当は左端にサブメニューがあって，前後の項目が選べるようになっているのですが，PC用のページを携帯で読んでおられるので，少し難しい問題のあるページへのリンクが見えていないようです．
　携帯用のページはありますが，携帯でPCを読んでしまう人への対応を考えなくては...

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値（区間や関数が変わる場合）について／18.12.05］

塾の宿題を解くのに役にたちました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／18.12.05］

対数関数の不定積分の例の(1)の答案途中 dtが一つ余分ではないですか？(3行目末)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました- - 台本なしで，ぶっつけ本番の勧進帳風に書いていると，勢い余って間違うことがあるようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相関係数，回帰直線について／18.12.05］

難しいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／18.12.04］

合成する際、与えられた不等式の中も合成するのでしょうか？ ex) f(x)=x/(1-x) , x<1/2 ⇒ x→f(x)だから、f(f(x))=x/(1-2x) , f(x)<1/2？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．定義域が定められている関数を合成するときに，合成関数の定義域は変化するのかという質問のようですが，その通りです．
例のように， $f(x)=\frac{x}{1-x}\hspace{10}(x\lt\frac{1}{2})$ のとき，合成関数 $f(f(x))$ とその定義域を求めよという問題でしたら，
$f(f(x))=\frac{\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}}=\frac{x}{(1-x)-x}=\frac{x}{1-2x}$
定義域は， $f(x)=\frac{x}{1-x}\lt\frac{1}{2}\rightarrow x\lt\frac{1}{3},\hspace{2}x\gt 1$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／18.12.04］

最高
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／18.12.03］

ジョーカーが残るようにゲーム形式になっていたのがよかったです。楽しめました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できる方の感想かもしれません

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対称式の変形について／18.12.02］

難しかった～
＝＞［作者］：連絡ありがとう．難しかったが最後までやり切ったということでしたら，よかったと思いますが

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／18.11.29］

問題文の答えを記入する欄に問題があるようです。問題内に2か所答える欄がある場合、１個目は問題なく記入できますが2個目の欄には記入が不可能なようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当教材の推奨ブラウザは：◎Chrome, ○Safari,▲IE,×Firefox,×Edgeの順です．
　特にEdgeとの相性は最悪です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点（展開形）について／18.11.29］

例題３の頂点の座標は (3, -3)ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／18.11.29］

余りわかりませんでした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．少数意見かも？

愛知県［コノハズクさん／18.11.28］

次の微分方程式の解き方で同次系を用いて解くことはわかるのですが、計算過程が分かりません。※補足としてu=1/y^2として計算します。 y'+y/x=xy^3
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同次系（形）→ベルヌーイ形．まずこのページを見てください．次に，そのページの内容に沿って，以下のように変形します．
$y\apos+\frac{y}{x}=xy^3$ の両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}y\apos+\frac{1}{xy^2}=x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおくと
$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}=\frac{-2}{y^3}y\apos$
$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=y\apos=y^3\cdot\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}$
これを代入して， $u,\hspace{2}x$ の微分方程式にすると「次の線形微分方程式」になる
$\frac{du}{dx}-\frac{2}{x}u=-2x$
右辺を０とした同次方程式の１つの解は $u=x^2$ だから，非同次方程式の解は
$u=x^2(\int\frac{-2x}{x^2}dx+ C)=x^2(C-2\log x)$
$y^2=\frac{1}{x^2(C-2\log x)}$
$y=\frac{1}{x\sqrt{C-2\log x}}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列の極限(∞／∞型) について／18.11.28］

テスト前でよく分からなかったのでとても助かりました！ありがとうございます( ¨̮ )
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／18.11.28］

自分が高校生の時に指導要領になかったものなので一から勉強しています。練習問題もあり基礎から理解していけるので活用させていただいています。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数平面や行列は，指導要領に出たり入ったりで，習う方も教える方も苦労が多いようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の要素について／18.11.27］

参考書よりも理解しやすくありがたいです。活用させていただいています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.11.26］

ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

大阪府［まやまやさん／18.11.26］

男子４人、女子４人の合計８人を横一列に並ばせるとき、次の問いに答えよ女子が２人ずつ隣り合う（４人が隣り合う場合は除く）ような並び方は何通りあるか。 6P6x(4C2x2x2)-5P5x4P4 どうしてこれだと誤答になるのか理解できません。教えて下さい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を単純化すると，かゆい場所を拡大して見せられます：「男子１人，女子4人の計5人を一列に並ばせるとき，女子が２人ずつ隣り合う（4人が隣り合う場合は除く）ような並び方は何通りあるか」
　あなたの考え方では， $_3P_3\times (_4C_2\times 2\times 2)-_2P_2\times _4P_4=144-48=96$
になりますが，この $(_4C_2\times 2\times 2)$ という箇所が違います．女組A,男,女組Bと３つのものを並べる方法 $_3P_3=3!$ のそれぞれについて，女２組の分け方 $_4C_2$ ，女組Aの中での並べ方:×２，女組Bの中での並べ方:×2とすると，例えば女組A(a,b),男,女組B(c,d)となる場合と女組B(a,b),男,女組A(c,d)となる場合を重複して数えていることになります．実際には，(女a,女b)男(女c,女d)のように，女子２人-男子-女子２人となる並び方は $4!=24$ 通りです．
解き方1) 男子の並べ方 $_1P_1$ ×女子２組の入る空席2by2のとり方 $_2C_2$ ×女組Aの入り方 $_4P_2$ ×女組Bの入り方 $_2P_2$ =1×1×12×2=24
解き方2) 女組の入る空席2by2は同じものとすると，女組，女組，男の並べ方 $\frac{3!}{2!}$ ×女の入り方4!−女４人組，男の並び方 $2!\times 4!$ =72−48=24
この方法を真似して元の問題を解くには，
解き方1) 男子４人の並べ方:4!，その各々について，両端を含む隙間5個のうち空席2by2（同じもの）を選ぶ方法は $_5C_2$ ，その各々について女子を並べる方法は4!
解き方2) 女組2by2，男4の6個のもののうち女組は同じものとする．これらの並べ方 $\frac{6!}{2!}$ ，その各々について女子の並べ方は4! ----これらのうち，女子が4人とも隣り合っている並び方5!×4!
後の計算は自分で考えてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極座標について／18.11.25］

練習問題もあり、わかりやすかった。直交座標があるのになぜ極座標が生まれたのかを知りたかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一様な重力場における自由落下（地上でのボールの運動）のような現象を記述するには，直交座標が便利ですが，太陽の周りの惑星の運動や原子核の周りの電子の運動のような現象を記述するには，円や楕円を念頭に置いた極座標（球座標）の方が便利でしょう．
　(x, y, z)方向に流星雨が見られるでしょうと言われるよりは，東南の方角に流星雨が見られるでしょうと言われる方がわかりやすく，定点(x, y, z)に静止衛星がありますと言われるよりは，北緯θ=何度，東経φ=何度，高度r=35000kmに静止衛星がありますといわれる方が分かりやすいはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[常用対数について／18.11.23］

覚えるべきところがとても分かりやすく書いてあるので何を覚えればいいのかがすぐに分かって理解することが出来ました。類題や入試問題も付いていて凄く助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作19･･･定数係数２階常微分方程式について／18.11.23］

MaximaについてはいろいろHPにあるが、やり方ばかりを描いているものが多く分かりにくかった。一方このサイトは解こうとする例が初めに一般的な表記で書かれ、入力と出力が書かれているだけでなく、筆算やMaximaの出力との違い・理由、注意点などが大変丁寧に書かれていて、分かりやすかった。最後までやる気が途切れることなくできました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／18.11.22］

(6)なのですが、問題が (x3－x2+x－1)(x3+x2－x+1) で +xと-x1、-1と+1で符号が違うのに x2－x+1= Aとなる理由を教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説に書いてある通りです．（採点しないと解説は出ません）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／18.11.20］

要点2.異なる2つの虚数解を持つときの（解説）部分について、虚数表示から実数表示にするためにy3とy4を考えていますが、y3とy4がなぜ解として成立するのでしょうか。 y1とy2の線形結合であれば虚数で割ろうが問題ないのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その通りです．そのページの先頭に書いていますように，２階微分方程式の２つの１次独立な解を $y_1,\hspace{3}y_2$ とするとき，それらの１次結合
$C_1y_1+ C_2y_2$ は， $C_1,\hspace{3}C_2$ が実数であっても，虚数であっても
$(C_1y_1+ C_2y_2)\apos\apos+ a(C_1y_1+ C_2y_2)\apos+ b(C_1y_1+ C_2y_2)$
$=C_1(y_1\apos\apos+ ay_1\apos+ by_1)+ C_2(y_2\apos\apos+ ay_2\apos+ by_2)$
は， $C_1\times 0+ C_2\times 0=0+ 0$ になるから０になります．つまり，解になります．
　また，虚数で「割る」ということにこだわる必要はないでしょう．
$y_4=\frac{y_1-y_2}{2i}$
のような割り算になっていても，割り算は逆数のかけ算だから
$y_4=\frac{1}{2i}y_1-\frac{1}{2i}y_2=(-\frac{i}{2})y_1+(\frac{i}{2})y_2$
となって，一次結合の一種です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積の定義について／18.11.20］

問題1-2で、問題は「左からかけることができる」になっていますが解説は「右からかけることができるのは」となっています。この解説は問題に対して正しいですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっとと，１のメッセージを２が使い回しでコピペしていたので，同じものになっていました．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／18.11.20］

いつも勉強させて頂いています。問題1の（2）で初項n^2-2n+2，公差1，項数2n-1の等差数列の和を出すために公式に当てはめても正解とされている「(2n-1)(n^2-n+1)」とはならないと思いましたのでご連絡差し上げました。此方の思い違いであれば申し訳無いのですが一度ご確認下さい。宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず公式を確認しますと，初項 $a$ ，公差 $d$ ，項数 $n$ の等差数列の和は
$\frac{n\{2a+ (n-1)d\}}{2}$
だから，初項 $n^2-2n+ 2$ ，公差 $1$ ，項数 $2n-1$ の等差数列の和は
$\frac{(2n-1)\{2(n^2-2n+ 2)+ (2n-1-1)\times 1\}}{2}$
$=\frac{(2n-1)\{2n^2-4n+ 4+ 2n-2\}}{2}$
$=\frac{(2n-1)(2n^2-2n+ 2)}{2}=(2n-1)(n^2-n+ 1)$
となります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／18.11.20］

マイナスのマイナス乗はどうなるんですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．簡単な例で具体的に考えると，分かり易くなります．
$a\ne 0$ のとき， $a^{-1}=\frac{1}{a},\hspace{3}a^{-2}=\frac{1}{a^2},\hspace{3}a^{-3}=\frac{1}{a^3},\hspace{3}\cdots\hspace{3}a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ だから，たとえば
$(-1)^{-1}=\frac{1}{-1}=-1,\hspace{3}(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$
$(-2)^{-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2},\hspace{3}(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$
$(-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=-\frac{1}{27},\hspace{3}(-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^4}=\frac{1}{81}$
など丁寧に計算したら何でもないことです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの定義，大きさ，向きについて／18.11.20］

大変参考になりました😂 またお願いします🤲
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／18.11.19］

例2は25t^2ではなく5t^2ではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．両辺を２乗しているので，左辺は根号の中になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.11.19］

a(x+1)(x－1) この展開を教えてくれますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ax2−aです．中学生ですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複順列について／18.11.19］

さるのくだりが分かりません。助けて
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「六つ菓子五猿」は「むつかしござる」なので，自分が納得できる図を描くとよいでしょう**菓子から猿に矢印が向かっている図がよいでしょう

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.11.18］

よく利用させてもらっています。少し気になった点がありました。見るのにはあまり困りませんが、三角関数の積分公式の（４）に所々cosxがcotxになっています。直していただくとより見やすくなると思います！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．下端の感想と回答の欄にも書きましたが，その質問は時々ありますので，本文に注釈を書きました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／18.11.17］

高校一年生で、何が何だかわからなかったけど、先生よりわかりやすくて助かりました！ほんとにありがとうございます😻😻😻
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せ（文章題）について／18.11.16］

ヒントが必要ならば出せるようにしていただけたらもっと良くなると思います常に出てると見てしまうので…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材で想定している使い方をしておられないように思えます．この教材は紙に印刷された問題集とは違います．選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．対話型のプログラムです．これに対して，画面をただ見ているだけでは，何も出ません．そこのところを分かってもらえているかどうか

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／18.11.15］

公式を対応させる問題は、とてもありがたいです。ピッタリ正解すると消えるのは、とても嬉しい。ありそうで他にはない工夫です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／18.11.14］

点Aの周りの回転問1(5)の解説 1+i=(cos45°+i sin45°)だから AC=AB×√2 ∠CAB=45° なぜこうなるか分かりません。教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それは，【三角形の形状】という要点に書いたことそのものだから，そこをよく読めば分かります．

■？県［？さん］[18.11.13］

2次関数のグラフと係数の符号について全ての図が上下逆さまになっていませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページの右上「凸とは，どこを見るのか？」を読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／18.11.13］

良い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／18.11.13］

字が小さくて読みにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PV用のページを携帯で読んでいるから字が小さいのです．先頭に「→携帯用は別頁」と書いているので，それをタップしてください．（携帯を自動で判定して，自動で転送するプログラムにしていたこともありますが，そのようにすると「戻る」キーが使えなくなるので，各自の手動に戻しましたので悪しからず）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数の符号について／18.11.13］

私のPCでは以下のページのグラフが表示されないのですが、何が原因か判りますでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．SVGグラフィックスに対応していないブラウザではグラフは表示されません．Chrome, Safariについては作動確認済みです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の漸化式について／18.11.12］

とてもわかりやすい解答ありがとうございます。わからなかった問題を理解することができました。これからも活用しますヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフについて／18.11.12］

とても分かりやすい問題です！０の、答えの時、打って回答してますが❌なってしまいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答が0であることと白紙答案とは違うので，0は0と答えなければなりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 2次関数のグラフと係数の符号について／18.11.12］

問題の上に凸と下に凸は逆ではないんでしょうか

＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの問題の話かが書かれていませんが，凸という言葉の意味を「開いている」という意味に誤解していませんか．
左図のようなタンコブは下に凸ではなく，上に凸と言うことは，納得してもらえますか

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／18.11.11］

今の高校生はこんなの習ってるんですかね？資格取得のために数学を20年ぶりに勉強しています。テキストでは意味不明でしたが、このページでよくわかりました。ありがとうございます。分らんことは簡単にネットで調べられる。ええ時代になったもんやなー。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[隣り合う並び方・隣り合わない並び方について／18.11.09］

解説例3の端またはすきまに男子３人を並べる方法は５・４・３通りのところのイメージが分かりません、、、。3人の男子よりも空席のほうが多いのに、なぜP(順列)の考え方なのでしょうか？これは、空席の方を男子3人に割り当てるというイメージなのですか？

＝＞［作者］：連絡ありがとう．左図のイメージで積の原則にそって確実に押さえるとよいでしょう．空席が５つあって，男Aの座り方は5通り，その各々について男Bの座り方は4通り，その各々について男Cの座り方が３通りだから５×４×３です．空席の方が男の子よりも多いので，男の子が座らない空席もあります．
「空席の方を男子3人に割り当てる」と軽く考えると混乱することがありますが，十分な練習をしてからなら番号札のもらい方のページを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[統計データの種類，尺度水準について／18.11.09］

客の満足度は順序尺度ではありませんか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．客の満足度（非常によい：4，よい：3，悪い：2，非常に悪い：1）と「目盛が等間隔になっていると仮定」されている場合は間隔尺度に入れてよいでしょう．分析にあたって，このようなアンケート結果は順序尺度（非常によい＞よい＞悪い＞非常に悪い）の大小の区別しかないと判断する分析者もあり得ますが，そうすると平均，分散，因子分析などほとんどの統計的手法が使えなくなります．アンケート結果を間隔尺度と「見なす」分析者は多いと思いますが，順序尺度なのか間隔尺度なのか，白黒をはっきりさせようぜという問題として考えるよりも，便宜的に間隔尺度と見なせば，このような結果が得られますといった報告書になっていると読むのでしょう．
　人の感想=アンケート結果などは，もともと母集団が正規分布しているはずがないのだから，ｔ検定などできないという統計学者もおられます．だから，何らかの分析結果が得られても，物理学における精密な測定結果と違って，一つの参考資料と見ていくのでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列について／18.11.08］

逆行列を求める例2でdet(A)を求める式の導出がわからなかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．大学の方の教材は取りつきにくいので，高校の方の逆行列を先にやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成(基本)について／18.11.08］

やり方や解説の書き方が読んだ時にわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／18.11.08］

中間項を消す工夫の問題２の（２）の解説をもっと詳しく説明して頂きたいのですが宜しいですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに解説が書いてありますが，分数計算は目で見ただけでは分かりにくいので，計算用紙を使って納得した方がよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点（展開形）について／18.11.08］

Edgeでは　解答後の色分けが　次回に引き継がれませんので、Chromeを使ってます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．管理人は点検作業をChromeでやっています．ほとんどの読者はSafariかChromeのようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.11.07］

大変面白い教材ですね。繰り返しチャレンジできるし、熱中すると時間を忘れてしまいます。50歳を越えた今　集中力の衰えと確認の怠りから凡ミスの連発ですが、若かりし日の思い出を振り返りながら楽しんでいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列，組合せ（章末問題）について／18.11.05］

問題６　H　の計算ミスがあります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HINTの欄の途中経過の入力ミスのことかな

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／18.11.04］

この手の問題はケアレスミスしないことですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[曲線で囲まれた図形の面積について／18.11.04］

20/3ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何が？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／18.11.03］

誤りですが、■Excelを用いた内積の計算のところで、「※　ベクトルの成分が表５のように２つとも縦型に書かれているときは，内積を書き込みたいセルに =SUMPRODUCT(A1:A5,B1:B5) とすればよい．」とありますが、内容は表6のことを指しているようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．文章中の表の番号がズレていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／18.11.03］

誤りですが、表1のなしの単価が120となっていますが、ベクトル成分では→a=(130, 150, 80, 150)と 150となっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの大きさ（長さ）について／18.11.02］

問題３において、正解と共に(1/2,1/2)も同じ単位ベクトルだと思ってしまいました。一次方程式の「傾き」に方向を加えたものとは違うのでしょうか？
＝＞［作者］：。一次方程式の「傾き」に方向を加えたもの，とはどういう意味なのか分かりませんが，(1/2,1/2)は単位ベクトルではないです
$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+ (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重回帰分析(2)について／18.11.02］

説明通りやらせていただきましたが、結果がどうも違うようです。エクセルでもRでも以下の結果が出力されましたが（最初の例、ほかの例も違います）、どこで間違えたのでしょうか？ Coefficients Intercept 7950000 女 -1150000 高校 1200000 大学 50000 20代 -8100000 30代 -5875000 40代 -3000000
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいです．管理人のExcelに，あるアドインソフトを組み込んでから「範囲指定」にエラーが起こり易くなっているのを，不注意にそのまま使ったようです．訂正します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[変数分離形.微分方程式の解き方について／18.11.01］分離定数でL(L*1)の意味はなんですか

＝＞［作者］：そのページには分離定数という言葉もなく，L(L*1)という記号もありません．そもそも，何の話をしておられるのですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積分定数の決定について／18.10.30］

初学者(例えば私)にとって、与えられたf'(x)からf(x)を積分で求める時に、定数が一意でなく、さらに初期条件によってそれは一意に定まることは、グラフから知覚的に理解に苦しいと思います。それよりかは微分が積分の逆演算ことに立ち返って (具体的な関数, 例えば)f'(x)=2xを与えてあげて, 微分するとこうなる関数として f(x)=x²+1, f(x)=x²+3,... と列挙すればいいと思います。なぜなら微分の方が馴染みがあるからです。そしてここから、f(x)を一意に決定するには当然、一意に定まらないf(x)に関する条件が必要であることもわかります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．熱い思いを述べておられるようですが，教材に書いてあることを繰り返しておられるだけに見えます．
　この教材の管理人は，親学問=数学については，事実は万人共通のものと考えますが，教科教育=数学教育については，真実,真理として多様なものが認められると考えています．したがって，教え方，覚え方，納得しやすい内的ロジックは人毎に多様であると考えています．どこかの教育学会で誰かが「真理は一つでなければならない」などと直立不動で絶叫しているのを見ると，ドン引きしてしまいます．
　教え方，覚え方，内的ロジックなどは，多くの人に通りやすいものが望ましいが，全員に通じるただ1つの真理=法則があるとは考えていません．事実は１つ，真実は多数の立場です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.10.29］

つい最近、本サイトを知りました。色々楽しめそうです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 因数分解（応用問題）について／18.10.29］

お世話になります。コツコツやらせていただいています、ありがとうございます。例3-2がわからないと言う方が投稿されていましたね・・実は私も同じく悩んだのですが、一生懸命計算をしたり、展開したりして、先生の・・(x－y)3+(y－z)3+(z－x)3－3(x－y)(y－z)(z－x) =(x－y+y－z+z－x)(…)=0 を利用すると・・の部分、結構頭がパニクッているとわかりにくくなるのです。結局、カッコの中がなぜ0になるかと言う所だと思うのです。冷静に考えれば公式の(a+b+c)の部分なのですね、説明はaの部分bの部分cの部分、それぞれカッコでくくってやるとパニクッた頭にもわかりやすいかもしれません。先生は頭もいいし、慣れているから公式じゃん、これ以上どう説明するんだョ・・と思われるでしょうが、計算でパニクッて深入りした頭には「わからん」・・となるのだと思います。私も同じ疑問を持ったもので・・時間を置いて、公式を見直してあまりにも簡単な事で拍子抜けしました。頭のいい人がうらやましいですナァ失礼します・・
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／18.10.26］

ずっと疑問だった事がわかりました！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Excelの指数表示のことかな？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／18.10.25］

実際にといて、問題に答えれるのでとても良かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数の変換について／18.10.25］

簡単な穴埋め問題2，３個のさいころを同時に投げたとき，分散は26.3(2.92の9倍)ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．要約(6)の公式において $a=1,\hspace{3}b=1$ の場合を考えると $V(X+ Y)=V(X)+ V(Y)$ ：和の分散は，各々の分散の和になる．これを使って【例1】を解いています．
さいころを3個投げるときは，独立変数が３個の場合になるから $V(X+ Y+ Z)=V(X)+ V(Y)+ V(Z)$
$=2.92+ 2.92+ 2.92=8.76\rightarrow 8.8$ となります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.10.25］

問題２（３）の解説の「３次方程式の解と係数の関係を使う場合は：」以下の部分についての質問です。当該解説の「(**1)(**2)(**3)より　x4=a(x3+y3+z3)－b(x2+y2+z2)+c(x+y+z)」は、正しくは、「(**1)(**2)(**3)より　x4+y4+z4=a(x3+y3+z3)－b(x2+y2+z2)+c(x+y+z)」ではないでしょうか？ (**1)(**2)(**3)の左辺と右辺をそれぞれ足すと、この式が導かれて、さらに右辺に問題２（１）（２）の結果を代入すると、答えが導けるという解釈なのですが、合っていますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．式が一部抜けていましたので，訂正しました．あなたの解釈で合っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定･･･平均値の差の検定について／18.10.22］

具体例を分かりますく、して欲しい。基礎知識がなくてもわかるような伝え方をして欲しい。もう少し噛み砕いて噛み砕いて話して欲しいかも。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もともと取りつきにくい項目なので，1ページ見ただけで分かるのは無理です．Excelを使って「体で覚える」までやるのがよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限について／18.10.22］

とても分かりやすかった。大変記憶に留めやすいんだ！ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式・有理関数・無理関数の不定積分について／18.10.20］

一番下の問題の第5問目、解説の途中式で、x^3/2とありますが、x^-3/2ではないでしょうか・・・？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．考えられる原因１：あなたは数学Ⅱの段階で，累乗根と有理指数の対応関係を間違って覚えていませんか？
$\sqrt[3]{x^2}$ は $x^{\frac{3}{2}}$ ではなく， $x^{\frac{2}{3}}$ です→このページで復習してください
　考えられる原因2：それでもなおかつ，x^-3/2はどこからも出てきません．微分と積分を間違えていませんか．
$\int x^{-\frac{1}{3}}dx$ は $-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$ ではなく， $\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+ C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+ C$ です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立不等式の表す領域について／18.10.20］

いい問題
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／18.10.18］

問題2.5の問題なのですが 2勝3敗のあとAが勝った場合または3勝2敗のあとAが負けた場合、もう一度試合が続きませんか？なので、その試合に勝つか負けるかの計算も必要になるように思うのですが、分からないので教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確率の問題は，数学の要素だけでなく，日常用語の解釈の仕方にも関係します．
「第６試合が行われる」とは，第６試合が行われればよく，第６試合で決着がつくことを要しません．つまり，第７試合が行われる場合でも，第６試合は行われています．…現実の世の中では，試合の主催者側から見て「第６試合のチケット販売を準備しなければならないのは，どれくらいの確率か」と考えなければならないときにこういう問題になるでしょう…逆に言えば，「第６試合が行われない」のは，第５試合までで決着がつく場合です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.10.18］

(2)のⅱの部分分数分解の導き方を教えて下さい。分子を(ax+b)と(ax+b)^2に分けられるのが不思議です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，積極的に何もしなくても勝手に都合のよい答えが出てくるのではなく，
$\frac{px+ q}{(ax+ b)^2}=\frac{A(ax+ b)+ B}{(ax+ b)^2}$
「だったらいいな, If I could have danced」「この形にならないかな」と意欲することが重要です．もしこの形に変形できたら
$\frac{A}{ax+ b}+ \frac{B}{(ax+ b)^2}$
になって，そこに書いてある(*1)(*2)に持ち込めるからです．
ところで，係数比較をすれば分かるように， $a\ne 0$ のとき， $aA=p,\hspace{5}bA+ B=q$ から $A,\hspace{5}B$ を求めることはつねにできます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.10.18］

積和の公式の(A)と(B)の違いはなんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(B)なんか不要という意見でしたら，筆者は全く同感です．内容的には(B)は(A)と同じことの繰り返しになっていますので要りません，だから管理人も書きたくないのです．しかし，これは「こっち側のチーム」の仲間内の会話なのです．
　世の中には「見かけが違えば別の話に聞こえる」人の方が多いので，他の教科書や公式集に書いてあるこの公式が書いてないと，公式が足りないとの指摘に対応する手間をとられるので，予防注射がしてあるのです．
　要するに(B)なんか，いらないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点の図示について／18.10.17］

練習問題がありがたかっです！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.10.17］

回答ありますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．回答→解答．選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列とはについて／18.10.17］

行列の解がマイナスになるときを教えて
＝＞［作者］：連絡ありがとう．日頃全然勉強していない大学生からの質問として受け取りました．行列の解という用語はなく，それがマイナスになるというのも通常意味を持たない言葉です．もうこうなってしまったら，言葉の意味を勝手に推定して，解答可能な質問に勝手に答えるしかありません．
「行列式の値がマイナスになるときは，逆行列をどのように求めたらいいですか」
例えば，行列 $A=\begin{pmatrix}1& 2\\ 3& 5\end{pmatrix}$ の行列式は $det(A)=1\times 5-2\times 3=-1$ です．そこで，行列 $A$ の逆行列を求めるには， $A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}5& -2\\ -3& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5& 2\\ 3& -1\end{pmatrix}$ とします．（ただ単に，各成分を負の数で割るだけです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／18.10.16］

めちゃくちゃ分かりやすいわ😉
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.10.14］

本当に分かりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.10.14］

とても分かりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／18.10.14］

よかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／18.10.13］

説明がわかりやすいとともに、練習問題が用意されていたので、理解を深めることができました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限1について／18.10.13］

中間試験の勉強の役に立ちました、ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[位置ベクトルの応用について／18.10.11］

とてもわかりやすく、問題もついていて、テスト前の再確認には最適だと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル成分の計算について／18.10.11］

《3》の2番目の問題の答えは(1, 7)ではなく、(1, 5)です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[面積について／18.10.10］

計算式もヒントと同様にワンクリックすると表示されるようにしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その問題は，計算式を答える問題だから，計算式を表示してしまうと，生徒のやる仕事がなくなってしまいます

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／18.10.9］

いつもお世話になっています。誤字がありましたので訂正します。問題5の3行目、「＝2(sinθ·cos30°+sinθcos45°）」となっていますが「＝2(sinθ·cos30°+cosθ·sin30°）」だと思います。ご確認下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■千葉［しらせさん／18.10.9］

場を間違えた質問をしてしまいすみませんでした、またそれにも関わらず親切に教えて頂き本当にありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／18.10.9］

ちょっとした復習に役立出てますとても助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の解と係数の関係について／18.10.9］

お世話になっています！問題の解答にαβγの値はいらないと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ん？だから書いてない．どこか他のサイトの話をしているのですか

■千葉［しらせさん／18.10.9］

はじめまして、ここに質問して良いのかわからなかったので違っていたらすみません。今エクセル数学３ブルー版を解いていてよくわからない点があります。例題136のx=(π/2)-tと置換して、I=∮[0→(π/2)] sinx/(sinx+cosx) dxの値を求めよ。という問題で置換積分の流れ自体はわかるんですが途中のI=∮[0→π/2]cost/(sint+cost) dt =∮[0→π/2]cosx/(sinx+cosx) dxという風にtからそのまま文字をxに変更できる理由が全然わかりません同じような疑問で例題138等式∮[1→2x] f(t)dt=e^x +aを満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。という問題でも2x=uと置いて∮[1→u] f(t)dt=e^(u/2) +a両辺をxで微分しf(u)=(1/2)e^u/2からf(x)=(1/2)e^(x/2)という風にuからxに文字を変更できる理由がわかりません。これはどういう理屈でこうなるんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．出版物に対する質問は，その出版社にすべきなので，ここに質問してもどうにもなりません．また，∫記号の代わりに周回積分の記号∮を使っておられますが，全然違う意味になりますので要注意です．
ところで，不定積分は結果が関数になるので積分変数に依存します
$\int 2xdx=x^2+ C$
$\int 2tdt=t^2+ C$
しかし，定積分は値を代入して引き算をするので，積分変数に依存しません
$\int_1^2 2xdx=\bigl[x^2\bigr]_1^2=4-1=3$
$\int_1^2 2tdt=\bigl[t^2\bigr]_1^2=4-1=3$
だから，積分可能な関数である限り，つねに
$\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(t)dt$
が成り立ちます．
このページを参照のこと
次に，明治時代に欧米の学問を導入するときに，functionを何と訳するかと考えたときに，箱に物を入れる入れ物として，函館の函（中国語のファン）を使って函数と訳したと言われている．戦後，旧字体の整理でそれが関数と書かれるようになった．要するに，関数の実体は数字を入れる箱なので，中身に何をいれるかは「そいつは，おいらの自由だ！」
$f(x)=2x-1\rightarrow f(a)=2a-1$
$f(x)=x^2+ 3\rightarrow f(t)=t^2+ 3$
$f(t)=e^t\rightarrow f(x)=e^x$
という話は，高校数学Ⅰ以来，何百回と見ているはずです．数学Ⅲになってから，今さらその質問が出たら，今までどうやって数学をやってきたのか，不思議

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.10.7］

タイトル見にくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面のサイズが1280×1024なので，かなり左にくるということかな

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.10.6］

2^(n +2)－2^(n +1）はどうして2^(n +1）になるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一言文句を言おうと思ったが，その感情を押し殺した．あと10年もしたら，自分はいなくてこの若者が生きているのだから，この頼りない若者らに未来を託するしかないのだから
$2^{n+ 2}-2^{n+ 1}=2^{n+ 1}(2-1)=2^{n+ 1}$

■熊本県［田中太郎さん／18.10.5］

突然の質問失礼します。剰余の定理のページの質問です。割る数と余りだけが開示されている条件で、割る数のなかに解の公式を用いてでしかxの値が求められない式があった場合、答えが二つ出てきます。何がいけないのでしょう。「例」 P(x)=(x+1)(x^2-x+1)Q(x)+2x^2+13x よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何か訴えているという気持ちは伝わってきますが，何を求める問題なのか書かないと，答えようがありません．仕方がないので，問題を勝手に推定して，その問題に対して答えることにします．

［問題］整式 $P(x)$ を $x+ 1$ で割ると $-11$ 余り， $x^2-x+ 1$ で割ると $15x-2$ 余るとき， $P(x)$ を $(x+ 1)(x^2-x+ 1)$ で割った余りを求めよ．
［解答］ $P(x)=(x+ 1)(x^2-x+ 1)Q(x)+ ax^2+ bx+ c$ とおく（割る式が３次式だから余りは高々２次式になる）．
$P(-1)=-11$ だから $a-b+ c=-11$ …(1)
$P(x)$ を $x^2-x+ 1$ で割ると，右辺の第１項は割り切れるから，余りは第２項を割ったものから出る．(**)
$a$
$x^2-x+ 1$ $\overline{)ax^2+ bx+ c}$
$\underline{ax^2-ax+ a}$
$(a+ b)x+(c-a)$
したがって， $a+ b=15$ …(2)， $c-a=-2$ …(3)
(1)(2)(3)より $a=2,\hspace{3}b=13,\hspace{3}c=0$ となるから，求める余りは $2x^2+ 13x$ …（答）

あなたが行き詰っているのは，たぶん(**)で示した箇所です． $x^2-x+ 1=0$ には虚数解しかないから，剰余の定理を使うために何を代入したらよいのか？という箇所です．上記のように，剰余の定理を使うことなく，「割り算実行」で押し切るところがミソです．
以上が普通の答案ですが，数学Ⅱの虚数を習った後なら，次のような天真爛漫，天衣無縫の答案もあり得ます．

$a-b+ c=-11$ …(1)は同じ
次に， $x^2-x+ 1=0$ の１つの解を $\alpha$ とおくと（ただし $\alpha$ は虚数）， $\alpha^2-\alpha+ 1=0,\hspace{5}\alpha^2=\alpha-1$ が成り立つから
$P(\alpha)=(\alpha+ 1)(\alpha^2-\alpha+ 1)Q(\alpha)+ a\alpha^2+ b\alpha+ c$
$=a\alpha^2+ b\alpha+ c=a(\alpha-1)+ b\alpha+ c$
$=(a+ b)\alpha+(c-a)=15\alpha-2$
ところで，虚数 $\alpha$ について，実数係数の等式 $A\alpha+ B=C\alpha+ D$ が成り立つとき， $A=C,\hspace{3}B=D$ が成り立つ（***）ので， $a+ b=15$ …(2)， $c-a=-2$ …(3)
以下，上記と同様にして(1)(2)(3)から解けます．

この答案は，剰余の定理に虚数 $\alpha$ を代入して $P(\alpha)$ を計算するところが「そんなことしてもいいのか？」と抵抗感がありますが，教科書の剰余の定理をよく読むと，「実数しか代入できない」などと書いてないから，虚数でもよいことになります．
※(***)は背理法で証明でき， $A\ne C$ ならば $\alpha=\frac{D-B}{A-C}$ となって $\alpha$ が虚数という仮定に反することから言えます．そのとき， $A\times 0+ B=C\times 0+ D$ から $B=D$ も言えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点１について／18.10.4］

問題の答えと解説をお願いいたします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説は上に書いています．世の中には，図でしか示せないものもあります．（不立文字て誰の言葉だったかな）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／18.10.4］

僕たちの学校には、物理の教員がいません。ですが、物理をやらなくてはいけません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．冗談で言ってみただけということでしょう！？江戸取と張り合いながら，医学部12名合格とか言えば，物理の授業はやっているが「専任教員」を募集中なので，放課後に質問に行けないという話かな？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[和の法則について／18.10.3］

中学生ですこれはいちいち表を作らないといけないのですか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題1,4,5,6に表を使わない解答例を示しているので，その質問はあり得ないでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理数の独立について／18.10.3］

余談の部分の件、直していただきありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．お礼を述べなければならないのは，こちらの方です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[番号札のもらい方について／18.10.2］

組み合わせの番号札のもらい方《6》で、赤玉の並べる方法を考慮して5！をかけないのですか？根本的に私が間違ってしまっていたらすみません。お時間あるときに解説よろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページで「赤玉４個，白玉３個」というとき，各々同質で区別ができないものを扱っています．つまり，この問題は同じものがあるときの順列の総数の問題です．
○あなたの弱点⇒とにかく計算しようとしていますが，その計算のもとになっている根拠を確かめていません．
○順列，組合せの問題で「考え方」が正しいかどうかを確かめるには⇒数字を少なくし，単純化して具体例で調べるとよい．
例えば「赤玉2個，白玉2個を1列に並べるとき，白玉が隣り合わない（赤玉は隣り合ってもよい）並べ方は？」
［正しい考え方］

赤玉を並べておき，その両側を含む3つの隙間に白玉を並べる：
(1)●(2)●(3)
の3個の番号札の内で，白の入る座席の番号を２つとってくる方法は ₃C₂=3…（答）
（実際，〇●〇●，〇●●〇，●〇●〇の3通りが答えになる）

［あなたの間違った考え方］

(1)●(2)●(3)
(1)●(3)●(2)
(2)●(1)●(3)
(2)●(3)●(1)
(3)●(1)●(2)
(3)●(2)●(1)
のように，白玉を区別して並べかえている．それも白が3個あるとしている．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理数の独立について／18.10.2］

余談の例の式 d√2→b√2ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.9.30］

すみません💦ω17+1/ω17-1=ってなんになりますか？分数になると分からなくなる、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当教材にある問題については，質問に答えますが，各自の宿題などについては原則として回答していません．
　そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に答えて，各自の答は各自で考えてもらうことがあります．
$\omega^{19}+\frac{1}{\omega^{19}}$ の値を求めたい場合
そのページの用語で［特急券］を使うと，
$\omega^{19}=\omega^{18}\times\omega=(\omega^3)^6\times\omega=1\times\omega=\omega$
$\omega^{19}+\frac{1}{\omega^{19}}=\omega+\frac{1}{\omega}$
次に，そのページの用語で［急行券］を使うと
$\omega^{2}+\omega+ 1=0$ より
$\omega+ 1+ \frac{1}{\omega}=0$
$\omega+\frac{1}{\omega}=-1$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[変数分離形.微分方程式の解き方について／18.9.28］

(5)においてC=0のときはy=0となって，この場合も元の微分方程式を満たす．（特異解と呼ばれる）例１にそう書いてありますが、Ｃ=０と置くとｙ=０の解は得られるので、ｙ=０は一般解に含まれ、特異解ではないのでは？＊拝見させていただきましたが、実にわかりやすく詳説してあり、学習者にとってすばらしいサイトだと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど．一応，一般解はC≠0が条件なので，C＝0の場合は含まれませんが,他の変形方法で，この場合も含める方法があるようです．包絡線の方程式とか，特異解とは何かという定義に突入すると高校の範囲を超えてしまいますので，このページで触れる必要なしということで，そのかっこを削除しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点の存在範囲について／18.9.27］

とてもわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／18.9.27］

上記の説明読ませて頂きました。私の宿題の問題でこちらに書いてあるのではないので申し訳ないのですが、「白玉4個、黒玉3個、赤玉1個を円形に並べる方法は35通りある。また、これらの玉に紐を通し、輪を作ると何通りできるか。」という問題があまり理解出来ません。答えは19通りになるのですが.....。もし宜しければ教えてください！お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の宿題の答えについては，原則として回答しないことにしていますが，答も書いてあるので境界線はあいまいでもよいかと．そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に勝手に答えて，本当の答案は自分で考えてもらうことにします．
　まず，同じものがあるときの「円順列」については≪10≫の解説を読んでください．次に，「じゅず順列」については赤1個，白3個，黒2個の場合に勝手に簡単な問題に書き換えて，これに答えてみます．「円順列」の総数は $_5C_3=10$ 通り．[A]上の図(1)(2)のように左右非対称なものは「円順列」では別々に数えるが，「じゅず順列」としては，裏返したら重なるから，同じものとみなす．[B]これに対して上の図(3)のように左右対称なものは，「円順列」の段階でも初めから１通りしか数えていない．そこで，「円順列」の総数 $_5C_3=10$ 通りのうち[B]の型のものはそのまま数えて，[A]の型のものは半分だけ数えるとよい．（[B]の個数は絵を描いて１つずつ調べる）．[B]は2通りだから，[A]は8通り．したがって， $\frac{10-2}{2}+ 2=6$ 通り…（答）
あなたの質問した問題では，「円順列」の総数が $_7C_4=35$ 通り，[B]が3通りだから，[A]が35−3=32，これらを使って上記のように計算すると19になります．
（これは基本問題ではなく，ほぼほぼ応用問題）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限1について／18.9.26］

大学卒業にあたり，数学3の極限分野の知識が必要になった．そこで使わせていただいたが，非常に要点を得てまとめられていたので，復習に役立った．統一の取れたサイト構成でしたので，今後も利用していきたい．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／18.9.24］

最高によき
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[立体の体積について／18.9.24］

例4)の解答の1)のV1=の式の、x^1-1はx^2-1ではないでしょうか？0-(1-x^2)から求めていると思うので
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[整数の入試問題1について／18.9.23］

[例題1]で(3)(4)の判別式を避ける方法の四角の中の上から10行目 (b+k)^2+(b+k)+b^2=M/kとなっていますが、 (b+k)^2+(b+k)b+b^2=M/kだと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．（ここまで読んでいる人がいるんだ！と，感心）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／18.9.23］

素朴な疑問なんですが、この変数変換って、離散的な関数に対しては同じようなことってできないんですかね？重和分するときの自由度って連続なときよりも低いんですかね？どう思われますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は，大学初年度レベルの内容を取り扱ったものです．和分，差分というのは昔からある分野なので，何か確立された公式的なものがあるはずです．見つからない項目については，自分で作っていくことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分積分について／18.9.22］

logの不定積分で昨日質問したものです。不明点が正しく伝わっていなかったのでもう一度部分積分で疑問に思ったことを書かせていただきます。この項では同じ番号の例題が上の方と下の方にあるので、上下で区別して質問を書いていきます。上の方の例3,4では、下の方の例1のようには微分する側が0にならないのに、下の方の例2のように部分積分の繰り返しをしなくていいのはなぜなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．下の方の例1では部分積分の公式 $\int f(x)g\apos (x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos (x)g(x)dx$ において，右辺第２項が既知の関数ではなくて求めたい未知関数自体であるのに対して，上の例3,4では既知の（計算可能な）関数だからです．

【参考】
中学校１年生が，次の問題を解く場合
(1)　 $x=7-2\times 3$ の場合
$2\times 3$ が計算可能だから $x=7-6=1$ と答えるでしょう．
(2)　 $x=6-x$ の場合
右辺の $6-x$ は既知の数ではないから，方程式を立てなおして， $2x=6$ にして解くでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数方程式について／18.9.22］

logが1つだけの時の例もあったら助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．理屈の上では，ご要望のことは対数の定義のページで， $\log_a b=c$ の形を $b=a^c$ に直すだけのことで，教科書的には，その問題もあり得ます．
【例】
$\log_2 x=3\rightarrow x=2^3=8$
$\log_2 (x+ 1)=3\rightarrow x+ 1=8\rightarrow x=7$
教える方からは不要と考えていましたが，学ぶ方からは必要と思う可能性がありますので，検討の余地あり．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.9.22］

いつも参考にさせていただいています。採点する、やり直すの二つの欄がグレーになっていて開けないので、答えを教えていただけないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに，プログラミングの世界では，選択できないものをグレーで表示する習慣はありますが，この教材でのそのボタンの色は「次の問題」という選択を忘れられないために目立つ色にし，「採点する」「やり直す」の方を地味な色に設定しただけのものですので，クリックしていただくと作動します．（採点すると答えは出ます）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[logxに関する不定積分について／18.9.21］

(*5.10)の解説の下の方にある、文言、したがって～の、1行上の式の右辺の1/aは1/a^2ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その箇所のaの部分は，確かにおかしいですが，あなたの計算もおかしいです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分積分について／18.9.21］

高卒の項の不定積分で、∫(logx)^2 dxが問題としてあったのですが、これをこの項の部分積分の繰り返しのところの表をつかった解き方でといたのですが、答えのx(logx)^2-2x+Cにたどり着けませんでした。微分する側を(logx)^2にしたのですが、微分する側が0にならないため困っています。表を使った解き方で解いてはくれないでしょうか？(表の途中式が知りたいです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページの下の方を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数の符号について／18.9.21］

2つの式の符号から決めるってどういう事ですか？ (二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説に書いてあることを，そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない．
「次のように２つの式の符号から決める。頂点のx座標（=軸）から −b / 2a<0，ここで(A)よりa>0 したがってb>0」
と書いてあるのだから，−b/2aとa の２つの式の符号から決めるということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立方程式の解き方について／18.9.19］

連立方程式の分数が分からない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学生が高卒向けの連立方程式のページを読んでも分からない．分数係数の連立方程式は中学生向けのページにあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の定義について／18.9.19］

簡単でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／18.9.19］

冒頭にオイラーの公式がのっていますがそこのところで質問です。e^(-ix)=cosx-isinxとなっていて、e^(-ix)の指数マイナスがありますが、マイナス乗すると数は無理数になるではないですか。それで、私は、e オイラーの公式e^(ix)=cosx+isinxをマイナス乗したら、e^(-ix)=(e^(ix))^-=√(cosx+isinx)になるのかなと思ったんですが、この変形はダメなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．マイナス乗と無理数とは何の関係もありません．逆数（分母と分子が逆）になります．だから，あなたの変形はダメです．
$a^{-x}=\frac{1}{a^x}\hspace{10}(a\ne 0)$
この変形を使うのなら
$e^{-ix}=\frac{1}{e^{ix}}=\frac{1}{\cos x+ i\sin x}$
$=\frac{\cos x-i\sin x}{\cos^2 x-i^2\sin^2x}=\cos x-i\sin x$
しかし，その教材では途中経過なしで一瞬で変形していることから分かるように，そのような遠回りの変形はしていません．次のようにやっています．
$e^{ix}=\cos x+ i\sin x$
という公式の $x$ に $-x$ を代入すると
$e^{-ix}=\cos (-x)+ i\sin (-x)=\cos x-i\sin x$
［∵ $\cos (-x)=\cos x,\hspace{5}\sin (-x)=-\sin x$ ］

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角不等式について／18.9.18］

いつも大変勉強させていただいております。例題の解答で π12<θ<π4, 13π12<θ<15π12…（答）となっており約分されておりませんでしたのでお伝えします。敢えてなのかなとも思いましたが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．約分しておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[マクローリン展開について／18.9.18］

さきほどこの項で質問したものです。前回の質問の回答で疑問に思ったことを下にかきたいと思います。質問1 前回の質問の回答で、多項式のような関数は何回でも微分可能で、角のあるグラフなどは連続であっても微分可能ではないとのことですが、多項式のような関数、角のあるグラフとはたとえばどのようなものなんでしょうか？質問2 この項のマクローリン展開の説明で、x=0の近傍でn回微分可能であれば、という文言がありますが、ようするに、関数f(x)をn回微分して出てきた第n次導関数全てに、x=0が代入できるとき、ということでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．多項式が分からなければ話ができない．角のある関数はそこに書いた例[1]
質問2：その通り

■［個別の頁からの質問に対する回答］[マクローリン展開について／18.9.18］

マクローリン展開の説明のところで、関数f(x)が、x=0の近傍でn回微分可能であれば～という文言がありますが、x=0の近傍でn回微分可能である、というのはどういう事なのでしょうか？関数f(x)にx=0を代入したものが、n回微分可能ということなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「関数f(x)にx=0を代入したものが、n回微分可能ということ」ではない．代入したものは定数なので，何階微分してもすべて０になります．
　その文章は平凡に読めばわかるはずで，そもそもその式が意味を持つのは，f(x)の第ｎ次導関数f⁽ⁿ⁾(x)が定義されている場合だということ．そうでなければf⁽ⁿ⁾(0)が存在しないことになり，意味を持たない．
　ｎ回微分可能という関数のイメージがつかめないということでしたら，次の例を考えるとよい．多項式のような関数は，何回でも微分可能であるが，角のあるグラフなどは，連続であっても微分可能でない．
例えば，[1]　f(x)=x (x≧0), f(x)=0 (x<0)はx=0で微分可能ではない．
[2]　f(x)=x² (x≧0), f(x)=0 (x<0)はx=0で１回微分可であるが，２回微分可能ではない．
[3]　f(x)=x³ (x≧0), f(x)=0 (x<0)はx=0で2回微分可であるが，3回微分可能ではない．
[n]　f(x)=xⁿ⁺¹ (x≧0), f(x)=0 (x<0)はx=0でn回微分可であるが，n+1回微分可能ではない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式の性質とクラメールの公式について／18.9.16］

この項で2つわからないところがありましたので申し訳ないですが質問をさせていただきます質問1 この項のはじめにのところの、未知数が2この連立1次方程式の場合のところで、x,yの解がx=(pd-bq)/(ad-bc)、y=(aq-pc)/(ad-bc) となっていますがこの項の1つ前の項の、未知数がn個で逆行列を用いて解く方法の項の例1のように、逆行列をかけてx,yをもとめると x=dp-bq,y=aq-cpになりましたどうやったら、x,yの解がx=(pd-bq)/(ad-bc)、y=(aq-pc)/(ad-bc)になるんでしょうか？質問2 この項の中下部にある、クラメールの公式と青点線でかこまれたところの、下にある、クラメールの公式の証明の上の方に、1列目を(**)の左辺にかきかえると、という文言がありますが、なぜ1列目を(**)の左辺にかきかえられるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問1：あなたは，逆行列の計算を間違っています． $\begin{pmatrix}d& -b\\ -c & a\end{pmatrix}$ の各成分を行列式ad-bcで割らなければならないので，分母にad-bcが付きます．
質問2：行列式は方程式とは違います．関数や多項式のように値を持った式です．たとえば，f(x)=ax+bのときにxの代わりにpを代入するとf(p)=ap+bになりますが，この場面で「なぜ代入できるのか」という質問は，pは定義域にあるのかという質問になり，あなたの質問とは全然違う話になります．
　そもそも，そこの証明は，元の行列式をDとし，１列目を(**)の左辺に入れ換えたときの行列式をD’とすると，D’=xDになると書いているのです．（D’=Dだと書いているのではない．）だから，x=D’/D ←これを証明しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次不等式について／18.9.15］

よくある間違いNo.1の例のb²-4acのbが-bになっていると思います。 (2が(-2)になっていると思います)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.9.15］

三度目の送信失礼します。 (3)-2の問題は、絶対値でなくカッコでいいのではないでしょうか（正になりそうです）。最後の問題は、一応高校範囲の逸脱だと明記した方が良いかもしれません。tanが出てこないと思い、手が止まってしまいました。ただ明記したら用いる前提になってしまって考える練習にならないのかもしれませんので、微妙なところでしょうか。細かい感想になってすみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．tan−1xが高校の範囲外であることは，そのページの前の方の部分から述べていることです．
x2+1のように直ちに正であることが分かる式では|　|を省略しても戸惑いはありませんが，判別式を使わなければ分からないような場合には，その説明をさらに追加しなければならず，猫の額のような名刺サイズの中に書くのは？|　|で間違っているわけではない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.9.15］

連投すみません。 (*B1)の形になるときはいつでも(*B2)の形にできる．（比較してみるとCの値が少し違うだけだと分かる．）の部分は、B2のBとCを入れ替えた方がわかりやすいのではないかと思いました。 Cの値が少し違うだけ、というのがB1とB2のどちらのCとみるかで混乱しそうだからです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．名前の付け方だけのことなので，全体の論旨を理解できればよいと考えられます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.9.15］

分数関数（有理関数）の不定積分
＝＞［作者］：連絡ありがとう．-0→-1

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 行列のｎ乗について／18.9.14］

逆行列の説明より前に逆行列が来ている気がします…！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．？．逆行列の説明を読めばよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の階数について／18.9.12］

公益社団法人の上から7番目の問題の解説で質問です。3列目から2列目のa倍を引くとありますが、aが0の可能性があるときに文字の掛け算をしてもいいんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．掛けることは何も問題がありません．割ることに問題があるだけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／18.9.12］

非常に丁寧に解説されており理解しやすい内容になっています。今後もさらに高度な内容を判りやすく提供お願いいたします。　　　　　　69歳の数学好きです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の階数について／18.9.12］

公益社団法人の、上から4つめの問題で、解説下部の連立方程式で、2-a=0ではなく2b-a=0ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.9.11］

iPadのSafariで利用させて頂いてますが、採点する、やり直すが機能していないです。ど、どうしましょう…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Windowsのsafari，iPhoneのsafariで問題なくて，iPadのsafariで動かない？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[転置行列，対称行列，対角行列，三角行列について／18.9.10］

対角行列の性質のところの、対角成分が0でないときは～の文章の日本語がおかしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[信頼性係数の計算について／18.9.10］

統計は初心者なので、とても難しくとらえていますが、そんな私にもわかりやすい内容でした。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／18.9.9］

凄い！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数について／18.9.9］

先程この項で質問した者です。まだいくつか疑問に思ったことがあるので申し訳ありませんが質問させていただきますm(__)m 質問1 5.像と核の例1の(3)で、なぜ、dim(ker(A))=1なんでしょうか？私の考えとして、4.基底と次元のところの次元の定義から基底の個数を次元としていますから、(1)の(x.y.z)=t(-4.-1.1)は基底の集合だと私は思うので、基底の個数はt、tは実数のことでしょうから実数が次元となるのだと思いました(何次元かを聞かれて実数次元なんていう答えが間違いなのはわかります) 質問2 5.像と核の例1の行列Aは、det(A)=16≠0から逆行列が存在するのに、なぜ、(1)で(x.y.z)がx=y=z=0以外の解、t(-4.-1.1)、があるのでしょうか？例2では例2のAの行列が逆行列を持っているのでx=y=z=0ですが。質問3 5.像と核の例3の(3)で、逆行列が存在しないのに、5.像と核の青線でくくられた定義が書かれているところの米印の定理？を使っていますが、いいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問1:t(-4.-1.1)は1次元です．質問2:det(A)=0です．質問3:(*)は使っていません．【重要】(4)です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数について／18.9.9］

5.像と核の(4)の解説で、1次変換によってつくられる空間の次元は～のあとに1次変換によってつくられる空間の次元についての説明がありますが、原像と一次変換による像とで次元は変わらないのではないでしょうか？変換の意味からして。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書いてあるつもりですが，それではわからんということかな？
dim(Ker(A))+rank(A)=n だからdim(Ker(A))=1のときは原像が3次元でも像は2次元に，dim(Ker(A))=2のときは原像が3次元でも像は1次元になります．
【例１】
$\begin{pmatrix}1 & 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y\\ 0\end{pmatrix}$
の場合，原像が3次元でも，Ker(A)が1次元だから像は2次元になります．
【例２】
$\begin{pmatrix}1 & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$
の場合，原像が3次元でも，Ker(A)が2次元だから像は1次元になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数定理による因数分解について／18.9.7］

問題2の(2)で、正解と思われる(2X+3)(X^2-X+1)を選ぶとXになります。なお解説は間違ってません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近アップしたばかりのページですが，突っ込みどころ満載のボケネタを混ぜたわけではない．紛らわしい選択肢を作っているうちに，管理人が罠にかかったということです．やはり，点検は他人が一番のようで，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 逆行列について／18.9.5］

質問1 AA_~=Aの行列式としていますが、余因子行列とは、のところで、なぜ、A_~Aの順でかけているんでしょうか？質問2 例2のdet(A)は余因子展開して求めているように見えないのですが、どうやって求めたんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$A\tilde{A}=det(A)E=\tilde{A}A$ だから，右から掛けても左から掛けても等しいです．
質問２について：9行にわたって余因子を求めています．それを行列に組んだものが余因子行列 - - 余因子展開は行列式の計算≠余因子行列

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.9.5］

いつも参考になってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「いつも参考になってます！」とは微妙な表現かな．主語は何かと一瞬詰まるが，すれすれセーフかな．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／18.9.5］

簡単だったので、もう少し難しい問題お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．メニューを見て，その次のページに進んでください

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式について／18.9.5］

行列と行列式の定義について詳しくわかりやすく教えてほしいです。このサイトの数Cのところで行列は扱ってますが、行列とはなにかについては扱ってなかったです。また、行列と行列式が違うことを今日初めて知り、いろいろ勘違いが生じたので、ベクトル行列超基本の項に行列と行列式は違いますと書いておいてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭に，要約があります．行列とベクトルなどの定義はベクトル，行列の超基本にあります．（何もかも１つのページに書いてなければならないと考えても無理です）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.9.4］

全然分からなかったので、ヒントをお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．十分たくさんのヒントが書いてあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.9.4］

(4)　(x+1)(x2−2x+1) 　この問題　　すごい　　　公式がちがちだったのでまんまと間違えました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／18.9.4］

ありがとう😊 助かりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ記号の変形について／18.9.2］

ヒントを見てもなかなかできませんでした。もうちょっと詳しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近は「教師無限責任論＝分からなくなったら先生が悪いと言えば正義になる」が主流ですが，生徒数が多かった時代には「生徒無限責任論＝ちゃんと勉強したんかい」が主流でした．ところで，ある項目を学習するには，それに対するレディネス（=準備）が必要だということはご理解いただけますか．下位目標を満たさずに上位目標を目指しても身に着きません．サイドメニューから，前に学ばなければならない項目を先にやってから，そのページをやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点の像と原像について／18.9.2］

この項の確認問題で、問題の行列の成分に、マイナスが入るとマイナスのあとに続く数字が見えなくなってしまいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．iPad上のSafariでの見え方はチェックできません．Windows上のChromeやSafariではご指摘の現象はありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.9.2］

問題4.1の(2)の解説の、答えとなる行列の、2行1列目の成分で、マイナスが分母と分子の間の線のところの左横に来ていますが、正しくは分子の2^(n+1)の左横に来るべきだと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ズバリ書き損じがありました．よく見ると(1)の段階ですでに…訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.9.2］

例題1.2に登場するΣの上端は、nではなくn-1だと思ったのですが、どうなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／18.9.1］

ひとつ、間違えてるやつがありましたがほらはわざとなのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．わざと「ぼけた芸をした」わけではなく，カードを配るプログラムで6分の１の確率で，右欄に間違ったカードが配られていました．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.8.31］

分かりやすく、いつも利用しています。全国的な大まかな学習の順番をならべてくれると助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．メニューの目次が，ほぼ教科書の目次の順です．教科書の目次は会社によって順序が変わるところがある．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／18.8.29］

問題2(4) (2a+2c)(2c)=4b(a+c) …（誤）ではなく　　　　(2b) (正)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答の1つ前のcがbだということで訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式（文字係数）について／18.8.29］

【問題３】の(2)ですが、x^2の係数がaであることから、a<0の場合、上に凸のグラフになると思います。そのため、例えばa=-1のとき、解なしとされていますが、不等式のaに-1を代入するとx<-1, -1<xになるなど、下記3つの解答が違っていませんか？ a<-1 a=-1 -1<a<0 また、上記の認識が正しい場合、【問題３】の(3)の下記3つの解答も違っているということになると思います。 a<-1 a=-1 -1<a<1
＝＞［作者］：連絡ありがとう．aが負の場合について，訂正します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の乗法定理について／18.8.29］

数学Aの「原因の確率」のページがあると良いです。毎度毎度質問、それも直接ゲイシャ様のページの問題と関係ないものですみませんが、できたら教えていただけませんか。教科書に問題と解答例が載っていますが納得できません。例題、ある製品を製造する工場A,BがありAの製品には3%、Bの製品には4%の不良品が含まれている。Aの製品とBの製品を4:5の割合で混ぜた大量の製品の中から1個を取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1)それが不良品である確率 (2)不良品であったときに、それがAの製品である確率解答例(1)は理解できたのでざっくりとだけ書きます。不良品はAの製品の場合と、Bの製品の場合があり、それらの事象は互いに排反であるから ((4/9)×(3/100))＋((5/9)×(4/100))=8/225 やっかいなのは解答例(2)です。まず教科書の解答例を書きます。取り出した1個がAの製品であるという事象をA、Bの製品であるという事象をB、不良品であるという事象をEとする。求める確率は、条件付き確率P_E(A)であるから、P_E(A)=(P(A∩B))/(P(E))=((4/9)×(3/100))÷(8/225)=3/8 この解答例(2)ではベン図でいうとこの部分集合Eを全事象として、そのなかでAである確率を計算しています。個人的には問題文があいまあだと感じています。どちらかというと問題文のにある混ぜた全ての製品の中から1個を取り出したときにそれが不良品かつ工場Aの製品である確率を問われているように読めます。私の考えはおかしく、教科書の問題文も解答例も完全なものなのでしょうか？よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭にある図と解説，特に※の部分を読んでください．また，原因の確率についてはこのページの例3を読んでください．なお，あなたの間違いは，分母のとり方について，定義よりも自分の信条を優先させている点にあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.8.28］

∮xsinx/(cosx)^3はどうやって解くのでしょうか。また、置換でも解けるのでしょうか。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問を正確に書いてください．∮は複素積分で留数定理やストークスの定理のときに出てくる周回積分の記号です．また積分変数は？
文句を言っても始まらないので，適当に解釈して勝手に答えてしまいます．はじめに，このページを見てください．
そこで次の公式をメモします．
$\int\tan xdx=-\log|\cos x|+ C$
$\int\tan^2 xdx=\tan x-x+ C$
$\int\tan^3 xdx=\frac{1}{2}\tan^2 x+\log|\cos x|+ C$
次に
$\frac{x\sin x}{\cos^3 x}=x\tan x\times\frac{1}{\cos^2 x}=x\tan x(1+\tan^2 x)$
$=x(\tan x+\tan^3 x)$
$f(x)=x\rightarrow f\apos (x)=1$
$g(x)=\frac{1}{2}\tan^2 x\leftarrow g\apos (x)=\tan x+\tan^3 x$
部分積分の公式に当てはめる
$\int f(x)g\apos(x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos(x)g(x)dx$
$\int x(\tan x+\tan^3 x)dx=\frac{x}{2}\tan^2 x-\int\frac{1}{2}\tan^2 xdx$
$=\frac{x}{2}\tan^2 x-\frac{1}{2}(\tan x-x)+ C$
$=\frac{1}{2}(x\tan^2 x-\tan x+ x)+ C$ ##高校生にはこんな問題はできません！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／18.8.26］

x三乗ーx二乗ー10xー8 を因数分解がわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学Ⅰの教材から質問しておられますが，その問題は数学Ⅰの問題ではなく，数学Ⅱの剰余定理，因数定理を使う問題です．このページ
$f(x)=x^3-x^2-10x-8$ とおいて， $f(a)=0$ となるaの値を探す．
aは−8の約数になるから，a=±1,±2,±4,±8のうちで合うものを探します．（因数分解は，あてもんです．まぐれ当たりがほとんどです．とはいえすぐ見つかります．a=−1）ｘ+1で割り切れるから割り算をすると，残りは２次式だから見ただけで分かります．
$x^3-x^2-10x-8=(x+ 1)(x+ 2)(x-4)$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.8.25］

質問です。問題2の(1)の計算式、計算式1で、行列の恒等式における文字の比較をすていますが、左辺と右辺のどの行列のどの成分同士を比較したら、b=c,2a=3bとなるんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの勉強の仕方には弱点があるようです．すなわち，自分で鉛筆を動かさずに全部を尋ねているようです．１つでも計算すれば分かるはずのことを尋ねています．それとも行列の積の項目をまだ学習していないのなら，そちらを先にやるべきです．
(1,1)成分の比較：5a−3b=3a, (1,2)成分の比較：5b−3c=2b, (2,1)成分の比較：2a=3b, (2,2)成分の比較：2b=3b
これらは，b=c, 2a=3bにまとめられる．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Sn→ａｎ関係式について／18.8.24］

Sn+1-Snはありですか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．仲間うちで使うほどの省略語では，質問の意味が正確に伝わりません．
$S_{n+ 1}-S_n$ も使えますか，という質問なら，使うことは出ます．
$S_{n+ 1}-S_n=a_n$ ですかという，という質問なら，違います．
そこに書いてある8両連結の列車を見ると分かるように
$S_{n+ 1}-S_n=a_{n+ 1}$ です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.8.22］

2つほど疑問に思ったことがあるので質問させてください質問1 (1)の解説の、次にP^(-1)APの形の行列については～のあとの、同様にして～の隣に続く式で、左辺から中辺へ式変形するさいの途中式を教えてほしいです。質問2 a,b,cという異なる3つの行列があって、(a×b×c)^n=(a^n×b^n×c^n)という恒等式は成り立つのでしょうか？ちょうどこの行列のn乗を学習しているさい疑問に思いました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問1について：その質問はあり得ない．少しでも書いてみれば分かります．
$(P^{-1}AP)^n=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)$
$=P^{-1}APP^{-1}AP\cdots(P^{-1}AP)$
$=P^{-1}AAP\cdots(P^{-1}AP)=P^{-1}A^2P\cdots(P^{-1}AP)$
$=P^{-1}A^nP$
質問２について：一般には行列の積について交換法則は成り立たないから
$AB\ne BA$
したがって
$(AB)^2=(AB)(AB)=ABAB\ne A^2B^2$
一般に
$(AB)^n\ne A^nB^n$
ただし，対角行列など特別なものについては，交換法則が成り立つ
$\begin{pmatrix}\alpha& 0\\ 0& \beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma& 0\\ 0& \delta\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\alpha\gamma& 0\\ 0& \beta\delta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma& 0\\ 0& \delta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha& 0\\ 0& \beta\end{pmatrix}$
特に
$\begin{pmatrix}\alpha& 0\\ 0& \beta\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\alpha^n& 0\\ 0& \beta^n\end{pmatrix}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.8.22］

福岡大理工2005年の入試問題のところで、S^-1は、どうやって計算したのでしょうか？この項までに行列のマイナス乗はふれられてないと思うので、途中式を教えてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．行列のマイナス乗が一般的に定義されているわけではないことに注意しましょう．当面，正方行列Ａに対して，その逆行列Ａ⁻¹という特別なものだけを考えます．このページを先に読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.21］

零因子の作り方のところにある文字の行列式で、(a,b)を(a,ka)とおくのは大丈夫ですが、(p,r)を(-kr,r)とおくのはなぜなんでしょうか？(a,ka)のように、y座標のとこよに、x座標に傾きをかけた値がくるのではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $r=-\frac{1}{k}p\overset{\rightarrow}{\leftarrow}p=-kr$ だから $(r,-\frac{1}{k}p)$ とおいてもよいが，分数を避けて $(-kr,r)$ とおいても同じことになります．普通の感覚なら分数は煩わしいので，分数を避けて整数係数にします．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／18.8.20］

和積と積和の問題をやりすぎると頭がこんがらがってきました...。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．歌を歌うように，スラスラと答えようとしていませんか？そのやり方だと月日がたてば忘れます．この教材の管理人は高校で○○年教えましたが，その公式は覚えていません→「公式がある」と覚えるのです．実際に必要になったら，加法定理から作るのです．（1分もかからない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.20］

今日、零因子のところで質問したものです。ｙ軸に平行な直線は，傾きを用いたy=kxの直線の方程式によって表すことはできないということを忘れていました(というか恥ずかしながら初耳です)失礼しましたあの、零因子のところの式の例外の場合というのは、図を書いてみるのも手なんでしょうか？(というより、他に手はあるのでしょうか？)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「これには例外がある」ということを覚えるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（階差形）について／18.8.20］

例と答1の(4)の(ア)で Σ(k+3)となってますがΣ(2k+3)の間違いではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．そのほか，Σの上につく末項の位置がずれていましたので直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.20］

零因子の作り方のところで、昨日の質問の回答で、上の式と下の式は対応していないとのことですが、上の式は一般的な零因子の式ですよね。それが、下の具体的な零因子の式と対応してないのはおかしくないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一般の場合と具体的な場合の関係ではありません．一般の場合と例外の場合の関係です．
高卒の方のようですが，ｙ軸に平行な直線は，傾きを用いたy=kxの直線の方程式によって表すことはできません．この話は中学，高校で何度も出て来るものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／18.8.20］

このサイトいい復習になりました。ありがとう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[恒等式について／18.8.20］

(1)の定理の証明でxに0と1を代入して証明していますがこれだけでは「←」が示されたとは言えないと思います。全ての実数についてこの定理が成り立つような証明をしてもらいたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「←」は，明らかだから明らかと書いているのです．証明は不要です．（0+0が0になることを証明する必要はない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.19］

零因子の作り方のところで質問です。質問1 なぜ、(a.b) (c.d)の傾きをkとすると、これらは(a.ka)、(c.kc)とおくことができるんでしょうか？質問2 1番したの行列の左零因子で、aが0で、kaが1となっています。行列に対応？する図ではy軸上を上に向かってすすむベクトルとなってますが、このベクトルの傾きは、1/0から定義できないですよね？ですが、この場合、aが0で、kaが1となっていますから0にkをかけたら1になるということになります。でも、0になにをかけても0ですよね。ここで、この場合のkの値は何になるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問１について：点(a,b)が傾きkの直線y=kx上に4あるときは，b=kaが成り立つから，(a, ka)とおけます．(c,d)についても同様です．
質問2について：上の図に上の式が対応しており，下の図に下の式が対応しており，上の式と下の式は対応していません．具体的に下の式について言うと
y軸に平行なベクトル $(0,\hspace{3}1)$ とｘ軸に平行なベクトル $\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}$ は垂直だよね→ $(0,\hspace{3}1)\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}=0$
から
y軸に平行なベクトル $(0,\hspace{3}2)$ とｘ軸に平行なベクトル $\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}$ は垂直だよね→ $(0,\hspace{3}2)\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}=0$
まで，下の図に描かれた4種類の垂直を確かめているだけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／18.8.19］

（4）はx^4-x^2×y^2+y^4ではないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに解説がありますので読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／18.8.19］

公式に当てはめたものは計算していいのですか？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず当てはめて，次に計算します．そのページでは第1段階の当てはめが確実にできるように練習していますが，それができれば式を簡単にすることはすぐできるはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／18.8.18］

めちゃくちゃわかりやすかったです、参考になります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言葉とイラストだけで知的なモヤモヤを解消するには，どこから切り込んで，どのように展開すれば分かり易いか，読者は何分まで持ちこたえられるか？この問題をほとんど毎日考えています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次曲線の極方程式と媒介変数表示について／18.8.17］

5.焦点を極とするときの二次曲線の極方程式の、''極とする''とはどういう意味なんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ある点を極とすれば，その点のｒは0になります．(x,y)座標の言い方で言えば，その点が原点になります．
一般に，座標でどの点を原点とするかは分析者が自由に選べるので，元の(x,y)座標の(1,0)を原点とするとか，元の(r,θ)座標の(1,0)を極とするというようなことは自由に定めることができます．…「とする」で質問があるのは「想定外です」．xを1とすると書いたときに，「とする」とは何かと質問するかな？
この話は，ある科目の時間に「○○とは何ですか」と質問しているのに「○○は○○じゃ」と答えている予習不足の教員の回答とは違うことに注意．そもそも，親がこの子の名前を「○○とする」と言ったときに，「とする」とは何かと質問するのは，おかしくないか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次曲線の極方程式と媒介変数表示について／18.8.17］

問題5の(4)の最大値の計算で、3/2+〈(5√5)/2〉(cos(2θ-α))を3/2+〈(5√5)/2〉(sin(2θ-α))として計算していませんか？ θ=π/4+α/2のとき最大値は3/2だと思うのですが
＝＞［作者］：連絡ありがとう．重要なところを突いていますが，結論は微妙に違います．解答の結論は変わらず，途中経過の一部を訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／18.8.17］

ひょんなことからチェビシェフの多項式のことを調べるはめになり、cos関数の加法定理ってなんだっけか、とググってたらこのサイトに出会いました。高校生の頃にこのようなページがあれば良かったなぁ、と思いました。まぁ、40年以上前のことなのであり得ませんが(^^; これからも分かり易い解説、宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の入試問題3について／18.8.15］

問題2.1(福岡教育大2016年の問題)の(2)ですが、答えは0なのに、0をクリックすると×になり、-1をクリックすると〇になります。ミスではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の入試問題について／18.8.14］

例題3.2で、z≠βは示されていますが、(zの共役複素数をz_、βの共役複素数をβ_として)z_≠β_は示されていません。複素数=複素数だったら互いに共役複素数をとっても＝関係が成立するみたいな定理があるんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
真であるものがすべて定理であるわけではない．汎用性があって重宝するものしか定理とは呼ばない．だから，個別の式を変形しただけの結果は，目で確かめるだけでよい．
$z=x+ yi,\hspace{3}\beta=a+ bi$
のとき
$z\ne\beta$ ならば， $x\ne a$ または $y\ne b$
だから
$\bar{z}=x-yi$ と $\bar{\beta}=a-bi$ は等しくない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の入試問題について／18.8.13］

例題1.2と問題1の(2)で質問です。どちらの問題とも因数分解の形にできていないですけれど、何を目標に式変形をしていけばいいのでしょうか？また、その目標を達成するためにどのように式変形をしていけばいいかも教えて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数平面で，中心がα，半径がｒの円の方程式は
$\mid z-\alpha\mid=r$
だから
$(z-\alpha)(\bar{z}-\bar{\alpha})=r^2$
すなわち
$z\bar{z}-z\bar{\alpha}-\bar{z}\alpha+\alpha\bar{\alpha}=r^2$
の形を目指して変形します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[間接的に求めるについて／18.8.13］

例題2の解説(ア)の(1)、途中計算式2行目で、【log(sinx+cosx)】(積分区間0からπ/2)となっていますが、途中計算式1行目の右辺の与関数の分子がマイナス分母を微分したものとなっていますから、途中計算式2行目は、-【log(sinx+cosx)】(積分区間0からπ/2)ではないでしょうか？(logの前にはマイナスがつくのではということです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号を訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重要な極限値(1)について／18.8.13］

ありがとう
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／18.8.11］

たすき掛け因数分解1の問題4　2問/5問についての確認です。解答は(3x-5y+1)(5x-4y+1)ですが、(-3x+5y-1)(-5x+4y-1)も正解ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題，途中経過，解答はプログラムで生成していますので，第何問がどういう問題になるのかは，見ている人によって違います．さて，問題文に灰色で書いていますように，「x の項を前に書くこと．先頭の符号を負にしないこと」という条件を外してしまうと，同じ答案が何通りも書けることになります．(3x-5y+1)(5x-4y+1)と(-3x+5y-1)(-5x+4y-1)は同じものですが，採点の都合で(5y-3x-1)(4y-5x-1)や(-3x+5y-1)(-5x+4y-1)でなく，(3x-5y+1)(5x-4y+1)のように書いてくださいということです．［かっこ内の順序の入れ替え，符号の入れ替え，かっこの前後の入れ替えで144通りの書き方ができますが，x の項を前に書くこと．先頭の符号を負にしないことで2通りになります］

■［個別の頁からの質問に対する回答］[if 分岐について／18.8.11］

本頁中の記述に『それ以外はせ真=true』とありますが、『せ真』の意味が分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．漢字変換のミスが，そのままになっていましたので，訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積２について／18.8.9］

問題1のオは、左斜めの向きで変化するのでは。t=0のときの座標が(0.3)t=1のときの座標が(1.0)ですから
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(0,3)→(1, 0)で右下がりなので，元の教材で正しいです．(6)のy2の部分に相当

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.8.8］

問題3の(2)の解説部分について本文では(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=(－z)2+(－x)2+(－y)2とありますが(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=x2+y2+z2ではないでしょうか。(符合がマイナスになっている。)私の指摘が間違っているようでしたら、なぜそれが間違いなのかの解説もいただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの指摘は間違っています．その原因は問題を読んでいないからです．
x=a−b, y=b−c, z=c−aのときx+y=a−c=−zです.したがって，(x+y)²=(−z)²=z²．以下同様マイナスがあってもなくても2乗すれば正です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積について／18.8.8］

問題5の定義域は、1≦x≦3ではなく、-1≦x≦-3では。そのため、答えも異なるので問題の訂正が必要かと

＝＞［作者］：連絡ありがとう．-1≦x≦-3ということはありません（-1が-3よりも小さい［以下］ということはない）．左図のようになりますので，元の答案で正しいです．2次不等式の解き方があなたの弱点ですので簡単に復習しておくとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積について／18.8.7］

例1のS=の式で、-(-√2^2-x^2なのに、-(√2^2-x^2になっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元のままだと消えてなくなりますので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.8.6］

手持ちの教科書に次のように例題とその回答が載っていますが、どうも納得できません。例題:7人を次のようにする方法は、何通りあるか。（1）部屋A,B,Cに2人ずつ入れ、部屋Dに１人入れる。教科書記載の解答:7C2×5C2×3C2=630通り私の思う解答:630×3×2=3780通り教科書記載の解答は、ただ2人、2人、2人、１人にわけただけであり、本来は３つの2人組をABC３つの部屋に振り分ける順列3P3をかける必要があると考えています。（2）2人、2人、2人、１人の４組に分ける。教科書記載の解答:（1）でABCの区別をなくすと、同じものが3！通りずつできるから、求める方法の総数は630/（3！）=105通り私の思う解答:7C2×5C2×3C2=630通り私の考えはおかしいですか？お手数ですが、ご協力いただけませんでしょうか。よろしくお願いします。
[追伸]教科書の組分けの例題が分からずに先ほど質問しましたが、自力で分かりました。お手数おかけしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分かったのでもうよいということですが，順列・組合せ・確率の問題で解き方・考え方が正しいかどうかを確かめる方法を，長年考えてきました…他の問題なら，グラフを描くなど別の根拠を示すことができますが，順列・組合せ・確率の問題に対して，何が示せるのか？
あなたの疑問に対しては「問題を単純化しても成り立つかどうか調べる」という方法があると思います．つまり，3人を部屋A,B,Cに１人ずつ入れる方法は
$_3C_2\times _2C_1\times _1C_1$ （通り）
これに対して，3人を１人ずつ3組に分ける方法は
$1$ （通り）
このように，そのページの先頭にある「■部屋に名前（区別）がある場合--これが基本」と書いたように $_3C_2\times _2C_1\times _1C_1$ は部屋に区別がある場合に対応しています．

■山形県［マンサン／18.8.6］

この「高校数学の基本問題」を利用させていただき感謝、感謝です。そして、ご報告ですが、遂に「高校数学」+「大学基礎程度」までを完全履修(…完全写記)することができました。時間的には2年弱かかりました。(…途中確認の為におさらいで「中学数学」をざっと済ませました。)　その間で「漸化式」「三角関数の不定積分」など難関で挫折しそうになりましたが、何とか頑張り通しました。学習を進めているうちに、高校数学の量が多いのに驚きました。私の若い時もこんなにあったのだと、今更ながら、驚きです。他の科目もありますしね。いつの日か「高校数学」をやり直したいと思っていたのは、大学を卒業してからの事です。私が大学入学の年に、あの有名な「学園紛争」があり、1年教養課程での数学等が半端になってしまったからです。その大学数学を学ぶためには、その前の高校数学を理解しておく必要があり、そのために、時間のできたとき、いずれ数学をやり直そうと考えてきました。そして、本講座にめぐりあい、始めたというわけです。パソコン・インターネットがこんなにも普及した時代でなければ、叶わぬことだったでしょうね。お蔭様で、高校数学全体を理解することができ、又、全体的に理解しやすく書かれていた内容でしたので、助かりましたし、終了してみて最後まで頑張り通して本当に良かったと今感じております。只々感謝感謝です。付け加えますと、この後は、「微分・積分」「線型代数」の一段上を学びたいと考えております。何か良いサイトがありましたらご紹介ください。どこまでやれるかわかりませんが、…頑張ります。皆様も頑張ってくださいね、蔭ながら応援しております…2018.8.6
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サイトはわかりませんが，教科書として出版されたものが無難だと思います．

■山形県［マンサン／18.8.6］

いつもこの数学講座を利用させていただき感謝しております。　これが修正依頼メールの最後になると思います。「高卒から大学基礎程度」中の行列式関連の「*連立方程式…掃出し法」中の【具体例による解説】3×3の場合について… 中央yの係数操作で [1] A) ２行２列成分が０でなければ，２行目をその成分で割る図５の右側から出発したとき，図６のようになりますとありますが、これは ➩図4の右側から出発したとき，図5のようになりますそして [2] ……図4の右側から出発したとき，図４のようになりますとありますが、これは ➩図5の右側から出発したとき，図６のようになりますが良いのではないでしょうか …以上ですが宜しくご検証ください。2018.8.6
＝＞［作者］：連絡ありがとう．縦方向に長くなって点検が大変ですが，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の定積分（絶対値付き）について／18.8.6］

問題1の解説で、積分されていないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[領域における最大最小について／18.8.5］

いつも参考にしています。以下ご教授下さい［解答］ x≧0 , y≧0 , x+2y≦8 , 3x+y≦9 の領域は図の通り．　また，x+y=k すなわち y= - x+k とおくと，図の赤で示した直線になる．傾きについては - 3<-1< - 1/3 が成り立つから，k が最大となるのは，(0 , 4) や (3 , 0)ではなく交点 (2 , 3) になることに注意する ☆質問)傾きー1/3はどこから出てくるのですか x+2y=k すなわち y= - 12x+k2 とおく　2x+y=8 , x+3y=9 の交点は，(3 , 2) 図の四角形の領域（内部及び周上）において k の値は，切片 k2 が最大となるときに最大となる． - 3< - 1/2< - 1/3 だから，交点 (3 , 2) において最大値をとる．最大値は 7 ☆質問)傾き-3はどこから出てくるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの問題のことなのかを書かないと，推定で答えることになります．
初めの質問が例題２のことだとすると，-1/3は-1/2の入力ミスですので訂正しました．次の質問が問題2のHELPのことでしたら，-2に訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.8.3］

非常にわかりやすいです。もっと複雑な問題が欲しい気もします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページは基本の入り口です．ページの先頭にメニューがありますので，続きを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／18.8.2］

丁寧な説明をありがとうございます。（参考）で、「ところで基本ベクトル→eと→bの内積については」になっています。皆さん自然に読み直すと思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■山形県［マンサン／18.8.1］

いつもこの数学講座を利用させていただき感謝しております。　今回の投稿は、すべきかどうかで悩みましたが、このサイトを利用している方々が多いし、私のように苦労してほしくないので、連絡すべきと考え、投稿しました。「高卒から大学基礎程度」中の行列式関連の「連立方程式(クラメールの公式)」という課題で、最後の出題されている「問題5」についての「誤り」についてです。この問題に着手したとき、付属の答で、暗算で答えを出しておけば、苦労せずに済んだのですが、素直に始めてみたものの、どうしても答えが合わず、何度やっても係数行列式が「12」にならない…計算中に良く「+・－」のミスをすることが多い私ですが、何度やってもxの答が出ない…仕方なく、問題の答を問題で検算したところ、どの答えも当てはまらない…しかし、どこに問題があるのか、と考えていたら、すぐにその原因が分かりました…「問題5」自体が間違っているのです…これが結論です…多分先生方を含めて、このサイトを学習している方々なら直ぐにわかるでしょうから、正解はここでは書きません…ヒントは問題中のyの係数3つのうちの一つの「+・―」が反対です。それを修正すると、係数行列の答が「12」になり、連立方程式の答もきちんと合致します。　先の課題の「行列式(数値計算)」の最後にある「自由研究」の「4次の行列計算」ソフトがありますから、ご確認ください。どうぞ宜しくお願い致します。乱筆・乱文御免なさい。…こんな風に書くと、「年寄」だというのがバレバレですね。…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元のままだと (-1,-6,-1,2)が解になるので，選択肢に合うように問題の方を書き換えました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[N進数の小数について／18.7.31］

【例８】の（解説）の小数点第二位の8は1の間違いではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．小数第1位と第2位を読み間違えたようです．途中経過が違うだけでなく，解答も違っていましたので訂正しました．（ボロボロ答案）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／18.7.30］

すごくわかりやすかったですありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率のセンター試験問題について／18.7.29］

一番最初のトランプの確率の（２）の解説がわからないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その図を見て何か感じ取らないと…
順列／順列で考えるときは：カードのとり方の総数は，N=20×19×18通り．そのうちで，色も番号も違うカードをとる方法は，図のように1つ目のカードのとり方は黄色の20通り（とりあえず●のカードだったとする）．1つ目のカードと色も番号も違うカードは，水色の12通り．（とりあえず次の●のカードだったとする）．3つ目に前の2つと色も番号も違うカードをとる方法は，灰色で示した6通り．以上により
$p=\frac{20\times 12\times 6}{20\times 19\times 18}$
この計算は
$p=\frac{20\times 12\times 6}{_{20}P_3}$
になっていますが，（同時にこだわって）組合せ／組合せで考えるときは：
$p=\frac{20\times 12\times 6\div 3!}{_{20}C_3}$
にするということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／18.7.29］

例２は25t^2ではなく5t^2ではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\sqrt{25t^2}=1$ だから $25t^2=1$ です．1段階省略がありますが，瞬間の暗算ということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.7.28］

問題1ー5のkは何故はずれるんですか？ωの6k乗は1の2k乗になるんじゃないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「特急券」は使いましたか？ω3=1だからω3k=(13)k=1k=1, ω6k=(13)2k=12k=1だよね．他に何か言う必要ありますか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 三角関数のグラフについて／18.7.28］

解答ください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答を選択して，HELPを押せば，解答は出ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.7.28］

基本の形の(2)(iii)の(*)で、(b)を(a)に代入するととありますが、…(a)が抜けているので、…(a)がさす場所に、…(a)をつけてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．加筆修正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式3について／18.7.27］

「その考え方に至った経緯は書かなくて良い」って、テストに書かなくてもいいかもしれませんが、ここには書いてください。突然言われても
＝＞［作者］：連絡ありがとう．やってみれば分かり，やってみないと分からない，ということが世の中にはあるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角測量について／18.7.27］

素晴らしい教材をありがとうございます。感謝しております。細かいことなのですが、[問題2]-(3)の三角形に直角記号が抜けております。失礼いたしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．加筆修正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／18.7.26］

dx^2/dt^2=-a＾2xとなっているときに解がｘ＝Ｃcos(at＋δ)と表されることについても書いてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．【要点】2の場合で
$\frac{d^2x}{dt^2}=-a^2x$ すなわち $x\apos\apos+ a^2x=0$
に対応する2次方程式は $r^2+ a^2=0\rightarrow r=\pm ai$
解は $x=C_1\cos at+ C_2\sin at$
次に数学Ⅱの三角関数の合成公式により
$x=C_1\cos at+ C_2\sin at=C\cos (at+ \theta)$ と変形します

■［個別の頁からの質問に対する回答］[増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線.グラフについて／18.7.25］

コメント失礼しますm(__)m 変曲点の説明が、この項と数3微分の項をみてもこの教材ではまだ載ってなかったのでよければ載せてほしいです。また、変曲点を求めるために、2階微分をすると思うのですが、2階微分(n階微分についてもできたら)の説明も載せて欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．変曲点や第2次導関数を単独に取り上げたページはまだ作っていなったようですので，検討します．項目数が多くなってくると，どこに何が書いているかは言えますが，どこに何が「書いてない」のかは簡単には言えないので，言われてから考えることになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／18.7.25］

余因子行列のところで対角成分の計算はA ~Aではなく~A Aではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $A\tilde{A}=\tilde{A}A$ が成り立つので，どちらでやってもよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／18.7.24］

a→とb→の内積は公式より|a||b| cosθではないんですか？a→とb→の内積を求めるとき上の式だとa→・b→=a→×b→のようになっているのですが正しいのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta$ はそこに書いた通りです．それを質問してどうなる？「上の式だと」とはどの式のことですか？外積とは違うと書いてありますが，しっかり読みましたか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ ベクトルの和について／18.7.24］

a→+b→=z→とした場合、|z→|= |a→|+|b→|なのですか？例えば、a→=2→、b→=3→の場合、2→+3→=5→なのですか？一般的にいうと|z→|つまり|a→+b→|=|a→|+|b→|は成り立ちますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材の内容と質問の内容が食い違っています．このページの危険な落とし穴というところを読んでください．
結論から言えば，全然違います．また質問にも使ってはいけない記号を使っていますので要注意です． $\vec{a}=\vec{2}+\vec{3}=\vec{5}$ など，全然勉強していない生徒の答案になっています．書くのなら， $|\vec{a}|=2$ などと書くべきです．
a→+b→=z→とした場合、|z→|= |a→|+|b→|なのですか？は $\vec{a}+\vec{b}=\vec{z}$ とした場合， $|\vec{z}|=|\vec{a}|+ |\vec{b}|$ なのですかということで，質問としては成り立っています．ただし，このページの危険な落とし穴に書いたように，一般には $|\vec{z}|\ne |\vec{a}|+ |\vec{b}|$ です．もっとはっきり言えば， $|\vec{a}|+ |\vec{b}|$ は三角形の2辺の長さの和で， $|\vec{z}|$ は三角形の他の１辺の長さだから， $|\vec{z}|\underline{\le}|\vec{a}|+ |\vec{b}|$ です．（ $|\vec{z}|=|\vec{a}+\vec{b}|$ との違いに注意）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.7.24］

コメント失礼しますm(__)m この形の不定積分はのところで逆関数の微分を用いるととあるのですが、これは高校範囲なのでしょうか？この教材の数3の関数のところと微分のところではなかったです。また、この形の不定積分はのところと特急券のところで、置換積分という文言がありますが、この段階では未習なので、公式を覚えて導出は後回しでもいいんでしょうか？それとも、置換積分のところを先に学習したほうがいいんでしょうか？加えてこの形の不定積分のところでは逆三角関数の微分がありますが、公式を覚える前にこれを学習して公式を導出できた方がいいんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(1)「この形の不定積分は逆三角関数が登場するので高校では扱わない．ただし，定積分は「定数」になるので高校数学で扱う．」と書いてある通りです．(2)「置換積分」の件：どちらが先でも構いませんが，できるようにすべきです．(3)「逆三角関数の微分」について：この教材を読んでいるのは，高校生だけではありません．高校生が卒業単位認定のために必要か，高校生が大学入試のために必要か，卒業生が復習しているときに必要か，は立場によって違います．高校の卒業単位認定のためだけに限定すれば必要ないということは初めに示しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.7.24］

コメント失礼しますm(__)m ↓この頁では既習事項と考えている問題のこめじるしの(イ)の合成関数微分法の途中式が違っています dy/dx= dt/dx・dy/dtではなく、dy/dt・dt/dxです。訂正お願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問・指摘の趣旨が不明です．dy/dx= dt/dx・dy/dt と dy/dx=dy/dt・dt/dx は同じものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[循環小数の計算について／18.7.23］

コメント失礼しますm(__)m 無限等比級数については、この教材で、この項で初でてきた言葉なので、それについての説明がほしいです。あと、無限等比級数和の公式も載せて欲しいです。有名な公式ですし、ちょっと検索すれば出てきますけど載せて欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに級数の内容が薄いので，加筆しなければならないようです．
級数と言えば，言葉のマジックにかからないように気を付けないといけない部分があります．

数列：a1, a2, a3, …, an
数列の和：a1+a2+a3+…+an

であるのに対して

無限級数：a1+a2+a3+…+an+…
では，無限級数の和とは何か？

数日中に教材を作ります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Excelを用いた度数分布表の作成[1]について／18.7.23］

人によりますが、私には金魚はいいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．多少なりとも気持ちに余裕のある人の感想だと思う．動くものがあると全く勉強が手につかないという傾向の人が何％いて，その場合は上端の「水槽を消す」を押してもらうという想定になっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.7.21］

ω^2もωと同様にω~2＋ω＋１が成り立つという証明と共約複素数にも触れたほうがいいかなと思った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．証明も共約複素数のことも書いてありますが，明示的に示してないということかな？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般角の定義について／18.7.21］

数学好きの僕にはたまらないwebだよ‼ 本当にありがとう‼( ≧∀≦)ノ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示について／18.7.21］

コメント失礼しますm(__)m ここに書かれている曲線は全て、各々の図形的な意味を理解して、各々の曲線を表す方程式を覚えないといけないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．義務教育（中学生）向けに出題する公立高校入試では「全ての教科書に出ている内容しか出題してはいけない」が，高校生向けに出題する大学入試では「1社でも教科書に書いてあれば出題してよい」と言われたことがある．どの程度守られる暗黙のルールかよくわかりませんが，一応の目安にはなる．ところで，K社の教科書には，サイクロイド，アステロイド，カージオイド，ハイポトロコイド，リサージュ，正葉曲線，アルキメデスの螺線，ハイポサイクロイドなどほとんど網羅されています．では，どうなるのか．
この教材の管理人は，サイクロイド，アステロイド，カージオイドまでは基本として覚えていて，他は応用問題と見なして，必要に応じてその場で作っていくという姿勢で，ん十年過ごせたので，ご参考まで．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／18.7.20］

Σの中が二次関数の場合の公式は存在するでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．自然数の累乗の和のページに書いています．
$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$
$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+ 1)}{2}$
$\sum_{k=1}^n =n$
だから
$\sum_{k=1}^n (ak^2+ bk+ c)$
$=a\times \frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}+ b\times \frac{n(n+ 1)}{2}+ c\times n$
あとは，必要に応じて因数分解などして使いやすい形にします．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.7.19］

授業聞いてもわからなくて、必死に調べてたどり着いたのがこのサイトでした。すごくわかりやすくて、解説もバッチグーです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検のついでにコメント欄もすっきりさせておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／18.7.18］

3分の２の6分の1乗を（2の6分の1乗×3の-6分の1乗）にするような例題もあってもいいかも。自分はこのサイトをみていたらひらめくことができましたが分数を分解することに気づかない人もいるはず
＝＞［作者］：連絡ありがとう．すべての材料を横に並べるのは，管理人おすすめの方法と一致します：なんでもかんでも $a^{\frac{q}{p}}b^{\frac{s}{r}}c^{\frac{u}{t}}\cdots$ に直す．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数，対数関数の導関数について／18.7.17］

コメント失礼しますm(__)m lim x→0 (e^x + x )^1/x という問題をネットで見つけたのですが解けなくて困っています；＿；よければ解いていただけないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．よそ様の問題には干渉しないようにしています（wxMaximaに問題を書き込めば答えが出ます：e²）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２文字のたすき掛け因数分解について／18.7.17］

多くの良問を有難うごいます。 1点だけ感想を：正解に対する「ごちになります」、不正解に対する「・・・ワ～大変だ」がいまひとつピンときませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正解か不正解かが分かれば最小限の働きをしているものと…．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／18.7.16］

コメント失礼しますm(__)m 放物線の標準形のところで、要点1要点2ともに、焦点が頂点になっています。ので、頂点を焦点に訂正お願いしますm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号計算の入試問題について／18.7.16］

［４］二重根号の【要点３】の　a>0,b>0,a>bのとき　の（例）の一行目の右辺√2の符号は-でないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違わなくてもいい所で間違っていますが，別にわざとではない．管理人にも，それなりの事情があるかもしれん．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数，対数関数の導関数について／18.7.16］

コメント失礼しますm(__)m この分野で3日くらいつまづいていて困っています。この指数対数関数の微分の分野って、ここまで登場した極限値のまとめのところの極限値の導出をできるようにして、問題を解くときはこのような極限値の形に帰着できるようにしていくものなんでしょうか？なかなか問題が解けるようにならないので、どう勉強していけばいいか教えて欲しいですm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．極限値にまで遡っている問題（3.のような問題）が出たら，定義に戻って極限値を求めます．普通の場合（4.のような問題）は， $(e^{x})\apos=e^{x},\hspace{3}(\log x)\apos=\frac{1}{x}$ により機械的に処理します

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点の存在範囲について／18.7.15］

s+t=1,s≧0の条件ときの点Ｐの存在範囲があると分かりやすい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．見た目の通りで，s+t=1は直線ＡＢ，s≧0はＯＢの上（以上）だから，直線ＡＢのＢよりもＡ側の半直線

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の交点(３通り)について／18.7.15］

【要点３：直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】において、OCベクトルを2/5aベクトルと書かれてますが、3/5aベクトルの間違いかと思われます。ご確認おねがいします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いかん，いかん，得意の計算間違いでしたので，訂正しました．（こんな調子で，ん十年勤まったとは，どんなゆるい職場？）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／18.7.14］

いつもお世話になっております。【問題３】の(2)ですが正弦定理のみで解けますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．無前提に「正弦定理のみで解けますか？」と尋ねられれば，解けますと答えますが，「数学Ⅰの正弦定理のみで解けますか？」と尋ねられれば，無理ですと答えます．たぶん，BからCを求めるために数学Ⅱの加法定理(*)が必要になります．そのような迂遠なことをしなくても，余弦定理で一発解決なので，余弦定理の方がよいでしょう．

次の作戦盤に沿って，順に求めます．(　)内は既知
$(a)\hspace{24}(b)\hspace{24}c$
$(A)\rightarrow B\rightarrow\overset{\uparrow}{C}$
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$
により
$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sin B}\rightarrow\sin B=\frac{5\sqrt{3}}{14}$
次に
$A+ B+ C=180^{\circ}$
だから
$C=60^{\circ}-B\hspace{3}(0\lt B,\hspace{3}C \lt 60^{\circ})$ …(*)
$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$
により
$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\sin (60^{\circ}-B)}$
したがって
$c=7\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times\sin(60^{\circ}-B)$
加法定理 $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$ と三角関数の相互関係 $\cos B=\sqrt{1-\sin^2 B}\hspace{3}(\gt 0)$ を使うと… ←(*)
$c=7\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B)$
$c=7\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times(\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{11}{14}-\frac{1}{2}\times\frac{5\sqrt{3}}{14})=3$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の連続，極限関数について／18.7.13］

コメント失礼します(m(__)m いくつか改善してほしいところと誤植が見られるところがあるので下に書かさせていただきます。 1つめ、問題(1)のガウス記号を含む関数の極限のところで、数2の微分のこのサイトの教材で、多項式の極限値は関数値と等しいと書いてあったのですが、ガウス記号はこの問題でいうと→3の3をただ代入するわけにはいかないですよね。不定形や発散したり収束したりする関数の極限はこのサイトで扱われていましたが、ガウス記号の関数？は今回が初登場でしたので、説明をくわえてほしいです。 2つめ、(2)の問題で、f(x)=｛5-1/x (x≠0のとき)とありますが、この-1/xの文字が小さくて、指数を表しているのか、ただ単に項を表しているのかわからないです。レイアウトがちょっと変なので確認して修正して欲しいです。 3つめ、(3)の計算1の2段目の式変形の中辺で、x^nでくくっているはずなのに、くくっているx^nが抜けています。修正してほしいです。 4つめ、(4)の計算1の2行目の計算、lim n→∞ 〔x^(2n+1)+1〕/x^2n-x=1/-xで、nが∞近づいて？いるからか、nに関係ない右辺の1/-xの-xが余ってますが、近づいていく文字に関係ない変数は、極限値をとったときに余るよみたいなことをどこかしらに書いて欲しいです。私の理解不足なのかもしれませんが、ちょっと混乱しました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(1)切り上げ，切り捨て，四捨五入などの階段状関数は多項式ではありませんから，極限値と関数値が一致するとは限りません．(2)少し上げました．(3)分母分子の両方にあるので約分しています．(4) $\lim_{n\rightarrow \infty}$ において極限を考えるのはｎの関係式だけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.7.13］

65才になり約50年ぶりに高校数学に（再）挑戦してみました。実に分かりやすく楽しめました。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／18.7.13］

わかりやすい解説もついていて、途中式も丁寧に書かれてるので理解しやすかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角形の重心,内心,外心,垂心(ベクトル,三角関数) について／18.7.12］

勉強になりました。ありがとうございます。　角の２等分線の説明のでは、AB=b AC=c ですが、内心の解説では、AB=c, AC=bとなっており、読んでいて躊躇しました。また、内心の解説で、BP:PC=AB:AC=b:c と記述があります。図からは、 BP:PC=AB:AC=c:b となります。後者が正しいと思いますがいかがでしょうか。　角の２等分線の説明の記号は、ABCを使わず、UVRとか別な記号を使うといいかもです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図の方を直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数，確率分布について／18.7.11］

なかなかよかったぞ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この内容は，他では読めないかも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数の不定積分について／18.7.11］

ウェブ上で問題を解くことができるところはいいと思うが、採点をするを押してもイラストが表示されるだけで回答は表示されない回答まで表示していただきたい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算1，計算2で詳細な途中経過が表示されますが，…さらに解答も表示できるようにしました．（ぶつぶつ）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／18.7.11］

とてもいい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直線のベクトル方程式について／18.7.11］

問題2の解答に青字で「BE:EC=14:5」と記載がありますが、問題分に「BCを6:5に内分する点をE」と記載されているのでBE:ECは6：5ではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前の問題の解答を引きずってきたのかどうか，よく分かりませんが，余計なことが書いてありましたので削除しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.7.09］

数学の記録が付きません。どうしたら良いでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．機種によって，そういう問題があることは認識していますが，リアルタイムで動かしながらデータ形式を変更する（ホットスワップもどきに）と何が起こるか分からないので，延び延びになっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２文字のたすき掛け因数分解について／18.7.09］

このページの一番最初の設問は、式の後半が－６（２ｙ－１）（ｙ－３）と－６が前に出て、考えさせられる良問ですね。このパターンの練習問題が数問増えると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[変数分離形.微分方程式の解き方について／18.7.08］

一つ一つの式の途中式、解説が書いてあり、非常に分かりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／18.7.08］

X^2=4yの焦点の求め方が分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材を書いた当時は，前から読むと公式そのものだから省略できると考えたようで，確かに直接的には書いてないようです．何らかのまとめ的なものを加筆します．
ご質問の点については

(1) 公式に当てはめる場合：
$x^2=4y=4\cdot 1\cdot y$
$p=1$ で縦横が逆だから
焦点の座標は
$F(0,\hspace{3}1)$
(2) (1)の内容を確かめるには，焦点の座標を $F(0,\hspace{3}1)$ ，準線の方程式を $l:Y=-1$ ，動点の座標を $P(x,\hspace{3}y)$ とすると，
$FP=\sqrt{x^2+(y-1)^2},\hspace{5}PH=|y+ 1|$
だから
$x^2+(y-1)^2=(y+ 1)^2$
$x^2=4y$
が成り立つ．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフについて／18.7.07］

悪いところありません。このサイトのおかげで理解度が増しました感謝します
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[隣り合う並び方・隣り合わない並び方について／18.7.06］

選択式よりも文字で入力する式にしたほうがいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．パソコンを使ったいわゆるＣＡＩの時代には，そのような考え方が多かったが，あなたのようにスマホで学習している人がほとんどになったため，現在この教材の管理人はそのようには考えません．調査結果と考察をPDFファイル:486KBにまとめています．要望事項に関する内容は「4. 第二方向：学習者の入力方式はどんなものがよいか」に書いています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／18.7.06］

例題2の答えは、±2ルート2では？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例1のように， $0^{\circ}\underline{\le}A\underline{\le}180^{\circ}$ において $\sin A\gt 0$ のとき，Ａは第1象限，第2象限の２つの可能性がありますが，例2のように， $0^{\circ}\underline{\le}A\underline{\le}180^{\circ}$ において $\cos A\gt 0$ のときは，第1象限 $0^{\circ}\lt A\lt 90^{\circ}$ だけになります．この違いは重要ですので覚えておくようにしましょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点の座標について／18.7.04］

難しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まだ習っていない人や一応習った（一応読んだ）が演習はこれが1回目という場合には，難しいのが普通です．公式に当てはめるだけの問題なので，時間をかけてやればできるようになるはずで，2回目以降（復習など）で「難しい」と言う感想はあり得ません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とはについて／18.7.04］

非常に詳しく書かれていてすごいテキストだと感じました。質問ですが、例1において【※ n=1 のとき，左辺は 1+3+5+ … +1 にはならない．この式は 1 から順に 2n - 1 まで足すことを分かりやすく初めの２，３項を例として示したものなので， n=1 のときは +3+5 は付かない．（当然!!）】とあり、言いたいことはわかりますが、もやもやします。列挙の形で記述するときは右側の項2n-1＝f(n)のnが左側の項5＝f(3)の3以上である、という「列挙の基本」(列挙の原理？)があると習いました。例えば、階差数列の一般項を求めるとき∑(k:1～n-1)b(k)でシグマ部分に列挙の原理が成り立つからn＝1のときは分けて考えるという習い方をしたので列挙やシグマをみるとこの原理には注意するようにしています。例題では、実際解くときは揚げ足とりっぽいので自分でもそんなことはしないと思いますが、 i)でn＝1,2,3まで示して ii)でn＝k(k≧3)のときとしないと気持ち悪いです。入試問題でも同じような書き方を見たことがありますが、(「a1a2+a2a3+……ana(n+1)＝」のような問題) 厳密な書き方とかにあまりこだわらないほうが精神衛生上良いでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どこの教科書でも，このような場合は書いている人も読んでいる人も，表されている内容が分かっているものとして記述しています．だから，「ii)でn＝k(k≧4)のとき」などと分ける必要はありません．私の教材で（当然!!）という注意書きを書いたのは，式や図が表している「内容」を思い浮かべることができずに，式や図「そのもの」の外形的特徴にこだわっていく傾向の生徒が実際にいるからそのように書いたまでです．
普通の答案に対して，重箱の隅をつつくような大学なら，こちらからお断りした方が無難かも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[sin(π+θ)などについて／18.7.03］

cos(θ-3π/2)は-cos(3π/2+θ)よりsinθになると思うのですが・・
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三角関数の性質にありますように， $\cos\theta$ は偶関数，すなわち $\cos(-\theta)=\cos\theta$ が成り立ちます．（ $\sin\theta,\hspace{3}\tan\theta$ とは異なり， $-\theta$ になっても，符号は変化しません．間違いやすいものです）．
したがって， $\cos(\theta-\frac{3\pi}{2})=\cos(\frac{3\pi}{2}-\theta)$ です． $\frac{3\pi}{2}-\theta$ の図で示しています．
この場所で， $\frac{x}{r}$ だから，第1象限の図に直すと $-\sin\theta$ です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質について／18.7.03］

問題2/5でcos(θ-270)をcos(270-θ)に変形させていますが-cos(270-θ)ではないでしょうか？ご確認よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．先頭の解説(8)にありますように， $\cos\theta$ は偶関数，すなわち $\cos(-\theta)=\cos\theta$ が成り立ちます．（ $\sin\theta,\hspace{3}\tan\theta$ とは異なり， $-\theta$ になっても，符号は変化しません．間違いやすいものです）．
したがって， $\cos(\theta-270^{\circ})=\cos(270^{\circ}-\theta)$ です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／18.7.02］

わかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示で表された関数の導関数について／18.7.01］

コメント失礼しますm(__)m 数3をこのサイトで学習していて思ったのですが、私は最初複素数平面から始め、その後微分法のところをやろうと思ったのですが、数3微分ではこの学習サイトの''関数''のところをやってからだなと思い関数のところを学習していたのですが、逆関数のところでlogとeが出てくる関数があって、eをやってからじゃないといけないなと思い、調べたところ微分法の範囲にあることを知り、ちょうど関数の学習をある程度終えていたので順調に学習が進んでいたのですが、媒介変数表示の微分まで来て媒介変数のところをとばしていたので、媒介変数のところを(サイクロイドのところ)までやってまた微分のところに戻ったのですが、三角関数の微分がどうやら必要ぽくってこれからやろうと思ったところなのですが、長々となってしまい申し訳ないのですが、このように、どの順番で学習を進めていけばいいのかわからなくて困ってます。どの順番で学習していくのがよいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．主要な（基本の）内容は，教科書の目次の順に学ぶようになっています：①2次曲線，媒介変数と極座標；②複素数平面；③数列の極限，関数の極限；④微分；⑤積分．［教科書会社によって①②を逆にする場合があります］
ただし，「融合的な内容」，例えば指数の対数乗 $e^{\log_ex}$ を考えると，指数関数と対数関数のどちらを先にやってもできないように見えますが，一巡基本を押さえてから，振り返るようにします．高い山に登るときは，まっすぐに上る一本道があるのではなく，4000M地点から5000M地点を往復して，高地順応しながら荷物を上げるように，行ったり来たりするということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.6.30］

問題3の③解説について x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx) から x3+y3+z3=3xyz=3(a－b)(b－c)(c－a) までの過程がわかりませんでした x3+y3+z3=3xyz となる解説をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題にx=a−b, y=b−c, z=c−aと書いてあるのだから，x+y+z=0です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数分解（応用問題）について／18.6.29］

問題３の（２）の細かい解説が欲しかったです。例題と＋、－、が違ったりするので解説がもうちょっとあると、とても助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説はあります．他に何を言えばよいのか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／18.6.29］

大問2の答えが偏ってるのが気になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例えば，どの選択肢も同じ頻度で登場するという場合，それはそれで一定の規則に縛られていることになります．このように宝くじのあたり番号で同じ番号が続いてはいけないというルールはないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／18.6.29］

分かりやすくていいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.6.28］

[4]　行列の対角化を意識して解く方法のPがあらかじめ提示されてましたがPを求める方法が知りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その内容は完全に高校数学の範囲を外れますので，このページを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.6.28］

公式(4)の中に出てくるーcotとは－cosのことでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが，それらの逆数 cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です．（学習指導要領からの逸脱と言われないように，言ってはならないと自己検閲してしまう）他方で，高専や大学では，そんなことは分かっていて当然という対応もあり，隙間が埋まらないことがあるようです．接続がスムーズに行くように，両方から手を差し伸べる方がよいように思いますが．

【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます．自分が書く必要はなく，今まで通りに書けばよい．
$cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta},\hspace{5}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\hspace{5}\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
自分が書くときは， $\int\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\frac{1}{\tan x}+ C$
などと書けば十分です．

■山形県［マンサン／18.6.27］

いつもこの数学講座を利用させていただき感謝しております。　現在「1階線形微分方程式」を学習中で、そのうちの問題5を、何気なく解き、回答合せをしたら正解でしたので、良かったと思ったのですが、良く見ると定数変化法ではなく、同次形微分方程式として解いていたことに気付き、おかしいと感じたので、問合せいたしました。問題5は、(y2+x)y'=y　の線形微分方程式で、これを変形して、y'=y/(y2+x)、そして、ひっくり返して x'=(y2+x)/y=y+x/y とここまでは同じですが、x/yをみてx/y=uとおいて、同次形微分方程式で dx/dy=y+u=u+y(du/dy) y(du/dy)=y du/dy=1 これを解いて　 u=y+C 元のxに戻して x/y=y+C ➩x=y2+Cy …答 ➩そのまま解いていったら正解となりましたが、この解き方は正しいのでしょうか? ご解析・ご指導宜しくお願い致します。　2018.6.27
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいと思いますが，記述式の答案は読みやすさも重要です．y+u=u+y(du/dy)，y(du/dy)=yとつないでいく変形は読みやすくないので，次のように記述する方がよいかと考えられます．

$x=yu$ とおくと
$\frac{dx}{dy}=\frac{du}{dy}y+ u$
問題を変形すると
$\frac{dx}{dy}=y+ u$
したがって
$\frac{du}{dy}y+ u=y+ u$
$\frac{du}{dy}y=y$
$\frac{du}{dy}=1$ （以下は同様）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.6.27］

問題3（3）の解説のｘ3+ｙ3+ｚ3＝3ｘｙｚ+（ｘ+ｙ+ｚ）（ｘ2+ｙ2+ｚ2-ｘｙ-ｙｚ-ｚｘ）ｘ3+ｙ3+ｚ3＝3ｘｙｚなぜこうなるのか解りません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を読まないと解けません：x=a−b, y=b−c, z=c−a だからx+y+z=0です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／18.6.26］

とてもわかりやすくて問題もスラスラ解けました！これからも使わせてもらいます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値付の不等式について／18.6.25］

絶対値が二つ以上連なった形の不等式の解き方を載せてくださるとありがたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページで幾つか取り上げています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[（各駅停車）二重根号について／18.6.25］

スマホ版でもパソコン版でも、第三頁に進むと問題の文字列や回答欄の配置が崩れていて、問題が読めないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．かなり前（8年以上）に作ったプログラムで，現存するブラウザと合わないようですので削除しました．全く同じ内容で，出題形式が異なる二重根号のページがありますので，そちらを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対偶証明法と背理法について／18.6.25］

お世話になります。背理法を使って数について考えていますが、行き詰まってしまいました。知恵をお借りできませんでしょうか？任意の有理数をY、任意の無理数をMとする。Y÷Mが有理数なのか無理数なのか、両方ありえるのか考える。 Y÷M=Y/Mであり、これが有理数だと仮定すると、互いに素な自然数a.bを用いてa/bと表せるので、 (Y/M)=(a/b) 両辺にMaをかけると、Yb=Maとなり、左辺は有理数、右辺は無理数なので矛盾する。したがって、Y÷M=有理数という仮定は誤りで、Y÷M=無理数となる。ところで、Y=0のとき、Y÷M=0となり、有理数となってしまう。と、こんな具合に無理数なのか、有理数なのかわかりません。私の解き方、どこがおかしいのかわかりませんか？よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
「両辺にMaをかけると、Yb=Maとなり」の部分はおかしいですが，ほぼ合っています．ただし，主張の内容をはっきりしなければなりません．
ア） $Y\ne0$ のとき
$\frac{Y}{M}=\frac{a}{b}$
の両辺に $\frac{Mb}{a}$ を掛けると
$\frac{Ya}{b}=M$
左辺は有理数で右辺は無理数だから矛盾．よって元の式は無理数．
イ） $Y=0$ のとき
$\frac{Y}{M}=0$
は有理数.
したがって，有理数になる場合と無理数になる場合がある．
問題が，「任意の有理数をY、任意の無理数をMとするとき，Y÷Mは無理数になる」という命題ならば，イ）が反例となって偽
問題が，「任意の有理数をY、任意の無理数をMとするとき，Y÷Mは有理数になる」という命題ならば，ア）により偽

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式の練習問題について／18.6.24］

とてもいい練習になりました！ありがとうございます😊
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対偶証明法と背理法について／18.6.23］

証明問題では、背理法とか対偶法といった証明のテクニックだけでは点がとれません。例えば無理数は整数/整数で表せないとか、無理数÷有理数は無理数みたいな、予備知識が必要です。そこで、大学入試の証明問題に必要でよく問われる予備知識をまとめたノートを作り始めたのですが、なかなか必要な予備知識をまとめたサイトが見当たりません。ゲイシャ様のページでそれら予備知識をまとめたページがあるとうれしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「幾つか」は可能ですが「全部」は無理でしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.6.23］

少し読みづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．漠然と書くのでなく，もっと具体的に指摘してもらう方が，他の人のためにもなるでしょう．たとえば，スマホの機種ごとに利用可能なフォントが違うので，積分記号の表示，被積分関数との間隔がＰＣ版と異なる形で表示されることがあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二重根号について／18.6.23］

根号と数字がずれて問題として解くことはできません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたが使ったというPC版Internet Explorerで点検しましたが，全く問題なく表示されます．利用環境（パソコン，ＯＳ，ブラウザなど）についての情報がないとこれ以上の調査は無理です．なお，何ページ目の何番がズレているという形で具体的に指摘する必要があります -- 全部ずれているということはありません．全部ずれていないということもないでしょう．現実にあるものは真っ白でもなく，真っ黒でもないはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数不等式の解き方について／18.6.22］

コメント失礼しますm(__)m 下の4つの問題の最初の第1番目の問題で誤りがあります。解答の2行目から3行目にかけて、分子の4x+1が4x+2になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■山形県［マンサン／18.6.21］

いつもこの数学講座を利用させていただき感謝しております。現在「重積分;変数変換ヤコビアン」を学習中なのですが、そこで出てきます所の面積要素dS=dxdyについて、気になることを思い出して、急にお尋ねしたく、このようにメールさせていただきました。それは、遡ること、「簡単な重積分の計算」の説明中…「立体の体積dVは、面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy　の総和」とあり、この点については理解できますが、その付属の説明図中「図で示した壁の面積S(y)を求めて」又、「図で示した壁の面積S(x)を求めて」という記述は、面積要素は底面積dSであるのに何故「壁の面積S(x),S(y)」になるのか、ということです…これが当時私が理解できなかったことです。…正しくは、 …xを固定して、それぞれのdxについて、高さf(x,y)を掛けて　変数yで積分した結果、積分要素f(x,y)dxの総和が、図の壁のS(x)である… というのが、正しい記述なのではないでしょうか。これは、次の章の「重積分…積分領域が変数に依存する場合」の説明図を見て、漸く上述の理解に辿り着くことができました。又、そこでの説明中、「面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdyの総和」という説明はdxdyの両者共の式ですから、これはこれで正しいし、理解できることは重ねて申し上げます。まとめて申し上げますと、壁の面積S(x)、S(y)ではなく別の文字、例えばW(x),W(y)とした方が宜しいのではないでしょうか? …以上ですが、宜しくご検討お願いいたします。2018.6.21
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の記述で問題ないと考えます．使用する文字は書く側の好みや読む側の読みやすさの選べばよいと考えられます．
あなたの場合，面積は底面に平行な向きに取らなければならないと決めておられるかもしれませんが，そのような決まりはありません．

■山形県［マンサン／18.6.20］

お蔭様で、順調に数学学習が進んでいます。さて、「高卒から大学数学基礎程度」に於いて、「重積分…積分順序の変更」の問1のhelp中、茶色文字の重積分計算で、…初めの重積分1行目のx2ydy積分が1/3xy3になっています。➩1/2x2y2…それからその次の重積分x2ydx積分が1/2x2y2になっています➩1/3x3yが正しいので?…思考が回転してしまいました。…宜しくご確認お願いします。間違いでしたら、御免なさい。2018.6.20
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしい．計算の部分が前の例題の引き写しになっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／18.6.19］

ネットならではの工夫された問題形式で楽しかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／18.6.18］

高校になってから数学が難しくなり、困っていたのですが解りやすい解説で理解することができました！ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■愛知［りんさん］[18.6.17］

いつもお世話になっております。時々PC、時々iPadからやってますがiPadからだと履歴(色つき)がつかないのが少し困っています。何か方法はないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どうもそのようで，プログラムを直さなければならないのですが，もっと複雑な問題がEU圏で起こっていて（2018年5月25日施行の「一般データ保護規則」）対応方法をゆっくり考えないといけないようです---数としては少ないのですが，EU圏に留学中の学生や社会人が調べ事の途中でこの教材を見ることがたまにあります．そのときに履歴が残る仕組みになっていると違法とされるか否か，それが問題のようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不定方程式の整数解について／18.6.16］

【問題２】　１次方程式7x+8y=11 を満たす整数x, yの一般解を求めてください．の問題で、x=－3,y=4を代入した結果、回答がx＝－8n－3,y=7n+4になりました。これも正解でいいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答，解説の本文でなく，傍論の参考の部分で定数項の符号が逆になっていましたので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.6.15］

≪9≫の問題、６ｃ２＝１５　４ｃ２＝６　２ｃ２＝１　女子３人を別々に分けるので×３部屋の区別がないので３！で割るのではないのでしょうか？１５×６＝９０９０×３÷３！＝２７０÷（３×２）＝４５で４５となるのでは？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「女子３人を別々に分けるので×３」というのが違います．×3！です．だから，あなたの考え方に沿って計算すると，９０×３！÷３！＝９０になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せ（文章題）について／18.6.15］

わかりやすく解説が乗っていてとても助かりました。ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[整数の入試問題1について／18.6.15］

n2+n+1=±1…(1) または n3−n+1=±1…(2) プラス・マイナスですよねぇ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問の仕方は全然ダメです．どの問題か書かずに，「幾つかのページで...」などと書いてある質問と同様，「1日かけて全部見直してもらおうか！」というけんか腰の態度になっています．管理人は，具体的に提起された問題を，具体的に解決することを考えており，文学的に奥行きのある表現を好んでいるわけではありません．
長時間かけて【類題5.2】らしいと分かりましたが,(1)(2)のすべての場合がア)イ)ウ)にあれば何も問題はないと考えますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列について／18.6.15］

数学初心者でもなんとか付いていけるくらい説明が易しく理解しやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.6.14］

こういうサイトを作っていただきありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教科書レベルの基本にニーズがあるという意味に理解しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの和、差、実数倍について／18.6.13］

全体的に問題多くして頂けたら嬉しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページが体験入門的なもので，それができるようになったら，サブメニューにある「ベクトルの図形への応用」に進むことを想定しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数について／18.6.13］

とてもわかりやすく素晴らしい学習サイト、ありがとうございます。いつも活用しております。誤字だと思われる点のご報告です。漸近線の方程式（3）の以下の部分 “例えば，y=q が漸近線であるとき，x のどのような値に対しても y=q となるることはない．” 【なるる】とありますが、【なる】かと思われますが、いかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[面積について／18.6.13］

3つの関数が混じった定積分の例も上げてほしいです…… よろしくお願いします🙏💦
＝＞［作者］：連絡ありがとう．具体的に何が要望なのかが分かりません．幾つかの区間に分ける問題のことなのか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[（複素数で表される）軌跡の方程式について／18.6.13］

コメント失礼しますm(__)m 定点からの距離が一定である点の軌跡のところの、赤字、z=x+yi, α~a+biとして，|z－α|=rを(x, y)座標で表すと， √(x－a)2+(y－b)2=r (x－a)2+(y－b)2=r2 となって，数学IIで習う円の方程式と一致する．　しかし，複素数で示された問題を常に(x, y)座標に直して考えていると能率が悪いので，特に行き詰ったときだけ(x, y)座標に直すようにし，複素数の問題は複素数のままで答えるようにするのがよい．の冒頭、α~a+bi は、 α=a+biなのではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Shiftきーを押しながら，１つ隣のキーを押したようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.6.12］

昭和の初期に生まれた84歳の老人です。ふとしたことから行列、ベクトルに興味をもち、これまた偶然にこのサイトに出会いました。（もちろん高校時代に行列やベクトルなど教科書にありませんでした。）説明が非常にわかりやすく、よく理解できました。ありがとうございました。最後のページの行列の積の問題をやり全問正解だったとき自分で拍手をしてしまいました。これからも時間があったら少しずつ勉強してみようと思っております。よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材の管理人が行列を習ったのは今からほぼ半世紀前です．50歩100歩かも．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／18.6.12］

問題1(3)の解答解説が(2)のものになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列の極限について／18.6.7］

解説が分かりやすく、無限数列の極限値　を基礎にして微分、積分の学習に、望みます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．望むと臨むの使い分けは難しいですが，管理人に何かを望んでいるわけではないと理解しました．
※希望する意図が含まれる場合以外に，南アルプスから富士山を望むという場合も，望むを使いますが，近くにある対象に向かう場合は臨むになるかも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[cosxに関する不定積分について／18.6.6］

前回のご回答、ありがとうございました。さて、改めまして、「やはり符号がおかしい」所があります。【理由】置換積分の場合、sin3xの場合*1.10と、cos3xの場合*2.10 は、初めの被積分関数f(t)の符号が－・＋の違いがあるのに、どうして、結論のI(x)は+1/4、－1、－1、と同じ並びになるのでしょうか。これについては、*2.8の最後のI式で絶対値記号が外されたとき、符号が反対になるのでしょうか?　*1.8では、符号が反対になっていませんのでとても違和感があります。…絶対値の外し方について、良く理解できていないところがある私ですので、この指摘が間違っていましたら御免なさい。どうぞ宜しくお願い致します。2018.6.6
＝＞［作者］：連絡ありがとう．被積分関数の符号が逆だから，積分の結果が逆になります．絶対値記号のはずし方は sin xのページに書きました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／18.6.6］

地球上の２点の緯度・経度を与えて、その２点間の距離を求めたいのですが。簡易な方法と正確な方法を教えて頂けると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．球面三角法というキーワードで検索すると公式が出てきます．このページなど．結果を確かめるにはこのペ－ジなど

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆関数について／18.6.6］

曖昧になりやすい部分を取り上げ、分かりやすく解説されている部分が良かった。大変参考になりなった。グラフを用いているのも良い。難しい内容をあえて避けてあるのかもしれないが、一対一の関数になるのは『「狭義」増加関数』とすると混乱がなく良いと思った。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ア）狭義の増加関数：a<b → f(a)<f(b),広義の増加関数：a<b → f(a)≦f(b)という分け方をする場合もあります（矢野健太郎.公式集）が，イ）増加関数：a<b → f(a)≦f(b),強増加関数：a<b → f(a)<≠=.f(b)という分け方（新数学事典）もあります．高校の教科書や入試の答案では，ウ）増加関数：a<b → f(a)<f(b),非減少関数：a<b → f(a)≦f(b)という分け方をよく見かけます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転と拡大について／18.6.5］

コメント失礼しますm(__)m 単位円上の複素数→偏角の差になるというところで間違っているところがあります。分母はcos^2θ+sin^2θ=1になるから～より2つ上の式の分母が、cos^2θ-isin^2θとなっていますが、正しくはcos^2θ-i^2sin^2θです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2乗が抜けているということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[陰関数の導関数について／18.6.5］

陰関数の微分が全然わからなくて困っていたので助かりました！！一番わかりやすかったです。問題演習がちょっとついてるのもポイント高いです。明日のテストもなんとかなりそうです！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／18.6.4］

問題に全角数字で入力すると不正解になるので、改善したほうがいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．注意の文章を入れました．なお，google音声入力でも問題なく入力できます．

■山形県［まんさん］[18.6.04］

*高卒から大学数学基礎程度の*sinxに関する不定積分、(*1.10)の解説に於いて、最後の結論式 1/4{log(1+cosx/1-cosx)} ═1/(1-cosx) ═1/(1+cosx) +C は 1/4{log(1+cosx/1-cosx)} +1/(1-cosx) +1/(1+cosx) +C が正しいのではないでしょうか?… 私の間違いかどうか、知りたいので、ご確認お願いします。2018.6.4
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者の解答は符号が逆で，あなたの解答は前半の符号が逆のようです．元の教材の部分分数分解以下の省略が冷たい雰囲気なので，その部分を加筆します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件--不等式の問題について／18.6.4］

実数aについて、a-2>0は、a>0であるための何条件ですか？詳しくお願いします…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．a-2>0→a>2>0が成り立つ．次にa>0であってもa>2が成り立つとは限らない．（例えばa=1）
以上から， $a\gt 2\overset{\overset{\circ}{\rightarrow}}{\underset{\times}{\leftarrow}} a\gt0$ の矢印が成り立っている方を見て，十分条件．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／18.6.3］

解き方を書いてあるのが助かりました。大学ではこんな風に教えてくれないので。こんなにわかりやすい説明がインターネット上にあるのなら大学の適当で一方的な授業はあてにしない方がよさそう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／18.6.3］

コメント失礼しますm(__)m 極形式のところでz=r(cosθ+isinθ)となりますが、この教材の極形式のところをみたとき()のなかが、(cosθ+i.sinθ)のもうに見えてしまいました。iとsinθの間をあいているのはiが虚数というのを見落としていそうな人のためかと思われますが、私みたいにスペースが空いていると座標のように勘違いしてしまう人もいるのでレイアウトをちょっと変えてほしいです。スペースを無くしてiは虚数と注意書きを書いていただければいいんじゃないかなと思います。あと、複素数平面上の座標って極座標というのですよね？それも明記したほうがいいと思います。もうちょっと教材を進めれば出てくるのだと思うのですが、数3はこの複素数平面の分野から始めたので最初に明記してほしいですm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．表記のほとんどは世界共通の約束なので，ローカルルールを作って違うことをすることはできません．
次に，複素数平面上の点は，(1) 実部+虚部 i で書く場合，(2) 実部+虚部 i をr(cos θ+i sinθ)の形に変形して使う極形式の場合がありますが，(*3)極座標とは違います．

【例】(1) $1+\sqrt{3}i$ は，複素数平面上の点を実部+虚部 i の形で表したもの． (2) $2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ は，複素数平面上の点を極形式で表したもの，(*3) $(2,\hspace{3}\frac{\pi}{3})$ は，2次元の実平面での極座標

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／18.6.2］

やっと弧度法がなぜ360°を2πにする定義なのかわかりました。θ＝l/rでもlが2πrで計算できるが定義からrが割られるので2πが360°(円周の長さ)になるんですね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．理屈を納得しやすい内的なロジックは，人ごとに異なることがあるようなので，横やりを入れにくいですが，「θ＝l/rでも」というのはどういうことなのか，よくわかりません．「ｒ＝1のときは，L=2πになるので，L/r＝2πになる」というロジックならわかるのですが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[簡単な重積分の計算について／18.6.2］

解答に解説があり、助かりました。問も適切だと思います。読んだだけでは、理解が不十分でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／18.6.2］

logの計算が苦手なので、とても勉強になりました。問題3の⑵は選択肢の中に正しい答えがないかと、、解説をみたところ、全ての底を2にしていますが、問題ではbの底は3になっているので、問題が間違いか解答が間違いかだと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における平面の方程式について／18.6.1］

コメント失礼しますm(__)m 例1の解説のところに『３次元空間（自由度３）において，１つの制限（１次方程式）を入れると平面（自由度２）になります．　これに対して，直線（自由度１）は，２平面の交線（２つの平面の共通部分）として，２つの制限（連立１次方程式）を入れたものとして表されます』とあります。『』の、これに対しての次の文にある『直線』がなんなのか疑問に思いました。私が先生に質問したところ、これは2つの平面の方程式を連立してえられた直線の方程式と説明してくれました。また、『』内のこれに対して～の前で、3次元空間に1次方程式をいれるととありますが、これこでいう1次方程式とはax+by+cz+d=0の形の1次方程式で、空間における直線の方程式ではないですよね？この2点を詳しく明記して欲しいです。私の考えが間違っていたらごめんなさいm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭にサブメニューがあります．直線→平面→平面と直線の順に読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の部分積分法について／18.6.1］

(1)のcosxは-cおsxでは、。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(sin x)’=cos x, (cos x)’=−sin x だから (−cos x)’=sin x
何もおかしくない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次独立，１次従属について／18.5.31］

コンマは読みづらいから辞めてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．?? 数学の文書で，コンマ以外の区切り文字が使われているものがあるのか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.5.28］

3が邪魔
＝＞［作者］：連絡ありがとう．？？それがないと sin kx, cos kxなどの練習にならない

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点，外分点の位置ベクトルについて／18.5.28］

位置ベクトルの応用３の練習問題の最後の一問、線分‘ＢＡ‘を２：３に内分する点とありますがＡＢの間違いではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ABがと言うのと，BAがと言うのでは，比率が逆順になることを意図した問題でしたが，結果に反映していなかったので直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路の問題について／18.5.26］

解答が正解だった場合でも解説が見られるようにして欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC番の方はそうなっていましたが，携帯版の方がまだのようでしたので，そろえました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[基本的な三角比の値(図あり)について／18.5.26］

楽しい！もっと勉強していれば良かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．お互いさまです．もっと勉強していれば…筆者は，もう幕が下りそうなのですが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／18.5.26］

勉強のやり直しにピッタリです。懐かしいし、解けると楽しいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立不等式について／18.5.26］

練習問題をもっと増やしてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．5題ありますが，「もっと」とは，10題，50題のレベルの話でしょうか

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号Σについて／18.5.25］

問題6(3)の正答の選択肢①では、sum 3*2^k, k=3 to n-2とあります。計算すると、3*2^3+3*2^4+...3*2^(n-2)、元の式の3+3^2+...3^(2n-2)とは違います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに違う，困ったもんです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.5.24］

だいぶ忘れてしまっていた。な、４つしか正解していないだと。そうだよなぁ。１４年前に習ったものだもの。ただの暇つぶしですよ。教材としては最高に良い出来だと思います。 by もうじき三十路の孤独なおじさん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線について／18.5.23］

今、中学2年ですが、とても簡単でわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／18.5.22］

因数分解のたすきがけの練習がしたかったので、できてよかったです。もっと練習問題が欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの左側にサブメニューがあります．その中に◎たすき掛け因数分解1など問題が限りなく出てくるものがありますので，それをやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフについて／18.5.21］

とてもわかり易かった。それと解説を読んですぐにやり直せるシステムもとてもいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分集合，集合の包含関係について／18.5.20］

とても分かりやすい説明で助かっています。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角方程式（２次）について／18.5.20］

問題８の解説の中の（別解）の中で、「そこで両辺を cos^2 θ＝０で割る」とあるが、「cos^2 θ≠0 で割る」ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／18.5.19］

≪問題4≫ ある家庭に２人の子どもがいて、玄関で１人を呼んだら女子が出てきたとき、もう１人も女子である確率を求めよ．　(男女の出生比率はここでは１：１とします．) この問題で「玄関で一人を呼んだら女の子だった」という情報から、姉が来たのか妹が来たのかが分からないため「少なくとも一人は女の子」だと思い、問題3のように解いてしまいました。解答を見たのですが、玄関から出てきたという事柄は、生まれたというのと同じように考えることができます。の部分がよく分かりません。何故、この解き方で間違えてしまったのか、教えてください。よろしくお願いします。自分なりに考えた結果を下に記します。解答が1/2になるには玄関に出たのが第一子なのか第二子なのか分かっている時 →「一人目が女の子」という事象をA「子供が二人とも女の子」という事象をBとすると p(A)=1/2 p(AかつB)=1/4より p(B | A)={1/2}/{1/4}であるから答え1/2
＝＞［作者］：連絡ありがとう．生まれたと同じに考えるときは，初めに出てくるのは第1子でしょう．第2子が先に出てきた場合は，出生を類推できないので，玄関でインターホンを押している場面を考えるしかないでしょう．なお，計算はよろしいが最後の分母と分子が逆です．{1/4}/{1/2}=1/2

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内接円の半径について／18.5.19］

扇形に内接する円の半径求めて分かりづらい

＝＞［作者］：連絡ありがとう．扇形の角度を0<θ≦πとし半径をRとして，内接円の半径ｒをRとθで表すことはできます．あなた自身が解かなければならない宿題かもしれなので，考え方のみ伝え，答は書きません． $r+\frac{r}{\sin\frac{\theta}{2}}=R$ をrについて解きます.

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／18.5.19］

助かりましたー
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／18.5.19］

二進数の割り算の筆算が、授業でも、テキストをみても、動画を見ても、まったく分からず困っていましたが、やっと理解できました。本当にありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の垂直条件について／18.5.18］

見づらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう． W=375,H=812のiPhoneで見ておられるようですが，こちらは同じレベルの画面サイズのAndroidで快適に見えます．だから，画面の問題ではないようなので，長い段落に切れ目を入れて，息継ぎがしやすいように，すこし変形しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モルガンの法則について／18.5.18］

間違えた際の、ここがポイントっていうのが、次の問題文にかぶってしまい、読みずらいので、改善お願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．了解です．問題３，４，５のメッセージ欄の幅を広げました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極座標について／18.5.17］

1の点設定を画面上でするのが難しいので点選択が望ましいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．日本製Androidで点検していますが，ズームインすれば簡単にできます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.5.16］

高一です。分かるところもあったのですが、書き方などが教科書のように難しいので、もう少しわかりやすく、かみくだいて説明して欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もっと前の負の指数の導入のところから読んだらどうでしょうか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点について／18.5.16］

外分点3(２) 何度やっても正解が出ませんー3xー2+1x５ 1ー3 11 ー2 ではないのでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それであっていますが，あなたはそのようには入力していないようです．例えば分母に1－－３などと入力していませんか．なお，この教材は作ってから１０年以上経過しており，内容や見え方に不十分さがありますので，今日更新したこのページを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 因数分解（応用問題）について／18.5.15］

例の3の2の説明を詳しく
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教える側は，これで十分詳しく，他に何が言えるのか？と考えますが，受け取る側がまだ足りないと思うとすれば，そのギャップを埋めるには何が必要なのか．長い目で見て考え中．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／18.5.14］

今さら聞けない数学の部分を、このように反復問題を含めて勉強できるサイトには、正直、感謝しかないです。有難うございます。 40代文系エンジニア
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点の座標について／18.5.14］

テスト勉強になりました！ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.5.13］

的確かつ簡潔で、知りたいことが見事に解決しました。素晴らしいです。元ネタや、参考文献はあるのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．参考文献というものはありません．高校で教えていたときに出会った内容をまとめて，補強したものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[整数の累乗と整除について／18.5.12］

初投稿失礼しますm(__)m 東京女子大2005年の例題の問題と解答が一致していない気がします。チェックテスト風の問題の(7)(8)の問題が一緒です。また、教材改善として(6)の愛知教育大の問題の2項定理による証明で(k+1)^n-kn-1から(k+1)^n-kn+(k^2-1)を導く理由を書いてほしいです。(k+1)^n-kn-1と3^n-2n+3と数字を比較して、同じ式の形ではないので違う式の形を考えるのはいいですが、(k+1)^n-kn+(k^2-1)がなぜ3^n-2n+3と対応するのかというのがこの教材だけではわかりませんでした。例えば4と8という数字があって、前者に4を足して後者の数字になっても、両者は4でわれますね。これと似たようなことをやっているのだと思いましたが、(k+1)^n-kn+(k^2-1)という式をなぜ(k+1)^n-kn-1から導出する必要がありそれも(k+1)^n-kn+(k^2-1)だけを考えるという発想にはなかなか至りませんでしたので、そのあたりの発想の仕方というのも書いてくれたら嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．1番目の質問：何もおかしくありません．これで一致しています．2番目の質問：(7)の問題を書き間違っていましたので訂正しました．3番目の質問：k=2で成り立ちます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／18.5.12］

とても分かりやすかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／18.5.11］

空集合についての解説が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにその部分が薄いようですので，考えておきます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分で定義される関数について／18.5.9］

定積分で定義される関数項の問題②（1）ですが、答えはf(x)=2x-4ではないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．本当に，完全に間違っている！作業中にモグモグタイムでも取ってしまったのか？訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／18.5.8］

モニターや設定によって違うかも知れませんが、ジャンケンの絵が薄い黄色なので見えにくいです。できれば違う色の方が見やすいかと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．少しは濃くしましたが，ブラウザにキャッシュデータがあると，反映しないようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.5.3］

（Xの三乗➖Yの三乗）（Xの三乗➕Yの三乗）の簡単な因数分解の仕方・正しい因数分解の仕方を教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．因数分解のことは因数分解のページを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の交点を通る直線の方程式について／18.5.3］

間違っていたらごめんなさい。「２直線の交点を通る直線の方程式」のところで「要点と注意点」の項で直線(2)はこの形式では表せない．とありますが k=(d-a)/d の時は(2)の方程式になりませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それは無理です…xの係数は合いますが，yの係数や定数項が合いません．
少し下の，簡単な例でイメージ作り1，2に述べていますように，lim k→ ∞ または lim k→−∞ の極限において，直線(2)に限りなく近づきますが，有限確定の値で直線(2)に一致することはありません．

　正確さを度外視してイメージだけで言えば，直線 (1)+k×(2) は，(1)と(2)をk:1に内分（または外分）する直線なので，k=±∞の場合に(2)に近付きます．
例えばx+2y+3=0…(1), 4x+5y+6=0…(2)に対して，x+2y+3+k(4x+5y+6)=0…(3) を考えるとき，(3)は (1+4k)x+(2+5k)y+(3+6k)=0と書けるから，k=10のときは41x+52y+63x=0 すなわち 4.1x+5.2y+6.3=0となって，(2)に近付きます．さらにk=100とすると，401x+502y+603=0すなわち 4.01x+5.02y+6.03=0となって，一層(2)に近付き(1)の影響は薄くなります．ついに，k→∞とすると限りなく(2)に近付くということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算について／18.5.3］

どのページも説明がわかりやすく、大変参考になります。［係数があるとき］の例3の第1式の右辺第2項の底が4となっていますが、正しくは3ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数計算について／18.5.2］

2*(-5^2)は、-50となる理由？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学校1年生の4月に習う内容ですので，そちらを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式の証明1について／18.5.2］

こんにちはすごくわかりやすかったです問題集のページを作ってもらえませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．要望の意味が通じません．これが問題集です．印刷用のPDFファイルがほしいという要望でしたら，多くのページは先頭部分にリンク先が表示されています．それがないページでも，PCからは印刷の出力先をファイルにすれば各自でできます．(iPadの操作方法はこちらからは分かりません)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点の内分点について／18.5.2］

【内分点の内分点】の、「複素数平面上に３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき、　ｚ＝（pz1+ qz2+ rz3)/(p + q + r)とすると、」となっています。　図２では、三角形の辺に、pとqとrが２個ずつ記載されていますが、　どちらのp、q、rのことでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．p,q,rは長さそのものではなく比率なので，青同士，赤同士,緑同士が比率を表すように色分けしたつもりです．青のp,q,rは正確に言えば，ps,qs,rs，赤のp,q,rはpt,qt,rt，緑のp,q,rはpu,qu,ruと書くべきですが，そのように書くと図がコテコテして分かりにくくなるので，色分けによって比率の組を表しています．
　したがって，複素数平面上に3点 $A(z_1),B(z_2),C(z_3)$ があるとき，
$z=\frac{pz_1+ qz_2+ rz_3}{p+ q+ r}$
とおくと，赤字の対応では，BF:AF=p:q，青地の対応では，CD:BD=q:r，緑字の対応では，CE:AE=p:rなどと読んでください．次に，やや小ぶりの文字について，中央の黒丸をXとすると，赤はFX:CX=r:(q+p)などと読みます．以下同様です．（どこから突っ込まれてもよいように正確に書くか，見やすく分かり易い方を選ぶか，難しい判断ですが，市販の出版物なら前者にすべきでしょう）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式（絶対値付き）について／18.5.2］

2次不等式（絶対値付）問題２の（2）の解説なのですが、ア）の最後のところのしたがってのところは、ｘ≦-2、7≦ｘじゃないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図が正しく，ご指摘の通りです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角形の辺の長さ(三角測量)について／18.5.1］

問題２の（１）（２）の解答間違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の１次結合が表す図形について／18.5.1］

●「【問題２】１直線上にない異なる３つの複素数z1 , z2 , z3に対して，z=pz1+qz2+rz3 　で定義される複素数が次の図形を描くとき，実数p, q, rが満たす条件として正しいものを　右から選んでください．」　の（２）の解答「p+q+r=1　p<0, q<0 」についてですが、　「r>0」は必要ないのでしょうか？ ●同様に「【問題２】（５）の解答「p+q+r=1, p>0, q=0」も「r<1」は必要ないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半：p+q+r=1　p<0, q<0のとき，r=1−p−q>1が当然成り立つので，r>0は書かなくても成り立ちます．
同様にして，後半：p+q+r=1, p>0, q=0のとき，r=1−p−q<1が当然成り立つので，書かなくても成り立ちます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの直交条件について／18.4.30］

解答どこ見ればいいか分からん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．先頭に「※正しい番号をクリックしてください．」と書いてありますように，すべてのページが，読者との対話的応答プログラムになっていますので，選択肢をクリックすれば解説が出ますが，何も答えなければ解説は出ません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二重根号について／18.4.30］

「二重根号は，現在高校の教科書では扱われていない」ということに驚きました。また、それにも関わらずこのようにわかりやすく詳しい解説・問題を掲載してくださっていることに感謝します。ぜひ無くなさないでいただきたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材を作ったころ（ゆとりの時代）には，学習指導要領で「二重根号をはずす計算は扱わないものとする」とされ，どんな事情があっても例外は許されないという意味の「～ものとする」で強く否定されていましたが，2018年現在の教科書では，発展学習として参考程度に触れられていることがあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／18.4.27］

たびたび申し訳ありません。《問題３》の（４）の解説を拝見しても３行目の①②③④⑤⑦⑧となるには∩ではなく⋃ではないかと思われるのですがいかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を特定できました．確かにそうなりますが，∪が並んでいる問題はあまり良い問題にならず，当初作成したときの意図と変わってしまうので，暫定版を見てもらってから，書き換えるかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／18.4.27］

（４）の∩は⋃ではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(4)は問題１，２，３の３個あり，どの(4)か不明です．
問題または解説に∩のない問題２を外して，問題１または３としても，その指摘はあり得ないです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／18.4.25］

わかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■福岡県［おやじさん］18.4.25］

いつも勉強させていただいています。数列のSnAn関係式のところの問題３のイの解答なのですが、解説が2＾2-2＾ｎ-1=2^n-1になるのがわかりません。教えていただけないでしょうか？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2→n訂正しました．ついでに，省略されていた式を追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対称式の変形について／18.4.25］

いつも勉強させて頂いております。本当にありがとうございます。基本3 の(3.3)において、.....(a+b+c)^2 -2abc(a+b+C)....となっておりますところの (a+b+c)^2 が、(ab+bc+ca)^2 ではないかと思いご連絡致しました。ご確認頂ければと存じます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／18.4.25］

解約分されて分数ではなくなりました。これを一般化しましょう。2次方程式ar42br + c = 0（a * 0）が69-ac 2.0を満たすとき、この解の公式を導いてください。
＝＞［作者］：何の話をしているのか，全く通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／18.4.24］

(X－1）(X+1）=
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それがどうしたのですか？質問内容を言葉で言わないと，通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式の証明について／18.4.24］

[2]　正負の数との積【例題2.1】において、 c<dで0<bだから bc<dc この条件ではこの不等式が成り立たない気がするのですが、読解力が無いだけでしょうか？次の文で、ゆえに ac<bd となっているので余計に違和感を覚えました… 間違いなら、修正お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．単純な入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／18.4.22］

3個ぐらいまとまりがあるやつを教えて欲しかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入学年度によって，中学校では未知数の入っている不等式を全く習わなかった人もあり，他方では中学校で中学校でそこそこ習っている場合には，こんな問題は「やさし過ぎる」ように見えます．
ただ，「3個ぐらいまとまりがあるやつ」とはどういうものなのかが通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数のグラフについて／18.4.21］

48歳の男性です。高校生の時、苦手になってしまった三角関数がこのページで分かることができ、とてもうれしかった。面白かった。これを掲載していただきましたこと、本当にありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのグラフは管理人なりに自慢の作で，毎回プログラムで描いています（我田引水，自画自賛，一人自慢の褒めて無しともいう）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 展開公式について／18.4.20］

とってもわかりやすかったし、しっかり勉強できました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[基本的な三角比の値(図あり)について／18.4.20］

図形の性質は無いのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三角比と図形という単元を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点について／18.4.20］

とても分かりやすかったです。ありがとうございます。^＾
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／18.4.19］

練習問題がついていて、とても分かり易かったです。ありがとうございました。テスト頑張ります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.4.19］

助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／18.4.18］

例題の = 3log|x+2|−4log|x+4|+C …（答）が、 = 3log|x+2|−2log|x+4|+C　にならないわけを教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．（いい訳：管理人はワープロで教材を作っているのでなく，テキストエディタで = 3log|x+2|−2log|x+4|+C …（答）などと直接入力しているので，後でブラウザで点検はしますが，管理人が見ている画面と読者が見る画面は同じでないため，結構大変なのです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数分解（応用問題）について／18.4.17］

○2－□2の形に持ち込む”の所の問題４、（２）の解説を読んだ時に、なぜ原式の一番最初が(x2－y2－4)2+8(x2－y2)－8(x2+y2)になるのか分かりませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $(x^2-y^2-4)^2=\underline{(x^2-y^2)^2}-8(x^2-y^2)+ \underline{16}$ だから $\underline{(x^2-y^2)^2}+ \underline{16}=(x^2-y^2-4)^2+ 8(x^2-y^2)$ ，したがって $(x^2-y^2)^2-8(x^2+ y^2)+ 16$
$=(x^2-y^2-4)^2+ 8(x^2-y^2)-8(x^2+ y^2)$ になりますが，一方向の変形と捉えにくいようですので，その隙間を加筆します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数の最大値・最小値について／18.4.16］

最後の問題の解説の1<a≦2のとき， x=－1で最大値2をとる x=1で最小値－2をとるとありますがそのとき-aは-2≦a<-1 なのでx=2で最大値2 x=－2で最小値－2をとるとはならないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．-2≦-a<-1で1<a≦2というのはその通りですが，その範囲でHELPに示したようなグラフになるのだから，「x=－1で最大値2をとる．x=1で最小値－2をとる」ことになります．はなしがややこしければ，たとえばa=1のときに絞って考えるなど単純化すると迷いが少なくなるでしょう．

■沖縄県沖縄市［マンサン］[18.4.16］

〇まとめのcheckテスト…三角・指数・対数関数の計算…問題5の「指数関数の大小比較」で、読んでいるうちに脳がくるっと回ってしまうので、じっくり調べましたら、図解下10行目と12行目が反対ですね…多分…イ…..<..…ア　と　ア…..<..…ウ　の行を交換するときちんと話がまとまるみたい。悩んだけど、皆さん理解に苦しんでいるだろうと思い…私も苦しんだから…送信しました。間違っていたら、ソリー!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに理由と式が逆なので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作18･･･１階常微分方程式について／18.4.16］

ode2(1-'diff(z,x,1)=1/z^2,z,x); logcontract(%); subst([z=x-y],%); (%*2)-2*(x-y); lhs(%)=expand(rhs(%)); subst([2*%c=C],%); exp(lhs(%))=exp(rhs(%)); こんな具合にMaximaのみでの処理の勉強に手ごろな講座でした。有難う誤差いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作18･･･１階常微分方程式について／18.4.15］

ベルヌーイ形の2番目ですが、解の分子が2y^2-6xとなっていますが2y^3-6xなのではないでしょうか。変形もy^3=Cx^(3/2)+3xまでしかできませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作14･･･三角関数の積分(2)について／18.4.15］

フレネル積分でsin(x^2)およびcos(x^2)の積分範囲は[-inf,inf]なのではないでしょうか。 sin(x)/(3sin(z)+4cos(x))の筆算の最終行の I=3pi/2-4(log(3)-2log(2)の部分は重複していますし不要ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各々訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作14･･･三角関数の積分(2)について／18.4.15］

Maxima ver 5.37.3.5以降では fx:'integrate(1/(sin(x)+cos(x)),x,0,%pi/2) =integrate(1/(sin(x)+cos(x)),x,0,%pi/2); fx1:rat(fx),algebraic:true; fx:'integrate(sin(x)/(3*sin(x)+4*cos(x)),x,0,%pi/2) =integrate(sin(x)/(3*sin(x)+4*cos(x)),x,0,%pi/2); fx1:rat(fx),algebraic:true; fx2:logcontract(fx1); で正常に処理されました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者も新しいものに更新しなくては･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／18.4.15］

問題も例題も最高でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[最大角，最小角について／18.4.15］

(*1)Ａ2≧β，Ｂ1≧αだからＡ2+Ｂ1≧α+β＝180° 　となり矛盾 (*2)Ａ2+Ｂ1≧90°+90°＝180°となり矛盾 1)2)よりＡ≦Ｂこの３行目のB1はB2の誤りではないかと思われます。入試問題を解く際に参考にさせていただきました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作14･･･三角関数の積分(2)について／18.4.15］

2番目の例でsin(x)/(3sin(x)+4cos(x))のMaximaの入力式が sin(x)/(4\sin(x)+5cos(x))になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．タイプミスですので訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／18.4.14］

関数４．３４×１６５５２０８５０＾-０．０３１３
＝＞［作者］：それは関数ではない．このページとも何の関係もない．質問があるなら言葉で言わないと通じません．2.4

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作13･･･三角関数の積分について／18.4.14］

1/sin^n(x)および1/cos^n(x)の漸化式の分子がcos(a)およびsin(a)となっています。cos(x),sin(x)ではないでしょうか。また、1/cos^n(x)の漸化式でmが使われていますがnなのではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．タイプミスですので訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作17･･･関数のフーリエ級数展開について／18.4.13］

|sin x|に関して次の式であるはずの式のcos(nx)はcos(2nx)なのではないでしょうか? (4)の式も変形しないとグラフが例示されているようにはなりませんが.... 4/pi(1/2-(cos2x/(2^2-1)+cos3x/(4^2-1)+...))ではないでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．詳しく点検してくれてありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直線の像，領域の像について／18.4.13］

数学C 行列の応用…【1次変換の線形性】で、図形の1次変換の(A)直線は直線に移される、の解説、11行目A(a)には´が付くのではありませんか、そうでないと、なんだか意味不明…下の14.16.17行目のaにはついているようだが、…もう少し…すべて指摘するには、時間が掛かり過ぎるので、手抜きしています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ベクトルの表示方式が古いInternet Explorerの時代に作ったものだったので，今日のブラウザに合うように変更しました．見やすくなったと思います．(EdgeとFirefoxは事情があって点検できません)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[グラフの平行移動について／18.4.13］

代入の説明は理解できるのですが両軸とも正の場合に、なぜxは戻してyは上げるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．1ページを使って，そのことを説明しているのに，説明が終わってから，そのことを質問しているのでは，そのページの説明を読んでいないということになりませんか？
本来， $y-q=f(x-p)$ と書くべきところを，「習慣に従ってｙについて解いた形に直すと」
$y=f(x-p)+ q$ になるというだけのことです．（移項しただけ）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作7について／18.4.12］

指数関数の最初の入力部に無理関数が混入しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．コピペで作業場所を作ってから，さあ作業を始めようとして，忘れたようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作7について／18.4.12］

部数関数の2番目(x+3)/((x-1)(x+2))の結果ですが、第2・3項の分子が1になっていますがx+3となるのではないでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分数関数･･･訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／18.4.12］

問題2の解説と回答の結果が異なります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題2の何番がどう違うのですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作6･･･行列計算,固有値,固有ベクトルについて／18.4.12］

行列式を求める部分の入力部ですが、determinant(A)がdeteminant(A)とrが欠落しているようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．管理人は，老眼の近眼の乱視なので，ゴシック体の rn とm の区別が難しかったようです．2文字組で1文字と入れ替わるのは珍しい．（ビックリするほどよく似ている．ほとんど区別がつかない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作11･･･漸化式の一般項について／18.4.12］

IIでAnを求めている部分で-10+5*22^nの指数ですが2^(n+1)なのではないでしょうか? 結果を求める場合にはキャンセルされるので影響しませんが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作12について／18.4.11］

その他の級数和の3番目はpi^6/945ですがこれは1/k^6の間違いではないでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作5について／18.4.11］

積分の項でg(x)が未定義です。f(x)の間違いではないでしょうか。(3)の被積分関数がf(x)を微分したものになっています。ミスプリントかと思われますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作3について／18.4.11］

[]の件ですがlinsolveは行列から解を求めているため、1組のリストとして結果を出力するのに対し、solveは解の組をリストとして出力していることの差ではないかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数(有理数の指数)について／18.4.11］

問3でたくさん計算ミスをしたことで、今後は慎重に計算しよう！と思えました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／18.4.10］

P-1AP計算で答案では右からの行列計算ですが、左からの行列計算でも良いのですよね…結果は同じ様ですが…。問題4.1で最後の答でCnの場合-2のn+1乗+2✖5のn乗/3ではありませんか?…-が抜けていると思いますが…、宜しくご指導ください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Cnの場合というのが何を意味するのか伝わってきませんが，2,1成分の符号に間違いがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／18.4.10］

工具顕微鏡や3次元測定器など各工場で一般的にかつ便利に使用してます。そもそも円の直径や座標が簡単に算出できる元はこの円の方程式があるからだと思い、基本に立ち返って勉強しました。たいへん参考になりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とはについて／18.4.7］

数学的帰納法の証明２で、私なりに解釈した次のような解答した場合、数学的帰納法の証明方法として妥当でしょうか？　ご教示ください。【解答】 1)4角形の場合において、対角線の数は２であり、与式(１)の性質をみたす。　2=4(4-3)/2 2)一般的にK角形においても与式(１)が成り立つと仮定した上で、　すなわち　k角形の対角線の数＝k(k-3)/2とした上で、　k+1角形に対角線の増加規則＝「(k-2)+1」（初項のk-2は頂点に隣り合う頂点間では対角線が引けいないことを、第2項の+1は頂点が一つ増えることによってそれまで辺であったものが新たに対角線へと変わることを表す）を適用すると、　k+1角形の対角線の数＝仮定＋増加規則　　　　　　　　　　＝(k(k-3)/2)+(k-2)+1 　これを整理すると＝(k(k-3))+2(k-1)/2 　　　　　　　　　　＝(K^2-k-2)/2 ＝(k+1)(k-2)/2 　　　　　　　　　　＝(k+1)((K+1)-3)/2 となり、n=k+1の場合においても与式(1)の性質をみたす。よって、1)2)により、n=4以上の全てのn角形において対角線の数は与式(1)の性質を常にみたす。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいのですが，教材に書いてある解答とほぼ同じに見えますが･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とはについて／18.4.7］

［数学的帰納法による証明の例2］の解説で図のように対角線が 1+(k－2)=k－1 本増えるからの、「1+(k－2)」の部分がよくわかりません。例えば、四角形　五角形、六角形、七角形の対角線の数を、2,5,9,14の数列とみなしてその等差が3,4,5と一ずつ増えているので、これをK角形のkとの関係から「k-1」という上記解説の右辺は、凸n角形の対角線の数で保存される規則というのはわかるのですが、左辺の1+(k－2)という式は、どのような性質を言い表したものなのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図に青線で示していますように，第k+1番の頂点から2,3,4,...,k−1までのk−2本の対角線が新たに増える他に，k角形のときは対角線でなく辺であった1番-k番の線が新たに対角線に入るから1+(k−2)です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／18.4.4］

途中途中に問題があって有り難かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．はじめは問題を小出しにすると理解しやすいようですので，最近はそううスタイルにしています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／18.4.3］

最後の問題のQの位置ベクトルがなぜ3分のになるのかわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２点 $B(\vec{b}),\hspace{3}C(\vec{c})$ を結ぶ線分 $BC$ をｍ：ｎに外分する点 $Q$ の位置ベクトル $\vec{q}$ は
$\vec{q}=\frac{-n\vec{b}+ m\vec{c}}{m-n}$ （これは公式）
　したがって，４：１に外分する点の位置ベクトルは
$\vec{q}=\frac{-\vec{b}+ 4\vec{c}}{4-1}=\frac{-\vec{b}+ 4\vec{c}}{3}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における平面と直線について／18.4.2］

三角形を含む平面を考えるとき、頂点の一点を通って、その平面に垂直な直線は、どの考え方を利用すればまとめることができるでしょうか？参考書などで勉強しているのですが、平行な直線を扱ったものばかりで、垂直な直線の問題がなく、困っています。ご教授願います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その１つ前のページに３点を通る平面の方程式の求め方が書いてあります．普通の解き方は，【例５】３点O(0, 0, 0), A(3, 1, 2), B(1, 5, 3)のように係数を求めるだけで解きますが，法線ベクトルを求めて解く場合は
Oを通り $\vec{OA}=(3,1,2)$ と $\vec{OB}=(1,5,3)$ の両方に垂直なベクトル $\vec{n}=(p,q,r)$ を求めることから始めます．
$\vec{OA}\cdot\vec{n}=3p+ q+ 2r=0$
$\vec{OB}\cdot\vec{n}=p+ 5q+ 3r=0$
未知数が3個で方程式」が2個だから不定解になります．そこで $r$ については「解かない」ことに決めて，右辺に持って行きます．
$3p+ q+=(-2r)$ …(1)
$p+ 5q+=(-3r)$
$p,q$ の方程式として解くと， $p=(-\frac{1}{2}r),q=(-\frac{1}{2}r)$
以上により， $\vec{n}=(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,r)=(1,1,-2)t$ ( $t$ は任意の実数)
点O(0, 0, 0)を通り $\vec{n}=(1,1,-2)$ に垂直な平面の方程式は
$1(x-0)+ 1(y-0)+ -2(z-0)=0$
$x+ y-2z=0$ …(答)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／18.4.1］

問題1について { (x−1)(x+1) }3={x2−1}3 の場合 x2・x2・x2はx6ではなくx8になりませんか？よって =x6−3x4+3x2−1ではなく =x8-3x4+3x2-1ではないでしょうか間違っていたらすみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．指数法則を正確に覚えてもらう必要があります．
$x^mx^n=x^{mn}$ ではなく， $x^mx^n=x^{m+ n}$ です．だから， $x^2\times x^2\times x^2=x^{2\times 2\times 2}$ ではなく， $x^2\times x^2\times x^2=x^{2+ 2+ 2}$ です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.4.1］

僕は問題を他の少し時間がかかる方法でできたのですが、解説のようなやり方でできるようにならないとだめですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解き方は自由です．別解を何通りも書けるようになると力が着きます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次－２次連立方程式の解き方について／18.3.31］

問題4②で、2x²+xy+y²は、2x²+xy+2y²の間違いではないかと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題が転記ミスということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／18.3.30］

はじめまして、私の勘違いでしたら大変恐縮なのですが、問１の（１）の回答部分で-３Xの３乗とあるのですが、-３Xの４乗の間違いではないでしょうか？もし、３乗で合っているのなら、公式を含めた詳しい解説を乗せていただきたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積３について／18.3.30］

問題2の6/5について、ご回答ありがとうございました。まさにご指摘の通りで、π/3で、3/5でした。大変ご迷惑かけました。有難うございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積３について／18.3.30］

いつも勉強させていただいて感謝しております。問題2で、答…私計算のでは、6/5、になりますが、どこに間違いがあるか、わかりません。どうか教えて下さい。宜しくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中の行間が詰まり過ぎている箇所や分数の形が崩れている部分は直しました.後は，HELPで表示される式を見てもらうしかないと思いますが．π/3→π/4のところが要注意

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.3.29］

私は、60を過ぎた老人です。必要あって、数学の勉強を始めて、貴殿のサイトにたどり着きました。大変親切な記述は、半ば腐敗した老人の脳にも、大変わかりやすいです。是非このサイトをさらに発展させて、若い人たちの学習の助けになるように、頑張ってください。最後に、御努力ご苦労様です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／18.3.28］

今晩は　余弦定理、【問題２】(4) △ABCにおいて，a=√2 B=2 C=1+√3のとき，Bを求めてください．解説に誤植がありました。　二番目の式の分子が、　　2+4＋√3-4になっていますが、2+4＋2√3-4が正しいと思います。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2018.03.28　平　凡太郎
＝＞［作者］：連絡ありがとう．先日書き換えたときに点検不十分だったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列について／18.3.28］

感想というか質問というか... 最後の問題があまりよくわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HELPは読んだのですか？それ以上に詳しい解説はどこにもないと思いますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／18.3.27］

答えが、(2x+5y-4)(5x-9y+3)となっていたのですが、 (-5x+9y-3)(-2x-5y+4)と答えてしまいました。展開してみたら、数字の順番が違うだけで、出てくる数字自体は同じだったのですが、これも間違いになるのでしょうか？もし、間違いなのだったらこのようなミスを防ぐにはどうすればよいですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．はじめの要約に書いていますが，「式を入替えても式の順序が変るだけだから，上下を入替える必要はない．」「また，係数の符号を全部換えても同じものになるから両方調べる必要はなく，x の係数が正のものを調べたらよい．」
　(-5x+9y-3)(-2x-5y+4)は(2x+5y-4)(5x-9y+3)と順序と符号を入れ換えただけのものなので，数式としては等しいです．ただ，授業では符号を全部入れ換えたものは好ましいとは考えません．例えば， $x^2-3x+ 2$ を因数分解しなさいと言う問題について， $(x-1)(x-2),\hspace{10}(x-2)(x-1)$ を正解としますが， $(-x+ 1)(-x+ 2)$ ， $-(x-1)(-x+ 2)$ ， $(1-x)(2-x)$ ， $x(1-\frac{1}{x})(x-2)$ ， $x^2(1-\frac{1}{x})(1-\frac{2}{x})$ ，など変形すれば様々な式ができますが，これらは標準的な書き方だとは考えません．（定期テストなら考慮しますが，問題も解答もコンピュータ合成にしていますので，要約に示した以外の書き方は画面上では不正解としています）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／18.3.26］

もっっっっっのすごくわかりやすくて、教科書よりも全っっっ然役に立ちました。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[cosxに関する不定積分について／18.3.26］

cosxに関する不定積分問題5について、計算の答えが選択肢に見当たりません。おそらく、選択肢3の符号が誤っているのだと思います。(2.20)の解説#7においても、最後で置換されたtをtan(x/2)に戻す時に-をつけ忘れています…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法（不等式の証明）について／18.3.25］

たとえば１２と打ちたいとして、まず十の位の「１」を入力すると「誤答」と判断されるのはよくないと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．選択肢を１つ選ぶのですから，２つ選ぶことはできません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／18.3.25］

いつも数学の勉強で，お世話になっております。　余弦定理　問題1の(4) △ABCにおいて，a=1+√3,c=2のとき，bを求めてください．解説では、(1+)と3√3で違っています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2018.03.25　HN 平　凡太郎(たいら　ぼんたろう)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書きかけの原稿のままになっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[sinxに関する不定積分について／18.3.24］

問題10は正しくは選択肢3になるはずの解答が、選択肢4になっています。解説#8の計算は合っているので、問題10の第4式第2項の計算で符号を誤ったと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．ついでに置換積分の補足も追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（まとめ２･･･三角関数）について／18.3.24］

「三角関数の不定積分」で「V.12」の最後の「看板」…「あー、ため息、コテコテニ濃い」は疲れて来ていたときに面白い言葉に出会い、気持ちが楽になりました。有難う。この章をまとめた先生方も大変だ、ということが分かりました。私たちも大変ですが、本当に「Phylosophy愛智の道」ですね。そして、この章で解かれている公式を見つけた人は誰だろうな?、と思ってしまいます。本当に目から鱗が落ちて、もう落ちる鱗がない感じ。…問題6の解で、2/3I2で、2/3I1ではありませんか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．肝心なところを間違えていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式について／18.3.22］

(8)の2の解答の3：1内分する点は9/4ではないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／18.3.21］

足し算も書いてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が不明です．指数の和になる場合については，そのページに初めから書いてあります． $a^pa^q=a^{p+ q}$ ．これに対して，本体の足し算 $a^p+ a^q$ のような計算？足したらよいのでは．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／18.3.21］

2 3 ---- - ---- こういうけいさんのときかたを 1√+6 1-√6 おしえてください！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭に現在地の表示があるので，２つ進んだところの分母の有理化というページを見てください

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.3.21］

行　列　行　列　と頭の中で念仏の様に唱えながら解きました行は漢字に横の線があるから横　列は縦の漢字があるから縦とも覚えてみました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の内的なロジックで身に着いていくのだと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数型の方程式について／18.3.20］

誤植と思われます。 (b) a/x=c/d　のように未知数が左辺の分母にある場合両辺の分母にあるx,dを２つとも払うために，両辺にをxb掛けると　　〇　xbではなくてxdでは…　　　　　 2018.03.20 平　凡太郎
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．年配の方の署名かも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角不等式について／18.3.15］

例題1の（最後までたどり着けない答案）の図の青色グラフy=cos(2θ+プラスπ/3)と表記されていますが y=cos(2θ－マイナスπ3)ではないでしょうか。青色グラフはy=cos(2θ－π3)のようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Google Chart APIのタイトルを訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点の座標について／18.3.15］

基本的な問題だったので、楽しくできた。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般項の記号について／18.3.15］

まちがってもユニークなイラストではげまされるのがいい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同じものがあるときの順列について／18.3.15］

非常にわかりずらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学生なのか，高校生なのか，社会人なのか，順列を習ったことがあるのかないのかなど，読者の属性を書かないと何を言おうとしているのか通じません．中学生や，順列を習っていない人が，たまたまiPhoneからググって出てきた画面を見たのなら，分かるはずはないとも言えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均，母比率の推定について／18.3.10］

①標本比率 r = t / n についての質問です。 t は、”あたりあるいはある事象の起こる個数、件数” n は標本数として、t が二項分布B(n,p) （pは起こる確率）に従うとして、正規分布N(np,np(1-p)) に従うことを使って、 r は正規分布N(p,p(1-p)/n)に近似することが示されますが、この正規分布N(np,np(1-p)) を近似するもとになる二項分布はどのようになりますか？ B(n,p/n) B(n^2,p/n^2) どちらもしっくりあいません。問題を解くにはあまり考えなくてもよいことですが気になっておりよろしくお願いします。 ②もうひとつ、母集団と標本との関係で、標本の”あたり”個数（ある事象の起こる回数、個数）の分散は np(1-p) （ｐをあたりの確率として）であり、一方　標本の平均の分散は　母分散σ＾２/ｎ　ですが、この母分散σ＾２　を個数の分散であるnp(1-p)と置き換えることは間違い（意味がない）ですか？またそれはなぜですか？母分散がわからないときに標本分散（標本が与えられればもとまるので）で代用するということですが．．．以上　よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ｎが十分大きいときに二項分布は正規分布で近似できるのですから，n=1にしたら無理でしょう．②は［高校数学C］と書いてある灰色文字の部分が高校での取り扱いの限界です．それ以上は大学の統計教科書になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸近線の方程式について／18.3.10］

数Ⅲ導関数-漸近線の方程式2　[例3-2]で、問題の関数 y=(x3+1)/(x2+1) では、x=1→y=1となり、漸近線y=x　と交わることになりますが、どこがおかしいのでしょうか、教えてください。間違っていたら、御免なさい　2018.3.10

＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど，教える側は交点と漸近線を混同しないように，実際に交わるのが交点で，「限りなく近づいていくが交わらないのが漸近線」という部分を強調しますが，実は漸近線と元の曲線は交わっても構いません．
図１は $y=(1-x)e^{1-x}$ のグラフで，その例と同様に $x=1$ のとき曲線と漸近線が１回交わり，無限のかなたで下から近づいて漸近線となります．このように漸近線と元の曲線が交わることは何も問題がありません．
区別するには「有限確定の範囲で交われば交点」「限りなく近づけば（交わっても，交わらなくても）漸近線」と考えるとよいでしょう．（実際に，授業を行う場合には，このような回りくどい話をすれば理解率は著しく低下するので，初めの言い方で「バシっと」決めるでしょう）
図2は $y=\frac{1}{x}\sin x$ のグラフで，曲線は何度も漸近線 $y=0$ に交わりながら漸近線に近付いていきます．また，図3は $y=\frac{x}{10}+\frac{1}{x}\sin x$ のグラフで，曲線は何度も漸近線 $y=\frac{x}{10}$ に交わりながら漸近線に近付いていきます．
さて，根本問題を述べます．そもそも「限りなく近づく」というときの近付き方は，「小さい方から次第に」「大きい方から次第に」という一方向に限られるわけではありません．行ったり来たりしながらでも， $\lim_{x\rightarrow\infty}\mid f(x)-(kx+ m)\mid=0$ が成り立つならば，直線 $y=kx+ m$ は曲線 $y=f(x)$ の漸近線になります．図２では $|\frac{1}{x}\sin x|\underline{\le}|\frac{1}{x}|\rightarrow 0$ だから $y=0$ の直線が漸近線です．（有限の値で何回交わっていてもこの定義は影響を受けません．実は無限に行ってもまだ交わっていますが，それも関係なしです．）図3では $|\frac{x}{10}+\frac{1}{x}\sin x-\frac{x}{10}|\underline{\le}|\frac{1}{x}|\cdot|\sin x|\underline{\le}|\frac{1}{x}|\rightarrow 0$ だから $y=\frac{x}{10}$ の直線が漸近線です．（有限の値で何回交わっていてもこの定義は影響を受けません．実は無限に行ってもまだ交わっていますが，それも関係なしです．）
たぶん，あなたの疑問は「行ったり来たりの極限値」というものを許容していなかったことにあると考えられます．
さよなら代わりの一撃： $\lim_{n\rightarrow \infty}(-\frac{1}{2})^n=0$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.3.10］

答えはどこにあるんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは出ません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の図形問題（三角形の形状問題）について／18.3.9］

問題４（２）の答えの選択肢と回答が違っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．1つ前の問題の選択肢を引きずっていたようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[恒等式について／18.3.6］

ワークにこのような問題が乗っていて、↑の例題を見ても解き方がよく分かりません。お手数ですが、解答いただけると嬉しいです。「　x^2=ax(x-1)+bx(x+1)+c(x-1)(x+1) が x についての恒等式となるような、定数 a、b、c を求めよ。　」というものです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC版では，下に解説がありますのでそれを読んでください．
　問題を解いてしまうとあなたのやるべき問題がなくなってしまいますので，類似問題で答えます．
2x2+4=ax(x−1)+bx(x+1)+c(x−1)(x+1)
が恒等式となるように，定数a, b, cの値を定めよ．
（定数比較法による答案）
右辺を展開して係数を比較する
2x2+4=(a+b+c)x2+(−a+b)x−c

2=a+b+c
0=−a+b
4=−c
この連立方程式を解くと，a=3, b=3, c=−4
- - -
（代入法による答案）
どんなxについても成り立つならば，x=0, 1, −1のときにも成り立つ．（この値は，右辺の係数が２つずつ消える都合の良い形をしているから，それに合わせて選んだもの）
x=0を代入すると4=−c
x=1を代入すると6=2b
x=−1を代入すると6=2a
したがって，a=3, b=3, c=−4が必要条件になる．
しかし，２次式が異なる３つの値に等しいなら，恒等式であるから，十分条件も満たす．よってこれが解答．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示で表された関数の導関数について／18.3.6］

非常にわかりやすかった。テスト前に見て良かった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／18.3.5］

わかりやすかったです(≧▽≦) テスト勉強に利用させて頂きました!(^^)!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[（複素数で表される）軌跡の方程式について／18.3.5］

複素数の垂直二等分線の式がダブり？ (x+1)2+y2=(x+1)2+y2
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[繁分数式について／18.3.4］

とてもわかりやすいです助かりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分について／18.3.3］

∫x４乗を積分したら5分の1x5乗じゃないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その通りですが，その質問がなぜ出てくるのかが，通じません．
１つ考えられるのは，そのページの問題は，固定問題でなく，読むたびに問題と解答の順序が変わるプログラムになっているところが，作者の気付かない１つのパターンで問題と解答が対応していないということですか？かなり調べましたが，正しい組合せしか登場しないようです．
もう1つの方は，高校の先生が聞いたら，腰を抜かすような話ですが，積分定数を別として
$\frac{1}{5}x^5$ は $\frac{x^5}{5}$ と同じものだということに気付いていないということですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／18.3.3］

例題10で、赤紙、青紙、黄紙をビーズだと考えて糸を通して輪を作るとすると、どのような計算方法になりますか？

＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じものが含まれているような場合の円順列，じゅず順列の計算は，実際上は「根性物語」が計算方法だと思います．
左図のトリニトロトルエンの異性体が何通りあるかという問題と同じです（自然界ではNO₂がCH₃に対して，2,4,6の位置にあるものしかできないらしいが，理屈上は何通りあるかと考えた場合）．CH₃を上端に固定して，Hを並べていくとよいでしょう．この問題のように同じものがある場合には，左右対称なものは裏返しても同じなので，１つと数えるようにします．
根性で順に絵を描いていくと6通り．［円順列10通りから削っていく場合は，円順列が左右非対称なもの4通りは裏返したら重なるから-4．円順列が左右対称なもの２通りはそのまま２通り⇒結局6通り］

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／18.3.3］

問題1のウの答えが間違いではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．では，あなたが正しいと思う答は？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／18.3.3］

とても分かりやすいものとなっています。大変参考になりました。今後もよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ)について／18.3.3］

cotとはなんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一番最初に書いていますように， $\frac{1}{\tan\theta}$ のことを $\cot\theta$ で表します． $\tan\theta=\frac{y}{x}$ だから， $\cot\theta=\frac{x}{y}$ になります．
なお， $\tan$ というものはないのと同様に， $\cot$ というものはありません． $\cot\theta$ のように角度があっての記号です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合について／18.3.2］

解説はわかりやすいです。問題の選択肢に番号や記号を付けて頂けると選びやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一長一短です．解答欄に転記するような場合は，記号がある方がよいが，この教材のように選択肢自体が解答用のボタンになっている場合は，その必要はないでしょう．また，番号の数字を答の数字と読み間違う場合があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[度数分布表，相対度数分布表について／18.3.2］

初心者にもわかりやすく役立ちました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／18.3.2］

おもしろい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／18.3.1］

解説の横にそれと似たような問題があって助かります！私の学校は県で二番目の進学校なのであまり演習をしてくれません。だから、このサイトは本当にありがたいです。これからもよろしくお願いします！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列について／18.2.28］

即答問題があるのは、簡単でもOUTPUTすることで頭に定着しやすくなるので良いと思いました。採点でサクラが咲くのは楽しく効果的で良いと思いましたが、文字でも表示してもらえると更に良いと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．携帯版の方が，対応が親切なので，携帯版に合わせました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分母の有理化について／18.2.26］

【問題１】と【問題２】に挟まれている解説文中、青囲みⅡ（１）式の、「5√3/6」という表示は誤記か何かではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[整数の累乗と整除について／18.2.26］

(1) すべての自然数nについて，24n－32nは7で割り切れるの解説で詳しく書けば，xn－an=(x－a)(xn－1+xn－2+...+x2+x+1) とありますが x^n-a^n=(x-a)(x^n-1+x^n-2a+...+xa^n-2+a^n-1) の方がいいのではないでしょうか。初学者なので間違った指摘でしたら申し訳ないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式2について／18.2.26］

zが虚軸上を通るものも解説してほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そだねー（テレビの見過ぎでした）．余裕があれば検討します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／18.2.26］

いみわからん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ゲームをやろうと思えばできた時間に，このサイトを探し当てたのだから，あなたには何とか理解しようという「思い」があったはずです．まったく歯が立たない場合には，簡単な問題（その次のページ）で，解き方を真似するとよいでしょう．ロンドンでは小学生でも英語を話すのは，とにかく大人の真似をするからではないか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転移動の１次変換について／18.2.26］

「説明方法が幾つかありますが，一長一短ですので，各自の思考パターンに合うもので納得しましょう。」すべて掲載していただいてありがとうございます。私は、基本ベクトルがイメージしやすかったです。加法定理との関係も疑問に思っていたことが説明してあり、すごく参考になりました。また、問題がついていることで、理解があっているかどうかの確認もでき、大変助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[グラフの平行移動について／18.2.25］

三角関数のグラフの挿入誤ってますよ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図版の番号が１つずれていたようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点の像と原像について／18.2.24］

問2の解説の一行目が(3 8 5 5)となっておりますが、(3 8 2 5)では無いでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題に合わせて，解説の方を訂正しました．（文字数などの関係か？行列の表示が崩れやすく，注意力が落ちていました）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／18.2.23］

x４乗＋３x２乗＋４の因数分解が、分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その次のページの(4)の項目に，そのものずばりの問題と解答があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／18.2.22］

ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.2.22］

上記の負の指数の定義の解説中、「指数法則という「演算」の都合に合わせて「負の指数」が定義されています。」とあるのですが、これは歴史的にみてどのような事情や欲求があって、そのように定義されたのでしょうか？文系頭の私が朧げに聞いたところでは、そもそも「数える」という行為と「計算する（演算する」という行為は全くの別物で、前者は「対象の量の大小を比較する」欲求と。後者は「対象を操作する」という欲求によるところが大きいたと聞いた覚えがあるのですが…。実際のところはどのような事情があり、また「数える」という行為と「計算する」という行為には本質的にどのような違いがあるのか、できましたらご教示ください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．○○とはといった大げさな議論をしても，身に着かないことが多いです．もし，実際に身に着けて，学習や仕事に役立てようと考えておられるのなら，簡単な操作を「真似する」ことから始めてください．その必要がなければ，amazonなどに数学史の参考書が結構たくさん出ていますので，そちらを読まれるとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同次形微分方程式について／18.2.21］

どの問題も良いレベルでありがたいです。参考にさせていただき、ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／18.2.21］

0の指数の定義の解説について。最初の解説では、「指数が１ずつ減少すると式の値は底aの値だけ割ったものになります．」とありますが、文脈を補則して読み込んでしまうと、「底aの値で指数回だけ割る」というように読めてしまわないでしょうか？　つまり0回割るんだから解はa＾1だなと読めてしまわないでしょうか？下段の別解説、0の指数はa^m/a^nと分数表記して通分して1になるから、0の指数の場合は1という解説の方が、私には分りやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図で説明していますので，文章だけで「引く数」と「引いた結果」を混同する可能性は少ないでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列の極限について／18.2.20］

病欠によりほとんど学校行けてなかったのでとても助かり庵下。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「ほとんど」というのは大変ですが，どう言えば元気玉を送れるのか，それが問題です．（1/3規定とか，1/5規定とか，ここからアウトみたいなのに引っかかないように，たまには皆の顔を見に行かないと･･･）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.2.20］

指数法則に関して質問させていただきました。ページの内容に直接的には関係ない質問を連投してしまい、確認などお手数をおかけしてしまい、すみませんでした。お忙しい中すばやい対応、ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いや，この間違いを見つけてくれたのは，すごいと思います．（複素関数論はきれいなので，とても気に入っていましたが，高校の教員になってから全然使う場面がなくて，いわゆる竹光状態で申し訳ないことです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.2.20］

前回指数法則に関して質問させていただきました、ご返答ありがとうございます。（攻撃的と思えわれましたらすみません、長く文章を書くのが苦手なもので。）ネット上には指数法則が成立しない例というものも紹介されているところもあります。通常の複素解析の教科書ではｎが自然数ならe^(nz)=(e^x)^zとありますが、e^(mn)=(e^m)^nが一般の複素数m,nで成り立つという記述は見たことがありません。私の勉強不足のせいかもしれませんが、もし証明や参考文献がありましたら教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．指数が複素数であることは問題ないですが，その教材のレベルでe^(mn)=(e^m)^nが一般の複素数m,nで成り立つと主張する必要はなく，その根拠もないので，その個所を削除しました．（複素関数の微積が自由にできるはずなのに，指数法則の幾つかを使っていないとは，目から鱗です．複素関数論といえば50年も前の参考書で，カビが･･･）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.2.20］

『数学Ｂを習う人は最終的にm , nが複素数の場合でもよいことが分かります。』の部分の根拠が分かりません、出典など教えていただけないでしょうか。（指数法則(3)に関してです。）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は，20年近く書き足したものなので，どの時代に書いたものなのかよくわかりませんが（書き直すとファイルのyyyy.mm.ddが変わる），この数十年間の学習指導要領の改訂でオイラーの定理が入ったことはないようですので，訂正しました．なお，あなたの書き方は丁寧ですが，戦闘モードの匂いが付いているのが幾分気になるところです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.2.19］

【問題２】　（２）ですが、解説がx3+y3+z3－3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)の公式をつかっていましたが、x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)から x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)((x+y+z)2－3(xy+yz+zx))になる理由がわかりません。教えて下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
このページに出ていますように， (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
は，公式並みによく使われるものなので，いつでも使えるようにしておくとよいでしょう．
そうすると
a2+b2+c2−ab−bc−ca
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca−3(ab+bc+ca)
=(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)
になります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／18.2.19］

pならばqの真偽について理解できず長年苦しんでいましたが、このサイトのお陰でついに理解できました。有難うございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／18.2.18］

期待値とは確率の平均値のこと！という説明がわかりやすかった。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[（各駅停車）二重根号について／18.2.18］

（各駅停車）２重根号なのですが…。問題がぐちゃぐちゃになり、よくわからないです。改善をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Android上のChromeで見ておられるようですが，こちらからは問題なく表示されます．ただ，この形式（下位目標が達成されな変えれば上位目標の問題が表示されない形式）でストレスを感じる人があるらしいので，その1つ前の項目にほぼ同じ内容で「二重根号」という選択形式の問題を作っています．つまり，改善済みです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／18.2.17］

問題3の⑴の解説の二行目二乗されてないのですが…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2を付けました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／18.2.17］

(x+y)^5(3x-y)^2の展開式におけるx^4y^3の係数を求める問題の解説が知りたかったです😢
＝＞［作者］：連絡ありがとう．宿題の問題かどうかわからないので，尋ねられた問題に答えずに他の問題に答えます．
$(x+ y)^5(2x-y)^2$ の展開式における $x^4y^3$ の係数を求めたいとき
$(\sum_{k=0}^5_5C_kx^{5-k}y^k)(\sum_{l=0}^2_2C_l(2x)^{2-l}(-y)^l)$ の展開式の各項は
$_5C_kx^{5-k}y^k\times _2C_l(2x)^{2-l}(-y)^l$
$=2^{2-l}\times (-1)^l\times _5C_k\times _2C_l\times x^{7-k-l}y^{k+ l}$
この項が $x^4y^3$ を表すのは， $7-k-l=4,\hspace{3}k+ l=3,\hspace{5}(0\underline{\le}k\underline{\le}5,\hspace{3}0\underline{\le}l\underline{\le}2)$ のとき
1) $l=0,\hspace{3}k=3$ のとき， $2^{2}\times (-1)^0\times _5C_3\times _2C_0=40$
2) $l=1,\hspace{3}k=2$ のとき， $2^{1}\times (-1)^1\times _5C_2\times _2C_1=-40$
3) $l=2,\hspace{3}k=1$ のとき， $2^{0}\times (-1)^2\times _5C_1\times _2C_2=5$
これらを加えて5

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の図形問題について／18.2.16］

【例題2.2】（解答） β2=(β－α)2+2βα+α2 γ2=(γ－α)2+2γα+α2 を代入するとの部分の符号が間違っていませんか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．黒字になってからの最初の符号が違っていましたので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.2.15］

問題2ですが、{(a +b +c)(b +c －a)}{(c +a －b)(a +b －c)}この組み合わせがベストだと予め分かる理由は何でしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題2には4題ありますが，そういうことは書いてありません．問題1(2)には書いてありますが，質問の意味が通じません．問題がそうなっていたらその問題を解くのは当然で，ベストもなにもありません．全くこの惑星の住人は，言っていることがわからん．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の解と係数の関係について／18.2.15］

カラフルで見やすくかつ証明まで詳しく解説されているので、素晴らしいと思います。悪い点はこれといって見当たりませんね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／18.2.15］

分かりやすくよかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次の不定方程式について／18.2.15］

いつも分かりやすい解説をありがとうございます。お世話になっております。問題5の答えについてですが、 m=0の時のyの値は9ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですのでで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／18.2.14］

こんにちは。三次方程式の解法について質問させてください。三次の変数aを消す為に両辺をaで割るというのは何となくわかるのですが、その後に立法完成させるべくX=x-b/3 or X=x+b/3を代入して、X^3＋pX＋q=0の式を導くというのは、なぜそのような操作ができるのでしょうか？　一部のサイトでは平行移動といって幾何的にグラフ移動の説明をするものもありますが、あくまでも代数的な操作理由が知りたいです。　また代入すべき変数Xは、元の三次式の係数に関係なく、とにかくX=x-b/3 or X=x+b/3を代入してかまわないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$X^3+ bX^2+ cX+ d=0$
のとき
$X=x-\frac{b}{3}$
とおくと
$(x-\frac{b}{3})^3=(x^3-bx^2+ \cdots )+ b(x^2-\cdots )..$
となって $x^2$ の項が消せるところに目を付けたのがカルダノ公式です．
$X=x-\frac{b}{3}$ とおくというのは各自の自由ですが，結果が生きて使えるという保証はないでしょう．X=x+b/3では2次の項は消えません．
※この教材ではカルダノ公式は扱っていませんが，実際には $X^3+ cX+ d=0$ となってからの変換の方がミラクルで，思いついた人が偉いとしか言いようがないでしょう．なぜ思い付くのかなどと考えても無駄でしょう - - 相手は数学史に残る偉人なのだから，後の人は真似をすることから始めるのが無難

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／18.2.14］

問題１の(2)ウの途中式をお願いします。どうしても分母の２を消せなくて分からないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ヒントの文章に沿って，答案を作ると，第ｎ群は，初項［n²-2n+2］，公差1，項数2n-1の等差数列だから，その和は
$\frac{(2n-1)\{2(n^2-2n+ 2)+(2n-2)\times 1\}}{2}$
$=\frac{(2n-1)(2n^2-4n+ 4+ 2n-2)}{2}$
$=(2n-1)(n^2-n+ 1)$
※その問題の下に灰色で書いてある公式に正しく代入すればできます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極限値，不定形の極限について／18.2.14］

見やすいしわかりやすくてよかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分...積分領域が変数に依存する場合について／18.2.14］

問6はなぜ、はじめにxで積分してるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説に，はじめにｘで積分する理由が書いてあるのに，さらになぜと問うには，その解説がおかしいということを示さなければなりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[データの代表値（平均値，中央値，最頻値）について／18.2.14］

下記の部分に誤植があります。255=>25 その3番目255と4番目27の平均をとって，26を中央値とします．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／18.2.13］

なぜKの式を通常の部分分数分解のように A/k＋B/(K＋1)＋C/(K＋2) と置いて計算するとKの規則性が分からず答えが導き出せないことがあるんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一般論だけでは分かりにくいので，そのページにある具体的な問題で説明します．
$\sum_{k=1}^n\frac{3k+ 2}{k(k+ 1)(k+ 2)}$
を求めたいときに
$\sum_{k=1}^n(\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+ 1}-\frac{2}{k+ 2})$
と変形しても，その先の展望が持てません．なぜなら，そのページの初めから書いていますように，部分分数に分解することは目的ではありません．すなわち，ある与えられた式 $f(k)$ が何らかの式 $F(k)$ を使って， $f(k)=F(k+ 1)-F(k)$ という形で「差」の式で書くことができる場合に， $\sum_{k=1}^n f(k)=F(n+ 1)-F(1)$ という形で（中間項が消えて）和が求まります．
この $F(k+ 1)-F(k)$ を求めることが当面の目的です．
ところで，本文にも書いていますように，与えられた式 $f(k)$ を $f(k)=F(k+ 1)-F(k)$ という形で「差」の式で書くことができるとき，一般に $F(k)$ は $f(k)$ の積分と同様に１次だけ次数の高い式になります．今の例で言えば， $\frac{3k+ 2}{k(k+ 1)(k+ 2)}$ は分母が３次式で分子が１次式だから，全体で-２次です．この式を $F(k+ 1)-F(k)$ という差で表現できるのは $F(k)$ を-１次：分母が２次で分子が１次とした場合です．だから $F(k)=\frac{Ak+ B}{k(k+ 1)}$ とおいて $\frac{3k+ 2}{k(k+ 1)(k+ 2)}=\frac{Ak+ B}{k(k+ 1)}-\frac{A(k+ 1)+ B}{(k+ 1)(k+ 2)}$ の係数を比較すると $\frac{3k+ 2}{k(k+ 1)(k+ 2)}=\frac{3k+ 1}{k(k+ 1)}-\frac{3(k+ 1)+ 1}{(k+ 1)(k+ 2)}$ となって，和が求められる形になるのです．
　見かけ上「部分分数に分解したことになる」から部分分数分解というだけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／18.2.13］

とてもわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 因数分解（応用問題）について／18.2.12］

中３です。とても使いやすいサイトでテスト勉強に助かります。自分のみたい項目を見つけるのが大変なので、トップページで検索できたりすると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．過去には，サイト内検索を設置したこともありますが，あまり利用されないようでしたのでやめました．代わりに，前後の項目を示すサブメニューを設置しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 因数分解（応用問題）について／18.2.12］

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極限値，不定形の極限について／18.2.12］

極限値の問題（4）の解が∞となる理由を教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．アクセス数の多い携帯版を先にメンテしていますが，PC版はまだでした．携帯でPCは読めませんが，PCで携帯版は読めます．そちらに解説があります．PC版は可及的速やかに（←お役所かい！）携帯版に合わせます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号について／18.2.11］

すごく勉強になります。例7の注意書きの、したがっての後、Σ=1＋1＋1.....=nがわかりません。nは終わりではないのですか？言葉足らずで、すみません。気になってしまって。理解力が足らず、すみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．第1項が1，第2項が1，第3項が1，第4項が1，…第n項が1，これら（n個を）加えると1+1+1+…+1=nになります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／18.2.10］

積和の公式の問題集が無かったので助かりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円について／18.2.10］

離心率や二次曲線の統一的な見方も解説してほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．統一的とまでは行きませんが，離心率や準線の話題はこのページにあります．二言三言追加して，直交座標での離心率と極座標での離心率をつないでおきます．（数日かかります）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般項の記号に慣れるについて／18.2.9］

非常に、見やすくわかりやすい。復習に役立ちます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■鹿児島県［いろいろな因数分解について］[18.2.8］

問3の問題の解説で□²－○²に置き換えるという所が分からないのですが
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページの解説を読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／18.2.8］

例えば当たりくじ2本を含むn本のくじがある nは3以上の整数としてこのくじをA、B、C の3人が引くとき、各人が当たる確率を求めよただし、引いたくじは元に戻さないという時はどうすればいいですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2人の場合は，その次のページにそのものずばりの解説があります．一般に，引く順序に関係なく，p=2/nになると言えますが，3人の場合の証明は少し長くなります - - 特に，当たりくじが２つしかないときに，前の2人が当たってから3人目のＣが引く場面を考えると「Ｃは損じゃないか！」と言いたくなる心理的な部分と，「引く順序に関係ない」という客観的な事実が計算上どのように示されるかという観点から見ると，興味が持てるかもしれません．
結論から言えば，前の人（ＡやＢ）が外れる場合に後の人Ｃが当たる確率は高くなって「埋め合わせ」される（次の計算でp₄が大きい）と考えれば，心理的な納得が得られるでしょう．
A=○,B=○,(C=○)　⇒前2人が○なら，３つ目の○はないから，この確率はp₁=0
A=○,B=×,C=○　⇒ $p_2=\frac{2}{n}\times\frac{n-2}{n-1}\times\frac{1}{n-2}=\frac{2}{n(n-1)}$
A=×,B=○,C=○　⇒ $p_3=\frac{n-2}{n}\times\frac{2}{n-1}\times\frac{1}{n-2}=\frac{2}{n(n-1)}$
A=×,B=×,C=○　⇒ $p_4=\frac{n-2}{n}\times\frac{n-3}{n-1}\times\frac{2}{n-2}=\frac{2(n-3)}{n(n-1)}$
$p_1+ p_2+ p_3+ p_4=\frac{2}{n}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／18.2.8］

確率を絡めた問題も欲しかった解説は非常に分かり易い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前から順に学んだ場合，順列・組合せを習っている段階では，確率はまだ習っていない取り扱いになります．あなたのような要望が出るのは，数学Ⅰを全部終了した人の場合ですが，その場合は，確率のページを見てください．ただし，標本空間と事象（分母と分子）が円順列という問題は，少ないようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の入試問題3について／18.2.8］

２－２（４）の解答について確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．百里の道は九十九里が半ばと言われ，九十九里になると判で押したように疲れが出るのは歳のせいか．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／18.2.8］

２番は待遇のよいものを調べるだけで十分てわは？待遇のよいものの中に平家以外がいるかでは？源氏は調べなくて良いのてわは？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．日本語を勉強中ですか？掲示板用語では通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における平面の方程式について／18.2.8］

慶應商学部2017年Ⅲのベクトルの解説をしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．個別の問題には対応できませんが，その次のページを読めばわかります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[等比数列の和について／18.2.7］

公式は導出からお願いしたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その教材を作った2000年頃には授業の中で使うことを想定していましたので，まさか教科書をもっていない生徒がいるとは考えていませんでしたが，その後の世の中の移り変わり（熱狂は失望に変わった：e-ラーニング）により，最近は基本事項の解説もいれています．数列の和の公式がまだだったということですが，Σ記号の解説のページに書き込むことはありません．（前のことを全部書いていると，後ろの方のページは膨大なものになる）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合について／18.2.7］

個別質問［部分集合，集合の包含関係について／18.2.6］をさせていただいたものです。ご親切なご指導ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成について／18.2.6］

とても分かりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分集合，集合の包含関係について／18.2.6］

こんにちわ。部分集合と真部分集合の違いについてわからないところがあるので教えてください。Ａ=｛x|xは素数全体の集合｝Ｂ=｛x|xは奇数全体の集合｝として、Ａ-Ｂ＝｛2｝であり、Ａ-Ｂ⊆Ａ。すなわちＡ-Ｂの差集合は、Ａの部分集合である。という記述を見かけたのですが、なぜＡ-Ｂの差集合がＡの真部分集合ではなく、部分集合なのかがよくわかりません。大変恐縮ですが、ご教示いただければと思い質問させていただきます。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．初めに記号を整理しておきます．そのページの下端に（注意）という形で表で示してありますように，部分集合と真部分集合を表す記号は，昭和30年代，40年代と現代とでは異なっています．かつては，不等号の ≦，＜と対応して，部分集合を $\overset{\subset}{\overset{\vspace{2px}}{=}}$ で，真部分集合を $\subset$ で表す方式がメジャーでしたが，現在の高校では部分集合を $\subset$ で，真部分集合を $\subset$ $\ne$ で表す方式がメジャーです．
さて，Ａ-Ｂ＝｛2｝で，今日の書き方では $A-B\subset A$ です．さらにもっと限定して， $A-B\ne A$ も言えますが，この２つは背反関係ではありません．真部分集合であれば部分集合なので，特に等しくないということを強調する必要がなければ，単に部分集合で示す方が簡単なのです．
他の例：Ｎ={1,2,3,...}は自然数全体の集合，Ｅ={2,4,6,...}は正の偶数全体の集合とするとき，ＥはＮの部分集合でもあり，真部分集合でもあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／18.2.4］

すっかり式と導出方法を忘れていたので助かりました。ありがとうございますm(_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／18.2.4］

体調不良などで授業を受けられなかったときに、教科書だけでは理解できないので利用させていただいております。解説、まとめられた公式とそこに至る証明、練習問題等あらゆる面で非常に助かっております。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数方程式について／18.2.4］

全体的に色がありすぎて見にくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．見解の相違です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の平行条件・垂直条件について／18.2.2］

ウェブでいろんなサイトを見ましたが一番わかりやすかったです、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の平行条件・垂直条件について／18.2.2］

平行条件の例題2 CD→CAじゃないですか？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の定義について／18.2.2］

5年ぶりに解きました。学生時代の時よりも文章の意味が分かるようになり、少し嬉しくももう戻らない時間を感じ、ちょっと悲しい複雑な気持ちを感じています。気が向いたらまた来ます、ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[隣り合う並び方・隣り合わない並び方について／18.1.31］

隣り合う並び方の問９の解説が分かりにくいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その問題は「むずかしい」と書いてありますように，そこそこ難しいです．少し解説を追加します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数不等式について／18.1.31］

真数条件などの見落としやすい場所の解説は丁寧でわかりやすかった、できれば、対数が定数に挟まれた不等式の解説も行ってほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $p\lt\log_ax\lt q\hspace{5}(a\gt 1)$ ならば $log_aa^p\lt\log_ax\lt log_aa^q$ だから $a^p\lt x\lt a^q$ です．
また， $|\log_ax|\lt q\hspace{5}(a\gt 1,\hspace{5}q\gt 0)$ ならば $-log_aa^q\lt\log_ax\lt log_aa^q$ ， $log_aa^{-q}\lt\log_ax\lt log_aa^q$ だから $\frac{1}{a^q}\lt x\lt a^q$ です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極座標について／18.1.31］

私は文系で、極座標のイメージがずっとつかなかったのですが、このサイトの問題を解いていくうちに、マスターできました！図に点を打っていくような方法は簡単で楽しかったです！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／18.1.30］

大学で統計をかじった程度の入門レベルの人間ですが、必要に迫られ調べているうちにこのページにたどり着きました。しっかり解説してくださって、ありがとうございます。とても助かりました。一方で、少し分かると、さらにどんどん分からないことが出てきます。例えば、t検定の際に、なぜ事前に等分散かどうか調べる必要があるのでしょうか？前提が変わると何か計算方法が変わったりするのでしょうか？また、F検定で「等分散でない」ということが有意となった場合は、その時点でもう２つの集団には「差がある」と言えるようになるのでしょうか？ F分布とt分布とはどう違うのでしょうか？２つの集団の平均値の差の検定をExcelで分散分析とt検定の両方で行ってみると、ほぼ同様の結果でしたが、微妙にP値が異なりました。これはなぜでしょうか？２つの集団の平均値の差の検定の場合は、分散分析とt検定のどちらの方が「より良い」・「より適切」とかあるのでしょうか？やっぱり難しいですね・・・。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「t検定の際に、事前に等分散かどうか調べる必要」はあります．等分散と見なせる場合とそうでない場合とでは，ｔ検定の公式が違うからです．
次に，分散の違いを調べるF検定と平均値の違いを調べるｔ検定とは違うでしょう．等分散でなくても平均値が等しい場合と等しくない場合はあるでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／18.1.30］

参考にさせていただきました数学の問題は数をこなさないとすらすら解けるようにならないですかね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「数をこなさないと」という部分については，そうだと思う部分と，数だけではないと思う部分があります．自分の内的ロジックとして使えるかどうかが身に着くかどうかの違いかな．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／18.1.30］

二重積分の応用の例題も作ってもらえると助かります。しかし、テストでは非常に助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一歩踏み出せば，果てしなき応用の世界が広がっているようですが・・・

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／18.1.29］

練習問題が付いていて実践的に用いることができました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／18.1.29］

1〜nの番号がついたn個の玉から3つ重複ありで選ぶ方法は？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのまんま，_nH₃でしょう！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円について／18.1.29］

最近楕円の方程式について学んだ学生です。ここにある問題には何の文句も無いのですが、一つ疑問があります。楕円の焦点の座標がそれぞれ F（c,d）,F’（－c,－d）（c≠0,d≠0） ……この場合はどうなるのでしょうか。それとも、こういった場合は考慮しないのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．長軸と短軸がｘ軸，y軸に平行である場合が教科書で扱う基本です．(A)今の教育課程では，行列，一次変換，回転移動がないので，軸が回転している楕円は基本ではないでしょう．(B)楕円と直線の合成で考える場合は，数学Ⅲの応用としてあり得ます．

例えば，円 $x^2+ y^2=1$ の方程式は無理関数を２つ使えば $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ と書くことができます．（図1）そこで， $y=\pm\sqrt{1-x^2}+ x$ すなわち $y-x=\pm\sqrt{1-x^2}$ すなわち $(y-x)^2=1-x^2$ すなわち $2x^2-2xy+ y^2=1$ のグラフは左図２のようになりますが，一般にこのように長軸，短軸がｘ軸，ｙ軸に平行でなく，それらから回転されている場合は，方程式にｘｙの項が含まれます．
楕円の焦点の座標がそれぞれF（c,d）,F’（－c,－d）（c≠0,d≠0）にある場合は，（短軸の長さが指定されていませんが，標準形で $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{e^2}=1$ であったとすれば）
標準形の楕円の方程式 $y=\pm e\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}$ に $y=\frac{d}{c}x$ だけ「かさ上げ」すると $y=\pm e\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}+ \frac{d}{c}x$ すなわち $y-\frac{d}{c}x=\pm e\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}$ すなわち $(y-\frac{d}{c}x)^2=e^2(1-\frac{x^2}{c^2})$ となって，この式を展開すると $Ax^2+ Bxy+ Cy^2=1$ の形の方程式になります．（なお $ax^2+ bxy+ cy^2=1$ のグラフを原点の周りに角θだけ回転したとき， $Ax^2+ Bxy+ Cy^2=1$ の方程式を求める問題は，昔は大学入試に出ましたが，最近はあまり見ません）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／18.1.28］

log4低の2ってなんですか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページを読んでその内容について質問しておられるのなら歓迎しますが，あなたはそうではありません．宿題か何かの答えを探すためにgoogleの検索で出たこのページを「読まずに」=「30秒間画面を流しただけ」で答えを聞いています．
そもそもlog4低の2という言い方は変わっています．その問題を出した人に聞いた方がよいです．対数で使うのは低学力の低ではなく，海底の底，基底の底です．
log4低の2が $\log_24$ を表しているのか $\log_42$ を表しているのかによって，話が変わってきます．サブメニューでもっと先頭にある対数の定義のページを読んだ方がよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／18.1.28］

わかりやすくていいです。宿題が分からなくて困っていましたが、これを見たらほとんどわかったのでとても助かりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この内容は結構大事です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式2について／18.1.28］

円の反転は直線、直線の反転は円ということなのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．結論を先に言えば，そんなことはありません．原像が0≦r≦1にある図形ならば，その像は1≦r<∞の範囲に来ますが，原像が他の範囲にあればそうはなりません．例えば，原像が原点を中心とする半径１の円である場合，その反転も原点を中心とする半径１の円になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ)について／18.1.27］

数2三角関数性質で問題３から見たことのない計算式が出てきてヒントもなし、どこを参考にしていいのか分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説がヒントです．見たこともない計算式とは，心外です．そのページの先頭から図あり式ありで解説している内容を踏まえて計算することになります．（あなたの読み方を見てみると［なぜわかるのかは，詳しく言えない］，問題３あたりまで余り読まずに進んでいます．時々，先頭部分まで振り返っていますが，それは一瞬で5回です．初めの方に重要な解説があるので，その部分を飛ばしてしまうと，理解できません．）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数のグラフについて／18.1.27］

とてもわかりやすいと思います！一次・二次関数グラフと合わせると個人的に面白い図になるので、それも載せていただけるとありがたいです（個人的なお願いで申し訳ございません）小4 名無しより
＝＞［作者］：連絡ありがとう．3次関数と1次関数の共有点の問題は，移項すれば3次関数の問題になり，3次関数と2次関数の共有点の問題も，移項すれば3次関数の問題になるので，関係としては同じになります．図としては一応別ですが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理関数（２次式の平方根）の定積分について／18.1.27］

お世話になっております。修正箇所がいくつかありましたのでお時間がある時で結構ですのでご確認いただければと思います。最初に、いちばん上の解説部分の右下の被積分関数が"2x/√(a^2-x^2)"の問題についてなのですが、下から2行目の右辺について、分母の√xは√tの誤記だと思われます。それと、∫の前のマイナスか積分変数の分母の-2xのマイナスはどちらか一方が不要と思われます。次に【問題１】の解説の最後2行なのですが9/2になるべきところが9になっているのと、π/4+π/4となるべきところがπ/4-π/4になっています。あと【問題３】の解説の下から3行目ですが√tは1/√tだと思いますそして【例５】の（解答）の中ほどあたり、定積分の下端と上端が0→1になってますが1→2だと思います最後に、このページ内に問題の解答解説箇所も含めて4か所”被積分j関数”と記されている部分があるので検索や置換にてご修正ください。私が間違ってるところがあったらすみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全てご指摘の通りですので，訂正しました．（こんなにたくさん間違えて，作者しっかりしないと！）

■静岡［ヘンリーさん］[18.1.26］

なぜaベクトルが(x,y)の時それに垂直なベクトルの成分が(ーy,-x)になるんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そういう事実はありませんし，この教材にもそのような記述はありません．
質問をされる場合は，該当ページをはっきりと書いてください．
※(x, y)⊥(y, −x), (x, y)⊥(−y, x)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／18.1.26］

公式に当てはめコツコツ解けば必ず答えが出る問題である。煩雑な数式なので、ケアレスミスに気をつけなければいけないと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／18.1.25］

ここまでは一応、順調に来れました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／18.1.24］

画面を大きく表示したい時、CTRL+で大きくすると左右のスクロールが効かなくなります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ん？逆ではないでしょうか．横幅1366ドットの画面で見ている場合，通常の倍率なら教材の横ドット数がそれよりも小さいので，横スクロールバーが表示されないが，Ctrl+ を数回行うと，画面一杯以上に表示されるので，左右スクロールができるようになります．
※2018.1月現在，筆者は故障が少ないChromeをよく使っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの定義について／18.1.24］

"しかし，ADとCBは「長さ」が同じですが「向きが逆」なので"の後についている数式の画像が間違っている。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．演説を力み過ぎて，手が滑ってしまったらしい．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／18.1.24］

スマートフォンでも気軽に問題を解けるので、授業確認に重宝しています。もう少し、高度な問題（黄チャート）も含めて頂けると、尚良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.1.24］

練習問題が複数問あったが、多過ぎず少な過ぎずちょうど良かったと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ ベクトルの大きさ（長さ）について／18.1.23］

ベクトルの絶対値について質問です。絶対値のついたベクトルを、ベクトルでは『大きさ』といいますが、『距離』や『長さ』という言葉ではニュアンスが変わってしまうのでしょうか。 (大きさ＝距離＝長さ、という風に考えていいのでしょうか。) 勉強不足ですみません。教えていただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ニュアンスということでは変わるかもしれませんが，ベクトルの定義とか他の分野との共通性を重視すると「大きさ」と言うのが無難かもしれませんし，高校生が習う２次元，３次元のベクトルとの関連性を考えれば距離や長さと言っても何ら問題ない場合がほとんどです．
　三角形の2辺を結ぶベクトルのように，始点と終点を結ぶベクトルのとして図形への応用に使っている場合には，ベクトルの大きさは始点と終点の間の距離に等しく，辺の長さに等しくなります．
　このように，高校生が習う図形的な問題で考えている限り，大きさ，距離，長さはほとんど同じ意味になります．
　ただ，速度とか力のような形を想定していないベクトルとか，多次元のデータをベクトルの成分として処理している場合には，距離とか長さと言われても困りますので，やはり大きさと言う方がよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／18.1.22］

面白かった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／18.1.22］

良い勉強になりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.1.22］

わかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.1.22］

56歳です。ボケ防止のために（ややボケが入っていますが）始めました。今回はクリアできましたが、以後壁にぶち当たることが多々出てくると思います。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.1.21］

例は最初に見せて後から問題を溶かせたら良いと思うあと、字が小さいから見にくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．スパンの長い解説とまとめの問題だけでよいという考え方は，昭和の時代のやり方かな．形成的評価を重視する現代のやり方は，スパンの短い解説と小問の繰り返しから成り立つものと理解しています．Ctrl+(+)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数方程式について／18.1.19］

とてもよかったです(^^♪ 問題を解きながら学べてとてもいいです！また来ようと思います！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／18.1.18］

問題1の(4)の答えは上記以外であっているのですが、上記以外と答えると×と出ています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今年になってから書き換えたものですが，点検が甘かったようで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[maximaの初歩的な操作9･･･無理関数の不定積分について／18.1.18］

ソレノイドの作る磁場を計算する際に用いた積分公式について知りたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その式を書かないと話が通じません．三角関数の方は簡単です．無理関数で分数になる方ですか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／18.1.17］

分かりやすかったです！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直線のベクトル方程式について／18.1.17］

問題2で、DE:DB=5:8で正解ですか? 宜しくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，解答が問題に答ていませんでしたので追加しました．しかし，あなたの質問は変です．この問題では，縦横の尺度は決められていないので，同一直線上にないDE:DBのような比率は定まりません．AD:DBなら定まりますので，それを追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[区分求積法の入試問題について／18.1.17］

一番最後の問題6の答案ア）の後半なのですが、x[k]=k/2nなのでx[0]=0/2n=0,x[2n]=2n/2n=1が正しくてその下の∫の範囲も0→1が正確なのかなと思いました。必要でしたらご修正ください。区分求積法の多様な出題パターンを知れて勉強になりました。白紙の解答用紙が来ても解答書けるようにがんばります・・
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／18.1.17］

アンケートから失礼致します。非常にわかりやすい文章ありがとうございます。質問なのですが、y"+ay=bの場合は、bを一旦無視して、上に記載されているように解き、y= c1cos ax+c2sin axのようになりました。その後bの特解はどのように解けばよろしいでしょうか？教えていただきましたら、嬉しい限りです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．右辺が0のものを同次形といい，右辺が0でないものを非同次形といいます．先頭のサブメニューで，現在地を「定数係数の２階線形微分方程式（同次）」と表示していますが，その次に「定数係数２階線形（非同次）」という項目がありますので，そのページを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値，最小値について／18.1.16］

いつも数学の勉強に利用させてもらっています。独学なのでとても助かっています。ところで、僕の勘違いかもしれませんが、もしかして、問題6 (1) ア) 「a<0」は、「t<0」ではないでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.1.16］

とてもわかりやすく見やすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の解と係数の関係について／18.1.16］

証明
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問がある場合は，それなりに言葉で書くべきです．証明は「証明を見る」というリンクをたどれば書いてあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの和について／18.1.16］

ベクトルの定数倍のところの図の→a+→bが始点＋始点になっているので間違えいるとおもいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページはベクトルの和を扱っています．ベクトルの定数倍の質問ならベクトルの定数倍のページで質問すべきですが，どうやら質問者の書いている「定数倍」という言葉は，意味がないようです．
おそらく，その前のベクトルの定義のページを十分読んでおられないと考えられます．すなわち「２つのベクトルは，「大きさ」と「向き」さえ等しければ「等しい」といい，”どこに描いてあるか”は問題にしない．」

そこで，「ベクトルの和を考えときは，終点に始点を接ぎ木して和を作ります」が，問題の図で終点に始点が接ぎ木してあるとは限らず，自分で移動させて作るのです．
問題が図１のように書いてある場合に，それは問題が間違っているのではなく，問題を解く人が図２のように書き換えて答えを出すのです．
「ベクトルは，どこに描いてあっても構わないから移動させてよい」ということを理解するには，それなりに知的能力を必要としますが，これがクリアできなければ，ベクトルの和差などは理解できません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.1.15］

学校の授業が嫌になったので、ここに来ました。正直に言うと、授業よりわかりやすい。これからテスト勉強とかここでしよう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．授業や教科書は必要最小限のことが詰まっていて，能率がよいので大事にする方がよい．こちらの教材も使えるところは使ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.1.14］

4^a＝-4 は、なんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページの内容と関係のない質問です．指数方程式の質問なら，指数方程式のページで方程式の解を尋ねるべきです．
高校生でない方が尋ねておられるのなら，複素関数で留数定理かオイラーの定理の辺りを調べるとよいでしょう． $4^{\frac{\pi i}{\log 4}+ 1}=-4$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.1.14］

下に問いがあるのはいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／18.1.12］

問題解きました。結びつけるだけは簡単すぎます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．公式が分かるようになるのが第１段階で，それができるようになったら，サブメニューで練習問題に進むようになっています．この手順を踏まずに，はじめから練習問題や応用問題に入ると身に着かないことが多いようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／18.1.12］

とても役に立ちました！ほんとにこういうのがあると助かります！無料でこのサイトを見れるのは、ありがたいです。これからも、よろしくお願いします。しかし、円順列とじゅず順列の問題の15番だけ解説が表示されません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検してみましたが，iPhone, Androidのいずれでも正常に表示されました．- - ただし，数年前にGoogleから個別にご指導を受けたことがあり，「リンクの間隔が狭過ぎる！」という趣旨だったので，スマホ用ページでは，できるだけ選択肢や解説などの作動ボタンを離して設置するように改良している（年月がかかる）途上です．どうしても誤作動する場合は，ズームインしてから選択してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／18.1.10］

とても分かりやすいです！ありがとうございます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Excelを用いた判別分析について／18.1.10］

はじめまして。マハラノビスの距離の処理について質問があります。 (8)のMMULT(こちらのExcelの例のマハラノビスシートでいうとMMULT(J3:L3,(G3:I3)))の計算がctrl+hift+enterを押しながら計算してもエラーになるのですが、もしほかに注意点などがあれば教えてください。また、(8)に、ＳA-1の範囲に＄を付けるのを忘れないとありますが、(7)で行った計算式に$をつけ忘れないようにという解釈で間違っていないでしょうか？返答お待ちしております。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Excelのバージョンやセキュリティレベルの設定によって，エラーの出方は様々になると考えられますので，個別に回答するのは無理です．画面上の記述と下端の例と答別添ファイル（hanbetu2.xls）で確かめてください．特に，Ctrl+Shift+Enterが入力されている場合には，数式バーの式に{　｝の記号が入っています．それがなければうまく押せていません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数のグラフについて／18.1.10］

良い所・スマホでも見やすいレイアウト・曲線や数字が色分けされてわかりやすい改善の要望・次の問題文を、iPhoneで見ると数字が重なって見えます問題1-3、問題2-5
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC版のSafariやAndroid版のChromeで点検しても，要望の内容がなかなか理解できませんでしたが，今，解読できました．画面の横幅が320ドットくらいのiPhoneで見ると，各々最後の選択肢が改行されて左下に来るということらしいので，その選択肢のレイアウトを変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの実数倍について／18.1.10］

問題の第２問目の答えの絵の始点がずれている気がします…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その点に興味を持ってもらうのは，よいことです．一瞬，興味を持ってもらって，それは関係ないことだと分かってもらうように，わざとずらしています．ページ上端にあるサブメニューで，ベクトルの定義の一番最初に話として，「【要点】２つのベクトルは，「大きさ」と「向き」さえ等しければ「等しい」といい，”どこに描いてあるか”は問題にしない．」と書いています．その意味を考えてください．例えば平行四辺形ABCDにおいて
$\vec{AB}=\vec{DC}$
が成り立つという場合，一方はAから出ていて，他方はDから出ており，描かれている場所がずれているのに「２つのベクトルは等しい」というのは，「どこに描いているかは問題にせず，大きさと向きが等しければよい」からです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[曲線で囲まれた図形の面積について／18.1.10］

このサイトにはふさわしくない、rentaとかいう気持ち悪いまんがの広告出すのはどうかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．幾つかの避けたいジャンル（アダルト，カルト，出会い系，サラ金など）の広告はブロックしていますが，一般の広告でどのような広告が出るかは，多くの場合，読者自身の検索傾向によるものと考えられます．すなわち，この数日間，数週間，あなた自身がそのiPhoneからGoogleでゲームやコミック関係の検索をした場合，その人の興味・関心，はっきり言えば購買傾向としてその分野の広告を出していれば，当たりやすいということが個人ごとに把握されていて，その結果としてそういうジャンルの広告が出るようです．つまり，予備校の広告のようにこのページの内容関連で登場するものだけでなく，その情報機器を使っているユーザごとの関心に応じて表示されるものがあるので，広告の内容を決めているのは，１人ずつのユーザです．筆者は広告を指定したりはできません．
この説明が分かりにくいようでしたら，「○○市で１戸建て住宅の価格」「スキー用品の価格」などで検索して見ると，そのiPhoneには不動産関連，スキー用品の広告がよく出るようになることから分かるはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／18.1.9］

(x^2-3x)(x^2-3x-2)、左のかっこの中身がまだ因数分解できますがこのままで大丈夫ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者は言葉を慎重に選んでいて「因数分解し（切り）なさい」とも「展開し（切り）なさい」とも書いていません．「等しいものを選びなさい」と書いていますので，何も問題はありません．すなわち，中間生成物と中間生成物の対応でも可能で，あなたが気付いていない問題と選択肢の組は何個もあります．
ただ，この形の問題形式は，近年画面の小さなスマホで見られるようになってから，問題と選択肢，解説が画面内に収まらない場合がある，HELP（？）がうまく作動していない場合がある，の２点について具合が悪いので問題の形式を変更する予定です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合について／18.1.8］

とても良い問題でためになりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．読者の評価が高いのはどんな問題なのか，感想が送られて来たらそのページを見て，勘を養うようにしています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数について／18.1.8］

決定係数に目安などはありますか現在数値解析を行っていますが、決定係数がどのくらいの値まで向上すればいいのか目安などありましたら教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページ内に書いていますように「回帰式がよく当てはまっていると言えるためには，決定係数が幾らあればよいのか一概にはいえない．」参考書などでは「0.7とか0.8とか全変動の7割，8割程度の説明ができればよく当てはまっていると考えることが多い．」などとされています．
扱っている対象が，非常に高い精度でできているはずの部品の重量のような場合とか，分散が大きくて当然のアンケート調査のような場合など，対象によって要求されるレベルが異なるので，一概に述べるのは無理でしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における平面と直線について／18.1.7］

問題2の方程式のところがyのところがtになっていました。とてもわかりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．t→y 訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分...積分領域が変数に依存する場合について／18.1.7］

とても詳しく書いて頂き独習者にはありがたいサイトと感謝しています。積分領域が変数に依存する場合のページの例2の解答は16/15になりました。お時間がある時に確認して頂けたら、と思います。よろしくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１つ前の式の符号が間違いで，結果は正しいことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号計算について／18.1.6］

問題１(3)√54が9√6になっていますが、3倍になっているのは何故でしょう。３がどこから来たのかわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の方に3を付け忘れていましたので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／18.1.6］

このサイトの字から伝わるイメージをもっと易しいものにしたらもっとよくなるとおもいます。字体やカラーを変えられてはいかがでしょう。
＝＞［作者］：googleから来て１ページ見ただけで，サイト全体の議論を？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／18.1.6］

わかりやすい、そして問題も引っ掛けとかあっていい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／18.1.5］

誤記のご確認をお願いします。対数関数の不定積分［例］の(3)について、f=logx、f'=1/x、g=2/3x√x、g'=√xが正確なのかなと思いましたあと公式がfg'=fg-fg'になってますが正しくはfg'=fg-f'gかと思いますあと対数関数の不定積分の<<問題>>の(2)の解説について、f=logx、f'=1/x、g=(x^2)/2、g'=xかなと思いましたあと順番が前後しますが指数関数の不定積分［例］の(4)と<<問題>>(4)の解説もfとgが入れ替わっているような必要でしたら修正をお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．公式の説明で'の位置が逆になっている箇所は訂正しました．他については，どの文字に当てはめるのかは単なる好みの問題で，正誤の問題ではないと考えます．
∫f·g 'dx=f·g−∫f '·gdx
と考えるか
∫f '·gdx=f·g−∫f·g 'dx
と考えるかは，どちらでも同じです．「やられたら，やり返す」と覚えるとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／18.1.5］

例題４が、どうして分母が４になるのかが分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の式がk(k+1)(k+2)という３次式で，これを４次式の差で表すために，「試しに」
k(k+1)(k+2)(k+3)−(k−1)k(k+1)(k+2)
を作ってみると，
k(k+1)(k+2){(k+3)−(k−1)}=4·k(k+1)(k+2)…(**)
となるから，両辺を４で割ればよいのです．俗世間的に言えば，「考えてから走る」のではなく，(**)のように「走ってから考える」という考え方でよいでしょう．
やって見なければ分からないこともあるので，そういう場合は，逆算して調整するということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[sin xに関する不定積分について／18.1.2］

段組みが2つになっていて、左側を読み終わったとき、一番上までスクロールして右へ行かなければならないので、1段にしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．段組みしないことはできませんが，折り返しのスパンを短くすることはできます．なお，携帯版は１段ですが縦長です．

■千葉県［代々木さん／18.1.1］

説明がとてもわかりやすかったです模擬試験で間違えていたところも合うようになりましたありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／17.12.31］

問題も載っており、とても分かりやすかったです。ありがとうございました。しかし、間違った時しかHELPの解説が読めないのが少し残念です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正解の場合でも解説が出るように，設定を変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式（解き方まとめ）について／17.12.30］

問題2の(3)で出てくる解説の図が間違っていると思います。解答通りなら、共有点が2つあるべきなのに、解説の図は共有点が無く、この場合の正解は全ての実数になってしまいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サ－バの容量を節約するために画像の使い回しをしていて，違う番号の画像を貼り付けていたようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点１について／17.12.30］

ありがとうございます。子供に教えるために検索しました。外分点の「一方の足は必ずPを踏んでいる」なんて、すごくいい表現ですね。勉強になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.12.30］

とても分かりやすくて良かったです式=((a+1)x−a)((2a+1)x+(a−1)) =(ax+x−a)(2ax+x+a−1) これとても参考になりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの定義，大きさ，向きについて／17.12.30］

例(2)で「ベクトル●●●●●の大きさ（長さ）が３であるとき」とありますが（●●●●●の所には「ベクトルaの絶対値＝ルート２」の式が入っている）、ここはベクトルaの絶対値だけでないと、文章としておかしいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．違う図が貼り付けてありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数不等式について／17.12.30］

わかりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式（絶対値付き）について／17.12.30］

(3) |x2-1| <= |x-1| の答えが -2<=x<=0,x=1 （解説の通り）で間違いになっております。
(4)の|(x-1)(x-2)|<=|(x-3)|なので答えにも等号=が付くのではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いずれも訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.12.30］

1番の回答の説明が2番の回答の説明と同じになっていますよ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC版の方でコピーミスがあったようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[センター試験問題２次関数について／17.12.29］

２０１３年以降のは載せないのですか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページを作ったときに，まだ2013年になっていなかったということですが，時間的に余裕ができたら考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／17.12.29］

三辺の長さが解って角度を出したいと思ったのですがこの式をそのまま自分の思い描いている式と答えを出すにはだいぶ時間がかかると思いますが少しだけ理解できたのかもしれません　ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示で表された関数の導関数について／17.12.26］

たいへん勉強になっております。さて（4）について解答は　－cosｔ/sinｔ　なのではないでしょうか？ｔに条件がないので、ｔ＝π/2の時、tanｔは定義されません。よろしくおねがいします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校によって（学科によって）は，cottを習わないことがあるため， $-\cot t$ を避けて $-\frac{1}{\tan t}$ としたものですが，そうすると確かに北極と南極の接線は表せません．
ただそれは，ｔに条件がないからということではないです．他にも，赤道上でも接線はありませんが，一般に分数関数，無理関数を条件を示さずに使うときは「その式が定義される範囲で使う」ことになっています．だから，この形で書くと赤道上でも北極，南極でも接線は考えていないことになり，あなたの流儀で書くと，赤道上は助からないが北極と南極は助けられるということになります．
このような除外点を個別に検討すると，すべての問題についてｔの値の範囲を書かなければならないという解釈になりますが，この教材では初歩的に媒介変数表示から微分する練習として，「関数なり導関数が意味を持つ範囲で成り立てばよい」という普通の解釈でやっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[陰関数の導関数について／17.12.26］

問題に正解した時に右側に出てくる絵が少し分かり辛いかもしれません。文字で正誤を表示していただけると尚良いと思われます。他はとても分かりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．文字も入れることはできます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分（多項式，分数関数，無理関数）について／17.12.23］

分母の有理化を行う問題の解答欄、分子が８－√２となっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算間違いがありましたので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示で表された関数の導関数について／17.12.23］

例３dy/dxがdx/dxになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■？［？］[17.12.18］

チェバの定理とメネラウスの定理はどのページに記載されていますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校数学Ａの平面幾何の単元は，今のところ扱っていません．教材のまとまりから考えると，中学３年生の相似図形の応用あたりに押し込んでもよいかなと思いますが，まだ作っていません．そのうち考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／17.12.18］

誤植だと思います。問３　２次関数y=−(x−t)2+1の区間0≦x≦1における最大値と最小値を求めてください．で ○最大値ア<tのとき，x=イで最大値ウをとるの符号がア>tのとき、としなければなりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．不等号の向きが逆ということで，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[度数分布表から平均値，分散，標準偏差を求めるについて／17.12.18］

教科書に、グラフの相関関係が正か負かまたは無いかの見分け方は、傾向によると書かれていたのですが、『傾向』に、対する具体的な表記が、されていないため、どのように見分けたらいいのか戸惑います。具体的な定義もしくは完全な見分け方があったら教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材と質問がどう関係しているのか通じません．
　何の教科書の何の項目のことなのか分からない状況では，広く浅く多くの人に関係しそうなことを推定して答えることになります．
　統計の話で，回帰直線の傾きのことを聞いておられるのなら，相関係数を求めて正か負を見れば分かることですが，奇妙に思うのは，その個所を習っておられないのなら，この質問はあり得ないし，習っておられる場合には，なぜその質問があるのか不思議です？？
相関係数

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ記号の変形について／17.12.16］

(5)がわかりません。3k-2ではないのでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１週間前に同じ質問に回答したばかりです．
$\sum_{k=1}^{n+ 1}3k-2$
は間違いです．
$\sum_{k=1}^{n+ 1}(3k-2)$
でなければなりません．
入力方式にする以上，空欄がかっこに囲まれているように見えるのが読者に酷ですが，これは防ぎようがありません．選択問題にするのなら，上記２つの選択肢を含む選択肢から選べることになりますが･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積の微分について／17.12.16］

こんにちは。良かった所：積の微分について知りたいと思っていろいろ探しました。ほとんどのサイトや動画は公式の覚え方しか示していなかったのに、このページでは、公式の証明ものっていたので面白かったです。証明まで紹介しているところは、他には一か所しかみつからなかったです。その他：公式の導き出し方がひじょうにかっこいいと感じました。いったい誰がさいしょに思いついたのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．1650年代にニュートンやライプニッツが微分積分学を始めた頃には，既に積の微分法の公式はあったと思う．
筆者も半世紀以上前に公式は習いましたが，つなぎの図は自分で作りました．「縦横が何を表しているのか口では言いにくい」とつぶやきながら，さっと見せて後は知らん顔というのがつかみのコツかな．

■京都府[ワンワンガンプさん／17.12.13］

こんな丁寧なサイトを運営いただき感謝申し上げます。かけだし技術者ですが、高校数学に立ち返って学習したいとき、このサイトを発見して感激です。これからもよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／17.12.13］

複素数の範囲での解説もお願いします。ｘの4乗-1の因数分解です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数の範囲での因数分解は数学Ⅱで扱っています．
なお，このページの解説に沿ってwxMaximaをインストールし，画面上で空打ちをして入力欄を作ってから

gfactor(factor(x^4-1)); SHIFT+Enter

とすると，次のように因数分解の結果が出ます．

(x-1)*(x+1)*(x-%i)*(x+%i)

wxMaxima上では虚数単位は %i で表されています．
※このレベルなら暗算でできますが，筆者が計算間違いしそうな問題は，wxMaximaを検算に使っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.12.13］

4x＜8
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その問題が解けないので解いてほしいということのようですが，このページを読んだ人はそのような質問はしないはずです．あなたはこの頁をほとんど読んでいません．だから分からないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の移動について／17.12.12］

誤植があります。　【例】 (1) 元のグラフの方程式：y=3(x−1)2+2 y=4の直線に関して線対称移動（t=2q−nで求めてもよいが，算数的に1→4:+3だから4+3=7としてもよい）新しいグラフの方程式：y=−3(x−1)2+7 は… 算数的に2→4:+2だから4+2=6としてもよい）新しいグラフの方程式：y=−3(x−1)2+6 …です。
誤植があります。 (B) yについて解かれていないとき f(x, y)=0のグラフをx=pの直線に関して線対称移動してできるグラフの方程式は f(x, 2q−y)=0 になる．＊y=pの直線に…です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．場所が分かりにくいですが，【y=qの直線に関する対称移動：要点】の下半分がコピペの後，書き換えができていない部分があるということで了解しました．ただし，y=qの直線に…です。

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／17.12.12］

わかりにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そういう人がいてもおかしくはない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／17.12.11］

ひとつだけ暗記し、後は思い出して計算する、同感です。符号の変化に注意（+→-，-→+）と解説していらっしゃいますが、たとえば sin(-a)=-sin(a), cos(-a)=cos(a) sin(a+π/2)=cos(a), cos(a+π/2)=-sin(a) が分かればsin(a+b)からcos(a+b)が出ます。符号を暗記するより、sinとcosの位相ズレを知る方が将来的に有望な気がします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．位相のズレで考える方が将来的に有望というのはその通りですが，この教材は高校２年生の初めの頃に習うものですので，位相で説明すると９割以上の生徒は学習を放棄ことが手に取るように予測できます．だから，この場面では言いたくても言うと混乱するのです．
位相のズレで説明すると，三角関数の微分も積分もπ/2だけ進むか遅れるかで処理でき，フーリエ級数の微分は行列の積で処理できますので，今日的なコンピュータ処理に適しています．波動方程式などの解を変数分離型のフーリエ級数で求めると，偏微分方程式を解く問題は，行列計算で機械的に処理できるはずだと夢が膨らんで･･･アー誰か止めてくれ．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／17.12.11］

理科であれば巨大な数字を10の累乗で表すと記載されているのですが問題だと10の2乗まで細かく乗っているのですがその場合はどうしてその様になるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの問題に対して何を質問しているのか通じません．「問題だと10の2乗まで細かく乗っているのですが」と質問されていますが，そのような事実はありません．
ここから先は，推測で答えるしかありませんが，まず「有効数字２桁のものと有効数字２桁のものを掛けたときは、四捨五入して有効数字２桁にします。」「割り算の場合も、有効数字の少ない方の桁数まで求めます。」と書いていますように，有効数字２桁の小数，例えば3.1と有効数字３桁の数字，例えば 2.72，有効数字4桁の数字，例えば1.414の次のような積や商はいずれも有効数字２桁（一番精度の低いもの）になります．
$3.1\times 2.18\times 2.236=11.92...=1.2\times 10$
$3.1\times 2.18\div 2.236=5.96...=5.9$
$3.1\div 2.18\div 2.236=0.8060...=8.1\times 10^{-1}$
その理由は「有効数字の桁数が異なる場合の取り扱い」という項目に書いていますが，怪しい数字？が１つでも絡んでいる桁は怪しいとみなすと，「有効数字の桁数が最も小さいものに合わせる」と覚えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／17.12.10］

最高
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ記号の変形について／17.12.10］

こんにちは。(5)の解答、helpと異なっているのでは？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問は以前にもあったように思う．もし，あなたが 3k-2 が正解になるはずだとお考えなら，それは違います．このページを読んで，かっこが必要な理由を考えてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数の符号について／17.12.10］

bの符号が読んだのですが一向にわかりません。何故頂点のx座標が関係してくるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたが今日読んだのはそのページだけです．基本問題をやらずに，いきなり応用問題をやって「分かりません」という場合に，自分のやり方の間違いに気付かないといけません．先頭にあるサブメニューでもっと前の基本の項目から読むのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／17.12.09］

問題数を増やして欲しいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１つのページに問題を詰め込んであるよりも，必要に応じて様々な問題ができるように，いくつかのページに分けてあります．先頭のサブメニューから，前のまたは後ろのページを選んで，前後の教材を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.12.09］

非常にわかりやすい練習問題があるのは高評価
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸近線の方程式について／17.12.08］

素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数のグラフについて／17.12.08］

うーん、難しいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いや，このページに書いた勘が働かないと，問題を解くときに見当をつけにくいのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.12.07］

同じような式が消える理由は、計算しても残らないから、１つにまとめるのですね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どういうことを言おうとしておられるのか通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の２倍角公式,半角公式について／17.12.06］

先生から、出された特別問題一般に、実数の角度において（180√（2-2cosΘ））÷θ<πである事を示せという問題が解けません。教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．子供の宿題に答えを教えるようでは，日本の未来が危ないな～．そんな甘いことはしない．
（読んでいる教材と質問している単元が全然違います．弧度法の定義と余弦定理を使って，扇形の弧の長さが弦の長さよりも長いという．ただし，問題に条件が不足しておりθ≠0が必要）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のセンター試験問題について／17.12.06］

今日は。いつも参考にして頂いています。2011年度の0≦x≦bにおける２次関数①の最小値が－1/4であるときの問題の途中の式が2b2+2b－1=0から (2b－1)(b+1)=0になっているのですが因数分解の式が間違っているのではと思います。宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに，その部分おかしいので直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分集合，集合の包含関係について／17.12.06］

重ね重ね質問すみません。私は11月7日に、集合の範囲で、一度質問させて頂いた高校生です。貴方の回答は、とても参考になりました。ありがとうございます。まず全体集合の補集合が空集合に、なる証明方法がわかりましたので載せておきます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　U=A∪Ā 両辺を補集合にするとドモルガンの法則より　　Ū=Ā∩A Ā∩A=∅（AとA以外の共通部分は、ないため）より、∅=Ūである。と、ここまでは、分かったのですが。この式にU=∅を、代入すると、（空集合が全体集合の時）　　　　　∅=∅の補集合となり、明らかに矛盾しているように思えます。これはどうしてですか？簡単に、かつわかり易く回答して頂けたら、幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
あなたの考えでは，一般に $A=\bar{A}$ が成り立つはずがない（特に $\empty=\bar{\empty}$ が成り立つはずがない）と決めておられますが，次の関係が成り立ちます．
$A=\bar{A}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}A=\empty$

すなわち， $A$ と $\bar{A}$ が等しくなるならば， $A=\empty$ になり，逆に $A=\empty$ ならば $A$ と $\bar{A}$ が等しくなります．
前回の質問と今回の質問に共通して，あなたの思考は集合という概念に終始している傾向があります．そもそも，集合は「もの」の集まりなので，難しくなったら具体物である「もの」をもってきて考えるとよいでしょう．このページ（集合の要素を用いた証明）を読むと少しは分かるようになるかもしれません．
前回も書きましたが，空集合は要素が何もない集合です．すなわち， $\empty=\big{\hspace{10}\big}$ ．言葉で言えば，そんな「もの」はないということを空集合で表しています．

（余計混乱するかもしれないが，興味や関心は深まりそうな参考）
集合の要素を用いた証明では， $A\subset B$ とは， $x\in A\rightarrow x\in B$ が成り立つことと定義されます．
例えば，「犬ならば動物である」が真であるのは，犬の集合の任意の要素 $x$ （これが具体的な１匹の犬）をもってきたら，必ず動物の集合の要素になっているからです．
ところで，集合の公式として，任意の集合 $A$ に対して
$\empty\subset A$
という公式があります．これを集合の要素，すなわち「もの」で考えると，次の関係式が成り立ちます．
$x\in\empty\rightarrow x\in A$
そもそも，要素が何もない集合が空集合なので，この式の仮定の部分 $x\in\empty$ は間違っています（偽）ですが，式全体は真になります．それは，「仮定が間違っていれば，どんなことでも証明できる」ということを表しています．筆者が気に入っている逸話：あるとき論理学者バートランドラッセルが「仮定が間違っていれば，どんなことでも証明できる」といったら，新聞記者が「それでは，あなたがローマ法王であることを証明してください」と言った．ラッセルは少しも慌てずに，次のように答えた．
「もし，２が１に等しいなら」（これが間違った仮定）「２人の人，ローマ法王とラッセルは１人の人になる」．以上によって証明された．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理関数（２次式の平方根）の定積分について／17.12.06］

上記の、すなわち，x=sinθとおくことにより， _ _______ √1－x2=√1－sin2θ=±cosθ（符号は選ぶ）の、「符号を選ぶ」は、　±cosθ ≧0となるように選ぶのであっていますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．定積分なので，置換した後のcosθの符号をどちらに合わせばよいかは，区間を見て考えます．
たとえば，そのページの例１で

x	0→1
θ	π→π/2

の区間を使って置換積分を行う場合は，cosθ≦0になるので， $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\theta}=-\cos\theta$ とします．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法（不等式の証明)について／17.12.06］

問題欄において、[?]を押した後に選択肢を押しても反応しないので確認をお願い致します。ブラウザはChromeです。あとこの他に数Iの［三角比と図形］の「三辺→角」と「筆算だけで解く問題」の両ページにおいて、 1問正答した後に2問目が選択できなくなるのでご確認をお願い致します。この数Iの両ページはページ内にアンケート送信欄が無いのでこちらでまとめて報告させていただきました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いずれのページも携帯用ページは訂正済みでしたがPC用を訂正するのを忘れていたようです．訂正しました．また２つのページについて送信欄を付けました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.12.05］

１次不等式の分数がある計算について教えて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説は少し書いてあり，他の取り扱いは１次方程式と同様（不等号の向きとか等号の有無はある）ので，教える側から見れば大した違いはないように思いますが，習う側から見れば，構えなければならないくらいの違いがあるということでしたら，幾つか追加は可能です．数日かかります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／17.12.05］

すごく分かりやすく、テストでも良い点をとることができました。ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の値(270゜～360゜) について／17.12.04］

第4象限の角、公式（6）では cosθ（270°+θ）=sinθ と、符号がプラスになっていますが、その下の例では cos345°=cos（270゜+75゜）=-sin75゜と、符号がマイナスになっています。この場合どちらが正しいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．よく見つけてくれました．公式の方があっていて，cos345°とtan345°の方の符号が入れ替わっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.12.04］

全然わかんないちんぷんかんぷん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．基本問題を先にやってから，応用問題に進みましょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点について／17.12.04］

わかりやすいし、問題もあって嬉しい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／17.12.03］

本当にわかりやすかったありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.12.03］

すごくいいとは思うのですが、どれを選んだかわかるようにしていただけるとなお助かると感じました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その方が分かり易いと思うことで，直せるものは直すという考え方で，直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／17.12.03］

x(2ーx)>0なども入れて欲しい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．基本が分かるようになったら，まとめのページもやってください

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分母の有理化について／17.12.02］

(7)の回答の選択肢、左から2つ目の分子が誤植？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．%2Bと書くべきところを%3Bと書いていたようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.12.01］

このページの問題を解いたのにも関わらずトップのメニューのところに印が付きません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なぜかそのページのPC版で記録用のページ番号が抜けていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分(多項式2)について／17.12.01］

高校の期末考査出るところを勉強したい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．学校にもよりますが，定期試験では習ったところ（１つの章くらいの範囲）が出ます--つまり，あまり変な問題は出なくて，習った範囲は幅広く全部出ます．画面左側のサブメニューをたどって浅く広くやるとよいでしょう．--抜けている箇所を作らないことが重要です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（等比形）について／17.11.29］

「例と答2」の(9)参考(B)の解説でS-S/2ではなく、2S-Sではないでしょうか。前式では答が合わず、泣けてきます。2S-S=Sで計算すると、この答になります。よろしく教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．S-S/2でも2S-Sでもできますが，公式どうり言えばS-S/2のつもりですが，変形ミスがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（まとめ１）について／17.11.29］

Ⅲ７（２）でe^（x^-2)はe^(-x^2)では？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.11.29］

単なるミスプリでしょうが、例８の解答のｘが+に見えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．+は１つですので訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／17.11.29］

素晴らしい講義です！半世紀にわたる疑問が解消しつつあります。こんな授業を高校生時代に受けることができていたら、人生がもっと違っていたかもしれません。有難うございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／17.11.27］

中学生です。今ちょうど2乗に比例の式をやっている３年生ですが、高校見学に行った際、数学の授業でグラフに円が書いてあって『何これ面白そう』と思い“円グラフ式”と検索し調べていました。他のサイトはどこも高校生向けというか、難しく中学生の私にはわかりませんでした。しかしここのサイトは中学生でもできるように基本的な平方完成の仕方やルートの計算などこれでもか！とくらいにわかりやすく、円についてよく分かることが出来ました。作られた問題は全て満点でとても気持ちが良かったです。高校の数学もそんなに難しくないですね！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次の不定方程式について／17.11.27］

問題4の答え違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答としては違っていませんが，細かな訂正が幾つかありました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｒ^ｎの極限について／17.11.27］

よかっあ！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.11.26］

分かりやすく理解できました。ありがとうございます。 [Ⅶ][Ⅸ]の見分けるのを早く出来るのには練習しかないでしょうか？コツがあれば教えて頂きたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．[Ⅶ]と[Ⅸ]は全く違うものです．ゆっくり見れば分かります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.11.26］

なんとなく大体理解することができました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の部分積分法について／17.11.26］

採点後のマークが大変分かり難いため、〇と×等のようなシンプルな画像に差し替えるべきだと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．珍しい意見です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／17.11.26］

定期テスト対策にちょうどいいです。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの定義について／17.11.26］

説明文が分かりやすく、間違えた後の解説もあるのでとてもやりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.11.24］

問の正誤がすぐわかるので便利です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／17.11.24］

例5についてですが、P(1)のときに矛盾が発生しませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．鋭い指摘です．
P(x)=(x−a)(x−b)Q’(x)+Ax+B
P(x)=(x−b)(x−c)Q”(x)+Cx+D
のときA,B,C,Dは自由度4で気楽に決めるわけにはいかない（自由度3しかない）ということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／17.11.23］

とてもわかりやすかったです！ありがとう。当年60歳！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.11.22］

理解できました！！！助かりました！！！本当に分かりやすかったです！これからも活用させて下さい😁
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／17.11.22］

楽しく解かせて頂いています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.11.21］

問題《5》についてですが、先生の並ぶ順番が回ることを除いて1通りなのはなぜですか？
＝＞［作者］：

連絡ありがとう．上のＡ，Ｂ，Ｃ，・・・，の並び方は円順列としては同じものです．「向かい合う」という指定があれば２人のＴ（先生）の相互関係は回ることを除いて１通りに決まります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分について／17.11.21］

上記問題１（５）の解答、はじめの　２１分の１は６分の６４の間違いだと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（数学II.多項式）について／17.11.21］

上記　（多項式の積分は、「展開してから」公式(2)を利用して行う）のところ、2分の３x　ではなく、２分の３xの二乗だと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の図形問題について／17.11.20］

ここの【問題５】の(1)と(2)の解説の一部がわかりません。 (1)の解説OA:ABはOA:OBの記述ミスなのでしょうけど OA:OBの比率がわかったからと言ってABとの比率は決定しないわけでその説明で何故角OABが直角だとわかるのかが理解出来ません。 (2)の解説も右図のようにとありますがどうしてそんなことがわかるのかも理解出来ません？ (1)は (β-α)/α=bi　より　AB/OA=bi　で角OABが直角とわかる (2)は点CをOCの中点がBとなるような点として仮定した場合 (2β-α)/α=(1/2)bi　より　AC/OA=(1/2)bi　で　角OACが直角とわかるので OCが直径で中心Bの円上の点がAとなりOB=ABとなるこうやって理解することなら出来るけど
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の理解しやすいロジックで解いてもらったらよいでしょう．
１つの考え方として，(1)β=α+α・bi…αにαと垂直なものを足せば直角三角形になる (2)β=1/2α+α・bi…αの半分の位置からαに垂直なものを足せば垂直二等分線上にあると書いてあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積３について／17.11.20］

独学の僕でもわかる解説の丁寧さと多すぎず少なすぎずといった問題数。このサイトに出会えて良かったです。今夜は興奮して寝れそうにないです。筆者さんに感謝
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積２について／17.11.20］

分かりやすいです。今日からお世話になります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.11.20］

一つ一つの問題に解説がついていてよかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.11.20］

この頁の問題は、不等式を等式と考えて解き、X=答えになったあと不等式に変えれば簡単に解けますね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そうとも言える側面もありますが，それだけではないという側面もあります．不等号がどちら向きか，等号付きかどうかはていねいに扱わないと失敗することがあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.11.20］

中学二年生初見でも理解できました。作者さんすごいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数の方程式について／17.11.19］

4題ある、穴埋め問題の最初の問題の最終的な答えはf(x)=x^2+4x だけでなくf(x)=-4 もあると思うのですが、どうでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど，その場合が抜けているようですので，書き加えました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／17.11.18］

問7のcosβの答えは－√15/13ではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．13²=169で12²=144，169−144=25です．質問者はその計算を間違えていませんか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列，組合せ（章末問題）について／17.11.18］

公務員試験直前問題にとても役立ちました。なかなか苦手な問題ばかりを練習問題を探すのが難しく、とても力になりました。問５aaabbc の6文字のうち4文字を使ってできる順列の総数を求めよ．の途中の解説があれば嬉しかったです。でもとても良い問題ばかりで助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中の解説はHELPにあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 行列式について／17.11.16］

【行列式の性質III】(1)の記述についてですが、「～行列式はk倍になる.」ではなく、「～行列式は1/k倍になる.」ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$\begin{vmatrix}ka & kb\\ c & d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}$
を文章にすれば，「(1)　行列の１つの行（または１つの列）を定数k倍すると行列式はk倍になる．」です．
※行列式は単なる１つの値です（ここのところが重要）．だから，行列式 $\begin{vmatrix}ka & kb\\ c & d\end{vmatrix}$ の値は，行列式 $k\begin{vmatrix}a& b\\ c& d\end{vmatrix}$ の値と等しいと読まなければなりません．
$\begin{vmatrix}ka & kb\\ c & d\end{vmatrix}$ を $k\begin{vmatrix}a& b\\ c& d\end{vmatrix}$ に変形すると，行列の１行目の成分が1/ｋになっていると読むと，その等号が表す意味とは異なります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[y=sin(θ-α）のグラフについて／17.11.16］

解説をした後に実話際に数問解かせてもらえるのがとてもいいと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／17.11.15］

問3の(2)の解説正しくは(イ)-1+√6<x<2だと思います確認お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説を解答に合わせました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／17.11.15］

わかりやすい！！問題付きで助かります。これからも頼りにしています！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数方程式について／17.11.14］

真数条件より、x＞0。という表記が教科書や参考書によって書いてあったり無かったりする。全ての場合で真数は正だから、とりあえず書いておけば原点はされないだろうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．答案全体の構成方法として，(1)原式と必要かつ十分に（つねに後戻りできるスタイルで）変形していく方法　(2)とりあえず必要条件を満たすものから捜査範囲を絞って行き，しかる後に，最後に十分性を満たさないものをはねるという方法があり得ます．
(2)の方法で答案を構成する場合は，x＞0は途中経過には必要とは限らず，最後に撥ねればよいことになります．
あなたが，どちらのスタイルで答案を書くことが多いのか分かりませんが，初めの段階で「とりあえず書いておけば減点はされない」可能性は高いでしょう．
なぜなら，満点でない答案を採点する場合（部分点を付ける場合），採点官としては横の調整上（他の採点官との公平性を確保するために），「これが書いてあれば何点」というように決めるので，その可能性は高いです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法（不等式の証明）について／17.11.13］

採点されません…クリックしても反応有りません…残念です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの使っているChromeで点検しましたが，問題なく作動しています．おそらく質問者は，問題を選ばずに答を選んでいると考えられます．- - 画面上に書いてありますように，「※初めに [ ? ] で示される空欄を１つ選び，続いてその空欄に入る値を右の選択肢から１つ選べ．」です．問題を選ばなければ答は決まりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／17.11.13］

大学生になって重複組み合わせが気になってこのページにたどり着きました。具体例で考えるのがとても分かりやすかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[グラフの平行移動について／17.11.11］

すいません。ドラマで出た以下の情報だけでこの問題を解いていただけないでしょうか？丁寧に小学生にわかるようによろしくお願いします 4xー3・2^+2≦0 3・2^の2の横の^マークは2の右肩にxがついている(2をx乗している)と言う意味です。この情報しかありません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材と全然関係ない問題で，また指数関数は小学生だけでなく中学生でも分かるようにはできません．問題が正確に再現されていません．答だけならコンピュータに書き込めば出てきます．x≦0.8868684983, 1≦x

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の解と係数の関係について／17.11.11］

わかりやすくまとめていただきありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[最大公約数,最小公倍数,ユークリッドの互除法について／17.11.11］

とても分かりやすいです。参考になりました、ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相関分析について／17.11.09］

質的×質的、量的×質的もスピアマンで可能でしょうか。ぜひご教示お願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問が省略しすぎということもありますが，管理人はその部分はあまり得意ではないので，答えられません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分集合，集合の包含関係について／17.11.09］

私は、高校一年生なのですが、集合の範囲でどうしても納得できない所が、有ります。全体集合の補集合が何故空集合なのかが分かりません。空集合は、あらゆる集合の、部分集合になっているので、当然、全体集合の部分集合にも、空集合は、含まれる（要素になる）筈です。この様に考えると、もし、全体集合の補集合が空集合ならば、全体集合の要素が、全体集合以外のものという意味になり、明らかにおかしいように思えます。何故この様になるのかを、出来る限りくわしくわかり易く解説を、して頂きたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いきなり無が空しいことを言ったというような超越的な話に入らずに，もっと普通のおとぎ話から始めます．
鳥軍団 $A$ と獣軍団 $\bar{A}$ がけんかをしているときに，コウモリ軍団 $\empty$ が両方に入っています．
$A\cap\bar{A}=\empty$ …(1)
鳥軍団 $A$ が完全に勝ってしまって（ $A=U$ ）獣軍団 $\bar{A}$ がいなくなってしまった（ $\bar{A}=\empty$ ）場合でも，コウモリ軍団 $\empty$ は両方に入っています．
$U\cap\bar{U}=\empty$
実は，コウモリ軍団には，兵隊が１人もいなかったのです．
$\empty=\big{\hspace{20}\big}$
一般に(1)のように，任意の集合 $A$ とその補集合 $\bar{A}$ のどちらにも入っているものはありません．
$A\cap\bar{A}=\big{\hspace{20}\big}$
何もないことを空集合があるという．
$A\cap\bar{A}=\empty$ …(1)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列のｎ乗について／17.11.09］

岩手大引用の問題の(2)の答えで-2*4^n+1ではなく-2*4^n+2ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その１つ前のP⁻¹も含めて訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／17.11.08］

すっかり数学から離れて十数年になりますが、復習というより、再勉強で利用させていただいております。理解しやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.11.08］

問題4（3）の解説で x3+y3+z3－3xyz=(a+b+c){4(a2+b2+c2)－4(ab+bc+ca)} =4(a+b+c)(a2+b2+c2ab+bc+ca) =4(a3+b3+c3－3abc) 2行目が =4(a+b+c)((a2+b2+c2-(ab+bc+ca)) かと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．下から２行目でコピペに失敗しているようですので訂正しました．

■東京都[猫さん／17.11.07］

http://www.geisya.or.jp/ ~mwm48961/ kou3/sin004.htm のＴａｎ（θーπ）のヒントで、赤い点の位置が違うと思ったのですが、どうですか？あのヒントだと答えは－Ｔａｎになると思います。　もしヒントがあっていれば、解説をお願いします。　　また、わからないところで、sin（－θ－２π）のヒントがなぜ０にならないのですか？最後に要望で、９０－θや９０＋θの公式を具体的に、細かく解説して載せていただければ幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．赤い点の位置は確かにおかしいので訂正しました．
「sin（－θ－２π）のヒントがなぜ０にならないのですか？」は質問の意味が通じません．そのヒントでは，－θ－２πの位置が赤丸で示されているはずです．０になることはないでしょう．
「９０－θや９０＋θの公式」の公式はこのページにあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点と傾き→直線の方程式について／17.11.07］

数学Ⅱ 【点と直線】の『点と傾き→直線と方程式』の問題で、最後まで残った解答が【点（2,3）を通り傾きが-４の直線】と【y-3=2(x-4)】でした。答えの組み合わせがどこかで食い違っているようです。確認お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．6分の1の確率で，同じカードを２回配っていたようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[動径の表わす一般角について／17.11.07］

問題の図の線で、どちらがOXでOPなのかがわからなかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問者が本当に分からないことはないでしょう．「穿った見方をすれば，理論上」OXが毎回角度を変えて斜めになっている可能性があると言っているのだと思いますが，解説文，解説図，他の教科書などでもOXを右横向けに書くのは当然のことで，OXに斜めに書くことはないでしょう．
入試問題などシビアな厳格性が要求される場面では，あなたの言うクレームもありですが，授業のなかで行う10分間テストのレベルでは，この図で十分だと考えています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／17.11.07］

問題2のアが、どうしてK+1で正解なのか考えても分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．第1群に属する分数の分母と分子の和が2で，第2群に属する分数の分母と分子の和が3で，第3群に属する分数の分母と分子の和が4，...だから，第k群に属する分数の分母と分子の和は k+1 です．
　しかし，あなたが聞きたいのはそういうことではないでしょう．第ｋ群の分数の分母・分子「全部の」和と読んでいるようです．そのように読むと，次の文章とつながらなくなります．
　文章が多義性をもたないように，第ｋ群に属する各々の分数の分母と分子ということが分かる文章に直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.11.06］

例４で、2）t：－π→π/2でもよい。とありますが、この場合計算は一致しないのでは？一般的に置換するときは増減のない１to１対応でなければ計算は合わないような気がします。間違っていたらごめんなさい。。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．変数変換が１対１でないときにどうなるのかということについて，ゆっくり考えてみるのはよいことだと思います．そこの部分は踏み込んで書いていませんので，納得してもらえなかったかもしれません．
一般には単調増加な（または単調減少な）区間たとえば左図のc≦x≦dを使って行うというのが基本です．しかし，何らかの都合で左図のように，ｙがｘの値に応じて増減する区間を使って変数変換を行った場合，増減のある区間で行った定積分の計算は，「正と負がちょうど相殺しあって」0になるので，結果に影響しないということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[リッカチ形の微分方程式について／17.11.06］

お世話さまです直していただきありがとうございます。 v=u－1とおくと dvdx=－u^2dudx
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[リッカチ形の微分方程式について／17.11.05］

お世話様です。大変参考に成りました。ある一つ特殊解y1について、y=y1+uとおくような、工夫しているようですが、なぜこのようなことがおもいつくのですかね。尚、印刷版の方の左上の方の、文字が文字化けしているようです。私のパソコンのせいでしょうか? ã…ªã……ã‡«ã…†å½¢ å¾®å‹ƒæŒ¹ç¨‰å¼‘
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
前半：初めに考えた人が偉いということにして，後に続く我々は真似をするだけでしょう．
後半：文書自体は特に問題ありません．ブラウザの上端に表示されるタイトルがエスケープ文字に変換されているということではないですか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[リッカチ形の微分方程式について／17.11.05］

お世話様です v=u－1とおくとの後の微分のところにイコールが消えているようです。ご確認をお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／17.11.05］

分かりやすいのですが、文章の問題から表を自分で作らないといけないときもあるので、文章だけで、表を自分で作るような例文も欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.11.02］

高校に入ってから数学が全然理解できなかったけれどこの問題などで理解できました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１次不等式の解き方については，中学校の教科書から消えたり戻ったりしたので，高校の先生から言えば，できて当然と思う場合と全く習っていないと思う場合の態度の使い分けが大変です．一応どちらの場合でも対応できるように，全く習っていない場合を想定した教材として作りました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[曲線で囲まれた図形の面積について／17.11.01］

いつもありがたく利用させていただいております。問題2の計算間違い防止ルート探索(5)で検算の(x-1)^4の積分は良いのですが、3(x-1)^3の積分が違う様に思いますが確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おかしい箇所がありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／17.10.31］

第一象限や第二象限がよくわかりません。どのような時にどんな象限がきまり、それに対する答えがどうなっていくのかを教えていただきたいです

＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材の管理人（私）は，第１象限などの用語は中学校１年生で習って，その後自由に使いこなしていると思っていましたが，今の教科書を見ると，中学校の教科書には登場しないようです．
　象限という用語を使わないと，反比例のグラフが「どこ」と「どこ」にあるというようなことが言えなくなって不便だと思うのですが，そういう場所を表す用語はないらしい．
象限という用語は，高校数学Ⅰで初登場のようです．左図のように，x, yとも正の場所を「第１象限」といい，以下反時計回り（左回りに）第２象限，第３象限，第４象限とします.ただし，座標軸上はどの象限にも入れません．
三角関数との関係で言えば，象限ということを意識しないと，符号の決め方が分からなくなるはずです．
例えば， $\sin\theta=\frac{y}{r},\hspace{5}\cos\theta=\frac{x}{r}$ においてx, yは象限に応じて決まる符号が付いていて（符号付の実数），rだけは半径（長さ，符号なしの実数）なので常に正です．
だから，第１象限では $\sin\theta=\frac{y}{r}\gt 0,\hspace{5}\cos\theta=\frac{x}{r}\gt 0$
第２象限では $\sin\theta=\frac{y}{r}\gt 0,\hspace{5}\cos\theta=\frac{x}{r}\lt 0$
のように各象限に応じて三角関数の符号が決まります．［まずこれが重要］
逆に，三角関数の符号が決まれば，象限が決まる場合と決めきれない場合があります．
例えば， $\sin\theta\lt 0$ という条件だけでは，第３象限と第４象限の可能性があってどちらと決められませんが，さらに， $\cos\theta\lt 0$ という条件もついていると，第３象限に決まります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分について／17.10.30］

多項式の積や累乗の定積分の（i）の例の途中式∫2，1が［］3,1になってます。間違っていたらすみません、、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式（絶対値付き）について／17.10.29］

はじめまして、コメント入れさせていただきます。勉強のために使わせていただいております、ありがとうございます。さて、問題２の（３）についてなのですが、回答と解説が違っていました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説にそろえました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分：基本計算について／17.10.29］

いいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／17.10.29］

≪ここがポイント≫の文章が次の問題にかぶっていて見にくい部分があります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 円の方程式について／17.10.29］

ありがとう
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.10.28］

問題４の１回目の答えは(3x-2y-8)(6x+y-4)ではないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁では，プログラムによって問題，解説，解答を作っていますので，あなたが見ている問題と管理人や他の読者が見ている問題は違うものです．だから，問題４の１回目の問題という決まった問題はありません．あなたがもう１回その頁を見た場合にも全然違う問題になっているはずです．そんな訳で，質問や意見をいただくためには，問題のコピーとあなたが解答だと思う式を送っていただかないと，正しいとも間違っているとも言えないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.10.28］

とてもわかりやすくて、楽しく覚えられました！ずっと分からなくて困っていたので助かりました！明日の模試もがんばれます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．模試，頑張ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率のセンター試験問題について／17.10.27］

基本問題だったので楽しく出来ました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[グラフの平行移動について／17.10.27］

Yの正方向の移動は「右」ではなく、「上」のほうがいいと思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何かの都合で機械的に変換したようです．訂正しました．
カーニハン&リッチーがこう言っていたような記憶が：「２週間も経てば，他人のプログラムだ」

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.10.27］

要点より解が異なる実数解をもつときそれを、A,Bとしたときy=C1epx+C2eqx の式に代入するのはA<Bの場合pにはA、qにはBですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$y=C_1e^{px}+ C_2e^{qx}$
は任意定数倍の和なので，どちらが前でも順序に影響されません．
例えば，例１の場合， $r=-1,6$ が解だから
$y=C_1e^{-x}+ C_2e^{6x}$ …(1)
$y=C_1e^{6x}+ C_2e^{-x}$ …(2)
のどちらでもよい．（ $C_1,C_2$ の役割が入れ代わるだけです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数不等式について／17.10.27］

とてもわかりやすくて助かりました問題を解くところに関して、正解したところでも途中式が確認できるようにしていただけたらなと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．了解．「間違っていれば解説ボタンを表示する」→「間違っていなくても解説ボタンを表示する」というロジックに変更しました．
※「この要望は多いかもしれない」との判断で，かなりの頁で変更してきましたが，何しろ頁数が多いので，具体的に要望があった頁を優先的に変更しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／17.10.25］

よかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式...変数変換による解き方について／17.10.25］

こちらの計算ミスでしたら申し訳ありません。「(III)の例」の一般解が「y=x*(C*e^(2x))/(C*e^(2x)-2)」となっていますが、「y=x*(C*e^(2x)+1)/(C*e^(2x)-1)」ではないでしょうか。ご確認いただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の論旨の方が正しいようですので訂正します．変数が３個あって，分かりにくい部分も直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／17.10.24］

SD法からの因子分析で因子わけしたあとにこのF検定とｔ検定を用いて使うことができました。正直細かくはわからなかったんですけど、何に手をつければよいかわからなかったので大変参考になりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[位置ベクトルの応用について／17.10.24］

内容がとても簡潔でとても分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.10.24］

実生活で2進数を使うことはなかなかありませんが、この頁で、2進数の使い勝手の良さや計算のしやすさが実感できました。唯、10進数を変換するのが面倒に感じます…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（等比形）について／17.10.24］

例（9）の別解Bについてですが、Sの初項は2分の1ではなく、2の2乗分の1だと思います。それで解くと解答と同じになりました。1/2Sがbnになるのがどうしても理解できず気づきました。確認、よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.10.24］

問題が全てとけたら成績優秀などの文字が出てくるのは嬉しいですね^ ^
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／17.10.24］

問題3の(1)の解説の一行目がミスってます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分数を表示する関数のかっこが閉じていなかったので，分数が表示されていなかったようです：Frac_102('A+B','2','',4,4,1,'',''; → Frac_102('A+B','2','',4,4,1,'',''); 訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均の推定・信頼区間について／17.10.24］

分かりやすい解説で、やっと問題４まできました。ところが、問題４にあるgooleの広告が問題文に重なって意味が分からないので削除しようとするのですが、消えません。他の広告は、暫くすると台紙自体がきえるのですが、問題４に限っては、台紙のようなものが残って本文が見えません。仕方なくyahooで問題を確認した次第です。先生にお願いするのもどうかと思ったのですが、この欄を使わせていただきました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ChromeとSafariで表の形が歪んでいましたので訂正しました．（これら２つのブラウザでは，半角アルファベットの単語が長くなった場合に，改行せずに表の形が変わってしまうようです…今回トラブルのもとになった半角文字は = NORMDIST(61,60,4/8,TRUE) − NORMDIST(59,60,4/8,TRUE)）で，通常はハイフネーションで２行に分かれるか，丸ごと次の行に写るはずのものが，これを全部１行に入れるために表の形が変わるらしいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学Ｉにおける三角比の定義（復習）について／17.10.24］

第11問の答えは2分の√3だと思うのですが、解答では、2分の1と書いてあります。確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\sin 150^{\circ}=\frac{1}{2}$ です．解説図もそうなっています．質問者は120°と間違っていませんか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示で表された関数の導関数について／17.10.24］

「媒介変数表示のときの微分」のページの例2の問題で問題文にはdx/dxを求めなさいとなっているんですが、答えにはdy/dx=～となっています。自分は微分をやり始めたばっかりなんで勘違いしているだけかもしれませんがおかしいと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ペル方程式について／17.10.23］

双曲線の方程式　このページが出ません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC用のページでリンク先のディレクトリ階層が１段ずれていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／17.10.23］

内容は良いと思いますが、正直読みづらいです。2段組のレイアウトはやめたほうが良いと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．読みやすさというのは好みの問題で，正しいものというものはありませんが，通説に沿って１行文字数を35～40文字以内にしています．それよりも長いのは，英文のように改行が多いと単語のハイフネーションが煩わしい場合やその訳文では見かけますが，逆に学会誌で段組みでないものは見たことがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.10.21］

左の「現在地」の欄がとても使いやすくなってうれしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[小数を分数に直す練習について／17.10.21］

わかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理など公式一覧について／17.10.20］

素晴らしいです、高校の式より分かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡を受けるとその頁を見るようにしていますが，１箇所間違いを見つけましたので訂正しました- - 自慢するような話ではない！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の頂点の座標について／17.10.20］

私は中学生ですが、数検の勉強に役立ちました。しかし、問題の解答スペースで既に-記号がついているものがあり、符号の間違えに気づかなくなってしまう可能性がありました。なので、そこを改善して欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は一連の練習の中で初めの頁です．その頁ができるようになったら次の頁をやるのです．サブメニューで同5まであります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／17.10.19］

三人でじゃんけんをる時最初の2回があいこで3回目に2人が勝つ確率
＝＞［作者］：連絡ありがとう．自分自身の言葉がないと，質問しているのか意見を言っているのか分かりません．すなわち，その問題が間違っていると言っているのか，その問題（よそから持ってきた問題=宿題など）が分からないと言っているのか？
ほぼ同じ問題は確率の乗法定理のページ(問題６)で解説しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／17.10.19］

なんにもわからん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．YAHOO！から検索で直接にその頁に入られて，３分ほど見ただけで，前のページに書いてあることを読んでおられないようです．サブメニューで負の指数の定義を３０分くらいやってからそのページに戻るとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／17.10.19］

問題が実際に出来るところが良いです！１発で解決出来ました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直角三角形の辺の長さについて／17.10.19］

「三角形の辺の長さ」がnot found になっています! なんとかしてください!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC用に作った教材のレイアウトを縦長に直すのが無理なので，携帯用の教材がまだないためエラーになっていました．文字が小さくて見にくい場合は，iPhoneを横に持ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／17.10.18］

例題　次の群数列の第100項を求めなさい。の答え間違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．答は間違ってませんが，こういう質問があるということは，今の解説では分かりにくいということらしいので，解説の仕方を少し変えました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.10.18］

問一に誤りあり
＝＞［作者］：連絡ありがとう．誤りありではなくて，途中経過にあやしいものがあるということでは？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.10.18］

暗算で解けるのが一番良いのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が通じません．そろばんの足し算，掛け算のように，機械的な操作でできることを，イメージの中で行うことを暗算というとすれば，高校数学の中で暗算で行えることは，よく使う公式を覚えていて，それに数値を代入して答を出すような場合が考えられます．しかし，この頁に登場するような問題は，一時的な記憶に置いておいてそれらを足したり引いたりしなければならないので，暗算は無理でしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.10.18］

分かりやすい助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／17.10.17］

P値の理解の仕方として、確率なので１（100%）を超えることはない。 P値は有意差が無いと言える確率ということでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．有意差の有無は何らかの基準を設定して，その基準よりも外れていると「みなす」かどうかということなので，ワンクッション置いた２次的な判断・評価です．これに対してP値は，同一母集団から抽出された標本なのに偶然誤差で生じる確率を求めたもので，P値が小さいと「そのような極端なことが起こることはめったにない」ことになります．・・・「有意差がない確率」というロジックはあまり聞きません．先に確率と判断の境目を求めて，その後に判断しなければなりません・・・管理人の理解では，まず，「同一母集団から抽出された標本」という仮説を設定してそれが成り立つ確率をPで表し，P値が小さ過ぎたら，仮説が棄却されるというロジックだと考えています．
※ここのところは，慣れないと回りくどいですが，逆に「有意差がある確率=異なる母集団から抽出された標本である確率」を直接計算する方法がない=どれだけ違うのかを定式化する方法がないので，「同一母集団から抽出された標本である」という仮説が棄却されるかどうかを調べるという背理法の構成になります．有意差がある場合には，胸を張って「違う」と言えますが，有意差がない場合には，「同じだ」という積極的な根拠としては使えません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／17.10.17］

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式 ==（解き方まとめ）について／17.10.17］

問題2(2)の答えをクリックすると×が出てしっまてします。修正よろしくお願いします。とても分かりやすかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．申し訳ない，解説と採点のつじつまが合っていませんでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数分解（応用問題）について／17.10.16］

問４の（２）の(x²－y²－4)²－16y²この式を展開すると-２x²ｙ²という数字が出てきて答えが合いません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何と何が合わないのですか？
元の式を展開しても−2x2y2という項は出て来るので，整合性はあります．
それよりも，因数分解の問題を展開したら進まないのではないのですか？
そこに書いてある解説は読みましたか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.10.15］

(x-1)(x+2)(x+3)(x-6)は、Xの数を揃えるのではないのですね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．xの係数をそろえるのではありませんが，そこに解説があるのでそれを読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積の法則について／17.10.14］

このようなタイプの問題集は面白いと思うのでこれからも続けて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数について／17.10.14］

平成21年度技術士第一次試験問題の解説が間違っているので報告します。 1 < (√3)/2 < √3 だからと書かれていますが、実際には tanγ = (√3)/2 ≒ 0.866 < 1 です。ゆえに、tanγ が tan(π/6) = 1/(√3) ≒ 0.577 よりも大きいことを示す必要があります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ていねいに読んでくれてありがとう．管理人の注意力がそこら辺で途切れていたようです．訂正しました．
ついでに，三角関数の記号がイタリック体になっていたのも直立体に直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／17.10.14］

例題で右図とあるのですが、その図が解説の下にあり見難かったです。その他は解きやすく、勉強がスムーズにできました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC用の教材を携帯用の教材に作り替えたときに，左右に並んでいた文章および図を上下に並べ替えましたので，右という言葉が残ってしまったようです．この頁は直しましたが，他の頁で同様の食い違いがまだ残っている可能性は大です．お気づきの場合はまたお知らせください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般項の記号について／17.10.13］

面白すぎぶっちゃけこれやってれば学校の授業なんて受けなくていや
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いやいや授業は大切です - - おごれる平氏久しからずともいうので謙虚に攻めよう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同じものがあるときの順列について／17.10.13］

携帯版で、答えを選択すると発信の画面になり、選択できないものものがあります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．携帯で確かめましたが，iPhone, Androidいずれもエラーはありませんでした．なお，「…ものがあります」という書き方では，管理人側から読むと全部調べてくださいという意味になりますので要注意です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列について／17.10.12］

順列の式はnPr, 組合せの式はnCrで、PとCはそれぞれpermutationとcombinationの頭文字と説明されていますが、nとrはなぜ選ばれるのでしょうか？ nは natural numberではないかと推測するのですが、そう断言しているものを見たことはありません。rの方は推測さえできないのですが、もしかすると、remnantかも知れないと思い始めています。本によって、またサイトによってはnPk, nCkとなっていますが、kとなると候補がまるでおもいあたりません。ご教授頂けたら幸いです。中高で英語教師をしているものです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，式としては前後関係から必要となったアルファベット小文字は何でも使えるでしょう．単に公式を説明するような場合は，26文字のうち２文字が自由に使えるときにどの文字を使うかというのは，ほとんど習慣によると思います．
　FORTRAN77で整数を表す変数はI～Nでなければならない，他の文字はこの制限を受けないとされていたように，整数を表す変数は i～n が好まれます．ただし，特に必要がなければ，i,l,oは避けたいです．iは分野によっては虚数単位や電流と混同しやすい，lは数字の1と混同しやすい，0は0と混同しやすい．これらの事情から手書きでコーディングするときは，oにはオーバーラインを付けるなどの工夫が普通に行われていたようです．しかし，必要があれば使います．次の例は行列Ａ，Ｂの積ＡＢのi行k列成分を表す公式です．
$\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}$
次にrのことですが，確かに母数をnで，抽出される方をrで表すことは多いようですが，組合せの公式は次の形で書かれることもあります．この公式では整数はi～nの文字で書くという習慣に合うようです．
$\begin{pmatrix}n\\ j\end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-j)!j!}$
等差数列の一般項 $a_n=a+(n-1)d$ の $d$ (difference)や等比数列の一般項 $a_n=ar^{n-1}$ の $r$ (ratio)は英語がそのまま残っています．関数では f が好まれ，素数では p が好まれるのも同様でしょう．
※以上を要約すると，公式をどの文字で書かなければならないという決まりはないでしょう．ただし，学習者は類似の書物も読むのだから，文化的伝承となっている習慣に沿って書く方が混乱が少なく読みやすいので，特定の文字で表すことが好まれるのだと思います．質問者は英語的に解決したいようですが，管理人の考えでは読みやすさと好みの観点を重視した解釈にしています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／17.10.12］

こんにちは。測量士補の国家試験合格した者です。こちらのサイトを参考書としてラジアンを理解できて本当に助けていただきました。高校の時ちゃんと習っておけばよかったと今さら後悔しきりです。現役高校生の若者たちよ！三角関数とラジアンはちゃんとやっておいたほうがいいぞ笑現役ドローンパイロット（UAV測量が生業で空撮は趣味の４８歳）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極座標について／17.10.12］

例３、Cの直交座標は（-２，２√３）ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[接線の方程式について／17.10.11］

全ての単元で丁寧なご指導ありがとうございます。極線の方程式（１）の解説の式で分母のaとbが逆ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに間違いですので訂正しました．
言い訳：次のような編集画面をテキストエディタで直接書き込んでいるので，目がチラチラして間違えたようです．
点 ... は，接線を表わさない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式１について／17.10.10］

授業でもついて行けなくて困っていましたがこちらの方がすごくわかりやすかったです！1人で解けて嬉しかったです！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.10.10］

学校の先生がわかりにくすぎるため、活用させてもらってます本当にありがとうございます助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／17.10.9］

大学1年です。教授の講義を聞いてもわからなかったのですがこのサイトを見ると1度で理解できました。非常に助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.10.9］

社会人でCG関係の勉強しております直線方程式と楕円の合成で、傾いた楕円の長径と短径を出すときに微分をせざるをえなかったのですが微分のパターンを丸暗記していただけだったので行き詰ってしまったのですが不定形極限値、導関数の定義の基本的な概念とやり方、微分係数がよく解り、無事導関数を導くことができました。ありがとうございますこれのおかげで、パース上の正円と楕円が卵型にならないと、自分を納得させることができそうです予備校で「東大で出題されることの多いパターン」ばかりを教わっていたのは、一体なんだったんだ？と痛感しました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数分解の入試問題について／17.10.8］

昔、受験生だった主婦です。受験数学はすっかり忘れていましたが、頭の体操にと、このページを使っています。前ページの解説が分かりやすいのでこちらのページの問題もすらすら解けますね。脳に適度な負荷をかけている感じで楽しいです。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路の問題について／17.10.7］

とても分かりやすくていいですね
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.10.7］

参考になります！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／17.10.7］

すごく参考になります！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の乗法の性質について／17.10.6］

難しいですけれど、面白いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／17.10.5］

まとまっていて、簡単な練習問題で演習しながら理解できたのでとても役に立った。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[整数の入試問題1について／17.10.5］

例題3のc<b+a<a+a<c+cの変形がおかしいと思います。b<aは成り立たないと思うのです。余弦定理b^2=c^2+a^2-acから、a<cのときb<cを示し、b+a<c+cとするのが正解と考えます。類題3.1についても同様の主張をします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全体構想に気を取られてしまって細部の詰めに甘い箇所があったということで訂正しました．
※手ごたえ十分の鋭い指摘で，管理人も目が覚めたようです

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分散分析･･･３つ以上の母集団の平均の差の検定について／17.10.4］

◇繰り返しのない二元配置法◇ ○　定義に従って表を組み立てるとき：（実務は分析ツールがお薦め）・・・ (4)　(誤差)=(元の値)-(行の効果)-(列の効果)　の表を右下に作る．・・・これは(誤差)=(元の値)-(全体の平均)-(行の効果)-(列の効果)　の間違いではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その文章には間違いがありましたので訂正しました…かなり以前から公開している教材ですが，今まで質問がなかったのは，実際の式の説明がその文章と関係なかったからかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／17.10.4］

問題2、４についてですが、「6Cr が最大となるrを求めるとあります」がなぜ最大を求めるのですか？教えてください。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．変わった質問だなという印象です．「...どの位置にある確率が最も高いか．」という問題なので，確率が最大となるｒの値を求めるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／17.10.3］

いつも参考にさせていただいております。ありがとうございます。放物線の方程式、２の焦点の働きと軌跡の説明のグラフ上のHの座標が(-p,0)になっていますが正しくはH(-p,y)ではないでしょうか？恐れ入りますが確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／17.10.3］

■２次関数の最大値・最小値（区間や関数が変わる場合）回答クリックできません涙直してほしいです(/_;)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．他のブラウザでは正常に表示できますが，Internet Explorerだけ作動がおかしいようです．そもそも図１とか図２も表示されていません．
IEについては互換モードで動くように設定していますが，これを外して正常に作動するようにしました．
※（不気味な話）上記のIE互換モード指定は，すべてのページで書いており，あなたも今日このページ以外の多くのページで見ています．他のページで問題なくて，このページでだけIE互換モードでエラーが起こるということでは，原因が解明できないままになっているということで不気味な話です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ ２次不等式（いろいろな問題）について／17.10.1］

問4 (2) の問題文に2x^2－(3a－2)x+a(a－1)>0 とありますが、解答にある(2x－a)(x－a+1)<0に因数分解するには2x^2－(3a+2)x+a(a－1)>0が正しいと思います後、(2x－a)(x－a+1)<0の符号の向きは>0だと思います追記:今朝の迅速な対応ありがとうございます。謝罪などは必要なく、こちらもサイトを利用させて頂いてる分、ご協力させていただこうと思ってますのでよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半の因数分解は，元の解説で正しいです．不等号の向きは訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式 ==（文字係数）について／17.9.30］

スマホ版の数1-二次不等式-文字係数の問題4 (1)ですが問題文に出てくる二次不等式(x2-(k+1)x+k(k+1)≧0)と解答で使用してる二次方程式(x2－kx+k(k－1)=0)が違うので答えが間違ってると思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２，３日前に作成した問題で，点検ミスがありましたので訂正しました．
※謝罪が先だろう！という正論がありそうかなとも考えつつ，点検担当者がいないため，結局読者が点検をやってくれている場合が多いなと，持ちつ持たれつの関係で成り立っているのかなと感心しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の表し方（オイラー図）について／17.9.30］

問題5(1)の解説 X=φかつY=φではなく X=φかつZ=φではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点，外分点の位置ベクトルについて／17.9.29］

線分ＢＡを２：３に内分する点の問題の答えと解説が一致していません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般の行列のｎ乗について／17.9.29］

計算機と　A^n　の関係が分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．単に何でも分かりませんと言えばよいわけではありません．たとえば，あなたには電卓で13×13×13= と入力したらなぜ答が表示されるのかは分かるのですか．（作者には分かりませんが）
･･･もっと具体的にどのレベルで何を答えてほしいのかが分かるように質問すべきです．
その行列のべき乗プログラムの中身を教えてほしいということでしたら，次のような単純なものです（ブラウザでソースを表示すれば見えます）．再帰は使わずに単なるループで求めています．

初めに入力された行列の成分を各々a11, a12, a21, a22とし，b11, b12, b21, b22はこれと同じものとしてスタートします．
１回の掛け算で得られた結果を一時c11, c12, c21, c22に保管しておいて，b11, b12, b21, b22に戻します．これを入力された回数 nnn だけ繰り返します．

 for(var kaisuu = 0; kaisuu < nnn-1; kaisuu++)
	{c11 = (b11 * a11 + b12 * a21);
 	 c12 = (b11 * a12 + b12 * a22);
	 c21 = (b21 * a11 + b22 * a21);
	 c22 = (b21 * a12 + b22 * a22);

	b11 = c11;
	b12 = c12;
	b21 = c21;
	b22 = c22;
	}

ループが止まったら，最終的に得られたb11, b12, b21, b22を表示します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.9.28］

例題が何問か出されていて良かった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数について／17.9.28］

自由度調整済決定係数について nの範囲が　n≧ p+1　となっていますが、（A')式において　n-p-1=n-(p+1) が存在します。 n= p+1の時、これは成立しませんので、 nの範囲は　n＞ p+1　ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そうなんですが，「n≧ p+1 のとき，重回帰分析を行うことができる．」「ただし，n=p+1 のとき問題有り」「自由度調整済決定係数は(A')で定義される」と書いてあるのです．「自由度調整済決定係数はn≧ p+1 のとき定義される」とは書いてないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数のグラフについて／17.9.28］

高校数学の復習に利用させていただいております。三角関数の周期の練習問題において、y=cos3θのグラフがおかしいように見えるのですが、いかがでしょうか。選択肢のグラフはy=cos3/2θのグラフに見えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.9.27］

一般解にはどうして三角関数が登場するのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まさにその説明が書いてあるのに「どうして」と尋ねるということは，オイラーの公式とかド・モアブルの定理が分からないのでその部分を読み飛ばしているということじゃないのか？
複素数を習っていない場合，その説明は無理ですが，一般解になっているかどうかは，逆算としてその解を２階微分，定数項消去で微分方程式を満たしていることを確かめることができます．- - 微分方程式の話では，答を知っていないと問題が解けないというのは「よくある話」だと考える人も多い．
※ほんとのことを言ったらよい子になれないのを覚悟で言えば：三角関数は指数関数だからです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式について／17.9.27］

問題7の回答の最初の|3 2 2|は|1 3 2|の間違いでは？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最初の部分が入力ミスで，訂正しました．その後は生きているようです．

■栃木県[takaさん／17.9.26］

こんにちは、takaです。部分的にやっています。内積と行列についてです。5頁くらい終了したのですが、ちゃんと合計されているのか分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに送信されたデータは空でした

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／17.9.26］

答えが分かってても答えれない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．iPadでの操作性の問題？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.9.26］

私は、行列について初心者でしたが、分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.9.25］

僕は中学生なんですが文が少し難しく理解できない場所がとこどことあった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それは高校向け教材なので，扱い方が違います．中学生なら中学生向けの基本を固める方がよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.9.24］

aベクトル✕aベクトルの内積のcosθはθ=0度の1ですがaベクトル✕2aベクトルの内積のcosθのθは0度なんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $2\vec{a}$ は $\vec{a}$ を同じ向きに２倍に引き伸ばしたものだから，当然それらのなす角は０°です．
蛇足ですが，ベクトルの内積に掛け算の記号×を使ってはいけません- - -それはベクトルの外積という別のものを表します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／17.9.24］

定数係数の２階線形微分方程式（同次）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．内容的には高卒程度なのですが，初めに教材を作ったときに，高卒程度という分類がなかったので，とりあえず高校に入れておいたようです．高卒程度は後から足していってできたもの．そんな訳で了解しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の相等，和，差，実数倍について／17.9.24］

わかり易かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列について／17.9.24］

成分と成分の間の空白は全角ですか、それとも半角ですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
どう答えたらよいのか困るような質問です．
(1)　手書きで答案を書いているときは，全角も半角も区別がないので，手書きの場合ではないと考えられます．
(2)　Wordなどのワープロソフトで書いているのなら，全角でも半角でも印刷したら真っ白だから区別はつきません．それよりも，縦横に並ぶようにセンタリングとか，１の位で右の揃えるなどの寄せ方をするでしょう．だから，ワープロソフトでも全角か半角かは問題にならないでしょう．
(3)　数式表示用，数式処理用ソフトではそれぞれのソフトごとの約束（%26 && <td></td>など）によるでしょう．しかし，全角スペースを使うことはまずないでしょう．
(*)　プレーンテキスト上の表←→Excel上の表で対応させるには，列区切を\tで，行区切りを\nで区切るでしょう．
こんな訳で，どこの世界の話なのか言ってもらわないと答え方に困るのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.9.24］

組み分けで6人を三つの組に分けるのに、特定の3人が同じ所に入る場合を求めよという問題で、特定の3人を選ぶ式がないのはなぜでしょうか? ⚠︎問題はここにあったものではありません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問は，主に順列・組合せで使われる「特定の」という用語の使い方が鍵になると考えられます．

６人の人を３組に分けるとき，特定の３人（源さん，平さん，徳川さん）は同じ組に入る･･･他の３人（豊臣さん，織田さん，足利さん）については特に制限はない･･･という問題を考えてみると，特定の３人は「選ぶまでもなく決まっています」．だから選ぶ必要はないのです．
結局，この問題では
(1) ３人，２人，１人に分ける場合 - - １人組に入る人を（豊臣さん，織田さん，足利さん）から選べば，他の組もすべて決まるから- - ３通り
(2) ４人，１人，１人に分ける場合 - - ４人目として合流する人を（豊臣さん，織田さん，足利さん）から選べば，他の組もすべて決まるから- - ３通り
(*) これ以外の分け方，例えば４人，２人，０人とか５人，１人，０人のように１人もいない組を作ると３組に分けたとは言わないから，(1)(2)より６通り

特定のという用語の使い方が，まだ十分わからないということでしたらもう１題．
「５人の候補者から３人を選ぶとき，特定の人Ａさんは必ず選ばれ，特定の人Ｂさんは必ず外れるように選ぶ方法は何通りあるか」
はじめから，Ａさんを当選させておき，Ｂさんを落選させておく．残り３人の候補者から２人選んでＡさんに合流させたらよいから₃C₂=3通り（バイキング料理で５種類のメニューから３つ選んで食べる場合に，好き嫌いがあってＡは必ず食べたいが，Ｂは食べたくないとき，メニューの選び方は何通りあるかという問題なら学習意欲がわいてくるかもしれません）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値（区間や関数が変わる場合）について／17.9.24］

山口です。こんにちは。例題2の『○最大値のア）tが0以下の場合、区間の左端で最小値になります』の最小値は最大値ではないでしょうか。間違っていたら、できたら、説明してください。お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点の内分点について／17.9.23］

図１のpとqが逆ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．本来の図ではなく，計算の仕方を解説した図になていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の内分点，外分点について／17.9.23］

七十近くになって学び直し中です。丁寧な解説で、何とか続けられております。有難うございます。例２が中点ではなく、２：１の内分点になっているのではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．作業の途中でコーヒーでも飲んでしまったのか，例１をコピーして場所を作っただけで後の作業を忘れてしまったようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／17.9.23］

有難うございました。少し解ったような気がします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／17.9.23］

sinhx=coshx?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問があるのなら言葉で書いてください．これらが等しくなることはありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（階差形）について／17.9.22］

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961 /electro/recurr_series1_m.htm から同（等比形）などのページがつながっておりませんスマフォからみてるのでソースまでは見てませんが相対リンクが./mobile/ページhtmlになってるようです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページは古い方のリンクで現在表示できないはずになっているのですが，どこかに古いルートが生きているのかもしれませんので調べます．なお，正しくは階差型，等比型です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数について／17.9.22］

よく理解できました　有難う御座います標準基底e1=(1) e2=(0) 　　　　 (0) (1) とするとこの基底で線形写像fに対応する行列(1.-1) (2.4) fを基底(1) (1) (2) (1) によって表すとき対応する行列に求めよ上記の解答をお願いしますよろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問を解読するのが難しいのと同様に，プレーンテキストで書かれたメールで行列を表すことはできませんので，web上で回答します．
そもそも質問内容が十分伝わりませんが，「標準基底で表された点 $\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$ が一次変換 $F=\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 4\end{pmatrix}$ によって点 $\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}$ に移されるとき
この移動を $\vec{b_1}=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}$ ， $\vec{b_2}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$ を基底とする座標で表したときの一次変換の行列を求めよ」という問題だとします．

すなわち，「 $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 1\end{pmatrix}$ であって，
$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\apos\\ y\apos\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}X\apos\\ Y\apos\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=F\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$ であるとき， $\begin{pmatrix}X\apos\\ Y\apos\end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix}x\apos\\ y\apos\end{pmatrix}$ で表せ」という問題ならば

$\begin{pmatrix}X\apos\\ Y\apos\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=A^{-1}F\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A^{-1}FA\begin{pmatrix}x\apos\\ y\apos\end{pmatrix}$

これにより，行列の積 $A^{-1}FA$ を気長に計算すればよいことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／17.9.22］

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の要素を用いた証明について／17.9.22］

問題2の（２）の解説と正答が食い違っています。解説と考え方は正しいようですので、正答の判断のみを修正いただきたく存じます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので訂正しました．

■宮崎県[アスナさん／17.9.19］

双曲線の問題です９ｘ2乗－４ｙ２乗＝1の場合どう解けば宜しいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を示しておられないので質問の言葉通りに答えるのは無理ですが，高校生の質問としてありそうな心情を推察して答えてみます．
$9x^2-4y^2=1$ は
$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$
と変形できるので
$a=\frac{1}{3},\hspace{5}b=\frac{1}{2}$
として公式に当てはめて，それぞれの問題を解けばよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／17.9.19］

有効数字の割り算バージョン入れて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説も問題も入っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式:変数変換による解き方について／17.9.18］

【問題４】の答えは(2x－y－7)(y+3x)=C ではなく、(x－2y+7)(y+3x)=C になります。検証をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答欄の選択肢で各々y,xが入れ替わっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式:変数変換による解き方について／17.9.15］

【問題４】の回答の5行目の「右辺の分母分子をXで割って，z=Y/Xとおくと」の次の式ですが、右辺の分子は、6-5x ではなくて 6-5z だと思います。　答えが合わないのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題４のHELPの途中経過にタイプミスがあるということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.9.15］

文章問題の解き方を教えてください（文章問題) 文化祭のパンフレットをつくることになった。印刷代は１００冊までは２３５００円、１００冊を超えた分については１冊あたり２００円印刷の予算額３５０００円の時、何冊まで印刷できるか求めなさい。（答えが１５７です)どうすれば答えにたどり着きますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問は，この頁の教材と遠い関係があるといえばあるようにも見えますが，内容的には小学生の問題です．例外的に答えた方がよいような汲むべき事情があるか考えると，答が書いてあるから宿題の答えだけ教えてほしいのとは違うらしいですが，逆に答えを聞いてもなぜそれが答なのか分からないと述べているのだから，解き方を教えてもなぜそうなるのか分からない可能性があります．また，学年・年齢を書かないと未知数を使って解くのか使わずに解くのかも決まりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線について／17.9.13］

高校時代には、習ったことがない『双曲線の方程式』を、解りやすい説明文で、微に入り、細に入り教えて頂き、更に、練習問題があるので、大層、ためになりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定について／17.9.13］

疑問点の解決ができるので有りがたく思っております。ついては次の点についてよろしくお願いします。例４の（考え方）分散がＡ池の分散は3の二乗となっていますが、右欄ではσ1の二乗/n1となっています。「3」は標本平均の分散ですから、Ａ池全体の魚の分散はσ1はだと思いました。そこで、σ1二乗/n1=3*3 から、σ1の二乗＝3*3×n1＝900と途中を自分なりに補ってみたのですが、考え方として正しいでしょうか。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．右欄に公式が書いてあって

$E(X-Y)=E(X)-E(Y)$ だから分子は $m_1-m_2$
$V(X-Y)=V(X)+ V(Y)$ だから分散は $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$ ，標準偏差は $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$

右欄の公式に具体的な数字を代入したものが左欄だから，右欄と左欄の見かけが違うのは当然です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／17.9.13］

問題くれ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言葉づかいがやや横着なことは別として，何を言おうとしているのか通じません．
この時代の人でWeb教材の大体の感じは分かっていますか？そこに問題が書いてあって，右から正しい選択肢をクリックとなっているのだから，正しい選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出るのです．旧時代の媒体として印刷物でほしい場合は，問題と解答がPDFファイルで出るようになっています．他に何が必要ですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／17.9.11］

赤玉3個、白玉3個入った袋（赤玉、白玉はそれぞれ区別がつかない）から2個取り出す組み合わせについて質問したいです。組み合わせの定義から6C2だと思う一方、この6C2の意味が6P2という順列を重複分の2!で割っていると考えると赤玉3個と白玉3個をそれぞれ区別して考えていることになると思うのですが、どうして赤玉、白玉を区別して考えていいのでしょうか。もしくは、根本的に考え方が間違っていたら訂正してもらいたいです。お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず初めに組合せの公式の前提を確かめておきますと

（相）異なるｎ個のものから，（相）異なるｒ個のものを取り出して作れる組合せの総数はnCr…(1)
ご質問のように（赤玉、白玉はそれぞれ区別がつかない）場合は，この公式の前提を満たしていませんので別の数え方になります．
また，異なるｒ個の代わりに，同じものを何回も取り出してくるような場合も別の数え方になります．

ところで，場合の数（順列，組合せなど）と確率を続けて習うときに，場合の数では「ものに区別がない場合」も登場しますが，高校の確率では通常「ものが区別できる場合」しか扱いません．
ここから先は，学習指導要領や教科書・参考書にはっきりと書いたものがなくて筆者独自の考えですが，これは扱っているものの性質によります．すなわち，巨視的な（人の目に見えるレベルの大きさの）ものは「どんなによく似ていても」区別できるものとして計算しなければなりません．･･･日本の造幣局が作った10円硬貨の新品が３個あるような場合でも，確率の計算をするときは必ず別物として数えなければなりません（そうしないと現実と合わない）．これに対して，ミクロの世界では，光の粒子を数えるときに全く同じものがあるとして成り立つ確率があります．
このように実際の世界では，ものが区別できるかどうかはそのものの性質によります．数学では初めに約束を決めておいてから，どちらの場合も取り扱いますが，その結果は初めの約束によって変わることになります．

さて，元の問題に戻りますと，赤玉3個、白玉3個入った袋（赤玉、白玉はそれぞれ区別がつかない）から2個取り出す組み合わせは，赤赤，赤白，白白の３通りでしょう．（組合せだから白赤は別に数え上げないでしょう）．…(2)
･･･はじめに（赤玉、白玉はそれぞれ区別がつかない）と書いてあるからです．
間違ってはいけないのは，確率の問題をやっているときにはこの計算は使えないということです．すなわち，大きさ形重さが全く同じで区別のつかない赤玉3個、白玉3個から２個取り出すとき，赤玉２個が出る確率は
$p=\frac{_3C_2}{_6C_2}=\frac{1}{5}$
でしょう．間違っても
$p=\frac{1}{3}$
と答えてはいけません．なぜなら，高校の数学に登場するのは，人の目に見える程度の大きさのものだからです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.9.11］

図で描いてあるので条件付き確率が視覚的にわかりました。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の実数解の個数（文字係数）について／17.9.11］

例題5の増減表まちがっとる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．増減表の y' の符号が逆ということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の実数解の個数（文字係数）について／17.9.11］

【例題３】にて増減表の X=-1をy1に代入した値ですが0でなく-7となりますが x>0の意図で0とされているのでしょうか増減表上では-7としないのでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．難しい話は何もないです．単純な入力ミスですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[広義積分について／17.9.10］

最後の問題が、少し説明が難しく感じました。なぜタンジェントを使うかを最初に説明して頂けるともっとわかりやすく感じると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言い過ぎると嫌われますが，このページは高卒レベルの演習問題なので，高校の基本は黙って使っています．例えば，このページやこのページに登場する置換積分で，成功体験を基にして（そんな話があったなという感じ）以後に登場したら真似するという考え方でよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線について／17.9.9］

とても、解りやすい説明文かつ例題は、素人の私でも理解することができました。現役の頃、難しくて解けなかった双曲線の方程式が、解決しました。感謝いたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の実数解の個数（文字係数）について／17.9.9］

ご報告ですが,【例題１】（オ）a>1のとき１個→（オ）a>2のとき１個に訂正必要と思われます.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.9.9］

条件付き確率の問題4ですが、問題3と同様に考えるのであれば答えは1/3ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに解説が書いてあって図も付いています．問題４は問題３と同様ではありません．

この問題について，アメリカの研究者の話として，いくら説明しても遂に分からない人が何割かは残るらしいということを数学雑誌で読んだことがあります．
何十年も前に読んだ話なので，うろ覚えですが：その研究者が出した問題は，引き出しと金貨の問題といい，「ある人が引き出し２個に金貨を合計２枚入れている」．
(A) 少なくとも１枚が上の引き出しに入っていることが分かっているとき，もう１枚も上の引き出しに入っている確率は 1/3
(B) 上の引き出しの隙間から金貨が１枚見えたとき，もう１枚も上の引き出しに入っている確率は 1/2

どう違うのか，図を見てゆっくり考えてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分について／17.9.8］

感想です。多項式の積分の復習が、すっと頭に入ってきました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[変数分離形.微分方程式の解き方について／17.9.8］

良いところ > 慎重な方は，なぜ積分記号を付けたり外したりできるのかと疑問に思うかもしれませんがまさにここで悩んでいたので、このページの解説がとても勉強になりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 漸化式と一般項（等比形）について／17.9.8］

PC版のメニューページで数Bの「漸化式と一般項（等比形）」と「3項間漸化式と一般項」をクリックしてもモバイル版のページが表示されてしまいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近は，初めに携帯版の教材を作って，次に横幅を変えたものをPC版にするという流れにしていますが，まだPC版ができていないのでとりあえず携帯版が見えているということです．なるべくはやくPC版も作ります．（対応しました）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.9.6］

とてもわかりやすく、役に立っています。もう少し問題量を増やしてくださるとうれしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．目次をたどってその次のページを読むとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.9.5］

14と15の問題の解き方がわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問者の状況が分かりませんので，答えられないです．つまり，13番までは分かったが14,15が分からないのか，13番までも分からないのか．HELPで解説が出ることに気付かないのか，解説を見てもまだ分からないのか．順列を学習してから円順列を学んでいるのか，それともネットでたまたま出たページを見ているのか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件--不等式の問題について／17.9.2］

問1はなぜ必要条件なのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．必要条件という言葉の使い方については，その前の頁を見てください．
そうするとHELPに書いてあるように，x>2 → x>1 が成り立って，x>1 → x>2 が成り立たないのだから，x>1 は x>2 （であるため）の必要条件になり，x>2 は　x>1 （であるため）の十分条件になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式...変数変換による解き方について／17.9.2］

教えてください。「(III)の例」の、”y1=xが１つの特別解になる”というところがわかりません。もし、問題の式「xy'－y+y2=x3」の右辺がx2 (xの2乗）であれば、y1=xが特別解になるのはわかるのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[４次方程式について／17.8.30］

（Ａ）[3]　相反方程式の【例 A.3.1】の（解答）の3行目、x+1/xであるはずのところがx+2/xになっていますあと、【問題　A.3.1】の解答選択肢の1つ目（正答）が-3±2√2iとなっていますがiが不要です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検が甘くなっていたようですが訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.8.29］

答えわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当面，お急ぎの場合は（携帯版には回答があります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点１について／17.8.29］

全くわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．手がかり不足のため「そーか―」としか答えようがないです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／17.8.29］

文字があまり
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１５年余り経過すると，そもそも高校向けの教材がなかった時代には許された字体も直さなければならないようになって･･･今直しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[解と係数の関係について／17.8.28］

ページの一番上にスクリプトの一部（数百文字）が表示されてしまっていますよ～ PC版のページでブラウザはchromeです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何かの拍子に，かっこ（<）が１つ飛んでしまったため，プログラムとなるべきものがそのまま表示されたようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.8.27］

どうしても解けない問題は、順番に展開していくと、時間は掛かりますが、正解になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.8.27］

昨夜、解くことが困難で苦戦していた問題の答えが一致しました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.8.27］

答えと解答が合わない！基礎計算能力が足りないのか、ここまでの公式が理解出来ていないのか？もう一度、解いています。夜中遅く勉強すると、善くないですかね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.8.26］

計算間違いをなくしたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線の方程式について／17.8.27］

中学校で習う直角双曲線ｘｙ＝ａは、一般的双曲線x2／a2－y2／b2=1の特殊解として導くことはできるのでしょうか？教えて下さい。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ …(A)の $a,b$ に特定の値を与えると， $xy=a$ …(B)の形になるかという問いでしたら，そうではないということになります．
これに対して， $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ のグラフを適当に回転すれば $xy=a$ になるかという問いでしたら，そうですということになります．
そもそも，中学校で習う直角双曲線 $xy=a$ は「２つの漸近線が直角（ $x=0,y=0$ ）」かつ「焦点が座標軸から45°回転した場所にある」ものです．これに対して，高校で習う双曲線の標準形では「２つの漸近線（ $y=\pm\frac{b}{a}x$ ）は様々な角度になる」かつ「焦点は座標軸上にある」ものです．そこで， $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ …(A)のうちで，直角双曲線のもの（ $a=b$ ）で，かつ，原点から図の緑で示した点までの距離を $\sqrt{2}a$ とすると標準形での方程式は $\frac{x^2}{2a^2}-\frac{y^2}{2a^2}=1$ すなわち $x^2-y^2=2a^2$ …(1)
このグラフ（旧グラフ）上の点の座標を $(X,Y)$ ，原点の周りに45°回転してできるグラフ（新グラフ）上の点の座標を $(x,y)$ とおくと $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ}\\ \sin45^{\circ} & \cos 45^{\circ}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}$ すなわち $\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ} & \sin 45^{\circ}\\ sin45^{\circ} & \cos 45^{\circ}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
この変換式を(1)に代入して旧座標を消去すると新座標の関係式 $xy=a$ …(B)になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.8.24］

解答してから目次の欄に戻り、もう一度、解答する欄に戻ると、解答欄の順序の入れ換えがある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を解いている途中に解答欄の順序が入れ替わるようでしたらエラーですが，全部解き終わってからもう一度やり直すときに「問題文」も「解答欄」も入れ替わるのは，そういう仕様です．
すなわち，簡単な計算問題から成り立っているWeb教材で「何回読んでも問題と答が同じ順序に登場する」ようでは，学習者が答の場所を覚えてしまって練習にならないという事情があります．紙に書かれた印刷物の教材ではこの事情は当然のことですが，Web教材はコンピュータプログラムなので，読むたびに問題と答の順序を入れ換えることででき，これにより学習者が本当に身に付いたかどうか振り返りができるようになっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／17.8.24］

簡単よー
＝＞［作者］：連絡ありがとう．簡単でも基本なので必ずできるようにしてください

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.8.23］

６番の問題、難しく感じました。二乗する、一つずつ掛け合わせいく事が、理解出来ました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最後の問題なのでそれなりに骨のある問題になっていたかも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.8.23］

(5)　赤玉３個，白玉３個，黄玉２個の計８個の玉が袋に入っている．この中から同時に３個取り出すとき，出た玉の色が２色となる確率を求めよ．の余事象を使った問題の解き方は理解できました。そこでより身につけるため余事象を使わずに問題をとこうとしたのですが、うまく答えと同じになりません。私の考えている方法は、まず、赤、白、黄の中から二色となる組み合わせ、（赤、白）、（赤、黄）、（白、黄）となり、一つを例に赤と白の組み合わせでは、赤が二個、白が一個、または、赤一個、白二個といった感じで、3C1 * 3C2 + 3C1 * 3C2 = 18と言った具合で残りの２つの組み合わせを計算しそれぞれを足したやつを8C3で割る形を取っています。すると答えは3/4となってしまいます。自分なりにこれが思いつく全てでようやく解けたと思いましが、どうやら違うようです。考え方や抜け落ちてる部分を指摘していただくことで結構ですのでよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何もおかしいところはありません．分数計算をていねいにやればできます．
赤2白1+赤1白2 $\frac{9+ 9}{56}$
赤2黄1+赤1黄2 $\frac{6+ 3}{56}$
黄1白2+黄2白1 $\frac{6+ 3}{56}$
これらの和は $\frac{36}{56}=\frac{9}{14}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.8.23］

(2) ３で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の３３通り５で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の２０通り１５で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の７通り 33+20-7 / 100=46 / 100=23/50 …（答の答えが間違っていると思うので報告します。 5で割り切れる数の説明はあっていると思いますが、3で割り切れる{3n|34≦n≦66}は{3n|33≦n≦66}になると思います。あと15で割り切れる{15n|7≦n≦13}は{15n|6≦n≦13}になると思います。どちらも通り数の記載は正しいですが、上記の指摘したところは間違っていると思います。私もあまり自身がないのでできれば返信をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
≪３で割り切れる整数の個数について≫
n=33 のとき 3n=99 は100以上にはなりません. n≧34のときに3n≧102≧100と言えます．
≪15で割り切れる整数の個数について≫
n=6 のとき 15n=90 は100以上にはなりません. n≧7のときに15n≧105≧100と言えます．
あなたがなぜ上の感想のように思うのかよく分かりませんが，この形の問題でよく見られる間違いは，1から100までに3,5,15で割り切れる数が各々33,20,6個あるとき，101から200までにも同じ数だけあるはずだという議論です．100のところで区切りがずれるので実際に3n,5n,15nがいくらになるのかは調べてみる必要があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.8.22］

準備1の1と2から、「y=c1y1+c2y2が解になる」という命題の十分性は理解しましたが、必要性が分かりません。つまり、ある解として方程式を満たすことは分かっても、なぜそれが一般解にもなるのか、他に解は無いのかが分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにそのページには，解の一意性が書いてありませんが，それは次のような考えによります．

Ｗｅｂ教材では，読者はいつ何時でも学習を放棄して逃げる準備ができていると考えられます（戻るボタンを押すだけで放棄完了）．そうすると，このページのような入門的な内容を扱っている場合に，無駄なく厳密に・正確に記述しても理解の助けにはなりません．（どちらかと言えば，伝統的な数学の教科書の無駄なく厳密に・正確に書かれた記述で分からなかったから，Ｗｅｂ上で調べている人がほとんどです．）
このような状況では，簡単な例を多用して具体的なイメージをつかんでもらう方が分からない読者に手がかりを与えることになると考えています．論理的に正確な証明に踏み込んだときに学習を放棄する人が多いと予想されるときは，別ページに参考として記述するかまたは何も書かない方がよい．

あなたの知りたいことは，ほとんどの入門書に書かれていますが，その要点は次の通りです．
一般に，ｘのある値に対するｙとｙ’が与えられた２階常微分方程式の解はただ１つ存在します．（解の存在と一意性の定理）
そこで，x=pのとき，y=q, y'=rという初期条件を満たす２階の常微分方程式の解 yが存在したとすると，そのページに書かれた２つの特別解 y₁，y₂を用いて，y=C₁y₁+C₂y₂となる定数 C₁，C₂が定まることを述べます．
ここで，y₁，y₂は一次独立な２つの解です．
$\frac{y_2}{y_1}\ne const.$
だから
$(\frac{y_2}{y_1})\apos\ne 0$
すなわち，
$y_1y_2\apos -y_1\apos y_2\ne 0$
このとき，連立方程式 $C_1y_1+ C_2y_2=p,\hspace{5}C_1y_1\apos+C_2y_2\apos=r$ は係数行列の行列式が０でないから，C₁，C₂がただ1通りに定まり，これにより，どんな解 y も $y=C_1y_1+ C_2y_2$ の形に書けることになります．
（一般にはロンスキアンを使って示されます）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.8.22］

「 □例　部屋に区別がある次の６通りの入り方は，組分けとしては同じものです. とある」のところなのですが、何回読んでも理解できずにいたので他のサイトをみて勉強してみると、上記の文章は間違っているのではないかと思ったので報告します。私が間違っていたらごめんなさい。どこがおかしいかと思ったかというと、部屋に区別がない場合はそりゃ重複してるやつを消す必要があるので3!で割るとわかりますが、部屋に区別があれば割る必要はないですよね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．組分けと聞いただけで何か割り算をして求めなければならないと思い込んでいませんか．順列，組合せなどは教科書にも登場する使い方の定まった用語ですが，ここでいう組分けは世間でいう組に分ける方法ぐらいの用語です．そこで，普通に読めば

A{1,2,3} B{4,5,6}, C{7,8,9}
A{1,2,3} C{4,5,6}, B{7,8,9}
… …
C{1,2,3} B{4,5,6}, A{7,8,9}

のように部屋に入れば，1,2,3はいつも同じ組にいて，4,5,6も同じ組,7,8,9も同じ組で部屋が変わっただけだということが分かるはずです．
何も計算はいりません．{1,2,3} ,{4,5,6}, {7,8,9}はそれぞれ仲良しグループでいつも同じ部屋に入っているな～つまり同じ組になっているな～部屋は変わっても組分けは同じじゃないか～と読めるのです．
たぶんあなたの場合，何か計算しなければならないと難しく考え過ぎているため，平凡な普通の話が入っていないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／17.8.19］

問題形式になっているのがいいです間違えたときも、それに沿って解説をして貰えるのが非常に親切だしわかりやすくて助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分母の有理化について／17.8.19］

とても楽しかったです。有難う御座います。また数Bやってみたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／17.8.19］

≪植木算：ｒ－１になる理由をしっかり覚えよう！≫ のところ、題と最終行のnとrが逆だと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，この間違いはダメージが大きい，謝罪の記者会見級です．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.8.18］

例3がわかりやすくて、非常によかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／17.8.17］

わかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.8.17］

とても理解しやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.8.17］

10-1は、 1 1 -1 として下の位に展開するのはどうでしょう？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．10=1+1なので，10-1=(1+1)-1=1という意味でしたら，その通りです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.8.17］

自分なりのやり方ではなく、解答どうりの方法が出来ようになると、いいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこそこは程度問題ですが（ものすごく遠回りの答案とか，体力仕事だけの単純計算主義はあまりよくないが），模範解答も１つの見本なので，自分なりのやり方でよいと思いますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分：基本計算について／17.8.16］

分かりやすいです中身が何乗になってるときの公式(説明下手ですみません)とか他の公式も一緒に教えてほしいです泣
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問と回答とが正確に対応しているかどうか分かりませんが，この教材は数学Ⅱの定積分の教材です．
参考書や授業の中では，確かに１次式のｎ乗の積分を扱う場合もあるようですが，その証明には置換積分（または合成関数の微分法）を必要としますので，数学Ⅱで教えるのは無理があるようです．したがって，数学Ⅱで扱っている場合は，ただ単に頭ごなしに「覚えとけ！」と言っているだけで良心的な教え方には見えないので私の場合は数学Ⅲで教えるようにしています．
$\int(x+ a)^ndx=\frac{(x+ a)^{n+ 1}}{n+ 1}+ C$
$\int(ax+ b)^ndx=\frac{(ax+ b)^{n+ 1}}{a(n+ 1)}+ C$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／17.8.16］

特に気にすることではないと思いましたが、微分方程式の１回線形微分方程式のページにおいて、例題3の解答の積の微分によりx&apos=…… となっています。もしかすると私のスマートフォンが原因かもしれませんが、一応アンケートに書かせていただきました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

' と書くべきところを &apos と書いていたようです．（セミコロンが１つ足りない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 展開公式について／17.8.16］

詳しくて練習もついてる。たいへん助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定について／17.8.15］

こんにちは。例と答え⑴でz = (85-100)/7.071 =-2.12＜-1.96となっていますが、この7.071で割るところに疑問があります。どうして他の問題ではσ/√nで割っているのに、今回はσで割っているのでしょうか？　拙い質問ですがお答えいただけると幸いです。宜しくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
１階の試行で事象Aの起こる確率がｐのとき，この独立な試行をｎ回繰り返すときにできる確率分布は二項分布と呼ばれ $B(n,p)$ で表されます．二項分布はｎが十分大きな値であるとき，期待値 $np$ ，標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}$ の正規分布とみなすことができます．したがって，二項分布 $B(n,p)$ については
$Z=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ …(A)
が標準正規分布になると考えます．
これとは別の話として，母平均ｍ，母標準偏差σが既知である母集団から大きさｎの標本を抽出したときの標本平均は
$Z=\frac{\bar{X}-m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ …(B)
の標準正規分布をなします．
(1)の問題は(A)で解きます．もっと気の利いた説明ができるとよいのですが，確かにそのページの解説は分かりにくいので，機会があれば直さないといけないようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.8.15］

公式が目の前にあると、計算しやすい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.8.15］

公式を自分で導き出せるようになった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.8.15］

回答が事前に書いてあり、自分の回答に自信のない時、回答の導き方が思い出せる！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学のことでなく漢字のことですが，問題の答えは解答，返事は回答と書くのが普通です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆関数について／17.8.15］

いいっすね
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.8.15］

６番の問題が難しいです。理解は出来ました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.8.15］

全て解答してから答えを出さないと、全て答えが出てしまう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．携帯版の方は１つずつ採点するようになっていますが，PC版の方はまだ直っていなかったようです．（お急ぎの場合は携帯版を見てください）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角不等式について／17.8.15］

例1の答えの書き方はあれで合っているのでしょうか？前のページでは違う書き方がしてあったのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，120°と180°が逆になっていましたので訂正しました（冷汗）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.8.14］

徐々に難しくなっていて、問題の構成が非常に良いです。唯一欠点を挙げるとしたら、文字の字体が読みにくいことかと思います。できるだけ、左端をそろえたほうが読みやすいかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．字体という話と左端に揃えるという話のどちらに重点を置いて読めばよいのか？
文章は左揃え，図表は中央揃えが基本でしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点について／17.8.13］

解答を求める際に、頂点の向き（∔.-）も併せて解答させてはどうでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一度に２つのことをさせると，採点の仕方を具体化するときに複雑になります･･･頂点が正しくて凹凸が違う場合，凹凸が正しくて頂点が違う場合，頂点も凹凸も違う場合，･･･その情報を回答者に返しても複雑過ぎてうれしくない可能性が大です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／17.8.13］

以前参考書で読んだのは、 exp(∫P(x)dx)　※不定積分でCを出さないを両辺にかける事で左辺=exp(∫P(x)dx) *y'+exp(∫P(x)dx) *y=(exp(∫P(x)dx) *y)' 右辺=exp(∫P(x)dx) *Q(x) となるので、両辺をxで積分して最後に両辺にexp(-∫P(x)dx)を掛ければyが出てきます。これでやっていることは茶色字で書かれている公式と中身は同じですが、暗記事項はexp(∫P(x)dx)を両辺に掛けることだけで良く、 0からの導出は厳しいですが結果的に正しいことを示すのは容易で変形の検算も比較的容易なのでオススメです。ご参考までに。まぁ結局の所慣れた方法で計算するのが一番な気はしますけども…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど，そのやり方でできます･･･ただし，あなたの式では左辺第２項に P(x) が抜けているようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分：基本計算について／17.8.11］

変数文字の種類である程度想定できるので、問題としては同じ文字を使った方が良い感じがした。久々に（４０年ぶりに）定積分を説いてみた。意外と面白い。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ある程度分かっている人の感想のようですが，この小項目は「区間の両端が定数であるとき，積分変数と被積分関数が同じ文字であれば，定積分の値は内部変数の種類に依存しない」ということを学ぶための教材なので，異なる変数で練習しないとそもそも練習にならないのです．
「それらはみな同じものだ」ということが分かっていると，何をクドクドと同じ話を繰り返しているのかというように見えますが，あなたはそのハードルを昔に無事に通過しているので，何がハードルなのか頼りなく感じるのかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／17.8.9］

問題5(1)の解説で「先頭5と末尾-24」とありますが、末尾の24という数字はどこから来ているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに変です.

今となっては，なぜ間違ったのか，正確には分かりませんが，コメントをプログラムで書いていた時に，うっかり書くと小学生でも間違わない次のような間違いが起こることがあります．
1+1=11, 1+2=12, ..., 2+4=24 （数字の演算ではなく，文字列の追加となっている）

訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／17.8.8］

内積の定義を導く方法の最後の答えが間違ってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに！ただの計算間違いと違って，こんな大事な公式を写し間違ってどうする．筆者も気合を入れないと！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／17.8.8］

確かに仰るとおり、日常で「または」という語を使う場合に数学的な意味とは異なる場合の方が多いのは確かですが、日常会話でも数学的な使い方と同様になる場合は沢山あり、しかもそういった例は数学的な「または」とイメージ的にも似通っている場合が多いので、そのような例を用いて数学的な使い方の正確なイメージを伝える方が学習者にはより有益ではないかと感じました。たとえば、「ある中学のサッカー部（という全体集合）では、6月の練習試合に小学生時の経験者（という集合）『または』２年生以上（という集合）が出場できる（出場可能者 = 経験者 ∪ ２年生以上）」といった場合であれば、集合における「または」とほぼ同じ意味を表すことになり、数学的な集合のイメージと重ねて理解がしやすいと思います。コーヒーと紅茶を例に出すなら、「彼はコーヒーまたは紅茶を飲みましたか？」という質問に対して、Yesと言える状況は彼が何を飲んだときか、と考えると、彼がコーヒーのみ飲んだ場合、紅茶のみを飲んだ場合、あるいはその両方を飲んだ場合、いずれもYesと答えられます。彼がどちらも飲んでいない場合のみ、答えはNoとなりますね。そのような例と合わせて、「セットにコーヒーまたは紅茶がつく」のような意味の異なる例を合わせて紹介することで、「数学的な『または』とは、○または○の『どちらか一方にでも当てはまる』ことを意味する」と結論づけておけば、より理解を促すことが出来るのではと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．詳しく書いてもらいましたが，教材に書かれていることのように思えますが･･･

■長崎県／めぐたんさん[17.8.7］

最後の問題が分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ただし，どの頁の話なのか書いてもらわないと分かりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／17.8.7］

とても分かりやすかったです。とても参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[陰関数の導関数について／17.8.7］

問３の解説の2行目の式で、yの微分になってしまっているところがあります。
問題3の解説の二行目-3(d/dy(x)y + x d/dy(y))は-3(d/dx(x)y + x d/dx(y)) では？・解説の中で出てきた答えが選択肢の中にないのはなぜ？どれが正しいのかがわからず混乱しています。改善よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半について，訂正しました．
後半について，そのような質問はあり得ないと考えていますが，一応確認のために加筆しました．（一勝一敗になる）
$\frac{x^2-y}{y^2-x}=\frac{y-x^2}{x-y^2}$
は，自明の理なので解説は不要だと思いますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.8.7］

(5)← 非常に参考になりました。ひとつ訂正箇所があるのですが、三角関数の不定積分の(5)で tanx=sinxcosx d/dx( f(x)g(x))=f’(x)g(x)－f(x)g’(x)/g(x)2 【だから　d/dx(tanx)=cosxcosx－sinx(－cosx)/cos2x=1/cos2x】とありますが【だから　d/dx(tanx)=cosxcosx－sinx(－sinx)/cos2x=1/cos2x】ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／17.8.5］

問４の（５）は分母の指数が等号と重なって読めないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Safariで見た場合でも，読めないというのはやや誇張がありますが，重なっているとはいえるので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／17.8.3］

何も知らない中学生でしたが、五分くらいで階乗についての簡単な理解が可能でした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ記号の変形について／17.8.3］

(5)の答えは3k-2だと思ったのですが、採点しても不正解になってしまいます。ヒントを見ても3k-2だと思うのですが、私の考え方が違うのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いい線まで行っていて，内容も合っていますが，表現が完全ではないのです．
和の記号Σの一番最初の頁に書いています基本：この頁の第３段落『Σ記号は積でつながっている範囲まで作用する．作用する範囲を明確にするために「かっこ」が使える．』に注意しなければなりません．

$\sum_{k=1}^{n+ 1}3k-2$
とすると，Σ記号の内部変数が3ｋまでしか届かないので
$\{3\cdot 1+ 3\cdot 2 \cdots+ 3\cdot (n+ 1)\}-2$
を表してしまい，元の式と等しくなりません．等しいものに直すためには，かっこを使って
$\sum_{k=1}^{n+ 1}(3k-2)$
と書かなければなりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[（各駅停車）正規分布について／17.8.2］

分かりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／17.8.2］

わかりやすい説明でした連絡ありがとう．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立方程式について／17.8.2］

先頭の問題ですが、回答方法が正しいのであれば、問題式2行目はＸ－λＹ＋Ｚ＝0ですね？問題が正しければ、不定解になり③以外はすべて成立します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにｙは入力漏れですので訂正しました．
質問・意見の後半の「問題が正しければ、不定解になり」は変でしょう．
例えば，問題が正しくて，[5] λ=1の場合

$\begin{matrix}x+ y+ z=0 \\ x\hspace{30}+ z=1 \\ x+ y-z=0\end{matrix}$
は不定解にはならず，x=1,y=−1,z=0という解になります．（自明解ではなく，不定解でもなく，普通の解になる）
とりえず，問題は訂正しましたので，その議論は不要になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対応のある場合のｔ検定について／17.8.2］対応のあるt検定について教えてください。 preとpostで変化があったのかを分析するとした場合についてお伺いします。 preが正規分布していて、postが正規分布していなかった場合は、対応のあるt検定をせずとも「変化があり」と結論付けて良いのでしょうか。対応があるにもかかわらず分布が変わっているということは、変化があったということとニアリーイコールだと思います。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．どちらかと言えば，筆者があまり得意としていない分野なので，たぶんというレベルの話として･･･そもそもｔ検定は母集団が正規分布をなすことを前提としているので，実験群か統制群（比較群）のいずれか一方が正規分布をなしていなければ，そもそもｔ検定による有意差検定はできないのではないか．順序相関など正規分布を前提としない分析方法がよいと思いますが･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.7.31］

問題３－第３問-（３）で、指数の分配法則が多項式でも成り立つのか、ちょっと考えてしまいました。成り立つのですね。直観ではスッと入ってきませんが…。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．指数法則 $(ab)^3=a^3b^3,\hspace{5}(\frac{3}{c})^3=\frac{3^3}{c^3}$ は成り立ちます．
「指数の分配法則が多項式でも成り立つ」とはどういうことを表しているのか？いまいち要領を得ませんでした．

■?[?さん／17.7.31］

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/ statistics/siguma2.htm の第2問目、100になっていますが、10の間違いでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．他の解説との整合性を考えると10が正しいようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／17.7.31］

一題選択、解答後。次の問題に進もうと、左欄より次の式を選択しようにも選択できません。つまり先に進めません。ブラウザはchromeです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．古いプログラムの消し忘れでエラーになって止まったようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モルガンの法則について／17.7.27］

問題2　の　(3) ここがポイント≫　まずA∩B={2,3}を求めてから，次にこれとC={3,4,6,7}の和集合を求めます次の行のA∩Bの上のバ－はいらないと思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ほんとだ，いらないので訂正しました．Web画面上でバーを表示するプログラムをいじくったりしているうちに間違ったようです．改行位置も見にくいので少し修正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列と連立方程式について／17.7.27］

例題が間違ってると思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．?? 例題が間違っているということはないでしょう．例えば，例題の解答が間違っているとか，例題の問題の符号が間違っているというような場合はあり得ますが･･･ところで，あなたは不定解や不能解が出る連立方程式は，問題が間違っていると考えていませんか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成(基本)について／17.7.27］

問題の数字が文章と重なって表示されるために判読できず、解けない場合がある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは質問や意見の書き方を間違っています．その頁ではなく，他の何千頁もある教材の内のどこかの頁で，あるブラウザで見た時に文字が重なって見えるが，どの頁かどのブラウザかは明らかにできないと述べていることになります．これは，まともに対応してほしいという感想ではありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数分解（応用問題）について／17.7.27］

問題4の（2）は、-16y^2となっていますが、-16x^2ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．話がややこしいのですが，解説の通り読めば後はご指摘のように見えますが，解説の１行目が間違っていました（訂正しました）ので，後は正しくなります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の頂点の座標について／17.7.26］

いつも利用させてもらってます。問題の答えがあればな、と思いました。どうなってこうなる！というのではなく、ただ答えがあればな、と。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材を作ったときは，解答は採点すれば分かるので，公式に数字を当てはめたら答が出るというような問題では特に解答を表示する必要はないと考えていましたが，最近は筆者も少しはまーるくなって，解答もある方が便利がよいかもなと考えるようになりましたので，解答を付けた頁を増やしています．まもなく付けます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／17.7.26］

複素数の定義 5－3iは複素数ではないのか。虚数となっている。＝＞［作者］：連絡ありがとう．「複素数の定義」の右にある図で示されるように，複素数は実数と虚数から成り立っています．だから，虚数は複素数であり，実数は複素数です．・・・虚数と複素数とは「あれかこれか」の関係ではなく，西日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です．もちろん，実数と複素数も東日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です・・・（率直に言えば，この質問は想定外の質問です）とありますが、実数と虚数は背反関係にあるため「複素数の定義」の右の図のような包含図は誤りではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど，そういう見方をする人がいるのかと感心しています．

集合をオイラー図で描くとき「境界線の外と中，境界線をまたいだら背反関係になっていることを表す」「ただし，四角の中に丸がある場合や，丸の中に丸がある場合は内側にある丸は部分集合であることを示す（=背反関係ではない）」という約束で絵を描きます．
上の図では，虚数と実数は背反関係であることを表し，虚数が実数の部分集合であるという意味ではなく，実数が複素数と一致するという意味でもありません．

図１のように描くと，あなたの見方とは近いかもしれません･･･図１のうちで純虚数の丸を取り除いた図が東京図書の数学Ⅱの教科書に出ています．

虚数と純虚数の関係は，どの図でも混乱なく理解できますので，以下において実数と虚数の関係が分かりやすいかどうかを考えてみます．

あなたの見方では元の図では虚数が実数の部分集合と見えることになり，教科書（図１）では実数が虚数の部分集合と見えることになって，いずれも具合が悪いように見えますが，上の解説から分かるようにそれは間違いです．
図３は論理的には正しいのですが，実数でも虚数でもない場所（本来空集合となるべき箇所）ができてしまって，初心者がそこに目を向けると混乱が起こることになります．

要約すると，元の図，図１，図２，図３のいずれも問題なく同じ内容を表しているのですが，集合図の約束（境界線による背反関係の表示，内側の境界線による部分集合の表示）をゆっくり論理的に考えなければ理解できないということでは，図示による視覚化の長所が薄まってしまいますので，おそらく，図２（ベン図とオイラー図の折衷方式）が最も自然に理解できるのかもしれません．図を入れ換えるかどうかはしばらく様子を見ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.7.23］

x2乗+22x乗+96のように大きい数字の時のコツを教えてくれたら嬉しかったです!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．たすき掛け因数分解の頁から質問しておられますが，その問題は中学３年生の問題です．すなわち

96=25×3=16×6
22=16+6
のように積が966で和が22となる２数を見つけると16, 6になるから
x2+22x+96=(x+16)(x+6)とします．

コツといっても，中学で習う通りで，積を先に考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／17.7.22］

３変数はどのようにすればよいのでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．省略し過ぎで意味がつかみにくいですが，３変数の場合のヤコビアンはどうなりますかという質問でしたら

$\middle|\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial w}{\partial x}\end{matrix}$ $\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial w}{\partial y}\end{matrix}$ $\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial z}\\ \frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial z}\end{matrix} \middle|=\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}$ （右辺は省略記号）

（の絶対値）を使うことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ等比数列について／17.7.22］

等比数列の和の公式について質問させてください。先生のページでは、項比rから－１するという形になっていますが、別の書籍等では、１から項比rをマイナスするという形になっているものもあります。この違いは何に起因するのでしょうか？ご教示ください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
と
$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$
とは等しいので，どちらで表してもかまいません．（分母と分子の両方に　-１を掛ける［全体には１を掛けることになる］と分数としては等しい）
あえて言えば，生徒が自然に感じる（したがって，計算間違いしにくい）方を使うようにしているだけでしょう．
数学ⅡBの段階では有限数列しか登場しないから，和の公式からさらに変形する場合でも符号を間違わないように最高次の係数を正にして
$S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
が好まれるでしょう．これに対して，数学Ⅲでは無限等比級数の和も扱うので
$-1\lt r\lt 1$ のとき $\lim_{n\rightarrow \infty}r^n=0$
を使って
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a}{1-r}$
とする方が自然に見えます．
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{-a}{r-1}$
でももちろん「正しい」のですが，こちらを好む人は少ないでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[自然数の累乗の和について／17.7.21］

II.8について，$p$が3以上の奇数のときには$S_p$は$S_3=S_1^2$で割り切ることができることは，例えばHans Rademacher著，Topics in Analytic Number Theory, Springer-Verlag の p.1～p.8に証明があります．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ていねいに読んでくれてありがとう．整数問題は詳細に研究されているので，証明があるかもと感じていましたが，実際に証明した人がいたというのは，やはりという感じです．
高校生向けの教材として（数学的帰納法などの初等的な方法で，30分程度で）証明するのはやはり難しそうです．未解決問題風に夢を持っていただければ筆者の目標はほぼ達成されたことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般項の記号に慣れるについて／17.7.22］

(5)の解法についてお尋ねします。与えられた数列の差から別異の数列｛４，６，８，１０｝を出してから、この数列の一般項ａk＝ａ1＋ｄ（ｋ－１）を求めると、ａk＝４＋２（ｋ－１）＝２ｋ＋２となります。この一般項から元の数列の一般項：an＝n(n+1)を導出するにはどうしたらよいのでしょうか？作問のように、一般式が例示されていれば計算によって一般式の正答をあてることができますが、一般式が明示されていない場合、数列だけから一般式を導出できません。ご教示ください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご質問の方法は，一般には「階差数列」の項目で取り扱っていますのでその項目を見てください．
ただし，この頁はそのような計算問題以前の，はるかに単純な「一般項の記号に慣れよう」という絵本のような入門コースです．計算しようと思わずに，鉛筆を置いて薄眼で「ながめる」と次のようになっていることが分かるのです．（3D画像AHA体験という感じで）

(2=)1·2 , (6=)2·3,(12=)3·4 , (20=)4·5 , (30=)5·6 ,...

したがって，an=n(n+1)になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／17.7.21］

逆関数のも知りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．逆関数の定義，逆関数の微分法は各々目次を見てもらえばありますが，この頁の文脈の中で「逆関数のも」と言えば逆関数の不定積分法になりますが，あまり聞きません･･･例えば，逆三角関数は高校数学には登場しないので，不定積分が逆三角関数になるような問題は高校数学には登場しません.これに対して定積分は定数なので逆三角関数の定積分なら一応高校数学で扱うことができます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／17.7.20］

途中式も丁寧に挟まれており、旧変数←新変数の形など、単純に見えるが案外間違えていたり抜けてしまう過程などが明記されているので、最後まで立ち止まる事なく理解に徹することが出来ました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立不等式について／17.7.16］

正解の数字を入力しても誤りの表示が出る
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全角数字で入力していませんか？（Chromeで入力している場合，全角数字は自動的に半角数字には変換されません．入力する人自身が半角入力モードにしなければなりません．）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[簡単な重積分の計算について／17.7.14］

簡単な問題もあってよく理解できました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点の存在範囲について／17.7.13］

ベクトル方程式の点の存在範囲について、s＋tの範囲が指定されているものだけでなく ☆≦s≦★、○≦t≦◇などsとtの範囲が無関係に変化するものも紹介して欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

質問者が気分を害されるかもしれませんが，質問されているようにｓ，ｔの範囲が独立に定まる場合は，
当教材で扱っている内容よりもはるかに簡単なのでこの頁では取り上げませんでした．
例えば，
$\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}\hspace{5}(1\underline{\le}s\underline{\le}3,\hspace{5}2\underline{\le}t\underline{\le}5)$
となる位置ベクトル $\vec{p}$ の表す範囲は，左図のようになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.7.12］

『数学A 組分け』の頁の【例2】の末文「※部屋に区別がある場合÷2！と覚えてしまってもよい.」とありますが、「部屋に区別がない場合」の誤記ではないでしょうか？ご確認願います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（部屋に区別がない場合）=（部屋に区別がある場合）÷2！なので誤記ではありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数（文字係数と極値）について／17.7.12］

こんにちは、いつも勉強の参考にさせてもらっています。３次関数（文字係数と極値）の問題３について、答えは３番を押すと〇となるのに、 HELPを開くと２番が答えとなっています。環境はPCです。対応宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答（採点）は正しくて，HELPの中に書いてある記号[2]が間違っていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／17.7.10］

定数係数の2階非同次微分方程式について、y" +2y' +y = (e^(-x))*ln(x) のような、右辺にln(x)を含む方程式についてはどのようなアプローチをするべきでしょうか。 ln(x)については、解いている感じだとln(x)に対してx^2を乗じた A*(x^2)*ln(x) を特殊解としておくとうまくいっている気がします。しかしln(x)を含む方程式はロンスキアンを用いる解法が良いという話も聞きます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．右辺に対数関数がある場合も,ロンスキアンも当教材で想定している範囲を超えています．
別頁に解説していますようにwxMaximaをインストールして，wxMaximaを起動し，画面上で空打ちすると入力画面になります．そこで

ode2('diff(y,x,2)+2*'diff(y,x,1)+y =%e^(-1*x)*log(x),y,x);　（←diff の前にカンマを忘れないように！）
のように入力すると
$y=\frac{%e^{-x}(2x^2\log(x)-3x^2)}{4}+(%k1 x+ %k2)%e^{-x}$
が得られます．これは
$y=\frac{e^{-x}(2x^2\log x-3x^2)}{4}+(Ax+ B)e^{-x}$
を表しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／17.7.8］

すでに大学を出て○○年なのですが、計算をする必要があって復習のために使わせてもらいました。計算力が劣化しているのに愕然としました。自分で計算しないと、わかっているかどうかわからないので、練習問題が役に立ちました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極限値，不定形の極限について／17.7.8］

ｎについて何も但し書きがなく、lim　ｎ→∞　cos(nπ/２)　の極限を調べよ。解答：n=1,2,3,4・・・とすれば、0,-1,0,1・・・だから振動する。とありますが nは自然数とは限らないんで、こういう書き方はまずくないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(1)　この頁を全部見ましたがそういう内容はどこにも書いてありません．どこか他のサイトや他の参考書に書かれていた記述について，当サイトの管理人に苦情を述べておられるのでしたら「江戸の敵を長崎で」の類で，こちらは事情がよく分かりませんので答えにくいです．
(2)　内容的には，引用されている文章を見る限る「あなたの全面敗北」「教材の全面勝利」です．
すなわち，実数か整数か分からない $n$ について

$\lim_{n\rightarrow \infty}\cos\frac{n\pi}{2}$
が収束する場合には「どのような近づき方をしても特定の値に近づく」と言えなければなければなりませんが，「ある近づきかたをすれば，どこまで行っても異なる値を取る」と言えれば，その否定になります．
(2.1) 解答：n=1,2,3,4・・・とすれば、0,-1,0,1・・・だから振動する。
でもよろしいが
(2.2) n=1,3,5・・・とすれば、1,-1,1・・・だから振動する。としても証明になります．
(2.3) ｎの実数値にこだわれば， $n=m\pi+\frac{\pi}{6}(m\in Z)$ とすれば，どこまで行っても $\cos\frac{n\pi}{2}=\pm\frac{1}{2}$ となりますが，このような答案を好む受験生も採点官もめったにいないでしょう．
(2.1)(2.2)の答案の方が歓迎されるでしょう．
（要するに，ある近づき方をしたときに，特定の値に収束せず，振動する例を示せば十分なので，なるべく単純な例を示せばよいことになります）
このように，「収束しないことの証明は収束しない近づきかたの例を１つ示せばよい」ことになります．

(3)　思いが強くて正義感が強い場合に，その思いを検証する別の心的過程も持ち合わせていないと，SNSなどで炎上の加害者になりやすいと言われています．お互いに気を付けたいものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の表し方（オイラー図）について／17.7.7］

集合とオイラー図の理解が進みました。ありがとうございました。 PC版頁の問題2の(2)についてですが、解説文の中で"1≦m≦4"とすべきところが"1≦m≦3"になっていたり"mを1以上3以下の自然数とするとm=1,2,3,4になり"という誤記があったり、選択肢はxになっている箇所の解説がnになっていたり複数の誤記があるようです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに，疲労がたまって，誤記があったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重回帰分析(2)について／17.7.6］

とても詳しく、わかりやすくて助かります！重相関分析で問題になる多重共線性のページも読んでみたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.7.6］

ヒントを開くとほぼ答えが出てたのでもうすこし答えを厳しくして欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．様々なレベルの読者がいて，ヒントだけでなく解答そのものが欲しいという要望の方が多いです．この頁では，ヒントを開くとほぼ答えが分かるというのですから，それでヒントとしてよい働きになっていると思います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.7.5］

9番 3!でわるだろ！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答を見てもなぜそれが答なのか分からないということですか？･･･屋上屋を重ねて，文章題における人=ペルソナの取り扱いについて，さらに一言述べると．解答に書いてありますように，人は必ず区別します．だから，どの女子と同じ組かということは重要な区別になり，入れ換えると別の組になります．入れ換えることはできません．･･･なお，「わるだろ！」は表現としてよくない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数の最大値・最小値について／17.7.5］

全問題に共通して言える事ですが、定義域や極値をとるxの値を2次元表示する解法を採用されると格段に学生の理解がすすむのではないでしょうか？ a-x 平面にですが、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．得られた結果の整理方法のことを述べておられるのかな？

■兵庫県[Boyuさん／17.7.5］

恐らく技術的な問題だとは思いますが... 画面を全画面表示にせずに半分ほどのウィンドウで閲覧すると高校数学の各科目のサイドメニューが隠れてしまいますスクロールしたくても出来ません... PC:Windwos 7 HP SP1 64ビットオペレーション Chrome:Ver 59.0.3071.115 (64ビット版) IE:Ver 11.0.6300.18697 (製品 Ver 11.0.43) スクリーンショット: - - - ついでに[回転と拡大について／17.7.3]について現高校生としての感覚ですが、例えばこのページの[→ 携帯版] 上記スクリーンショットの[→ 携帯版は別頁] 高校数学トップの((m))←[数Ⅰ.携帯版メニュー] etc "携帯"と"スマートフォン"は別物と感じていますそれと"頁"を"ページ"と読める人は少ないかと思います (少なくとも私は先ほど調べて初めて知りました) そしてスマートフォンから見た時、この表記はかなり小さく、目立ちにくいです Androidスクリーンショット:- - - (画像自体は大きいですが、実際は6cm x 10cm程しかありません) あるサイトではスマートフォンでアクセスした場合"のみ" スマートフォン版で表示すると言う"デカデカとした"表示が "一番上に"来るようになっていましたあくまで参考程度ですが、考慮してくれたら幸いです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現在対応できることがありません．利用できる範囲で利用してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転と拡大について／17.7.3］

見にくいし図がよくわかんなーい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．携帯用は別頁と書いてあるのに，360×640の画面の小さなAndroidで，わざわざPC用の教材を見ておられるのだから，見にくいのは当然のことではないでしょうか．･･･携帯の場合に自動転送するプログラムは，検索順に影響し過ぎるので現在止めています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／17.7.3］

【例－右辺が指数関数のもの２】 y''－4y'－5y=e5x の１つの特殊解を求めてください．のAは1/4でないでしょうか？ごかくにんいただけると幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材の途中経過に一部余計な係数が付いていましたが，結果については間違いはありませんでした．A=1/6

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の導関数について／17.7.2］

拝見していて疑問がありました。最後の問題の中で、 y=1/(1-tanx)を求める時、 y=1/(1-u)とおいて、 dy/du=1/(1-u)^2とされてるところで、 dy/duは分子が-1ではないでしょうか。 y=1/(1-u)=(1-u)^-1なので。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違いはないのですが，誤解を招きやすい表現がありましたので（←おい！）詳しく説明しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値，最小値について／17.7.1］

わかりやすく、とても参考になっています。条件式が比例形になっている場合の最初の解説の比例形で式が x/2=y/3=y/4 と不可能な式となっていました。y/4はz/4の間違えではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ｙ→ｚ書き換えました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.7.1］

一次不等式が苦手だったので分かって良かったですありがとうございますでも例題をあと一問でもいいので載せてくれるともっと分かりやすいと思いました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このサイトの読者層は，現役が３分の１，卒業生が３分の１，社会人が３分の１くらいの割合となっています．現役世代から見れば，１次不等式の解き方は中学校でも習っているので，くどくどと分かり切ったことを言われたくないと受け止めるでしょうし，３０代以上の人も同じでしょう．１次不等式を中学校で習わず高校で２，３時間習ったというのは20代の方かもしれません．
　例題はそこそこにしておいて，問題の方に解説をつける予定です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[広義積分について／17.6.29］

【数学】Ⅲ-10 =log 1－log12=0－(1－log2)=log2 ではなく、 =log 1－log12=0－(log1－log2)=log2 ですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分母の有理化について／17.6.29］

最近お世話になっています！「分母の有利化」問題２の（５）について。私が計算したところ答えが４＋２√１５となったのですが、こちらの答えは４＋√１５でした。私の計算が間違えているのならかまいませんが、もしこちらの答えが間違いでしたら訂正お願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「分母の有利化」→「分母の有理化」
解説が付いていますので読んでください．たぶん，解説を読んでなお疑問をお持ちのようですので，約分についてのよくある思い込みをしておられるかもしれません．この頁を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[番号札のもらい方について／17.6.28］

今日、初めてこのサイトを使いましたがとても気に入りました。さくさくゲーム感覚で問題を解いていけるのはとても楽しいです。希望としてはチャレンジ問題のような発展問題が最後に1問ほどあると良かったと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューの章末問題などをやってみるとよいでしょう．
少しだけ難しい問題が作れればよいのですが，さじ加減を少しでも間違うと予期しない展開になることがあり，その頁で扱った方がよいかどうか判断が難しい場合が多いです．･･･たとえば，きまじめで努力型の人の場合，99問正しくて，１問だけ間違った場合に，その１問のミスのために気分が真っ暗になってしまうことがあるようです．99%楽しいことがあったのに，たった1%の暗い出来事で頭が一杯になってしまうということです．さじ加減が効き過ぎた場合，解答を見てもなぜそれが解答なのかもわからないことになり，何度も質問が来て対応しきれないといった展開になることもあります．
これとは逆に，100万人に１人だけが宝くじに当たるような話，すなわち真っ暗な暗闇の中で，たった１つの星の明かりだけでも救われたと感じる人もいます．
人それぞれですので，悲観的な人でも楽観的な人でも無難にこなせるようにしようとは考えていますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／17.6.28］

良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■兵庫県[emmataroさん／17.6.28］

確認問題で簡単に定着を確認できたのでよかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.6.27］

問題３は正負の記号も解答させる問題形式が良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．理屈の上ではそうですが，実際に次のような解答欄にすると明らかに違和感があり，数学で許される形式にはならないでしょう．

※後ろから掛ける式を答える形になっています

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／17.6.27］

正解はいいものの、途中式は欲しいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ヒントというボタンを押したときに表示されるものを途中式というのではないのか？他にどんな途中式があるのか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[判別式について／17.6.26］

前略　いつも楽しく老化防止に問題演習をさせていただいています。ありがとうございます。ブラウザの不具合かもしれませんが、最初の■問題１の[採点する][やり直す][次の問題]のうち、[採点する][やり直す]がずれて隠れてしまい、[次の問題]のタブを２回ずつ押して先に進みましたのでご報告します。草々（17.6.26）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頁を更新したときにボタンが飛んでしまったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分について／17.6.25］

問題（３）の（２）、（３）、（４）かいとうらんがありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC版の方でHELPと解答の境目がずれたようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路について／17.6.24］

順路の図が見やすくて解説も丁寧でわかりやすいです。助かっています。これからも学習の傾向に応じたよくわかる問題をたくさんお願いします（＾＾）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡を受けたらその頁を読み直すようにいますが，「同じものがあるときの順列」と「組合せ」が等しいことについて，前の頁を読んでいない・覚えていない場合があると戸惑うかもしれないので，その解説を再掲しておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相加平均.相乗平均.調和平均について／17.6.23］

a＞bのときa＞（a+b/２）などの普通に不等式の証明をする問題と、a＞0のときa+(1/a)≧2などの相加・相乗平均を利用する問題の解き方の区別（どういう時に相加・相乗平均を使うのか）が分かりません。見分け方はありますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
授業や教科書レベルの問題で練習している場合に，相加相乗の関係を利用できるのは「登場する文字が正（または０以上）」の場合です．正負の符号が分からない問題について相加相乗の関係を適用することはできません．

【例】　 $a\gt 0$ のとき $a+\frac{1}{a}\underline{\ge}2$ …(1)

しかし，「登場する文字が正（または０以上）」の場合でもすべて相加相乗の関係で解けるとは限りません．

【例】　 $a\gt b\gt 0$ のとき $a\gt\frac{a+ b}{2}$ …(2)

見かけだけでは「あれかこれか」の区別ができるとは限りませんが，普通の証明になる場合も相加相乗の関係を使う場合も，「大小比較は差の符号で判断する」（大小比較の原則）という一段上の原則にまとめることができます．大小比較の原則に戻って証明すると，次のようになります．

(1)←　 $a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2+ a-2a}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}\underline{\ge}0$
(2)　 $a-\frac{a+ b}{2}=\frac{a-b}{2}\gt 0$

※相加相乗の関係は，証明済みの結果から出発できるので早くできるというだけのことです．だから無理に見分ける必要はないとも言えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値，最小値について／17.6.22］

問題5の(2)が、問題文では0≦x≦5となっているのに、解答では1≦x≦5になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題文の入力ミスとして訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／17.6.21］

中学校レベルの質問ですが、例えば2.5√5など√の前に小数がつくのは大丈夫ですか？よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．係数が小数になる根号はあまり見かけないようですが $a\sqrt{b}$ の形で表される数について， $a,b$ のいずれも「何でもあり」です．

係数が小数（分数）の場合の例： $2.5\sqrt{5}=\frac{5}{2}\sqrt{5}$
根号内が小数の場合の例： $\sqrt{0.16}=0.4$
係数も根号の場合の例： $\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
根号内が負の数の場合は，高校で習う虚数になります： $\sqrt{-4}+\sqrt{-1}=2i+ i=3i$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／17.6.21］

わかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.6.20］

特性方程式の重解になる場合の一般解の形と、ｘの関数を掛けたものものが解の一つになると言う点がどうしても理解できません。こうなる的に覚えて過ごしてきました。何か補足説明を頂けたら幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いてあります．

■東京都[TKさん／17.6.19］

純循環小数と、混循環小数について、それぞれの数を分数に直した時に何か規則性はありますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．市販の公式集に出ていますが，次のようになるので規則性はあると言えるでしょう．

【純循環小数】小数第１位から循環節が始まり，循環節の長さがｎ桁であるとき
$x=0.86398639\cdots =0.\dot{8}63\dot{9}$ の場合
両辺に10000を掛けて頭出しをすると
$10000x=8639.\dot{8}63\dot{9}$
$\underline{-)\hspace{18}x=\hspace{26}0.\dot{8}63\dot{9}}$
$9999x=8639$ （小数点以下が同じになって，引けば消えるところがミソ）
$x=\frac{8639}{9999}$ （約分できるときは約分してまとめる．以下同様）
一般に，循環節の長さがｎ桁の純循環小数 $x=0.\dot{a_1}a_2\cdots \dot{a_n}$ の場合
$x=\frac{a_1a_2\cdots a_n}{99\cdots 9}$
のように，分子がｎ桁の循環節になり，分母が9をｎ個並べた数字になります．

【混循環小数】小数第１位からｍ桁まで循環しない部分があって，その下に循環節の長さｎ桁の循環部分が続くとき（循環しない先頭部分には整数があってもかまわないがここでは整数部分のない例で示す）
$x=0.12386398639\cdots =0.123\dot{8}63\dot{9}$ の場合
両辺に10000000を掛けて頭出しをすると
$10000000x=1238639.\dot{8}63\dot{9}$
両辺に1000を掛けて頭出しをすると
$\underline{-)\hspace{18}1000x=\hspace{26}123.\dot{8}63\dot{9}}$
$9999000x=1238639-123$
$x=\frac{\overbrace{123}\overbrace{8639}-\overbrace{123}}{\underbrace{9999}\underbrace{000}}$
一般に，小数第１位からｍ桁まで循環しない部分 $a_1a_2\cdots a_m$ があって，その下に循環節の長さｎ桁の循環部分 $b_1b_2\cdots b_n$ が続くとき $x=0.a_1a_2\cdots a_m\dot{b_1}b_2\cdots\dot{b_n}$ の場合
$x=\frac{\overbrace{a_1a_2\cdots a_m}\overbrace{b_1b_2\cdots b_n}-\overbrace{a_1a_2\cdots a_m}}{\underbrace{99\cdots 9}\underbrace{00\cdots 0}}$
になります．

※これらの計算自体は，無限等比級数の和について詳しく理解していなくても，「頭出しして引くだけでできる」ので，昭和30年代の田舎の公立中学校で普通に習った覚えがある．（教科書には載っていなかったかも）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式１について／17.6.19］

半世紀ぶりの数学の学び直し、脳内の霧が晴れていくような気持がしています。本当に有難いサイトです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／17.6.18］

基本の問題が網羅されており、非常にためになると思った。解説もわかりやすく、わからなかった問題も解けるようになった。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／17.6.18］

中心（-1、-1）半径2の解答欄に選択肢がありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説ボタンを押してよく読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／17.6.18］

問題1の（3）解答欄がありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．西暦2000年にはまだChromeはありませんでしたが，2017年現在ではそれなりのシェアになっています．そのChromeで見た場合,入力欄が他のブラウザと全然違う表示なるということはそこそこ知られていますが，教材の数が数千頁と多いため，苦情が来たものから順に訂正するするしか仕方ないようです．世の中にある多くのWeb頁でこういうことはあるかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[導関数の定義について／17.6.17］

計算過程全部見せてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．要望の意味が通じません．計算というボタンをクリックすれば途中経過が表示されることに気づいていないのか，Androidでは計算が表示されないと言っているのか？また，その頁はPC用です･･･携帯用は別の頁です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式について／17.6.16］

例の(3)の2回目の行列式の変形の時に最後の3を1番前に出してある行列式のところで1とあるのですが、-2が正しいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.6.15］

例5は(cos3x/12)-(3sinx/4)+Cでもあってますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三倍角公式を逆に解いて，被積分関数を三角関数の１次式に直すのは「あり」です．ただ，結果は少し違うようです．

$\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3 x$ だから
$\sin ^3 x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$
$\int\sin ^3 xdx=\int\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}dx$
$=-\frac{3}{4}\cos x+ \frac{\cos 3x}{12}+ C$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／17.6.15］

大変参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数式の和・差について／17.6.15］

いつも参考にさせて頂いてます。よくある間違い1の間違い答案のところで分子の(x+3)と分母の(x+2)を約分しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Web画面上で分数式を表示して，取り消し線に色を付けるという術に集中していたため，数学の話が飛んでいたようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[等比数列の和について／17.6.14］

素晴らしい　よく理解できた　練習問題のなんいとまをもう少しあげてもいいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．さらに進んだものはこの頁など

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.6.14］

最初に因数分解をすれば良いということが分かれた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／17.6.14］

ありがとうございました。小テスト前に利用させて頂きました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.6.13］

（６）について質問があります。何度やっても－１以外符号が反対になってしまうのですが、解き方が間違っているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問の仕方は間違っています．何度やっても･･ということよりも，どのようにやったのか，つまり自分の答案を書かないとどこが間違っているのかを回答するのは無理です．

【よくある間違い】
a2−(b−c)2=a2+(−b+c)2と考えている人は，符号が全部逆になります．
a2−(b−c)2=a2−(b2−2bc+c2)=a2−b2+2bc−c2
a2+(−b+c)2=a2+b2−2bc+c2
です．

各問題に解説がついているのでそれを読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.6.10］

青いカード3枚と赤いカード6枚を円形に並べる問題で、書いてある通りに9！/3！6！＝84として、その後9で割ろうとしても割り切れません。どうして１０番の問題ではその解法を使えるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．円順列については，公式が成り立つ場合だけを説明するのが普通で，公式が成り立たない場合に踏み込んでいくと複雑過ぎて初心者が混乱してしまうことが多いので，触れずに置いておいて応用問題に回すようにしています．すなわち

「ｎ個の異なるものを」「全部使って」できる円順列の総数は (n−1)！

という公式において，「同じものがある場合」「一部分だけを使う場合」は公式の前提を満たしていないので，簡単には求められません．戦国時代の混とん状態になり，積の法則・和の法則や樹形図・辞書式配列のような原始的な取り扱いに帰って１つずつ数えざるを得ません．

【例１】５個の異なるものから４個とってできる円順列の総数は？
⇒上の円順列の公式だけではできません．４個とる取り方は5C4=5通り．その各々について円順列は(4−1)!=3!=6通り．結局，30通り
【例２】赤玉が１個，青玉が２つあり青玉は区別できないとき，これら３個を使ってできる円順列の総数は？
⇒同じものがあるときは円順列の公式に直接当てはめることはできません．まず，青玉に青１，青２と区別しておくと，これら３個のものを使ってできる円順列の総数は(3−1)!=2!=2通り．しかし，青玉は区別できないのだから，各々の円順列において青玉を交換した倍率（2倍）だけ数え過ぎているので，２で割ると1通り．
⇒この問題では，赤玉は１つしかないから，まず赤玉を上に置くと決めると，残りの置き方は自動的に決まるので，１通りになるという話とつじつまが合う．
【例３】赤玉が２個，青玉が２個あり同じ色の玉は区別できないとき，これら４個を使ってできる円順列の総数は？
⇒先に赤玉を並べると，隣り合う場合と１つ置きになっている場合とがある．このとき残りの場所は自動的に青玉の場所になる．結局2通り．
⇒この問題では，同じものがあるときの順列4C2=6通りを４で割っても解答にはならない．

さて，質問の本題に戻ると，教材の10番の問題では赤が１枚になっていて，これを固定すると残りのものは単に同じものがあるときの順列になるので解けるのです．これに対して，青玉３個，赤玉６個があって同じ色の球が区別できないとき，例えば頂上に位置に置く青玉を固定しようにもどの玉の話なのか決まりませんので，３個の青玉の配置を考えます．(1) 青玉３個が（3個連続で）互いに隣り合っている場合→１通り．赤玉は残りの場所に自動的に入る．(2) 青玉２個が互いに隣り合い，もう１つの青玉が左回りに数えて2個目，3個目，4個目，..，6個目にある場合→4通り．赤玉は残りの場所に自動的に入る．(3) どの青玉も隣り合わない場合→根性で数えていくことになります．
このように，同じものがあるときの円順列の総数はとても複雑になります．1個しかない玉があれば，それを固定すると単に同じものがあるときの順列になって，簡単になります．
※通常，教科書でもキラキラ輝く明るい道筋だけ（異なるものを全部使う円順列の総数）を扱っており，１つでも前提が外れると（同じものがある場合，一部分を使う場合，何回でも使える場合）暗闇の中でもがくような話になってしまうので，あまり触れていません．しかし，この前提を確認することは重要だということをどこかに書いておきます．

■岐阜[Vin Dieselさん／17.6.11］

選んでいくのがよかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.6.11］

証明のF(g(t)+Cに注意するとのところとその上の式の ↑の)が足りない気がします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．かっこが抜けていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式１について／17.6.10］

例題1の解答で２点 AP 間の距離は AP=√(x+1)2+(y－3)2 とありましだか、それはどうしてですか？？詳しくお願いします！！よろしくお願いします！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．回答の文章を考えるときに，いつも思うのは，この人は何歳ぐらいの人で，この分野の内容をどれくらいやった人なのだろうかが不明の場合に，どこまで答えるのかということです．もし，高校生になっていない人が，たまたま検索でヒットした頁に質問しているのなら，それなりに事前学習をしてもらわないと言えないこともあります．

その頁の右半分に書いてありますように，２点 $A(x_1, y_1),B(x_2,y_2)$ 間の距離は $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ です．
したがって，２点 $A(-1,3),P(x,y)$ 間の距離は $AP=\sqrt{(x+ 1)^2+(y-3)^2}$ です．

これが「なぜ？」ということでしたら，中学校３年のこの教材を初めに読んでいただく必要があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／17.6.9］

ちょうどいい難易度と、分かりやすい解説でとても迅速に理解できました、ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.6.9］

いつも参考にさせて頂いております。証明に「（左辺）=F(b)−F(b)」とありますが、（左辺）=F(b)−F(a)」の誤植だと思います。参考になれば幸いです。読者Ｎより。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値付の不等式について／17.6.8］

解説に別解があるといいと思います！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.6.8］

分数の場合のやり方ものせて欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当サイトは中学生から高齢者まで読者層が広いので，分数の場合という言葉が何を表しているのか絞り切れません．例えば，係数が分数になっている場合という意味でしたら，問題１の第４問，問題３の第３問にありますが，展開するだけですから取り扱いとしては同じです．中学生向けのように，分数の係数になると間違いやすいから，特別な頁を作って専用の解説を･･･ということは，高校の教材としては考えにくいです．また，例えば分数式の場合という意味でしたら，分数式の頁が別にありますのでそちらを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／17.6.7］

解説がとても分かりやすく、よく理解できました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.6.6］

例4で∫dx/√(4-x^2)dx と書かれているがdx多くね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．dxが多かったので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[実数係数方程式の虚数解について／17.6.6］

最後の解法の解説を探していたのですごく助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.6.5］

やりやすかったです。参考にさせてもらいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／17.6.5］

とても解いていて楽しかったのですが、どうしてもわからない時に答えを確認したくても正解するまで答えがわからないシステムが少し時間がかかって大変です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半については解答を付けました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数不等式の解き方について／17.6.4］

例えば,分子２分母x－1 < x の場合はどうなりますか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．以下，質問が $\frac{2}{x-1}\lt x$ であるものとして回答します．
(A)の場合分けして分母を払う方法では，次のような答案になります．
1) x>1のとき

2<x(x−1)
x2−x−2>0
(x−2)(x+1)>0
x<−1, x>2
x>1の場合だから，x>2

2) x<1のとき（x=1のときという場合分けは不要であることに注意．分母が0になるから，成り立つはずがないから）

2>x(x−1)
x2−x−2≷0
(x−2)(x+1)<0
−1<x<2
x<1の場合だから，−1<x<1

以上をまとめると，−1<x<1, x>2…（答）

(B)の通分だけで行う方法では，次のような答案になります．
$\frac{2}{x-1}-x\lt 0$
$\frac{2-x(x-1)}{x-1}\lt 0$
$\frac{-x^2+ x+ 2}{x-1}\lt 0$
$\frac{x^2-x-2}{x-1}\gt 0$
$\frac{(x-2)(x+ 1)}{x-1}\gt 0$
両辺に $(x-1)^2\gt 0$ を掛けると
$(x-2)(x-1)(x+ 1)\gt 0$

左図より，−1<x<1, x>2…（答）

(C)のグラフを描く方法では，次のような答案になります．

方程式に書き換えて交点のｘ座標を求めておく．
左図より，ｙ＝ｘの方が上にあるのは，−1<x<1, x>2…（答）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不定方程式の整数解について／17.6.4］

整数x, yの一般解を求めてください．というのは整数解全てを求めなさいという言い方もできるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．世間一般の言い方として，それら２つはほとんど同じ意味につかわれていると考えてもよいのですが，この頁では「解が無限個あって書き並べることができない場合に，一般解を求めよ」と述べ，「解が有限個になって書き並べることができる場合に，すべて求めよ」と述べています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列と連立方程式について／17.6.2］

付録中の代入式の中で、かっこが斜めっているのは解せん。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者はどちらでもよいと思いますが，とりあえず直立にしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.6.2］

問題2　(4)式の最後の方で、2bh+h^2+h　/　h　となりますがその次で、分子全体をhで括ったらだめなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.6.2］

どちらか、もしくは両方に「-」がつく場合{(５)(４)など}どっちにつくかがもう分かってしまっているので解く側が、符号がどうなるのかを考えれるように工夫してほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は入門的なもので，そこそこ手がかりがあるようになっています．この頁の方がご要望の形にあっているかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／17.6.1］

採点できませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2000年ごろに当時全盛期だったIEでエラーが起こらないようにテストしたものですが，現存するブラウザ（Chromeも含む）では文法が合わなくなっているようですので，訂正しました．･･･このプログラム，変化の速い業界で10年以上持ちこたえたようなのでご容赦を．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／17.5.30］

割る式が2次式と4次式で問題に聞かれるのが3次式の余りという応用の解き方だけ知りたかったです。（3次式は因数分解できないもので、割っている2次式と4次式とは何の因数も持たないパターンです。）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．想像力豊かで物事を深く考える方のようですが，詰めが甘いのが弱点かもしれません．すなわち，アンダーラインをひいた箇所が，問題文を無にしており，そんな問題はありえないのです．･･･仮にそのような問題を出題したとすると，余りが定まらないのです．

【簡単な例】
「xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる多項式を，x+2で割ったときの余りを求めよ」という問題があったとすると，仮定として与えられているx, x+1と求めるべきx+2が独立（割っている式と何の因数も持たないパターン）になっているので，答は定まらず，どんな余りでもありえます．
(1) f(x)=x+1とすると，xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる．この式をx+2で割ったときの余りは−1
(2) f(x)=(x+1)2とすると，xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる．この式をx+2で割ったときの余りは1
(3) f(x)=(x+1)(2x+1)とすると，xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる．この式をx+2で割ったときの余りは3

そもそも，条件で示される２つの式x, x+1と余りを求めたい式x+2に何の因数も持たないパターンでは，答は定まらないのです．だからそういう問題はないのです．
※３次式が有理係数では因数分解できないが，無理係数，複素係数で因数分解でき，それらの因数が各々与えられた２次式，４次式の因数となっている問題なら解けます．
※この頁とかこの頁の問題をやる方がためになるでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／17.5.30］

通信制高校で学んでいる７６歳の男性（老人）です。６０年近く学問と遠ざかっていて数学Ⅱは難解ですが、解の公式の解説を見てよく理解でき又、虚数単位の計算もあり、助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数について／17.5.30］

分数関数の問題４は絶対値があって、どう場合分けしたらhelp通りのグラフになるか分かりません。宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題4の(2)は場合分けした答案がついているので，(1)の話として答えます．
$y=\mid 1+ \frac{-4}{x+ 2}\mid$ のグラフはそこに書いてあるグラフになるので，そのうちの負の部分の符号を変えるということです．（実際には， $\frac{x-2}{x+ 2}\lt 0\leftarrow\rightarrow (x-2)(x+ 2)\lt 0\leftarrow\rightarrow -2\lt x\lt 2$ のとき負になるから符号が変わります．）
※ｘの値に応じて（木を見て）場合分けしようと考えているのは理解できますが， $y=\mid 1+ \frac{-4}{x+ 2}\mid$ （森）を一目見れば直ちに分かります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数(有理数の指数)について／17.5.30］

問題２で分数の指数を伴った単項式の割り算が入るとき、割り算を先に掛け算に変換するという解法はないのでしょうか？　ヒントでは係数ごとに指数法則で指数の加法法則でまとめるときにマイナスを掛けてから加法していますが、マイナスを掛けるというのもなぜそうするのか今一つ呑み込めません。また、各単項式を２と３などの素数の積の形にした後に素数単位ごとに指数の加法法則が成り立つのも今ひとつよくわかりません。剰余算の記号が式に入っているからそう思ってしまうのかもしれませんが、剰余記号を省略して長い一つの単項式と理解すればよいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問が長いので区切って答えましょう．
(1)「割り算を先に掛け算に変換するという解法はないのでしょうか？」⇒一番初めの解説にありますように， $a^x\div a^y=a^{x-y}$ ですので，これは $a^x\div a^y=a^{x}\times a^{-y}$ と同じことです．つまり，割り算を掛け算に変換しています．
(2) 「マイナスを掛けるというのもなぜそうするのか今一つ」⇒負の指数の定義この頁やこの頁の内容を先に読んでください．
(3) 「剰余算の記号が式に入っているから」⇒割り算の余りは使っていないので，この文章はおかしい．
(4) 「長い一つの単項式と理解すれば」⇒当然そうなっています．
(5) 「各単項式を２と３などの素数の積の形にした後に素数単位ごとに指数の加法法則が成り立つのも今ひとつよくわかりません」⇒たとえば， $6^{-2}\div 12^{-\frac{3}{2}}$ のような場合，6と2に分けて（3まで分解せずに）済ませることもできますが，ほとんどの問題は素因数分解で行うのが最短・最良の解き方ですから，慣れるまで練習した方がよいでしょう．
※質問者がどういう現状で，何を尋ねているのか分かりにくいですが，推定で言えば「マイナスの指数がよく分からないから，使いたくない．逃げたい」という心理があると推定すれば，これらすべての質問がなぜ出てくるのかを説明できるようです．「マイナスの指数から逃げることはできません」ので上記２つの頁の「負の指数の定義」を読むことから始めてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均の推定・信頼区間について／17.5.30］

標本サイズN=300、ある意見が40%、信頼度95%、という条件で信頼区間を求めるとしたら、どれに当てはまりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ある意見が40%とは何を表しているのか，何の分布についての母平均の信頼区間を求めようとしているのか，どれに当てはまりますかというためには選択肢を示さないと議論が成り立たない，標準偏差が不明のままで？･･･もっと質問内容を正確に表現してみる必要があります．そうすれば，尋ねるまでもなく自分で解けることがあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／17.5.29］

期待値の問題(3)についてhelpの赤1、白1はなぜ6/10なのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算の根拠はhelpに示した通りですが，6/10をなぜ3/5にしないのかという質問でしたら，約分してから通分するのなら何も触らない方が間違いが少ないからです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の入試問題3について／17.5.29］

丁寧な作り、びっくりします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡をもらうとその頁を見るようにしていますが，ブラウザ(IEなど)によっては空欄の枠が表示されない場合があるようですので，ついでに訂正しておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.5.29］

とてもわかりやすく、4択で問題数も少ないので気軽にとりくむことができました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■?[?さん／17.5.28］

方べきの定理などの問題はありますか？見つけられなくって…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学Ａでは，３つの内容「場合の数と確率」「整数の性質」「平面幾何」のうち２つ（２単位）を学校が選んで学ぶことが多く，平面幾何を選ぶ学校は少ないと考えられますので，当サイトでも扱っていません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立不等式について／17.5.28］

とても理解しやすいです。ひとつだけもうすこし解説を加えていただけると助かります。上の例題の−1<2x+1<x+4ですが　－１<x+4を連立不等式の片方にするのはなぜいけないのか、の解説を加えていただけないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いけない訳ではないが，無駄になるということですが，言い始めるとコテコテしそうな感じです．

A<B<C ←→

A<B…(1)
B<C…(2)
A<C…(3)

(3)は間違いではないので，書いてもかまわない．ただ(1)(2)から(3)が作れるから，無駄になっています．
そうではなくて，(1)(3)だけにするとB≧Cの場合も許すことになり，(2)(3)だけにするとA≧Bの場合も許すことになるので，元の問題と同じではない．
高校生でこのことが分からない人に，上記のように説明をしても，分かるようにはならないでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値について／17.5.27］

《問題》 (5)　次の方程式をきなさいイ)は２（ｘ－１）－２ｘ＝６と書いてありますが、本当は -２（ｘ－１）－２ｘ＝６ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず初めに|1−x|は|x−1|に等しいです．だから，イ）の場合，2|1−x|−2x=6を2|x−1|−2x=6と考えて絶対値をはずすと，左側の答案のように，2(x−1)−2x=6になります．
同じ問題をイ）の場合に，2|1−x|−2x=6の絶対値をそのままはずせば，−2(1−x)−2x=6になりますが，これら２つは同じものです．
２つの表記を書いてしまったので，混乱したかも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／17.5.27］

windows10で完璧です。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Windows10でIEなら正常に読めるという連絡だと理解しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／17.5.26］

果物の図がかなりわかりやすい。このサイト見たからks分からないがいつもより数学の点数高かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡をもらったらその頁を見るようにしていますが，ふと見ると，プログラムミスで正解した後に次の選択ができなくなっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値について／17.5.25］

間違えたときに答えを表示するようにしてほしいです。なぜか、ここは答えが出ないので少し使いにくいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材を作ったときは「ここまでお膳立てしてある場合に，答えが必要な生徒がいるとは思わなかった」というのが本音です．しかし，今考えてみるとWeb教材では，読者は中学生から老人まで，海外在住で日本語の教科書が入手できない人まで幅広いので，確認のために解答が必要な場合もあるようですので，そのうち解答を付けます．（付けました）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の基本について／17.5.25］

図3の下の紫色の囲みの式について、 F(b－a) という風に代入すると楽になると学校で教わったのですが、そうするとF(b)－F(a) で計算するときと答えが合わなくなります。 F(b－a)は間違いですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一般に「F(b－a) という風に代入すると楽になると学校で教わった」ことはないでしょう．ノートの写し間違いでしょう．
そのようなことが言えるのはf(x)が定数になっているような特別な場合，すなわちf(x)=k → F(x)=kx → F(b)−F(a)=kb−ka=F(b−a)となるような場合だけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの和について／17.5.25］

第3問の問題ですが答えは、横軸X,縦軸Yとするならば座標（X,Y）にとして始点座標（0,2）終点座標（2,2）ではないのでしょうか？始点座標（2,0）終点座標（4,0）の回答絵を押すと正解のようですが、もしそうだとするなら　どのように理解すればよいのか教えてください。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．ベクトルは「大きさ」と「向き」をもつ量として定義され，「大きさ」と「向き」さえ等しければベクトルとして等しいといいます．
このことから注意すべきこととして，ベクトルにとっては「どこに書いてあるか」「始点がどこにあるか」はどうでもよいということになります．
ご質問の(1) 始点座標（0,2）終点座標（2,2）というベクトルは「ｘ軸の正の向き」に「大きさ２」です．
ご質問の(2) 始点座標（2,0）終点座標（4,0）というベクトルは「ｘ軸の正の向き」に「大きさ２」です．
これら２つのベクトルは「大きさ」と「向き」が等しいので全く同じベクトルです．左の図において $\vec{a}=\vec{b}$ ， $\vec{c}=\vec{d}$
※問題の趣旨としては，回答者がまず(1)の形でベクトルを作図するはずなので，それと「大きさ」と「向き」が等しいもの(2)が見つけられるか？という設定になっています．
※ベクトルに関する一連の教材の中で，ベクトルは「大きさ」と「向き」をもつ量として定義される，すなわち「どこに書いてあるか」「始点がどこにあるか」はどうでもよいという辺りの練習問題が足りませんでしたので，そのうち追加します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.5.25］

問題がとても良い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の基本について／17.5.24］

いつも使わせて頂いてます。ありがとうございます。問題（４）でdxが重複しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数，対数関数の導関数について／17.5.23］

分かり易いI解説で助かっています。ありがとうございます。「πと並んで有名な無理数」の「π」ですが、GoogleChromeで見ると「n」に見えてしまいます。よく見ると「π」なのですが、一見すると[n」に見えます。ご報告まで。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにGoogle Chromeで見るとゴシック体で表示されるようですので変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.5.23］

気にいった所 : 解説がわかりやすく表示してある。わかりにくい問題 : なし
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.5.23］

感で解けます（ヒラキ）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．勘ぐるの勘の方がこの文脈で使う漢字としてはいい感じです．ヒラキとは？人名？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.5.22］

たーのしー！ティーカップのイラストいいっすね！流石俺でもに数学の課題にまで緑マーカー引いてもう一回とかは流石に気が引けるのでこういうの増えるといいなぁと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／17.5.22］

括弧があると、括弧が必要なのか、答えを区切るだけなのか、それがわかりません。括弧が必要ではない式は、四角や、括弧でも種類を変えた方がいいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．かっこは必要です．幾つかの教科書を引用して例を示してみましょう．

東京図書.数学Ⅰ：4x2+xy2−2x+y+5をxについて整理すると4x2+(y2−2)x+(y+5)
第一学習社.数学Ⅰ：x2+3xy+4y+2x−5をxについて降べきの順に整理するとx2+(3y+2)x+(4y−5)

上記の答案において，どのかっこも省略できず，書かなければ不正解です．定数項の( )だけは省略しても正解の許容範囲となる場合がありますが，不正解とする先生もいます．
かっこは一重のとき (　)，二重のとき { (...) }，三重のとき [ { (...) } ] のように入れ子にする順序が決まっているので，自分流に変えてはいけません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／17.5.21］

まあよかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[商，分数関数の微分について／17.5.21］

下の方でいいので、答えを載せて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一題でも間違ったら解説と答が出るようになっているのですが，この要望が来たということは全問正解で終わってしまった人だと考えられます．とはいえ，正解であっても答案を確かめたい人はあり得ますので，正解の場合でも解説が出る設定にしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／17.5.21］

例３の解説(3)のところ２進数になってます。流れを汲めば躓くことはないですが一応
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値付の不等式について／17.5.20］

ありがとうございます!!!ようやく理解出来ました♪ もう少し(B)に似た問題が欲しいかなと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．絶対値のはずし方についてはこの頁，この頁，この頁を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ記号の変形について／17.5.19］

(5)と(6)がわかりません。どうやってとけばいいんですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面にHELPがありますが，それを見ても分からないのですか．本当に見ていますか？
(5)→ an=3n−1ならばak=3k−1です．
(6)→ an=n(n+1)ならばak=k(k+1)です．
※そもそも「Σ記号の内部では変数を（Σ記号の下に書いてある変数）kに変える」ということが分かっていないのではないでしょうか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.5.18］

a,bの文字が大きくて見づらいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は毎週3000人以上の人が見る人気の頁で，悪い評価は少ないです．文字が小さくて見づらいという意見は他の頁では時々ありますが，文字が大きくて見づらいとは？･･･作業時間に余裕ができたら考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.5.18］

例題が最高すぎる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．急には意味が分かりませんでしたが，ゆっくり考えて褒めてもらっていると解釈しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／17.5.18］

部分分数分解の問題コーナー（分子に(3k+2)がある問題）で解答に原式が１次/３次だから２次/３次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると１次/２次の差になっていると思います。１次上げるために分母を１次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式の性質とクラメールの公式について／17.5.18］

クラメールの公式の問題１で下の式が間違っている 3x+5=7ではなく、3x+5y=7では？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題文でｙが抜けているということで，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[最大公約数,最小公倍数について／17.5.17］

特に問題ないと思います、でも今の教科書にあまりあっていない気がします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最大公約数,最小公倍数については，小学校で１回習って，中学校ではもう習わず，高校１年生前半ではまだ習っていないはずなので，「今の教科書にあまりあっていない」というのは正常な感覚だと思います．･･･教科書ではこの項目は冷遇されているようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立不等式について／17.5.17］

貢の数が全然増えないのはなぜでしょうか？なので進み具合を報告できません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．iPadでは（記録方式が違うためか）記録されないという報告が以前からあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／17.5.17］

大学生ですが、高校の内容で分からないところがあったときに見ています。ネットの情報なのでスマホさえあればいつでも解説と例題を見ることができ重宝しています。更に大学範囲や例題が増えるととても嬉しいです。これからもよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／17.5.17］

分かりやすいと思います非常にためになります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数平面の単元は，教育課程の改訂の度に出たり入ったりで，現役大学生でも習っていない場合があるかもしれません．採用試験の担当者が，教育課程についてどこまで正確に調べているのか分かりませんが，「分からない者は採用しない」とすべて受験者責任にしてしまうと楽だろうな，さもなければ新人教育の経費をどうするのかな，などと他人ごとながら現場の対応が気になる今日この頃です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点の座標について／17.5.16］

いい頭の運動になりましたありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[樹形図、辞書式配列について／17.5.16］

見やすい！わかりやすい!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[隣り合う並び方・隣り合わない並び方について／17.5.16］

答えが分かりにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．学校で対面授業を行っているときは，やり取りが繋がっていくので「答まで言わすなよ」「自分で考える余地を残しておくように」とよく言う．しかし，Web教材では，分からなくなったら投げて終了という場合もあるかもしれません．現役の生徒が問題練習として解いている場合を除けば，答えを聞いてもなぜそれが答なのか分からないという場合もあってもおかしくない･･･解説が出るようにしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.5.15］

何を言っているか全然わかりませんでした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分からないことを分かるようにするにはどうすればよいか，という前向きの姿勢で臨むことが大切です．「分からないことが書いてありましたので数学を投げました」でよいのでしたらそれまでです．
前向きに言えば，二進数の「演算」以前の，中学校で習う二進数の「表記」からやり直すを解決するかもしれません．
このまま放置すると，さらにもっと破滅的な議論「そもそも能力的に問題が･･･」という風な話も出てきそうな文脈になっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般角の定義について／17.5.14］

いつも数学で分からないところが分かりやすく書かれていてとても助かっています。これからもよろしくお願いします(_ _)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.5.14］

説明がとても見やすかったです。質問はここに書いてもいいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問はその欄に書いてもらうといいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／17.5.14］

お世話になっています。上において質問と回答のところに >問題を選択した時に、背景色が濃く、明暗比が悪いために見づらいの意見があったので私も確認してみました。私にも十分見えますが、選択した場合に背景色が白から青になるのでコントラストの関係で見えにくくなるということではないかと思います。他の端末や色弱の人にどう見えるかについてはわかりません。 ※なんとなく気になったので意見を送信させていただきました。回答は不要です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モルガンの法則について／17.5.14］

問題とは関係ないのですが、スマホで縦スクロールだけで見れるようにしていただけるとうれしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭に「→ 携帯版は別頁」というリンクがあり，それをたどれば携帯版に行くようになっていますが，その表示が分かりにくいということでしょうか？もう少しその表示を大きくする？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／17.5.11］

わかりやすい説明、とても助かりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／17.5.10］

解答ページを作って欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど解答が分からない場合がありますので，解答を付けます．ただしその頁内に付けます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の対称式，値の代入について／17.5.10］

間違いの指摘です白い四角の二つ目のところで割り算の説明をしていますが「この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BR+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．」のところで A=BR+RではなくA=BQ+Rの間違いだと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成(基本)について／17.5.10］

問題5(1)の判定が間違っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は昨日書き換えたばかりで，さっそく見てくれた人がいたとは感謝です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／17.5.10］

「√{2×(－1)}=√2√－1」と「次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません√a√b=√ab」が少し気になりました自由に使ってないのかもわかりませんが、a,bの少なくとも一方が正であれば良いような気がします「√{2×(－1)}=√2√－1」が成り立つ根拠となるものはどこを見たら良いでしょうか分数の方を計算してみると分母が鬼門なので、少なくともb>0であれば掛け算も分数も良さそうです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．注意深く読んでもらっているということがよくわかります．
ご質問の場合については，その通り少なくとも一方が正なら成り立ちます．東京図書の教科書には，
(1) a>0, b>0 (2) a>0, b<0 (3) a<0, b>0 (4) a<0, b<0 の各場合について
(A) $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ (B) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
のどれが成り立つか一覧表を作りなさい．という問題が出ています．その問題は深く考えさせる良問だと思う．
私の教材で「次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません．」とは，成り立つ場合と成り立たない場合があるということです．いわゆる部分否定です．とりあえずにっこり笑って「安全に変形できる」のは，「両方とも正の場合」ということで，それ以外は正誤様々です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.5.9］

1階微分方程式の場合、例えばy'-y=xのようなものは解が1つしかないので重解と考え、y=e^px(C1+C2x)と考えるのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は２階微分方程式の頁です．１階微分方程式と２階微分方程式とでは解き方が違いますので，１階微分方程式の頁を見てください．その頁の【例題１】にほぼ同じ（係数が２になっているだけ）問題がありますので見てください．なお，あなたの問題の解はy=−x−1+Cexになります．（１階微分方程式の一般解の任意定数は１つです）．
その教材は，分類の都合で高校数学の応用のような箇所に置いてありますが，もしあなたが高校生なら１階線形微分方程式も２階微分方程式も範囲外です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.5.9］

途中でlog/logやlog×logは当てはまらないと出て来ますがその場合の計算方法も載せて欲しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いていますように「この式の変形は、後で出てくる底の変換が考えられる程度」です．すなわち，
$\log_2 3\cdot\log_2 5$ …(1)や $\frac{\log_2 3}{\log_2 5}$ …(2)の形になっていたら，それを変形する公式はないということです．
ただし，そこに書いていますように「底の変換の頁」を見てもらうと(2)は $\log_5 3}$ に変形することはできます．･･･この質問は少々ずれています．「後に出てくる底の変換が考えられる」と書いてあるのだから，後に出てくる底の変換の頁を見るのが普通です．
もう１点，どんな式でも変形できる公式があるに違いないと思い込んでいませんか？上記の(1)のような式は，もっと複雑にすることはできますが，これ以上簡単にする公式はありません．ないからないと書いているのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.5.9］

ベクトルの内積の定義が誤っています。 ――>a=(x1 , y1 , z1 , … ) , ――>b=(x2 , y2 , z2 , … ) のとき，誤:　――>a· ――>b=x1x2+y1y2+x3y3+… 正:　――>a· ――>b=x1x2+y1y2+z1z2+…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．添え字が重なりがちなので，ついでに直しておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限について／17.5.9］

不定形の極限のところが分かりやすくとても良いと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／17.5.8］

定数係数の2階非同次微分方程式について、y"+y=tanx のときは特殊解の候補をどのように置けばいいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．右辺がtan xの場合は，この頁で想定している初歩的な解き方の範囲外です．すなわち，特殊解を求める簡単な方法がありませんので，そのアプローチでは無理でしょう．
解くためには，一般解を求めてから「定数変化法」を試みることになるでしょう．
同次方程式の一般解は $y=A\sin x+ B\cos x$ なので，定数変化法により，非同次方程式の解を $y=A(x)\sin x+ B(x)\cos x$ とおいて微分方程式に代入して，関数 $A(x),B(x)$ の満たすべき微分方程式に直してこれを解きます．ただし，そのままでは余りに無限定で解けませんので
$A\apos(x)\sin x+ B\apos(x)\cos x=0$ …(1)
という条件を勝手に追加します．このようにすると，(1)がうまく働いて， $A(x),B(x)$ の関数と第2次導関数を含まない $A\apos(x),B\apos(x)$ だけの連立方程式になります．
$A\apos(x)\cos x-B\apos(x)\sin x=\tan x$ …(2)
(1)(2)より
$A\apos(x)=-\frac{\sin x}{\cos 2x}\rightarrow A(x)=-\int\frac{\sin x}{\cos 2x}dx$ …(3)
$B\apos(x)=\frac{\tan x\sin x}{\cos 2x}\rightarrow B(x)=\int\frac{\tan x\sin x}{\cos 2x}dx$ …(4)
などとなって，理屈の上では解けますが，(3)(4)の計算も結構大変です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／17.5.8］

解けなどという文面ではなく、求めてくださいと書いてあるので嬉しい。本当に嬉しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．自分の担当している生徒や受験生に対しては，教えるものと学ぶものという上限関係がはっきりしているので，伝統的な数学本のスタイルで「解け」といってもおかしくないのですが，Ｗｅｂ上の一時的な関わりではそれほど明確な上下関係はないので，敬語もありかなという感じです．ただし，教材作成に18年近くかかっていますので昔風に「解け」という文章も残っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立不等式について／17.5.7］

すごくわかりやすく、為になりました。　　　　　　ありがとうございます！(v^-゜)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／17.5.4］

(２直線の垂直条件)の式(C)において m1*m1 = -1 になっています。正しくは m1*m2 = -1 だと思います。修正を検討してくださるとうれしいです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．タイプミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／17.5.4］

文系の自分でも良く理解できます解説がとても分かり易いです。ただ、重複順列重複組み合わせの公式で、何故マイナス1なのか、文章からは、理解できません理由を教えて頂ければうれしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問・要望は重複順列の頁からですが，内容が重複組合せの頁に関してですので，重複組合せに関する質問として回答します．マイナス１になる理由は，先頭の例で絵を使って述べているように，植木算の考え方でｎ個のものを区別するにはｎ－１本の仕切り棒がいるからです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／17.5.3］

問題2 平家の人でなければ～ならないは読みようによっては平家の人だけが良い待遇を受けるとも読めます。論理的には裏でおかしいとは思いますが、日本語としてはそう読めてしまう気がしました。答えがあったので一応納得はしています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「平家でなければよい待遇を受けられない」ということを表にすると

	よい待遇	悪い待遇
平家	○(A)	○(B)
平家でない	×(C)	○(D)

「日本語としてそう読めてしまう」のは，数学の論理としてはまずいです．上の表において「平家でなければよい待遇を受けられない」が禁止しているのは，「平家でないもので，かつ，待遇のよいもの」がいることだけです．したがって，裏：「平家ならば待遇がよい」とは言えません．「平家でなければよい待遇を受けられない」という場合，(B)のように平家の中で（主流派でないまたは下級の武士などで）待遇が悪い者がいる可能性があります．
「平家でないもので，かつ，待遇のよいもの」はいないと言っているだけなので，日本語的に裏を認めてしまうと数学論理になりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／17.5.3］

命題という規則があっての論理になる。規則がなければ真も偽も考えようがない。ここがミソなのかなと感じました。バカバカしいことですが、さきほどベン図を使っているて[集合のまたは]の感覚とは全く別物なのだなと思いました。確認したいことだけここだけでいいのですが、Cパターンの場合、4月1日=7月1日が日曜日であるならば、7月1日は日曜日というところでいいのでしょうか。運転手じゃないけど免許あるからは離れてますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が分かりにくいですが，「4月1日が日曜日ならば7月1日は日曜日」「4月1日が日曜日でなければ7月1日は日曜日でない」．だからCパターンは起こりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式について／17.5.3］

三次の時も同様とあるのですが二次の時と同じでいいということですか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もちろん3階微分方程式ということではなく，「右辺が」3次のときも同様にできるという意味です．（「同様に」とは，3次の式で試すということで，2次の式と「同じ」ではない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／17.5.2］

PならばQのベン図がよかった。 Pかつ─Qの図を命題のまま引用してしまっていたので。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／17.4.30］

問1 キ及びコは、2だと思います。（1で○になる理由が解りません）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．プログラムの点検ミスがありましたので訂正しました．（同じ問題でPC用は正常で携帯用だけ違っていたようです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[和の記号Σについて／17.4.30］

とてもわかりやすい解説で、いつも楽しく勉強させていただいてます✨ 上から4番目の（K－1）²は（K－2）²ではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は何度でもやり直せるように，読み出すたびに問題順が入れ替わるようになっています．だから，あなたに上から４番目に見えている問題は，他の人には上から４番目ではなく，あなたが再度見たときにも上から４番目にはならないはずです．だから，上から４番目という言葉では，どの問題なのか指定できていません．
参考までに
$\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)^2=0^2+ 1^2+ \cdots+ (n-2)^2$
$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2=0^2+ 1^2+ \cdots+ (n-1)^2$
です．この問題に弱い人はΣ（式）の（式）の形に左右され過ぎており，その（式）に初項と末項を代入する作業を行っていない可能性があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式について／17.4.29］

公式一覧表的なものを作って欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．演習用だけでなく，調べ事や確認用として使うことがあるように思いますので，鋭意努力する予定です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分について／17.4.29］

いつも楽しく拝見しています。間違いと思われる箇所を見ましたのでご連絡させて頂きます。当該箇所は、PCでfirefoxより見ていたところ、定積分のページで、 ”○多項式の積や累乗の定積分”の要点Ⅲの証明について、最後の式の-符号が抜けています。下記該当箇所のコピペです。 (III)は，(II)の結果を用いて次のように証明できる． β∫α(ax2+bx+c)dx =aβ∫α(x－α)(x－β)dx =aβ∫α(x－α)(x－α+α－β)dx =aβ∫α{(x－α)2+(α－β)(x－α)dx =┌│└ a (x－α)3 3+a(α－β) (x－α)2 2 β┐│┘α =a (β－α)3 3+a(α－β) (β－α)2 2－0=a (β－α)3 3－a (β－α)3 2 = a(β－α)3 6
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号が１つ抜けていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／17.4.27］

レイアウトが段組みなのか、図が隣にあるだけなのか、わかりづらいときがある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.4.26］

大学の授業でわからなかった内容がとてもわかりやすく書かれていたので、とても助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[要条件と十分条件--不等式の問題について／17.4.25］

問題1を正解した後、問題2の「必要でも十分でもない」を選ぶと問題1の画像が間違いに変わります。 HELPを見るかぎり間違ってなさそうですが…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．プログラムのミスで，確かに問題１を正解した後に問題２で「必要でも十分でもない」を選んだ場合に誤作動するようですので，訂正しました．（指摘の仕方が的確なので直ちに直せました）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不定方程式の整数解について／17.4.25］

問題５の解説について１０行目が間違っているように思います。y=71m+9 では？解答には直接影響しないとは思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに怪しい計算になっていましたので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式3 （媒介変数表示）について／17.4.24］

こんにちは！とてもわかりやすい解説ありがとうございます！！線分の中点の軌跡がわからないので教えていただきたいです！！点Qが直線y＝x+2上を動く時、点A(1.5)と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。という問題です！！AQの中点はPだというところまでの証明(?)は出来たのですが、その後のPは条件を満たすというところまでは解けずに困っています… よろしくお願いします！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その前の頁軌跡の方程式（動点2個）を見てください．答を教えるよりも自分で解けるようになる方がよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.4.23］

とっても参考になりました。これからもこのように問題形式になっているととても良いかと思います。後、もう少し問題を増やしたらいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次以上の因数分解について／17.4.23］

x4乗－16の答えがわかりません。教えてください！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，x4−16の答という言い方はおかしいです．x4−16の因数分解というべきです．
x4−16=(x2−4)(x2+4)=(x−2)(x+2)(x2+4)
※x2+4の部分をこれ以上因数分解すると虚数係数となるので，通常（実係数，さらに有理係数を前提とする）はこれ以上因数分解しない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列の漸化式と極限について／17.4.23］

問題1.2(1)解説下から5行目(D)-(C)は(C)-(D)と思われる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／17.4.23］

全然わからない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できれば助けてやりたいと考えていても，どこがどう分からないのかを述べないと，助けようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における平面の方程式について／17.4.22］

非常にためになった。僕が持っている教科書や参考書クリアー数学には２問しか載っていない、しかもこのサイトにあるような定理、法則が詳しく載ったページはどこにもない。解答を見ても、数式が羅列しているだけです。どうしても具体的な解法が知りたかったのでこの解説文は非常に役立ちました。ある本を読むと京都大学の理系クラスで3変数の1次方程式が3次元空間の平面を表すことを知っていた学生が皆無だったそうです。正直に言ってかなり危ない事じゃないかと思いました。僕もこの本を読むまで全く素通りしていたのです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／17.4.22］

よくわからない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できれば助けてやりたいと考えていても，どこがどう分からないのかを述べないと，助けようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.4.22］

ぜんぜんわかんない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できれば助けてやりたいと考えていても，どこがどう分からないのかを述べないと，助けようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相加平均.相乗平均.調和平均について／17.4.21］

下記の欄の数式に誤りがあると考えます。 ”■相加平均.相乗平均.調和平均 ” ↓ ”【相加平均≧相乗平均の関係】（３文字以上の場合）” ↓ ”(C)” ↓ ”対数関数は上に凸だから”の2行目左辺に”log(...)”が無いと考えます。 PS,資料がとても分かりやすく感謝しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通り，抜けていましたので訂正しました．（読んでくれている人がいるようなので，凸関数の重心について補足説明も追加する予定）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とはについて／17.4.19］

数学的帰納法による証明の例2で⑴でn＝4が成り立つことを証明したのに⑵でn＝k（k≧4）と4を含む仮定をしたのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．注意深く読んでおられるのは伝わってきますが，数学的帰納法の原理について完全には理解してもらえなかったようです．
２段階の証明：（Ⅰ）n=4のとき･･･　（Ⅱ）n≧4のとき･･･
の記述において，（Ⅱ）が（Ⅰ）の範囲を含んでいなければ，将棋倒しの論理が働かないのです．
（Ⅰ）n=4のとき･･･　（Ⅱ）n≧5のとき･･･となっていれば，（Ⅰ）によりn=4のとき成立することはいえますが，（Ⅱ）でn≧5のとき･･･の証明にしてしまうと，n=5のとき成り立つことは示されず仮定されただけになります．だからn=5,6,7,...のときはすべて砂上の楼閣になります．
実は，例１でも（Ⅱ）はn≧1のときですが，すべての自然数について述べているのだから，n≧1は当然のことだから省略されています．
【この頁】の例題はすべて（Ⅱ）の段階で上記の点に注意して書かなければなりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.4.19］

ありがとうございます！参考になりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理について／17.4.19］

タンジェントの練習がない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は sinθ，cosθ関連の基本練習までを扱っています．tanθはその次の頁に（少し）あります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[はさみうち論法について／17.4.19］

例題の、実際の答案による解説のところで、辺々掛けた後の変形が分かりません。他の項はどこに行ってしまったのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中間項は両辺にあるので，約分と同様の仕組みで消えます．
初めの例では

$|a_n-2|\underline{\le}(\frac{1}{2})|a_{n-1}-2|$
$|a_{n-1}-2|\underline{\le}(\frac{1}{2})|a_{n-2}-2|$
$|a_{n-2}-2|\underline{\le}(\frac{1}{2})|a_{n-3}-2|$
　　…　…
$|a_{2}-2|\underline{\le}(\frac{1}{2})|a_{1}-2|$

辺々かけると

$|a_{n}-2|\cdot|a_{n-1}-2|\cdot|a_{n-2}-2|\cdots\cdot|a_{2}-2|$
$\underline{\le}(\frac{1}{2})^{n-1}|a_{n-1}-2|\cdot|a_{n-2}-2|\cdots\cdot|a_{1}-2|$

両辺にあるものを約分すると

$|a_{n}-2|\underline{\le}(\frac{1}{2})^{n-1}|a_{1}-2|$

■埼玉県[kunkunさん／17.4.19］

次数の方程式の例２についていつも利用させて頂いております。他の方も質問されておりましたが、f(x)が２次以上と１次以下で場合分けする根拠がどうしても理解できていません。例１と状況は変わらないように思うのですが。宜しくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
(1) まず初めに，n=0すなわち定数項の場合，f(x)=a, f '(x)=0になります．したがって，左辺2f(x)は実際には2aになり，その最高次の項が2ax0=2aというのは成り立ちます．しかし，右辺xf '(x)+2x+6は実際には2x+6になり，最高次の項が0ax0=0というのは成り立ちません．
(2) n=1すなわち１次式の場合，f(x)=ax+b, f '(x)=aになります．したがって，左辺2f(x)は実際には2ax+2bになり，その最高次の項が2ax1=2aというのは成り立ちます．しかし，右辺xf '(x)+2x+6は実際にはax+2x+6になり，最高次の項が1ax1=axというのは成り立ちません．
このように，xf '(x)が１次式以下になる場合には，右辺xf '(x)+2x+6の最高次の項がnaxnとは言えないことになります．（2xだけが最高次の項になる場合と，2xも最高次の項に合流する場合があるので，分けずに議論できないということです．）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列と１次変換について／17.4.17］

すごく分かりやすかったですありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／17.4.17］

テスト内容がこのページでまなんだことを繰り返し確認できるものだったこと
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.4.16］

問題3の(3)、(x+2)(x2－2x+4)ついてなのですが、xの係数は2ではないですか？公式はどうして使えるのでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．よく似た質問が時々あります．次の点に注意して下さい．

公式Ⅷ　(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3　において，「abの係数が2のときはこの公式は使えない」
すなわち，(a+b)(a2−2ab+b2)はa3+b3にはならないと書いてあります．
しかし，問題3の(3)は，この公式でa=x, b=2としたものなので，
(x+2)(x2−2x+22)=x3+23　となっているのです．
一言でいえば，係数が2なのでなく，bが2なのです．
だから公式Ⅷが使えるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[恒等式について／17.4.14］

例題２の係数比較している部分が違うような
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに途中経過に怪しい式がありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[進数の演算について／17.4.13］

シンプルなページですが解けるようになりました、ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■東京都[シータさん／17.4.12］

y=x^2-4x-5とその二次関数に接する直線m,n　m:y=1 n:y=-8x+1があり、xの大きい方から順に接点A,B・直線mとnの交点をCとしたときに、三角形ABCの面積と、<CBAを求めたいと思っています。積分を使って面積を求めるのはわかりますが、このような三角形の場合、どのようにして求めればいいのかわかりません。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：この問題はこのサイトに出題している問題ではなく，あなた自身で解かなければならない宿題か何かの問題のようですので，本来は回答しないことにしています．
参考までに，問題が間違っているので解けません．すなわち，y=x^2-4x-5と直線m,n　m:y=1 n:y=-8x+1とは接しません．おそらく問題の写し間違いでしょう．「y=x^2-4x+5とその二次関数に接する直線m,n　m:y=1 n:y=-8x+1」なら解けます．この場合，積分を使わなくても，三角形の面積は底辺×高さ÷2=2×16÷2=16のように求まります．
∠CBAを角度とかラジアンで求めるのは無理でしょう．問題の流れから言えば三角形の面積から逆算してsin∠CBAを求めるという問題として出題するのが素直な流れですが，それでもごちゃごちゃし過ぎます．tan∠CBAなら正接の加法定理を使って求まるでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／17.4.11］

段階を追って問題を解けるので、わかりやすかったです。最後の問題を間違えましたが、説明で理解することができました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[恒等式について／17.4.11］

例題３で、x＝０、１、２を代入するのは式を見てｄがある、（x-１）がある、(x-２）があるからでしょうか？　それは恒等式となるための条件Ⅱで解説してあるならば、その説明は判りにくいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．未知数がa,b,c,dの４個あるので，異なる４個の値を代入して４個の連立方程式を作らなければなりません．x=3,4,5,6などとするのも自由ですが，やってみるとx=0,1,2以外では煩雑になるという勘が働くはずです．条件Ⅱは必要な方程式の「個数」について述べており，あなたが判ろうとしているかもしれない「xに代入する値」のことはそもそも書いてありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフについて／17.4.10］

－の入っている答えがあっていても罰にされてしまいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「罰→×」．どの問題の話をしているのか述べないと話が通じません．
ところで，あなたの目線の動きを追ってみると問題３の最後の問題(3)を何度も見ているようですが，その問題にエラーはありません･･･Android の Chromeを使っておられるようですが全角入力していたらダメです･･･半角数字と半角のマイナスでなければ正解になりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モアブルの定理について／17.4.10］

ド・モアブルの定理のイでcos0+i sin0=1のθが抜けてるため等号が成り立たなくなっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに読みにくいかもしれませんが，どんな値θに対しても，0θ=0が成り立つ．これは「抜けている」のではなく「消える」のです．（中学校の常識：0a=0 を思い出してみよう！）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ａ^ｘ＋ａ^－ｘの値について／17.4.10］

このままでも面白いけど、sinh coshの話があると、より面白くなると思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高卒向け双曲線関数の頁を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次変換について／17.4.9］

とても良い!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は，実際には体験・入門レベルの内容ですが，この教材でよい評価が得られる理由として，教育課程の改訂とか科目選択の都合で，そもそも習っていない方が読んでいる場合があるのかなと真剣に考えています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.4.9］

問題1の(1)の解説部分について本文では (a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2 =(a+(b+c))2+(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2 とありますが (a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2 =(a+(b+c))2-(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2 ではないでしょうか。(1回目の因数分解をした後の式で、2つめの()で括られている部分の符号が違う) 私の指摘が間違っているようでしたら、なぜそれが間違いなのかの解説もいただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，かっこの中の符号が変わっても２乗の結果は変わらないことに注意しましょう．

(b−a)2=b2−2ab+a2=(a−b)2
これと同様にして
(b+c−a)2={a−(b+c)}2

もし，マイナスの符号を前に出して考えるのなら

(b−a)2={−(a−b)}2=(−1)2(a−b)2=(a−b)2
これと同様にして
(b+c−a)2=[−{a−(b+c)}]2=(−1)2{a−(b+c)}2
={a−(b+c)}2

ところが，あなたの変形では

(b+c−a)2=−{a−(b+c)}2

としているので，マイナスが2乗されておらず，符号が逆になっています．これは元の簡単な例で言えば

(b−a)2=b2−2ab+a2
に対して
−(a−b)2=−(a2−2ab+b2)
が等しいと述べていることになり，符号を間違っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.4.9］

２x²－４ｘ－６因数分解
＝＞［作者］：連絡ありがとう．通常，この問題はたすき掛けの因数分解の問題とは考えない．すなわち，2でくくると中学校で習う問題になる．2x2−4x−6=2(x2−2x−3)
その後の変形と答はご自分で！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 行列と１次変換について／17.4.8］

図で示してくれているので、とてもわかりやすかったです。今使っている教科書には図がなく、式だけなので面白くなく、意味がわからずこまっていました。ここの説明はとても、役に立つ内容でありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．人にはいろいろなチャンネルがあって，通常，文章や式で論理的に示している解説以外に，イラスト・動画なども効果的な扉であり得ると考えています．ただし，音は自粛しています．　研究[PDF:486KB] 5.1表6

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.4.8］

n(A∩B)とは何なのかの説明がありませんよ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．必要なことを学習してからその頁を読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／17.4.8］

確率は樹形図をつかって組み合わせが何通りあるかを求めたり、公式に当てはめて確率を求めることなどを学びました。統計学は習ったことがありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点 3について／17.4.7］

とても勉強になりました。子供が今年室蘭工業大学に合格するまで一緒に数学を勉強して来ましたが、この勉強サイトで、あいまいな理解しかしていなかった箇所がはっきり理解できました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[マクローリン展開について／17.4.7］

2問目の解説の、log(1+x)のマクローリン展開のn!の部分は誤植ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号について／17.4.6］

問題１の終わりの値が全て4なのに、答えが一つだけ三つの数になっていますまたその影響で、問題１の上から1番目の答えと4番目の問題の答えが同じはずなのに違う判定になっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは初めの値を見ていないようです．頁の先頭にある例3をよく見てください．

$\sum_{k=1}^4 k=1+ 2+ 3+ 4$
であるが
$\sum_{k=2}^4 k=2+ 3+ 4$
です．

次に，一般項の違いですが

$\sum_{k=1}^4 k=1+ 2+ 3+ 4$
であるが
$\sum_{k=1}^4 (k-1)=0+ 1+ 2+ 3$
です．さらに
$\sum_{k=2}^4 (k-1)=1+ 2+ 3$
です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.4.6］

わかりにくい・・・。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．応用問題から始めるのでなく，基本問題から始めるとよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.4.6］

１番最後の問題。なぜXの係数が-2だと公式が使えないのかわかない！！その他使えないときの例はありますか？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．公式に合わなければ公式が使えないのは当然だと思いますが．

(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3：公式
→公式に合う(x+1)(x2−x+12)=x3+13
→公式に合わない(x+2)(x2−x+12)：展開してみないと分からない
→公式に合わない(x+1)(x2+12)：展開してみないと分からない
→公式に合わない(x+1)(x2−2x+12)：展開してみないと分からない
→公式に合わない(x+1)(x2−3x+12)：展開してみないと分からない
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3：公式
→公式に合う(x−1)(x2+x+12)=x3−13
→公式に合わない(x−1)(x2+12)：展開してみないと分からない
→公式に合わない(x−1)(x2+2x+12)：展開してみないと分からない
→公式に合わない(x−1)(x2+3x+12)：展開してみないと分からない
→公式に合わない(x−1)(x2+4x+12)：展開してみないと分からない

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／17.4.6］

とってもわかりやすいです😊✨高校の宿題でまだ習っていないところが出てきて焦っていたところでした😅最後にある練習問題もちょうどいい難易度で、良かったです！習っていない人ように最初からヒントを出せるようにしてくれるとありがたいです。これからも使わせていただきます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．習っていないなと思ったら前の項目が見られるように，はじめにサブメニューが付いていますのでそれを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相加平均.相乗平均について／17.4.5］

相加相乗平均でa>0.b>0を言っているならば a+b≧2(ab)^1/2 >0 の最後の>0は本当に必要ですか？チャートなどの問題集や参考書にも記述が省かれていると思うのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．単発でそれで終了なら構わない場合もありますが，さらに組み合わせて使う場合には，言わなければならない場合があります．

$A\underline{\ge}B$
$C\underline{\ge}D$
ならば，辺々かけて
$AC\underline{\ge}BD$

などとは言えません．（ $A=2,B=1,C=-3,D=-4$ のような場合がある）

$A\underline{\ge}B\gt 0$
$C\underline{\ge}D\gt 0$
ならば，辺々かけて
$AC\underline{\ge}BD$

は言えます．このように大きいもの2個の積と小さいもの2個の積とを「安全に比較できるのは」全部正の数の場合です．（負の数が混じっていると怪しくなる）
そこで

$a+ b\underline{\ge}2\sqrt{ab}$
$c+ d\underline{\ge}2\sqrt{cd}$
ならば，辺々かけて
$(a+ b)(c+ d)\underline{\ge}4\sqrt{abcd}$

などとは言えませんが

$a+ b\underline{\ge}2\sqrt{ab}\gt 0$
$c+ d\underline{\ge}2\sqrt{cd}\gt 0$
ならば，辺々かけて
$(a+ b)(c+ d)\underline{\ge}4\sqrt{abcd}$

は言えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式（解説）について／17.4.5］

苦手撲滅完了！？（笑）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／17.4.5］

こんにちは。お世話になっております。問題３の右図の軸が問題の点（ＨＥＬＰで確認）とずれて表示されるようです。私のシステムの問題でしょうか。確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにEdgeで見ると点がやや下にずれるようです．今忙しいので今夜訂正します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解（２文字）について／17.4.5］

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／17.4.4］

具体的にどこが重要かが丁寧にのっていて中学生にも、易しいです。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般角の定義について／17.4.4］

いきなり、動径を動く半径と定義していますが、もともと動径は極座標を前提にしているものと思います。三角関数の表現のための「動径」であれば、単位円周上を動く点Pが点（1,0）を出発して回転するというイメージをはっきりさせてからのほうがわかりやすいのではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの考えは分かりましたが，極座標を習っていなくても動径は扱います．また単位円とは限りません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式:変数変換による解き方について／17.4.4］

例Ⅳ2の解答にz&aposと表示されていますが、z'の誤りではないかと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ブラウザ用の文字符号でセミコロンが１つ抜けていましたので訂正しました（&apos → '）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とはについて／17.4.4］

私が高校生のときは、数学的帰納法は、例1のほうですが、『⑵の両辺に』は、習った覚えがないので絶対的に、必要ではないと思うのですが、私の思い込みかもしれません。すみません。年老ると、忘れてしまいますよね。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どういう話なのかよく分かりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線を表わす方程式について／17.4.3］

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/ qa/question_detail/q13172550918 どの解答が優れていますか。よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このサイトは，数学そのものではなく数学教育を扱っていますので，相手のある話です．つまり，無駄なく正確な答案であればよいわけではなく，無駄が多くても相手に理解できる方がよい．そうすると，学力・気力などの準備状況がどうであるかによって，いうべきことが変わります．書く場所が少なければ，最も人数が多いと思われる相手方を想定してそれに合うように書くのがよく，書く場所に制限がなければ全部書いて好きなものを選んでもらえばよいことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線を表わす方程式について／17.4.3］

たしかに，解法のテクニックとしてはとてもわかりやすいが， ①，式Aは二次曲線(楕円)なのに，どうして直線2本になるのですか？ときかれたら，どう答えたらよいのか。「続く」の後半では， ②，D式をｘについて解き，その根号内が平方数でなくてはならないということの説明不足。を感じました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「①は楕円なのに」という思い込みが間違っています．直線になる実例が目の前に示してあるのに，それは言えないでしょう．なお，一般的には

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

はa>0, c>0…(*1)のとき楕円，a>0, c<0…(*2)のとき双曲線になるのではないかという予測を持つのは悪くはないが，正確なことは調べてみないと分からないという立場に立たないといけません．

例えば(x−1)2+4(y−3)2=1を展開してみると(*1)の形になり，楕円になります．
また，(x−1)2−4(y−3)2=1を展開してみると(*2)の形になり，双曲線になります．
しかし，(x−1)2−4(y−3)2=0すなわち(x−1)=±2(y−3)は２直線になります．このように二直線になる場合があるのです．

②について．教えるものと学ぶものの二者からなる場面において，学習の成果が上がらないときに教え方が悪いか，学ぶ者が悪いかは昔からある水掛け論でしょう．普通の生徒は成績が下がってきたら勉強して成績を上げようとしますが，瀬戸際作戦で乗り切る生徒もたまにいます．すなわち「PTAの会議などで，○○の先生は教え方が悪いので生徒の成績が下がってきた」と親が騒ぎ立てると成績が良くなるらしい．このように現実は，声の大きい方の勝ちになりがちですが，説明不足か理解不足かはどっちもどっち，○○喧嘩は犬も食わんともいう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.4.3］

√の外し方教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「√の外し方」と言えば中学校の話になりますが，対数計算とのかかわりで言えば，あなたが今やらなければならないのは対数関数の真数部分を累乗根から分数指数（有理指数）に直す変形です…(*1)．（急がばまわれ：この頁とかこの頁を先に読まなければなりません）
もう一つは，蚤の三段跳びの変形です…(*2)．
すなわち

$\log_2\sqrt{8}$ とか $\log_2\sqrt[3]{16}$ のような式を簡単にするには，対数計算の前に累乗根を分数指数（有理指数）に変形できなければなりません．

具合的には，(*1)により

$\log_2\sqrt{8}=\log_2 8^{\frac{1}{2}}$
$\log_2\sqrt[3]{16}=\log_2 16^{\frac{1}{3}}$

のように分数（有理数）の指数に直すこと．
次に「蚤の三段跳びの変形」(*2)

$\log_a M^n=n\log_a M$

を使って

$\log_2 8^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\log_2 8=\frac{1}{2}\log_2 2^3=\frac{3}{2}\log_2 2=\frac{3}{2}$
$\log_2 16^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\log_2 16=\frac{1}{3}\log_2 2^4=\frac{4}{3}\log_2 2=\frac{4}{3}$

のように変形します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.4.2］

ゆえに，2x2+7xy+3y2 - x+2y - 1=(2x+y+1)(x+3y - 1) これがよくわからないです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．たすき掛けの因数分解について，答を聞いても答えの読み方が分からないといった感想が見られるので，解説中に鍵となることばを繰り返し入れることにしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解（２文字）について／17.4.1］

穴埋めだと真面目に計算しなくても答えがわかってしまいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．大きく見下した発言ですが，油断していると単なる穴埋め問題のセンター試験問題でも満点はとれないのではないでしょうか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数(有理数の指数) について／17.3.31］

いつもありがとうございます。問題3の答え「4√a」と対になる問いに関して、いくら解こうとしても4√aになりません。ヒントを開けてみたところ、√3√a2乗bの解き方に誤りがあるような気がしていますが、いかがでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検しましたが，特に間違いはありませんでした．
累乗根の形で書く場合に，書いている人と読んでいる人が違う解釈をするかもしれないと思うものとして，次のような例があります．

$a^3\sqrt{b}$ と $a\sqrt[3]{b}$ の違い．
$\sqrt{3\sqrt{a^2b}}$ と $\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}}$ の違い．
以上は，通俗的に言えば，「肩」と「手のひら」が近くにある，「body」と「肩」が近くにあるための混同で，これらが紛らわしいときは横のスペースを適当に広げて書くと防ぐことはできます．
どちらかと言えば，あなたの疑問はその部分ではなく，次の「指数法則」が十分使えていないためではないでしょうか．
$\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}}=((a^2b)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{6}}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[循環小数の計算について／17.3.30］

ある数に属するすべての位の数は確定しません。言い換えると、ある数のすべての位は集合を作りません。（ある数の小数点以下のすべての位は集合を作ります。）循環する数字の９に対する比ではいけないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そもそも誰が何を言っているのかが伝わりません．この文章は筆者の言葉ではありません．また，どこかの書物なりWeb記事なりにこのような文章が書いてあるはずがありません．とすると，あなたがそう思うということですか？
質問の仕方が変ですが，たぶんあなたの独自学説だろうと考えて，回答します．
前半の文章は，数学用語を間違った使い方で使っておられるので，支離滅裂で意味をなしていません．最後の「９に対する比」という質問に対しては，あなたの思考に即して循環部分だけについていうと，上の例題で述べているように，循環節のながさが１のときは９に対する比になります（n/9）が，循環節の長さが２のときは99に対する比，･･･循環節の長さがｎのときは999･･･9（ｎ桁）に対する比になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数のグラフについて／17.3.30］

難しい読み物（2）実数解が２つある場合（ｘ+２）（-２）でⅹが抜けています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分...積分領域が変数に依存する場合について／17.3.30］

積分順序を一通りではなく二通り書いてくれたらありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．積分順序の変更は１つの大きなテーマになりますので，その次の頁に書いてあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.3.29］

問題2なんですけど、他のつなぎ方だけでも4通りくらいあるような気がするんですけど。輪の中心に向いて手を繋ぐとか、外を向いてとか、手をクロスさせてとか…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．順列，組合せ，確率の問題のように日常生活で登場する一場面を題材とした数学の問題では，問題の定式化において数学と同レベルの厳密さで記述するのは難しいようです．実際には，その日常生活でおいて前提とされている暗黙の文脈が前提となるようです．
例えば，３人の人がじゃんけんをして１人の勝者を決めるときに，はじめ１人が負けて２人が勝った後，２回目のじゃんけんを行うときにどのような掛け声を出すかは，地域によって変わるかもしれません．筆者の育った地域では，この場合も「アイコでしょ」となりますが，他の地域では仕切り直しという意味で，新たに「ジャンケンほい」となるかもしれません．この場合，アイコとなる確率はアイコの定義がどうなっているのかによって変わりますので，問題文に明示する必要があります．
しかし，もとの問題のように６人の人が手をつないで輪になるといった場合には，幼小中以来の生きられた体験が共有されているので，ほとんどの人はフォークダンスの時のように一重の輪になることを想定します．（二重の輪になることも三重になることも許される場合やもっと極端に逆立ちして並ぶことも許されるとは考えません．）
このように，順列，組合せ，確率の問題では数学用語だけでなく日常用語も使って問題が書かれるので，今まで経験した日常生活を前提として一番自然な解釈をします．
（わざと異なる解釈をしたいのならともかく，手の組み方や顔を向ける方向が違うだけで別の数え方になると主張しても誰にも聞いてもらえません）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.3.29］

何を言っているのかがわかりにくいです「例1からわからない」
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いきなりその頁だけを見ているようですが，順列・組合せの基本が理解できていないのかもしれません．投げるのもあなたの自由，食らいつくのもあなたの自由です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.3.28］

わかりやすくて復習程度にでもためになりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.3.27］

わかりやすかったです。ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／17.3.26］

すごく分かりやすくて、勉強中に使わせていただいています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.3.25］

今春から大学生になりますが、高校3年間ちょくちょくわからない場面で使わせていただきました。本当に助かりました。大学の予習にもぼちぼち使わせていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／17.3.25］

質問と答えの方法に工夫を感じます。これから利用させていただこうと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／17.3.25］

いい教材を作っていただきありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.3.24］

とても分かりやす方ですこの単元の問題数増やしたり、一問一答形式にしてくれたらもっとうれしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[sinθ+cosθについて／17.3.23］

(5)の３乗公式が間違っていると思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HELPの中の途中経過の符号が違うということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／17.3.22］

８ｘ３乗－27の答えを教えて下さい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(1) まず初めに「８ｘ３乗－27の答え」というものはないことに注意してください．「８ｘ３乗－27＝0の答え」はありますし「８ｘ３乗－27の因数分解」はあります．文字式の場合と方程式の場合では使われる用語が違います．(2) 次に，8x3−27の因数分解は[I] [II]の例という箇所に窓枠で囲って書いてあります．書いてあることに気が付かなかった場合は，見たら解決です．書いてあっても，それが因数分解の答えだとは思えない場合は少々込み入った話になります．
$4x^2+ 6x+ 9$ の部分をどうしても１次式の積にしたい場合は解の公式を使って虚数の係数で因数分解しますが，通常「因数分解しなさい」という場合は無理数や虚数の係数を使わずに，整数や分数の範囲で因数分解します．
因数分解しなさいという場合： $4x^2+ 6x+ 9$ はそのままでよい
複素数の範囲で因数分解しなさいという場合： $4x^2+ 6x+ 9=4(x-\frac{-3-3\sqrt{3}i}{4})(x-\frac{-3+ 3\sqrt{3}i}{4})$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.3.22］

累乗根の問題で分母をアとウ、分子をイとエとするとわかりやすいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例えば「３分の２」の場合，３を先に読むじゃないかという話のようですが，センター試験問題などマークシート方式の問題で分母と分子を空欄にする場合は，分子から分母への順に名前を付けていくのが普通です．単なる習慣の違いで間違う生徒が出ないように，広く用いられる流儀に合わしています．なお，英語，コンピュータでは分子を先に読むようです：「３分の２」の場合，two thirds; 2 over 3; 2 by 3; fraction{2}{3}

■［個別の頁からの質問に対する回答］[広義積分について／17.3.22］

H23のⅢ-7の問題は広義積分なのですか？∞が入ってないのですが、、、私の勘違いでしたら無視して下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭にまとめていますように，積分区間が有界でない場合
$\int_a^{\infty}f(x)dx$
のような場合だけでなく，積分区間が有界でも被積分関数が有界でない場合
$\int_0^1\hspace{5}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$
のような場合も広義積分に含めて考えます．
（ $\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{\sqrt{x}}=\infty$ なので，関数f(0)が定義されていない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分について／17.3.22］

H24のⅢ-10の問題いいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／17.3.22］

X4乗-6X2乗➕1の因数分解
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューをたどって，因数分解の応用問題を見てください．x4−6x2+1=(x2+1)2−(??)2と変形できるか，それともx4−6x2+1=(x2−1)2−(??)2と変形できるかを両方試してから判断します．
質問の仕方がかなり横着なのでそれ以上は答えない方がよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列用語と記号について／17.3.21］

上記問題の解答で、3問目、4問目は間違いとされました。同じ回答を半角で打ち込んだところ正解となりました。半角で回答せよとかコメントが欲しかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたが使っておられるブラウザは，漢字変換モードをプログラムから切り替えるコマンドをサポートしていません．（その教材を作成した当時はまだ存在していませんでした．）今日では小中学校で全角文字（２バイト文字）は数字ではないと習うはずなので，半角数字で書かなければならないという注意書きは書いている場合と書いていない場合があります．全角数字でも正解とすると便利ではあるが教育的には疑問が残り，全角数字を誤答にすると教育的配慮はできていても不便になり一長一短ですが，ここでは両方とも正解とする方式に変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数と確率分布について／17.3.20］

広告の位置がじゃまで、例２が見にくいのですが、消すor動かすっていうことってできますか？因みにｘ印のない広告です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにChromeで見たときだけ，～くじの賞金を扱う問題～の前までが，他のブラウザと全く違う表示になるようです．原因は解明できませんでしたが，応急処置をしておきました．リロードしてもらえば直っているはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.3.19］

最後の問題12番では、3の倍数でない数の2乗が3の倍数であることを反例として挙げればいいのですよね。ならば√３はどうなのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問については以前にもお答えしています．問題文に「整数ｎについて」と書いてあるのだから，整数の中で考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／17.3.18］

最後の「（参考）」内の「右図のようにa , c , Aが与えられたとき」は「右図のようにb , c , Aが与えられたとき」として「a」が2つある場合とした方が理に適っているのでは？もしくは図のaとcの位置が逆である。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図と文章のつじつまが合っていませんでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／17.3.18］

訂正です。確率/期待値/問5 のhelpについて『…100硬貨が裏、100円硬貨のうち1枚が表、1枚が裏→10円となる確率は…』とありますが、正しくは、『…100硬貨が裏、【10】円硬貨のうち1枚が表、1枚が裏→10円となる確率は…』ではないでしょうか？いつもお世話になっています。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.3.17］

公式を使える問題なのか使えない問題なのかがよく分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．係数も含めて同じ形になっているかどうかで判断します．その頁は公式が使える問題と使えない問題を見分ける練習にもなっていますので「分からない」というのは勉強不十分ということです．
あなたの目の動きをたどってみると，３乗の展開公式のところを何度も見ています．確かに公式[VI]～[IX]があなたの弱い箇所なのでそこをもう一度よく読んでみるとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.3.17］

計算問題は、一対一ではなくて、残るような設定でないと簡単ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は簡単な問題を扱っているから簡単なのです．それができるようになったら次の頁に進むのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.3.17］

[VIII][IX]の例の説明で,二段目の数式のが（見たらすぐ答え。特別な計算はいらない）理由がわからない。abの係数は2なので気長にばらばらにする必要があるのではないか.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．{(2x)−1}{(2x)2+(2x)+1}の係数は全部１になっています（ただし最初のかっこ内の定数は−1です）．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[???について／17.3.17］

これの意味が分かりませんでした。この係数 1 , 3 , 3 , 1 は右のような「パスカルの数三角形」で求められる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたはWeb上の教材ではなく，自分のPCにダウンロードして別の名前を付けたものを使っており，ディレクトリ名とファイル名が変更されています．作者が回答するためには，ディレクトリ名とファイル名が手がかりですが，あなたの使い方ではどの教材の話をしているのか分かりません．元の教材から質問してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面の図形問題（三角形の形状問題）について／17.3.16］

問題5(2)の答えの選択肢が解説と相違しています。解説のOB=ABではなくOA=ABを選択しないと丸がつきません(T-T)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．選択肢の番号を訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.3.14］

教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました！要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（まとめ２･･･三角関数）について／17.3.13］

間違っていたらすいませんが、問題4の中の∫1/(1-cox)dxの回答は、-(1+cosx)/sinx　ではないですか？これが正解なら右の回答欄に付け加えた方が良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.3.11］

とてもわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点（展開形）について／17.3.10］

気にいった所 : 平方完成を途中を跳ばすことなく、愚直に進めているところ。途中を省くと必ず計算間違いをすると教えてくれたこと。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／17.3.10］

例題が少ない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例題は理屈の部分で，重複組合せの総数は組合せの総数に読み替えて解くということさえ分かれば，後は重複組合せを組合せに直す練習をするのみです．問題は10題あります．サブメニューから文章題も選べます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（まとめ１）について／17.3.9］

**III.8**の(2)∫1/(e^nx+e^-nx)dx=∫1/(t+t^-1)dt/ntは、∫1/(e^nx-e^-nx)dx=∫1/(t-t^-1)dt/ntではないですか？　また、問題6の3行目の問題は、∫dx/(e^x+e^-x)は、問題を∫dx/(e^x-e^-x)とするか、又は回答にarctan(e^x)+Cを加えたほうが良いと思いますがあってますか？なお、貴サイトの教材は非常に良くできていて、私の若い時にこのような手段があったらもっと数学が理解できた違いないとつくづく思っており、もう少ししたら孫にこれで勉強するよう勧めようと思っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号を訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／17.3.8］

最後はずるいw
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この間違いは結構多いので，注意を促すためにあえて出題しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数式の和・差について／17.3.8］

問題2の(5)の解説で、 =x2(c－b+a－c+b－a)+x{(c+b)(c－b)+(a+c)(a－c)+(b+a)(b－a)}+bc(c－b)+ac(a－c)+ab(b－a) の +x{(c+b)(c－b)+… は、どうして、 -x{(c+b)(c－b)+… こうならないんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どうやら１次の符号が逆のようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.3.7］

左に表示される「大きな区分」や「現在地と前後の項目」が見切れていて左三分の一ほどが表示されていない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面の横方向1366ピクセルのFirefoxで見ておられるので，普通なら十分画面に入っているはずです．文字サイズやズーム画面の拡大率を標準(100%にリセット)にして試してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とは（小話）について／17.3.7］

内容としては非常にわかりやすく、テスト前はいつも参考にさせていただいているのですが、左から右に読むレイアウトがみづらいので改善していただけるとありがたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各々の頁で「携帯版」を選んでいただくと縦１列のレイアウトになった教材を見られます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[（例題対比）２次関数のグラフ［標準形］について／17.3.7］

すごく分かりやすい文章でした。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／17.3.7］

この説明で、＜f(k)-f(k+1)を使ったΣ＞の全容がわかりました。素晴らしい解説です！感謝です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限1について／17.3.7］

三角関数の極限を載せてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三角関数の極限の頁を見てください．こちら

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／17.3.7］

はじめの方の解説や問題はすごく良かったのですが、問題の解説がなくて、分からなかった時に困ってしまいました…。自力で、サイトの最初の方から読み直して解決したのですが、問題の解説はやはりあった方が良いと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「最初の方から読み直して解決」するように意図したものです．読み直したときにあいまいな知識がはっきりしてくるので，それが身に付く読み方です．･･･一般に直線的に読み進むのでなく，行ったり来たりしながら読む方が身に付くと言えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／17.3.6］

分かり易かったです。ですが、答えを詳しく出して頂けると幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HELPボタンを押すと詳しい途中経過がでますのでそれを読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／17.3.3］

問題の答えってあってますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．合っています．なお，この質問の仕方はよくありません．「この問題の答えについて自分はこうだと思うが，答はこうなっているので間違いではないか」という形で具体的に指摘しないと，「全部見直してくれ」と言っているのと同じことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／17.3.3］

むずかしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それ以前の内容がどれくらい身に付いているかによってハードルが超えられるかどうかに関係すると思います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／17.3.3］

行列に関してほぼ知識なしの状態でこのページにたどり着きましたが、ちゃんと理解できました。すごく分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／17.3.2］

これはよいです。　約３０年振りにdBの計算で対数を学ぶことになり、このサイトを発見しました。基本の覚え方と実例、それに練習問題。そして記号を使った問題では選択する作業がひっかけを誘発する感もあり、時間制限があったら、あせって間違うかもしれませんでした。　脳がいい汗かきました。　ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．対数は高校の教育課程につねに入っていましたので，私の方も忘れることはありませんでしたが，ものによっては複素数平面のように教育課程から出たり入ったりの上に，開講講座数が少なくて，めったに担当させてもらえないものもあり，元教員でも忘れていることがあります．30年ぶりならまだまだ最近の話で，こちらは50数年ぶりですが気楽にやっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式について／17.3.2］

1+tanα^2=1/cosα^2 も有名ですので加えてみてはいかがでしょう
＝＞［作者］：連絡ありがとう．親切心で言っておられるということは分かるのですが，この頁は数学Ⅱの加法定理や倍角公式の話題を扱っています．あなたが述べている話は数学Ⅰの三角比の相互関係の頁で扱っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積の法則について／17.3.1］

ノート型ではヘルプの文章が表示部と入力部を開ける角度により見えなくなります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．要望の内容が理解できませんが，とりあえずモニター画面の反射で見えにくいという話をしておられると解釈して，文字色を濃くしておきました．

■東京都[ゲホゲホさん／17.3.1］

先生、お忙しい所、ご解説をありがとうございました。ある意味、グラフ化してある程度解の位置を特定してからでないと、やはり求められないのですね。何か自動化する良い方法が無いか、こちらで考えてみたいと思います。取り急ぎ、御礼を申し上げます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[文字を含む不等式について／17.2.27］

いつも勉強させていただいております。　 (Ⅱ)の例題のXの係数に負(マイナス)が抜けているのではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(Ⅱ)の例題とはどれのことなのか，見当たりませんが？
ひょっとして，「a<0のときax<bならば $x\gt \frac{b}{a}$ 　などの変形のことを述べておられるのでしたら，それはあなたの勉強不十分です．１つの文字aで負の数が表せるのです．
他の例で言えば，a<0のときa2>0 などはよく出てきます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重回帰分析について／17.2.27］

最小二乗法でいいので１カテゴリ変数２水準の場合の一般論、１連続変数１カテゴリ変数２水準の一般論等を具体的に計算してもらえるとかなりわかりやすくなると思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列について／17.2.27］

正解を、表示していただければ、嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この問題は導入用のパズルのようなものです．ヒント以上のことは･･･どちらかと言えば，友人間で類似問題を出し合って脳の活性化を図る材料にするくらいのものだと思いますが･･･

■東京都[ゲホゲホさん／17.2.27］

学生ではございませんが、エクセルで作業をしている所でつまづき、検索で先生のサイトに行き着きました。ソルバーの使い方なのですが、「(2)　次の方程式の実数解を１つ見つけよ． sinx + sin2x + sin3x = cosx cos2x cos3x」と言う問題を出していらっしゃいますが、ここで示される様な解が複数ある場合、どの様に条件を指定したら全て拾い出せるのか、解答例をご教示頂くことは出来ますでしょうか。お忙しい時に、先生のサイトの本質的な目的ではありません質問を致しまして、大変申し訳ありません。ご検討を宜しくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．エクセルのソルバーの場合，（少し大きいまたは少し小さい）近くの解に向かって行くので，初期値の与え方にって異なる解が出ます．ご質問の問題は周期2πの周期関数なので，0～6.28まで調べると，その外側では限りなく繰り返されます．0～6.28までに6個の解があるということは，次のようにして分かります.

(1) ワークシートでA列1行目に0と記入 (2) A1:A629の範囲を選択して反転表示にする (3)編集．フィル．連続データの作成;増分0.01
以上により，A列の629行目までに0,0.01, 0.02, ..., 6.28までの数値が入ります．
(4) B1に SIN(A1)+SIN(2*A)+SIN(3*A)-COS(A)*COS(2*A)*COS(3*A) と入力し，この式をコピーしてB629までに貼り付ける (5) A列とB列のデータを選択してグラフ．平滑線付き散布図にする（またはB列だけ選択して折れ線グラフにする）
この関数は連続関数なので，符号が変わる所は解です．6か所あります．そこで，その近くの値を初期値としてソルバーにかけると精度の高い解が得られます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.2.26］

採点するを押すと右の欄にキャラクターが表示されるがこれが正解か不正解かわからない。　全角で数字を入力すると値が正しくても不正解になる。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全問不正解なら区別はつきませんが１つでも正解があればわかるはずです.半角文字で入力してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[全微分方程式について／17.2.26］

初めまして、ミスタイプがあると思われるのでご連絡申し上げます。ご確認をお願い致します。以下のところで、 ○　変数分離形の微分方程式としても解釈できる問題を，変数分離形として解く場合と，全微分方程式として解く場合とでは，別々に積分するかまとめて積分するかの違いがあります． ○　変数分離形の微分方程式を変数分離形として解く場合には　　dy/dx=f(x)g(x) →dy/dx=f(x)g(y) と思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数について／17.2.26］

(x-5)/(x-2)=3x+k というkが定数の式があり、この式の実数解の個数を求めるにはどうすればよいでしょうか？分数関数と3x+kが一点で交わるようにするkを求める方法がわからず、解けません。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．x−5=(x−2)(3x+k), (x≠2)として２次方程式の判別式で判断するとよいでしょう．
3x2+(k−7)x+(5−2k)=0
D=(k−7)2−12(5−2k)
=……
=(k+11)(k−1)
ア） k<−11, k>1 → ... イ）k=−11, 1 → ...　ウ）−11<k<1 → ...
※x=2となることはない

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の要素を用いた証明について／17.2.26］

問題１の（１）正解は３∉Ａのはずですが、それをクリックしてもＸマークが出てしまうようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そうでないことはない･･･と言っているうちにややこしくなっていたようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／17.2.24］

練習問題の解説欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの学習の記録を見てみると，解説の箇所を読んだ形跡がありません．もしかして，問題を解いていないのではないでしょうか･･･解答をクリックすれば，画面上で採点でき，解説が出るようになっています．PDFなどで作られた読むだけの教材とは違い，応答型になっています．解答しなければ解説は出ません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／17.2.24］

数学はさっぱり駄目な文系大卒の32歳です。現在業務の都合から電験三種の勉強をしていますが、電験用の基礎数学の参考書ですら理解に苦しみ、ネットを徘徊しているときに出会いました。非常にわかりやすく解説して頂き、何とか参考書を読み解くことができるようになりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点１について／17.2.24］

もっと問題を増やして欲しいです。お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は１つの思い違いを解消するためのワンポイント・レッスンですので，少し読んだら次の頁の本来の高校の問題をやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[(各駅停車)対数計算について／17.2.24］

12まで正解したのに進行状態の12が達成サインになりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．苦労して山の頂上まで来たのに山頂の標識がなくなっていたというような場合，どっと疲れが出て不満が残る感じで申し訳ないです．このプログラムを作ったのは私ですが，かなり以前に作ったもので，複雑すぎて点検が難しいのでご勘弁を！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数）について／17.2.23］

わかりやすかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次変換について／17.2.22］

東工大受験3日前に良い勉強できました。回転座標の問題や明らかに行列式をモチーフにした問題が出たら是非複素平面といった回りくどい方法を取らずにバッチリ一次変換を使って行きたいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分について／17.2.22］

めちゃくちゃありがたいです！すごく助かってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式の除法（割り算）について／17.2.22］

いいでしょ。完璧
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同じものがあるときの順列について／17.2.21］

凄くわかりやすいです！調べたらすぐ出てきてすぐ解決しました！大助かりです！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均の推定・信頼区間について／17.2.21］

問題1の解説で、なぜ解説のような式が成り立つのかということがわかりまかせん。解説をお願いできますか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$\bar{X}-z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\underline{\le}\mu\underline{\le}\bar{X}+z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
という式を変形して，
$-z\underline{\le}\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\underline{\le}z$
という形にしてｚの範囲を求めています（この変形は上の不等式を「芋づる形」「連なり形」ではなく切り離して２つにして，１つずつ変形すればできます．教材の記述は少々不親切かもしれません）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／17.2.21］

とても分かりやすかったです。あと、何故、この対数を使うのか、対数を使うと、どういうメリットがあるのか、説明して頂けると、興味がわくと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．歴史的には，ケプラーなどの天文学者が惑星の運動を研究するときに，膨大な数の掛け算や割り算を行う必要があって，そのせいで寿命が縮んだと言われており，より計算量が少なくて済む足し算や引き算に書き換える方法がどうして欲しかったと言われている．
だから，歴史的には $\log_{10}MN=\log_{10}M+ \log_{10}N$ ， $\log_{10}\frac{M}{N}=\log_{10}M-\log_{10}N$ のように分ける計算がありがたかった．
しかし，今日では膨大な桁数の掛け算や割り算でもコンピュータを使えば一瞬にできるので，そのありがたさは分からない．ここから先は，各自がどんな作業を主にやっているかによって変わる．ア）微積をよく使う人にとっては，分数関数の積分を表すために対数関数は絶対必要になります． $\int\frac{1}{x}dx=\log_e x+ C$
イ）指数関数的に変化する現象を扱う場合には，元の変数の対数をとると，より扱いやすい１次関数にできる． $y=e^{ax+ b}\rightarrow \log_e y=ax+ b$
ただ，こうした興味ある話題に触れるには，それなりに対数関数に慣れて足腰を鍛えておかないと，余計混乱するかもしれず，どこまで踏み込むとよいのか迷うところがあって，今のところ書いていません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／17.2.21］

わかりやすいです。問題があるのがすばらしいです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次変換について／17.2.21］

とてもわかりやすいです。参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／17.2.20］

わかりやすかったです！最後にテスト形式でチェックできるのは助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／17.2.20］

(5)に関しての質問です。 X3(Xの3乗)－X2(Xの2乗)＝A、X－1＝Bとおいたのですが、 (A－B)(－A－B)で計算すると答えが違ってきます。この置き換えは間違いなのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問が間違っています･･･(6)の問題でしょう．次に，その置き替えはできません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数とはについて／17.2.20］

回帰分析をGA(Genetic　Algorithm）のパラメータ最適化に使用することを検討しています。 Excellを使用してGAの各Generationの回帰分析を行ってみたのですが、Excellの回帰分析結果レポートの用語説明をWEBで検索中にこのサイトに遭遇しました。説明は丁寧で分かりやすいく素晴らしいです。強いて難を言うのであれば、１．Excelの表中（以下）の用語（重相関、重決定、補正）と本文の用語（重相関係数、決定係数、自由度調整済決定係数）の対応が初めの部分にまとめて説明してあると、私としては効率的でした。２．決定係数、自由度超セ済決定係数の値の目標値を幾つにすれば良いのか目安がほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．目安は「決定係数 R2とは」の最後の方に灰色で書いています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理について／17.2.19］

全然分からない
＝＞［作者］：具体的な手掛かりが何も書いてないので，「そーか分からないのか」としか言いようがない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／17.2.19］

角度はラジアン(π)を使って表して欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．角度の単位をラジアンにしなければならないのは，三角関数の微積分を行うときです．それ以外では両方とも使います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分集合，集合の包含関係について／17.2.18］

問題についての質問です (2)　A={2n | 0≦n≦5 , n は整数} , B={n | n は32の約数} のとき， A ？ B という問題で答えは＝となっていますが、32の約数には1も含まれると思うので正答はなしではないのですか？それと、部分集合と真部分集合の違いがよく分からないので詳しく説明して欲しいです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「32の約数には1も含まれる」のでA=Bなのです．
「AがBの部分集合：A⊂Bであって，かつ，A≠B」のとき，したがって「A⊂Bであって，かつ，Bの中にAでないものが実際に存在するとき」AはBの真部分集合になります．このことは，※ （注意）のところに書いています．
ところで，あなたが分からないのは部分集合と真部分集合の関係ではなく指数関数，特に20だと考えられます．この頁（数学Ⅱの内容）に解説していますが，20=1です．したがって，A={2n | 0≦n≦5 , nは整数}のとき，A={1,2,4,8,16,32}になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連続整数の積について／17.2.18］

6で割りきれることの証明の（1）の3Kの代入がおかしかない？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにn(n+1)(n+2)の話になっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式について／17.2.18］

私は学生時代部活ばかりしていて、高度な数学知識はありません。中学時代の数学ですら数学として理解してない場合が多い。算数のそろばん時代に戻りたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言っても始まらないことを考えるのは前向きな考えではないので，できることを探しましょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数とはについて／17.2.16］

まだざっと見ただけですが、とりあえず知りたい部分に関しては、要点を得てわかりやすいと思った。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示で表された関数の導関数について／17.2.15］

微分積分法の復習に大変お世話になっております。媒介変数表示の微分[問題](5)ですが、与式のうちy=a(cost-tsint)が、回答解説と違っているようです。解説内のy'から察するに正しい式は x=a(cost+tsint) y=a(sint-tcost) ではないでしょうか。更新をお休みになっておられたら恐縮です。ご確認いただけたら幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題文の方がタイプミスでしたので訂正しました．

■東京都[銭湯犬さん／17.2.13］

早速のご回答ありがとうございました。要約を読み落としており失礼しました。「先頭のｘの係数がなるべく小さな正の数になるように答えるのが常識」ということはよくわかりましたが、同じものを入力して×になるというのは、初学者に対しては少々不親切なような気も致します。特にこの場合、後半の(-2y+9)と(-5y+2)の項自体に-1を掛けているというのは、初学者（や復習者）は見落としがちなところではないかと愚考いたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題も解答もプログラムで作られているので，誰が見ても同じ問題になっている訳ではありません．だから，後半の･･･と言われてもこちらではどんな問題が出ているのか確かめられません．
　可能な限り別表記も正解に取り入れた方がよいという考え方もありますが，実際上は文字列照合で採点していますので，あまりひねった変形になると照合できません．これ自体は大学入試問題でも何でもなく，正解になろうが不正解になろうが何の損得もありませんので，なるべく標準的な書き方を目指してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／17.2.14］

接点がわからない時の、接線の求め方が知りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューでその次の項目を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Excel：重回帰分析(2)について／17.2.14］

Rコマンダーがうまく動かず、困っております。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問内容が漠然としていて答えようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分積分について／17.2.13］

とっても分かりやすくて良かったです！参考になりました！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■東京都[銭湯犬さん／17.2.13］

お世話になります。 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/tasuki1.htm 問題４の２回目ですが、回答は（-4x+2y-9)(-3x+5y-2) だと間違いなのでしょうか。（他の問いでも、x項と数値項のプラマイを入れ替えらえそうな気がします）。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．初めに要約に書いていますように「係数の符号を全部換えても同じものになるから両方調べる必要はなく，x の係数が正のものを調べたらよい．」というのはそういう意味です．

例えば $(x-1)(x-2)$ が１つの解であるときに，
$(-x+ 1)(-x+ 2)$ ， $-(-x+ 1)(x-2)$
$\frac{1}{2}(2x-2)(x-2)$ ， $2(x-1)(\frac{1}{2}x-1)$
$-(x-1)(-x+ 2)$ ， $x^2(1-\frac{1}{x})(1-\frac{2}{x})$

のように符号や定数倍を調整して変形したものが等しいのは当然のことです．これも答えです，これも答えですといちいち言ったりしません．先頭のｘの係数がなるべく小さな正の数になるように答えるのが常識だということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／17.2.12］

制御工学の問題で出てきた，20 log K = G （Gはゲイン[dB]）のときのゲイン定数 K の求め方を知りたくて検索しており拝見させていただきましたが，残念ながらこのサイトでは分かりませんでした．デシベルが絡む計算はややこしく，いつも忘れてしまいます(-_-;)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それぞれの専門分野ごとの約束事があれば別として，高校数学での取り扱いは，その頁の先頭に書いてあります「対数の定義」を見てもらえばできます．
$log_eK=\frac{G}{20}\rightarrow K=e^{\frac{G}{20}}$
だと思いますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の値について／17.2.12］

sin(π+θ)など"の項で、tan(θ-π/2)の問題について、図が3π/2の外接円との交点にマークを示しているので間違いと思いますが如何でしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．sin(π+θ)の話をしておられるのか，tan(θ-π/2)の話をしておられるのか通じません．3π/2の外接円とは何のことなのか，Firefoxで表示がおかしいということでもないようで，全く話が通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値記号2つの外し方について／17.2.11］

第5問1≦xのときx2+8x-13=0とありますがx2+9x-13=0ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2(3x+1)+3(x−1)=−x2+x+12においてｘの係数は左辺の9だけでなく右辺の１もあるので，これを移項すると８になります．

■東京都[あいうえおさん／17.2.11］

数学Iの数と式の分母の有理化の解説のIIの中にルート2が一つありますがルート3ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．キーボード上で隣のキーに触れたみたいです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[sinx,cosxに関する不定積分について／17.2.10］

このページ含めインテグラルのあるページについて、インテグラルと式の間にかなりスパンがあり、左側の文字に被って見えなくなっているところがあります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Chromeで読んでおられるようですが,ブラウザごとバージョンごとに見え方に違いがありますが，目立つところは直しておきます．なおインテグラルと式の間のスパンは積分区間の下端と上端を書き込むために少しは必要です．問題はさじ加減です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分について／17.2.10］

問題があるのはとてもいいけど問題が変わるようにしてほしい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数分解（応用問題）について／17.2.10］

問題3の(3)は(x+y+z)3-(y+z−x)3-(z+x−y)3-(x+y−z)3ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近アップしたもので，点検が甘く問題文の方に転記ミスがあったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ ベクトルの和について／17.2.9］

還暦を過ぎ、学び直しています。とても良く理解でき、解った自分に感激しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限1について／17.2.9］

復習になりましたありがとうございます☺
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[領域における最大最小について／17.2.9］

例題2の傾きの範囲は -3＜k＜-1/2 ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．少し記述に問題がありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Excel：相関係数，回帰直線について／17.2.8］

相関関係と因果関係の項は今一つわかりませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／17.2.8］

いま有斐閣の「統計学」2008年版を独習して、どうにもわからなくなって本サイトにお助けいただいているところです。大学生用の教科書だとはいえ、どうしてこれほどわかりにくいのかと困っていたところ助かりました。やはり、手で計算すると分かりやすくなると実感しています。EXCEL2013では少し関数が違うので、フォローしていただけるとなおうれしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．関数が違うということはないと思いますが，画面上端のメニュー構成は変わっています．
最近のPCはあまり壊れないので，筆者はExcel2007までしか持っていません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列とはについて／17.2.8］

EXCELの操作が大変わかりにくいです。説明だけではなく、動画をつけるとよいです。私は操作を理解するのに、マイクロソフトのサポートも使い、半日かかり、そのあと、反復練習して（キーを三つ押すのがむつかしいこともある）やっとできるようになりました、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．こちらの返信の方が後なので，解決したようでよかったです．
動画というのは1つの解決策ですが，筆者は関西なまりがきついとからかわれることが多いので，現在動画にする予定はありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列とはについて／17.2.8］

何回やってもうまくエクセルで表示されません(EXCEL2013)。私の理解が悪いのでしょうか。途方にくれています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の交点を通る直線の方程式について／17.2.8］

例題1の直線 x－2y－7=0 , 2x+y+1=0 の交点においては，(1)式は 0+0k=0 、、のところの意味が分かりません。どういうことなのでしょうか。他は分かりやすく理解できました!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2直線 x－2y－7=0 , 2x+y+1=0 の交点の座標(x,y)は x－2y－7=0 も 2x+y+1=0 も両方を満たすので
方程式 x−2y−7+k(2x+y+1)=0 にその点の座標(x,y)を代入すると 0+k×0=0 になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.2.8］

windows8.1、IEの環境ですが、4(2)と(3)の数字が上下消えていて読めなくなっておりました(他は問題ありませんでした。こちらの機種(NECのタブレットPC)のせいかもしれませんが、念のため報告します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．原因となる箇所は特定できるのですが，区切り文字のスペースを入れるとエラーになる場合と，区切り文字のスペースを入れないとエラーになる場合があって，やってみないと分からないという感じです．(2)はスペースあり：エラー，なし：正常，(5)はなし：エラー，あり：正常とちょうど逆にすると直りました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／17.2.7］

どうして、大学のテキストは同じ内容があれほど難解に記述するのか、と痛感するばかりです。このページを読むことでようやくテキストの大意がつかめました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数式の和・差について／17.2.7］

チャート式で、この単元に部分分数分解があるので、このページでも解説をしてほしいです。分子が定数のタイプです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．チャート式はとてもメジャーな参考書ですが，その構成に合わせて記述するというのは著作権的にグレーに近づいてきます．当教材では，実際に部分分数分解が必要となる項目数列の和，不定積分で解説しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／17.2.7］

悪い所は一切ないと思います。非常にわかりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.2.6］

最後の問題で、√３をｎに代入するとｎ²が3になり 3の倍数になるのですが、ｎは√３となり3の倍数ではなくなるとですが、この考え方は間違っているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題文に整数ｎについてと書いてあるので，整数で考えます．「整数ｎについて」が１行上にあって見落としてしまうという話が前にもありましたので，改行しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／17.2.6］

3点が一直線上にあるようにxの値を求める問題で、学校の宿題で3点が(2,x),(x,0),(-2,6)というように二箇所にxが入っている問題が出たのですが、その場合は解き方はこの頁に載っていたものとは変わるのでしょうか？教えていただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じ考え方で解けます．なお，問題の写し間違いのせいか，このままでは解けません（虚数解になります．）
他に，直線の方程式で考える場合はこの頁（ただし，未知数をxのままで計算すると直線の方程式のxと混ざってしまうのでtに変えるなど工夫を要す）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定について／17.2.5］

大変わかりやすく、助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定･･･平均値の差の検定について／17.2.5］

わかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何も手掛かりが書いてないので答えようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列について／17.2.5］

大変分かり易くて理解できました。私は６０の手習いで、行列式を学習し始めました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数（有理数の指数)について／17.2.5］

問題４の（２）や例（４）など、掛けているのかそれとも指数なのか分かりにくいにので、スペースをもっと開けるか掛け算のマークを入れて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の点については了解できません．掛け算のマークを書き込む箇所はありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均の推定・信頼区間（問題練習について／17.2.4］

例題４の最後のμの平均の範囲158.3じゃなくて168.3です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中計算に入力ミスがあったのは事実です．少々ややこしいですが，168.3が間違いで158.3が正しいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[４次方程式について／17.2.4］

（B)(例１）のⅩ3乗＋４Ⅹ２乗＋５Ⅹ＋６÷Ⅹ＋３の途中式が一部間違っています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2乗が抜けていたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／17.2.3］

z=2-6iを(1/6)πだけ回転させた複素数を出すにはどうすればいいですか？極形式に直してから回転させるというステップはわかるのですが、2と6なので三角比が使えず極形式に直せません。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数の回転についてはこの頁に解説があります．
　極形式に直さなくても(1/6)πだけ回転させるには，単にcos(π/6)+i sin(π/6)を掛けたらよいので，(2-6i)(cos(π/6)+i sin(π/6))=(3+√3)+(1/3√3)i

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不定方程式の整数解について／17.2.3］

問題６の解答解説が間違っていませんか。上から１０行目は y=94m+14 になります。 406ではなく406/29のはずです。したがって問題の解答の方も、 -29m+1>0 94m+14>0 を共に満たすmが0のみですから、与式を満たす整数解は1つということになると思います。ちなみに、同じく10行目の、-84という部分がありますが、これは-94の間違いでしょう。検証して下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．長い答案になると最後の方で疲れが出てしまうようで，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／17.2.2］

解説、とても分かりやすいです。 (g゜f)(x) = g(f(x))というのはわかったのですが、((f゜g)゜h)(x) や(g゜(f゜h))(x)、(h゜g゜f)(x)といった場合はどのように考えればよろしいでしょうか？解き方というよりも、このページの右上にあるようなイメージをつかみたいです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(f

h(x)=f(g(h(x)))はx→h(x)→g(h(x))→f(g(h(x)))のように右から順に作用していきます．
g

h)(x)=g(f(h(x)))はx→h(x)→f(h(x))→g(f(h(x)))の順，
(h

f)(x)=h(g(f(x)))はx→f(x)→g(f(x))→h(g(f(x)))の順です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.2.2］

とても分かりやすかったです！苦手を克服できました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[判別式について／17.1.31］

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角形を解くとはについて／17.1.31］

三角形のB角の式 Cos B=b^+c^-b^/2ac となっていますが Cos B=a^+c^-b^/2ac ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．メールソフトが故障していたため，約１か月半の間連絡の文章が行先不明になっていましたが，フォルダの検査で生き返りました．入力ミスを訂正しました．(2017.3.6)

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／17.1.31］

公式2の証明、仮定の部分でsinA=y/xになっていますが、y/rの間違いではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／17.1.29］

非常にわかりやすくて助かりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[簡単な重積分の計算について／17.1.29］

よく解りました（理解できました）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／17.1.29］

π－aなど文字の場合もやった方が良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁は基本練習ばかりなので言われる意味はわかりますが，言葉尻を突っ込むと，πは定数ａはθと同種の文字なので，文字の場合の練習はやっていることになっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の表し方（オイラー図）について／17.1.29］

問題２の（２）で正しい答え（上から二番目）を選択しても×となるが、解説には上から二番目が正解と書いてある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昨日アップしたばかりで，トラブルは初期に起こるのお決まりのコースのようで．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／17.1.28］

宮廷志望理系１ヶ月切ってはじめて和積覚えました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．旧帝大志望理系と読むのかな

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２円の交点を通る円・直線の方程式について／17.1.28］

2円の交点を通る円・直線の方程式の［解説］ ○　２つの円 x2+y2+ax+by+c=0 …(1) x2+y2+dx+ey+f=0 …(2) が２点で交わるとき，方程式 x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0…(A) は，定数 k の値にかかわらず２交点を通る円を表す．ここ、2交点を通る円ではなく、図形ではないですか？ k=-1のとき直線になるので。
＝＞［作者］：国語表現の好みの話をしておられるのなら対応しません．「ただし，k=−1 のときは，２交点を通る直線を表す」と書いてあるのですから何も問題はありません．
　これを「(A)は三角形を表すか，四角形を表すか，ただ2点を結んだ曲がった曲線を表すかまったくわかりません．アッハッハー，とにかく図形を表します．」と書けば，この文章は読者に対してほとんど情報を与えません．そんな文章なら書く必要がありません．
　これに対して，日本国憲法第四十五条「衆議院議員の任期は、四年とする。但し、衆議院解散の場合には、その期間満了前に終了する。」のように原則を書き，例外を示すと明快になりますが
　衆議院議員の任期は、そんなもの決まっていません，アハッハー

衆議院が四年以内に解散されなかった場合は四年とする。
衆議院解散の場合には、その期間満了前に終了する。

と書く方が好まれるとは限りません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／17.1.28］

素敵なページですね！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.1.27］

引き算以外なら、解けるようになりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次独立，１次従属，基底，次元，核，階数について／17.1.27］

いつも参考にさせて頂いております。例3の回答(2)の3行目、 (x+2y)(1,1,0)・・・・略ですが、(x+2z)(1,1,0)ではないでしょうか。私が勘違いしているだけかもしれませんが、ご確認のほどよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分(多項式2) について／17.1.26］

問題の∫(3x+4)dxを選択すると∫(3x-4)dxに変わってしまいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．反転画像を作る作業で，圧縮比の加減で縦線が消えた？のが原因かな．直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.1.24］

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.1.24］

とってもわかりやすい。本当に素晴らしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点について／17.1.24］

わかりずらいです。ちなみにぼくは一年間数学をやっていないため忘れた可能性があります！！！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．易しい問題から初めて勘を取り戻さないと

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定について／17.1.24］

例3の右側の解説についてです。「左の問題では，z = (59-61)/0.1=-2.0 ＜ -1.96となって帰無仮説は棄却される」となっていますが、(59-61)/0.1=-20となるように思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しましたが−20<−1.96は成り立ちます．（もっと微妙な問題にしないと離れすぎだろ！と突っ込みどころ満載になってしまった）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定について／17.1.24］

例題(2)は出荷基準がある値以下であるのに、どうして片側検定でないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず両側検定にするか片側検定にするかはデータから自動的に決まるのではなく，分析者が何に関心があるかによって決まるということを押さえておきましょう．ある値から離れていたら困る場合は両側検定に，ある値よりも小さければ困るが大きいのは構わないという場合は片側検定と考えましょう．
　さて，標準偏差1(g)以下と，言葉としては「以下」と言っていますが
$\mu-1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\lt m \lt\mu+1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}(\mu=55,\sigma=1,n=400)$
の「範囲内にある」というのが帰無仮説なので，その両側に外れたら棄却域になります．だから両側検定で調べようと考えたわけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式について／17.1.23］

わかりやすかったですテスト勉強に役にたちました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式について／17.1.23］

よかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[面積の求め方について／17.1.23］

わかりにくいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方根の計算･･･センター試験問題について／17.1.23］

【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［１］】の回答クの0～3の式の中の1の式に誤りがあります。分母の5が√5になっています。√を消してください。　
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／17.1.22］

とてもわかりやすかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せ（文章題）について／17.1.22］

わかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／17.1.22］

非常にわかりにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式,分数関数,無理関数の不定積分について／17.1.22］

見やすい！あらゆる場合を網羅していて、分かりやすく復習ができた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分.変数変換.ヤコビアンについて／17.1.22］

問4のxに誤り. x=1/3(2u+v)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その間違いを引きずってさらに２,３個の式がおかしかったので,併せて訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の極限について／17.1.21］

いつも分かりやすい説明で、よく利用させてもらっています。このページで、いくつかの問題を解く際に、答え欄をクリックしても反応しないために解答できなかった問題が３つほどありました。私はMac OSを使っていて、Safariを重荷利用していますが、たまに他のサイトを利用する際にSafariでは動かなくても、Google chlome では動く場合があり、こちらのページもGoogle Chlomeでも試してみましたが、やはり動きませんでした。（厳密に言うと、即答問題の上列左から２番目と４番目をクリックできないことと、問題１の(6)に答えを入力できないことです。）あまり支障をきたすわけではないのですが、気になったのでコメントしました^^ でも、基本的にどのトピックも分かりやすい説明で、とても助かっています。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ブラウザによってはチェックボックスや入力欄が左の関数の陰に入ってしまって下敷きになっていたようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数,確率分布について／17.1.20］

例がとてもわかりやすく、完璧な解説で、初学者にとっても嬉しい限りでした。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数 R2とはについて／17.1.20］

※についてですが独立な時に総和の関係が成立しないのは引数が独立な場合だけではないですか？一つのデータ点y_iに関して残差偏差σ^i_eと回帰偏差σ^i_Rの和が総偏差になっていなさいという関係がn個あって全部足しなさい：Σ_i (y_i-\bar{y}) = Σ_i（σ^i_e+σ^i_R）が元の等式ですよね？ σ^i_eとσ^i_Rは元々i番目のデータ点に対して全偏差を回帰直線の値で分割して作った値なので独立ではないですよね？両辺二乗したときの引数がiとjのコンビネーションの場合には消えますが。もしくはこの系のパラメータの拘束条件から自動的に消えるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．特に難しい話しはしていないつもりです．
独立←→無相関←→垂直　のとき
ｎ次元ベクトル $\vec{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\vec{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ が垂直となることを使って
$\vec{x}\cdot\vec{y}=0\leftarrow \rightarrow x_1y_1+ x_2y_2+\cdots+ x_ny_n=0$
と書いてあるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式の除法（割り算）について／17.1.18］

多項式の除法　の問３において、一部下線がずれております。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．15年くらい昔に作ったプログラムで現在のMSIEとEdgeに合わなくなっていましたので訂正しました．（応急処置の継ぎはぎで持たしてあります）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.1.17］

二進数の演算の例2の問題が1101×1011に対して、解き方A.Bの問題が1101×1010についての解き方になっています。あと、例2の解き方A（3）の最後にでてくる答え0が一つたりなかったです。最後に、質問なんですが… 回答Aの（3）にでてくる22＝っとなっている22は何処からきた22なのでしょうか？頑張って考えてるのですがわかりません。あと、ほんとーのほんとーに最後に。凄く分かりやすく大変ためになっています。こんなサイトを作ってくださりありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例２の解き方Aはいろいろと違っていました．というか，上の例１のコピペをしてから作業を始めようとして，コーヒーか何かを飲んでいるうちにその行を見失ったという辺りが真相かも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.1.17］

問題2の(5)のイ）の(答)の中で、3色となるときの分子の最後は、3C2ではなく2C1だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／17.1.17］

a＝d(n) ,b=e(n),c=f(n)とする。10進数で a×b=cのとき，d(n)×e(n)＝=f(n)は成り立つのか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．a(10)=d(n) ,b(10)=e(n),c(10)=f(n)と書いてあるのだから，a(10)×b(10)=c(10)のとき，d(n)×e(n)=f(n)が成り立つのは当然でしょう．
等しいものは等しいものに等しい．引っ越しは引っ越しの引っ越し．他に言うべきことは思いつかない．
（あなたもコンピュータ・プログラミングが好きな方かな = =）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.1.16］

全て素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.1.16］

いやー時代が変わりましたね。素晴らしいの一言です。私は第２世代ベビーブームの薬剤師です。人生をやり直した気持ちでやってみました。今後もっともっと素晴らしいサイトを構築してくださいませ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／17.1.16］

対数が少しわかった。嬉しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／17.1.16］

答えください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２択の問題で間違いなら他方が正解で，３択の問題で間違いなら残りのどちらかが正解なのだから，押せばわかります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.1.15］

問題もあってわかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／17.1.15］

大変にわかりやすい解説だと思います。成分の余因子をひとつずつ求めて、余因子行列の転置行列を求めるところなど、とても良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフ［標準形］について／17.1.15］

他のサイトよりも遥かに解説が丁寧で(わかっている前提だと見なさず省略しないorその問題を解く上での、前の範囲の予備知識を解説しているページにすぐ飛べるようになっている)、かつ例題を解いていけば何がわかっていないかを即座に確認できて非常に便利でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.1.14］

自分は受験生なのに勉強する意思が弱いのですが、パソコンを使って簡単にできて、すごくわかりやすく勉強しやすいです。本当に感謝の気持ちでいっぱいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.1.15］

11 間違っています反例としてルート3 ルート3^2は奇数ですが、ルート自体に奇数偶数の定義付けがされていませんので答えは十分条件です

（追伸）　整数nでしたか… 見落としてました。申し訳ない

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／17.1.13］

（５）のλ＝ー３のときの３列目の３行目がー6ではなくてー3だと思います。あとは（6）が分かりにくく感じました(;'∀')
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(5)は訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.1.12］

(5)の式を示す画像が正しく表示されておりません。修正していただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このエラーが時々起こることは認識していましたが，今原因が特定できました（たぶん）．直っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式２について／17.1.11］

問題３のヘルプの下から２行目「(s , t)=(3 , 0) のとき (x , y)=(2 , 0)」は間違っていて、正しくは「(s , t)=(6 , 0) のとき (x , y)=(2 , 0)」ではありませんか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[恒等式について／17.1.11］

「次の問題」のボタンに「忘れずに！」の吹き出しが重なっていて押しにくいので、もう少しずらしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昔はなかったブラウザのEdgeが昨年あたりから増えてきて，上下方法のずれ方がFirefoxと同じになるようです．対応しました．（この問題は「忘れずに！」の吹き出しがあるどの頁でも起こりますが，頁数が多過ぎて前もって訂正できませんので，要望が出た頁を直すようにします）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角形を解くとはについて／17.1.11］

２辺とその間の角（２角きょう辺ともいう） →２辺とその間の角（２辺きょう角ともいう）ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．小見出しがあやしいコピペになっていて，数か所引きずっていたようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数の方程式について／17.1.11］

f(x)が定数の場合（例２ではn<=1のとき）を場合分けする説明があればありがたいです。問題と例１ではn>=1，例２ではn>=2でやっていますが，これらをn>=0としてまとめて扱うことはなぜできないのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．次の点に注意してください．
ｎ次式を微分したらｎ-1次式になるとは限らない･･･１つだけ例外があるのです．つまり無警戒に
$(x^n)\hspace{2}\apos=nx^{n-1},\hspace{10}\int x^n dx=\frac{x^{n+ 1}}{n+ 1}+ C$
としたら間違いとなる数ｎが１つあるのです．左の式はｎ＝０ならかろうじて成り立つように見えますが $(x^0)\hspace{2}\apos=x^{-1}=\frac{1}{x}$ にはなりません．右の式でいえば $\int x^{-1} dx=\frac{x^{0}}{0}+ C$ とはなりません．
簡単なことですが，定数を微分すると０になります．（ $(x^0)\hspace{2}\apos=0$ ）したがって，上記の式でｎが０になる可能性があれば微分の形が変わるので，場合分けが必要となるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同次形微分方程式について／17.1.10］

問題６右辺＝ -u - 2u^2
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説の中で係数の２が抜けているところがあるというご指摘だと理解しました．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二重根号について／17.1.10］

解答の正解不正解を問わず、次の問題に進めるようにして欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その問題は，前の問題ができなければ次の問題に進めないように作ってあるものです．ほかの頁の問題をやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解（２文字）について／17.1.10］

(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bdで、bとdが、両方マイナスになっている問題があることの、説明が欲しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どうも言葉がうまく通じませんが
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bdと(ax−b)(cx−d)=acx2−(ad+bc)x+bdは同じものじゃないのかという質問なら「同じではない」「１次の係数の符号が違う」
だから，例えば
2x2+7x+3=(2x+1)(x+3)であるが2x2−7x+3=(2x−1)(x−3)になります．
積が２になるものは２と１に固定．積が３になるものは，１×３の組と(−1)×(−3)の組がある．そのうちで，たすき掛けにしたときに１次の係数が−7になるのは，−1, −3の組だけ．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.1.10］

助かりました(`_`)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.1.10］

この辺が数1aでの不安要素だったのですが、とても分かりますいし、問題形式で理解度も深まったので安心してセンター試験に臨めそうです。助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．受験生は大変ですが頑張ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式の除法について／17.1.9］

問1-4の余りを間違えてもendと出ますが宜しいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．チェックしましたがそのようなことは起こりません．例外的に，まず余りまで正解にして，後から誤答に書き換えてもendになったままということでしたら興味の方向が違うように思いますが･･･．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連続整数の積について／17.1.9］

面白かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は公開してから１年経過していないかも

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ケーリー・ハミルトンの定理について／17.1.9］

問題２のA³－５A²＋7A は、A³－５A²＋７Eの間違いだと思います。（でないと答えが違う）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題と解答にはエラーはないが，解説図に数か所ボロボロのところがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／17.1.8］

勉強に活用しています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルのなす角について／17.1.8］

図形など図があればもっといいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現在筆者は次のように整理しています．
(1) 高校数学で習うベクトルには，図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります．ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが，実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第１の目標です．
(2) ３次元，４次元，５次元･･･今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが，そう言わないだけです．

生徒名	x（国語）	y（数学）	z（英語）
a	2	3	2
b	5	2	3
c	3	1	4
d	3	5	2
e	･･･	･･･	･･･
f	4	4	5

左の表で生徒ごとの３教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには，行ベクトル $\vec{a}=(2,3,2),$ ， $\vec{b}=(5,2,3),...$ などの個人ごとの「３次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが１つの方法です．また，教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには，列ごとに見たベクトル $\vec{x}=(2,5,3,3,\cdots ,4),\hspace{10}\vec{y}=(3,2,1,5,\cdots ,4),...$ などの「６次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります（左の表で６次元というのは縦に６個の数字が並んでいるから：６人だから）.
このようにして，実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており，図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります．（この頁参照）
(3) ご質問の頁は２次元ベクトルを扱っていますので，図を描こうと思えば描けますが，図があっても問題が解けるわけではありません．次のような意味合いで，１つや２つは図があってもよいとは思います．
　3.1) 答が２つあって迷うような場合とか，方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に，図で検証することができる．
　3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが，ワンポイントの図があればリラックスでき，結果的に学習が進む．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算について／17.1.8］

この前は、解説ありがとうございました！この前と同じような問題ですが…途中までわかったのですが、その先がわかりません。教えてください！ log2（1/9）×log3（1/8） =（-log2 9 ）×（-log3 8）この先の計算方法を教えてください！底の公式にしても前の問題のようにできないのでどうすれば良いのかわかりません…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今度は底の変換公式の練習になります．
$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ …（底の変換公式）
（ここでｃは>0, ≠1なら何でもよいので都合の良いものを選ぶ）
$\log_2 9 \cdot\log_3 8$
において，（ア）全部の底を10にそろえる場合は
$\log_2 9 \cdot\log_3 8=\frac{\log_{10}9}{\log_{10} 2}\cdot\frac{\log_{10}8}{\log_{10}3}$
$=\frac{\log_{10}3^2}{\log_{10} 2}\cdot\frac{\log_{10}2^3}{\log_{10}3}$
こので「ノミの三段跳び」に持ち込む： $\log_{a}b^n=n\log_a b$
$\log_{10}3^2=2\log_{10}3,\hspace{10}\log_{10}2^3=3\log_{10}2$
とすると，次のように約分できて
$\frac{2\strike{\log_{10}3}}{\underline{\strike{\log_{10} 2}}}\cdot\frac{3\underline{\strike{\log_{10} 2}}}{\strike{\log_{10}3}}=6$
（イ）全部の底を2にそろえる場合は
$\log_2 9 \log_3 8=\log_2 9\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}3}$
$=\log_2 3^2\cdot\frac{\log_{2}2^3}{\log_{2}3}=2\strike{\log_2 3}\cdot\frac{3\log_{2}2}{\strike{\log_{2}3}}=2\times 3\times 1=6$
（ウ）底を３にそろえてもできる

■東京都[p-npさん／17.1.7］

x^2+y^2=1上に(a,b)で接している接線Lと、x軸・y軸で囲まれた面積Sが最小になるaの値の求め方がわかりません。 Lの方程式を求めて、xとy切片の切片を掛けて・・と考えたのですがうまくできませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
点(a,b)が座標軸上にあると囲まれた図形ができないので，a,b>0とする．このとき接線の方程式は
$ax+ by=1$ …(1)
ただし，(a,b)は円周上の点だから
$a^2+ b^2=1$ …(2)
が成り立つ．(1)とｘ軸との交点（のｘ座標）はy=0を代入すると得られて
$ax=1\rightarrow x=\frac{1}{a}$
(1)とｙ軸との交点（のｙ座標）はx=0を代入すると得られて
$by=1\rightarrow y=\frac{1}{b}$
直角三角形になるから
$S=\frac{1}{2ab}$ …(3)
(2)の条件の下で(3)の最小値を求めるのであるが，変数が２つもあるのは煩わしいので，(2)式を書き換えて１つの変数で表す．
$(2)\rightarrow x=\cos\theta,\hspace{5}y=\sin\theta$ とおく
このとき
$S=\frac{1}{2ab}=\frac{1}{2\cos\theta \sin\theta}=\frac{1}{\sin 2\theta}$ （←２倍角公式）
$0\lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$ のとき $0\lt 2\theta \lt \pi$ は $2\theta=\frac{\pi}{2}\rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}$ のとき最大値１をとる．
したがって，Sは $\theta=\frac{\pi}{4}\rightarrow a=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき，最小値１をとる．
※三角関数の２倍角公式や媒介変数表示を習っていない場合は
正の数a,bについての相加平均≧相乗平均の関係
$2ab\underline{\le} a^2+ b^2$ （等号成立は $a=b$ のとき）
を使って
$S=\frac{1}{2ab}\underline{\ge}\frac{1}{a^2+ b^2}=1$ （等号成立は $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき）
としてもよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数,確率分布について／17.1.7］

すごくわかりやすく、勉強が楽しいです！ありがとうございます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転と拡大について／17.1.5］

問題2-3は1-iではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面上のHelpを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[N進法の小数について／17.1.5］

例8の8進法で表された小数について、7.08とありますが、8進法なのに8があるのは変なのではないですか？7.1ではないですか？違ったらごめんなさい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました。

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／17.1.5］

むずかしかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１次不等式は教育課程の改訂ごとに中学校と高校の間を行ったり来たりしたので，中学校でほとんど習っていない場合があるかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式について／17.1.5］

とても分かりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／17.1.5］

そもそもページが見づらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ここら辺が一杯々かな

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値付き関数の積分について／17.1.5］

短時間でこなせるように、難易度の低い問題から中程度の問題に遷移する形で、問題数を増やしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューが易しいものから難しいものへの順に並んでいますので,活用してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／17.1.4］

＞［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.12.28］　「例3の解答は3/√3ではないのですか」への回答ありがとうございました。　　分母の有理化ですね。忘れてました。またよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.1.4］

シンプルかつわかりやすくて苦手分野のところは助かります。活用していきたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[位置ベクトルの応用について／17.1.4］

解答して合っていると消える、というのが、やる気を出しやすいと思います。昔習ったベクトルの復習をしたくて、このページにたどりつきましたが、とてもわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■北海道[キズナさん／17.1.3］

0≦Θ<2πの範囲でsinΘ<-√3/2の値を求める問題がわからないです。教えてください

＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁に類似問題がありますので見てください．
質問がラジアンを使って書かれているので，数Ⅰでなく数Ⅱの範囲でしょう．
左図のように $\sin \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる角度が $\theta=\frac{4}{3}\pi,\hspace{5}\frac{5}{3}\pi$ で $\sin \theta$ の値がこれよりも小さくなるのはｙ座標が下になる所なので，黄色で示した範囲になります． $\frac{4}{3}\pi \lt \theta \lt \frac{5}{3}\pi$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／17.1.3］

整数ｎについてをもっと見やすく目立たせたほうがいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．改行してあり結構目立っていると思いますが･･･この「整数について」という前提を読まなくても，意味が変わる問題は含まれていません．例えば第９問で「ｎが３の倍数であることは，ｎが６の倍数であるための（　　）条件」という問題では，ｎが３の倍数であることはとなっているので，普通に読めばｎが小数，分数，無理数，虚数である場合はどうなるのかとは考えません特に注意書きがなくても，ｎが３の倍数であるなら整数と考えのが普通です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値について／17.1.1］

問題4、2000年度東北薬大の問題ですが、ヒモの長さで表されても分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その説明方法では分かりませんという形で前提を覆してしまう場合は，自分で他の方法を考えるしかなくなります．前提を覆してはいけません．（絶対値は符号のない数なのでひもの長さで考えることができるのです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／16.12.31］

log2 1/5 ×log5 1/4など分数のある場合の計算方法も教えて欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$\log_2\frac{1}{5}=\log_2 1-\log_2 5=-\log_2 5$
$\log_5\frac{1}{4}=\log_5 1-\log_5 4=-\log_5 4$
のような変形は底の変換公式とは関係なく，それ以前に登場する対数の変形です．
この公式
$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
の特別な場合として
$\log_a\frac{1}{N}=\log_a 1-\log_a N=-\log_a N$
もしくは，この公式
$\log_a M^n=n\log_a M$
の特別な場合として
$\log_a\frac{1}{N}=\log_a N^{-1}=-\log_a N$
と考えます．
これらの前処理を行ってから，次に底の変換公式を使うことになります．
$\log_2\frac{1}{5}\times \log_5\frac{1}{4}=(-\log_2 5)(-\log_5 4)$
$=\log_2 5\times \frac{\log_2 4}{\log_2 5}=\log_2 4=2$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列について／16.12.30］

分かりやすい！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.12.30］

わかりづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そういう感想もあり得るかも．相性がよくなかったということで･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.12.28］

例3の解答は3/√3ではないのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中計算に省略がありますが
$\frac{3}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
になります．（ $3=\sqrt{3}\times \sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ を約分したら，分子に $\sqrt{3}$ が残るということで･･･）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.12.27］

41のおっさんです。小さい頃から母親から罵られまくって高校に入って全く自暴自棄になって、勉強しなかったのですが、今落ち着いて見直すととても面白いです。欲を言えば、誘惑になる広告が非表示だといいですね。これからも使わせてもらいます。素晴らしいサイトをつくってくれてありがとう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆裏対偶について／16.12.25］

この命題などに関する問題があればよかったと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．簡単な問題は問１，問２にあります．もっともよく使う対偶証明と背理法の問題はその次の頁にあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[t分布について／16.12.24］

t分布が、よく理解できていないので、いきなりt分布の応用問題の解き方を教えていただいても、理解できた感じがしません。　お手数ですが、正規分布やｔ分布関数の導入の仕方を、分かりやすく解説頂けないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．メニューから正規分布，ｔ分布と順に読んでください

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸近線の方程式について／16.12.24］

わかりやすい説明で概要を掴めますがいざ実践してみるとなかなかできないものです。なので簡単な問題がその後に付属して実戦形式で行えるのは良かったと思います。それによって理解が深まった気がします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者の苦労が込められているという点からいえば増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線.グラフの方もお勧めしたいところです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／16.12.23］

a b c d e の5人がじゃんけんを１回するとき a b c　の3人が勝つ確率を教えて下さい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
　５人の手の出し方は $3^5$ 通り
　そのうちで，a,b,cが１回で勝つのは

abcの手	deの手
パー（紙）	グー（石）
チョキ（ハサミ）	パー（紙）
グー（石）	チョキ（ハサミ）

の３通りだから， $p=\frac{3}{3^5}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの実数倍について／16.12.23］

図をペイント式ではなくラスタ式にした方が良い。少し矢印が見にくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Webページに表示可能な jpg,gif,png いずれの方式でも無理です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[繁分数式について／16.12.23］

良かったと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数2階線形非同次微分方程式について／16.12.23］

2階線形非同次微分方程式のページの問題5の解答が間違っていると思われますので，確認をお願いします．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたが考える解答をお知らせください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点を通る直線の方程式について／16.12.22］

ｘの軸に垂直な直線を引くための方法がわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は高校数学Ⅱの教材で「２点を通る直線の方程式」を扱ったものです．あなたが，どのような立場の人で，どのレベルの回答を求めているのか述べていただかないと，答えるのは難しいです．
(A)　中学生や高校生が「ｘの軸に垂直な直線を引く」にはどうすればよいのかと尋ねている場合
　この頁のテーマとは全然関係がないので，そういう頁で質問してください．
　（三角定規の１つの辺をｘ軸に当てたら，直角になるもう一つの辺がｘ軸に垂直な直線になります．三角定規を使ってはいけないという前提の場合は，定規とコンパスだけで直角を作るにはというジャンルが中学校の作図のジャンルにあります．）
(B)　点Ｐ(ａ，ｂ)を通りｘ軸に垂直な直線の方程式は，ｂの値に関係なく x=a です．
(C)　座標軸が回転されている場合の話なら，回転移動の一次変換の頁を見て下さい．

■広島[CHARGE MAZDA 787Bさん／16.12.21］

極大×極小＜0 が分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何の話をしているのか通じません．どの頁を見ているのか書いてありません…アクセスログからあなたが見た頁を調べても，その話はありません．おそらく，教科書とか参考書に書いてある別の話を尋ねているのだと思います．
　高校生が出遭う初歩的な問題で極大×極小＜0が出てくるのは，「3次方程式が３つの異なる実数解を持つ条件」などです．

　3次の係数が正負いずれであっても，3次関数がｘ軸と異なる３点で交わる条件を求めるには，上の(A)(B)の図のように極大×極小＜0となります．
だから問題に応じて極大値と極小値を求めて（おそらく文字係数）それらの積がマイナスになることを条件にします．
　ただし，理屈上はこれでよいが，このようにして求めると次数が高くなって解きにくいので，実際には(A)(B)いずれも極大値＞0かつ極小値＜0を条件にする方が解きやすくなります．…問題も見ないで言えるのはここまでです．（＃＃）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.12.21］

解を求めるプログラムで分数や小数の2次方程式が解けない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正負の整数を入力して［解を求める］と書いてあるのだから，正負の整数になるようにするのです．
　読者がカチンと来るか，当然だと思うかは分かりませんが，その頁は高校生向けの頁で，分数や小数係数なら分母を払うとか10倍，100倍，...すれば簡単に整数係数になります．

【分数の例1】
$\frac{x^2}{2}+ \frac{2}{3}x-\frac{5}{6}=0$ の場合
両辺に6を掛ける
$3x^2+ 4x-5=0$
【分数の例2】
$-\frac{3}{4}x^2 -\frac{4}{3}x + \frac{5}{2}=0$ の場合
両辺に12を掛ける
$-9x^2 -16x + 30=0$

【小数の例1】
$0.3x^2 + 0.2x-0.5=0$ の場合
両辺に10を掛ける
$3x^2 + 2x -5=0$
【小数の例2】
$0.3x^2 + 0.2x-0.05=0$ の場合
両辺に100を掛ける
$30x^2 + 20x -5=0$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の方程式について／16.12.21］

面白かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.12.21］

問題３の(４)、公式から外れたものを出題しているのがとても良いと思いました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何でも公式にあてはまると考えられると，とんでもない答案ができてしまうので，注意を促すために入れました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／16.12.21］

第１ページ右側に　x=sinθ,y=cosθとありますが、x,yが逆ではないでしょうか？同様にその下も　x=sinhθ,y=coshθとあるのもx,yが逆になっていると思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．逆でしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直交行列について／16.12.20］

よかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相関分析について／16.12.20］

大変わかりやすい説明でした。最後のクラメールの計算についてわからない点があります。手元の教科書ではクロス表の縦計、横計に1つでも「0」がある場合、独立係数は計算できません、とあります。これはそれぞれ表14で言うと「ア」や「A」と答えた人の合計値を差し示し、「B2:E5」の黄色の範囲にある個別の回答者数は「0」であっても構わないということでしょうか？また2×2のクロス集計ではよくイエーツの補正が紹介されていますが、それ以上のクロス表については記載が見つかりません。このような場合補正方法はないのでしょうか？それともマス数が多く数値が十分あるため、補正しなくとも相関性について十分な吟味をすることができる、という考えがなされているのでしょうか？このような細かい疑問点についても書かれていると個人的に大変うれしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．縦または横の合計が０の場合，期待度数の計算で分母が０になるのでできないと思います．しかし個別の度数が０であることは問題ありません．
カイ２乗検定で２×２のクロス表の場合だけはカテゴリーの併合を行ってしまうと表がなくなってしまうのに対して，マス数が大きな表ではどのマスの期待度数も４より大きくなるようにカテゴリーの併合を行うことができるので問題がないと考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.12.19］

重解のときの解き方も載せて欲しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁の下の方を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ) について／16.12.19］

1/tanx＝cosx？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
（ア）基本公式そのものを質問しているものとして答えます．
$\frac{1}{\tan x}=\cos x$
が成り立ちますか？という質問だとします．結論から言えば，成り立ちません．
その頁の(6)にある
$\frac{1}{\tan x}=\cot x$
の右辺はコタンジェントです．
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \hspace{10}\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
でお互いに分母と分子を入れ換えたもので， $\cot x$ の方は授業では習う場合も習わない場合もあります．

（イ）これとは異なり，ある特定の角で1/tanx＝cosxが成り立つことはありますか？という質問である場合
$\frac{\cos x}{\sin x}=\cos x$
となる場合は
$\sin x=1$
になり， $x=\frac{\pi}{2}+ 2n\pi$
となる角度では初めの式の $\tan x$ が定義されませんので，結局この式が成り立つ角度はないということになります．

■ibaraki[ichiさん／16.12.19］

三平方の定理を使い x^2=(2+sqr3)^2+1^2 xを求めようとしていますが、ルートの中にルートがあり先に進めません。答えは sqr6+sqr2 です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．二重根号の外し方のことですから，質問者が当然高校生以上だと想定して答えます．
$x^2=(2+ \sqrt{3})^2 + 1^2$
の右辺を展開してから整理します
$x^2=4+ 4\sqrt{3} + 3 + 1=8+ 4\sqrt{3}$
$x=\sqrt{8+ 4\sqrt{3}}$
二重根号の内側の係数は必ず２にします
$x=\sqrt{8+ 2\sqrt{12}}$
積が12，和が8となる２数は6と2だから
$x=\sqrt{6}+ \sqrt{2}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／16.12.18］

式の導出が詳しくて分かりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／16.12.18］

国家試験の勉強で活用しましたが、大変懐かしく、解りやすく勉強させて頂きました。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[センター試験問題三角比2012について／16.12.18］

最後の問題の解説、点Gは△ABCではなく△FBCの重心ではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．また，(1)以下の文章で根号の表示がずれていましたので直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.12.17］

合っていたら記号を『×→○』にしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．SafariかChromeで全角数字で入力していませんか？今の生徒は小学校以来コンピュータを使う授業を経験しているので，漢字の一種の全角文字（２バイト文字）と半角英数字（１バイト文字）の違いは分かっているはずです．数値計算は半角数字で行います．…(A)
　とはいっても，現代生活は忙しいので，半角文字を入れるべき時に間違って全角文字を入力している場合に，コンピュータが勝手に訂正して半角文字に書き換えてしまうこともあります(Excelなど)．…(B)
　その頁では（A)の方式で採点しています…全角数字で答えると不正解になります．（ime-modeを無効にする設定を行っているので，ブラウザによっては全角入力を防げますが，あなたのブラウザでは全角入力ができてしまうようです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値について／16.12.16］

絶対値が三つの関数の解き方とそのグラフの書き方とそのグラフの最大値と最小値の解き方が無いので、作った方がいい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず基本が分かるようになることが第１の目標です．■４の問題のように絶対値が３つある問題を幾つか示す場合もありますが，一層踏み込んだ問題については，基本がわかった後の各自の研究課題とするのがよいと考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／16.12.16］

こんにちは。Windows 8.1 + IE11から閲覧すると、「変数は分けるのではなく集める方が多い」という項に、広告がかかってしまって、文章の右端が読めません。全選択してメモ帳貼り付けすれば読めるのでそこまで支障はないですが、気になったのでフィードバックします。当方社会人ですがたまに数学計算が必要になり、このような Web サイトは大変ありがたいです。今後ともよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．tableが２重になってたため，paddingの幅を読み間違っていたようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルをエクセルのソルバーで求めるにはについて／16.12.15］

固有値ベクトルを求めることができません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
(A)　筆算で求めるにはこの頁
(B)　R（インストール方法はこの頁）で求めるにはこの頁
(C)　wxMaxima（インストール方法はこの頁）で求めるにはこの頁
自分のやりやすい方法で行ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が一直線上にあるための条件について／16.12.14］

分かりやすく、重宝しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの和について／16.12.14］

全く理解できませんでした()
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それ以上やさしい教材は準備していません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法（等式の証明）について／16.12.14］

例題5の 1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)=13 k(k+1)(k+2) …（Ｂ）（Ｂ）の両辺に (k+1)(k+2) を加えると 1·2+2·3+3·4+···+k(k+1) 左辺に加えられてますか？ 1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)+(k+1)(k+2)ではないかと。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[媒介変数表示について／16.12.12］

媒介変数表示の例２の345度の時に表示する点が間違えているかもしれませんとてもわかりやすかったです、復習に使わせていただきました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ブラウザによっては表中の座標のマイナスの符号が上下にずれるものがありましたので訂正しました．また，ブラウザによっては点が縦方向に微妙に下にずれる場合がありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／16.12.12］

とてもわかりやすくてよかったです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理について／16.12.11］

(cosα)^3*sinα
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問なら文章で書いてください．その式をどうしてほしいのですか？
　参考までに，wxMaximaで (cos(a))^3*sin(a)と書き込んで，メニューから三角関数の整理を選ぶと
$\frac{\sin (4a)+ 2\sin (2a)}{8}$
と表示されるようですが･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.12.11］

例題の解説の後についている要点で納得することがあったので凄く助かりました！問題も典型問題が多いし、ページも見やすいです。難易度の高い問題も1.2題つけてもらえたら嬉しいです。大学の過去問レベルのもの等々……
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.12.11］

8番の問題を間違えました。解説の[十要は重要である]のやり方が役に立ちました！問題か沢山ないサイトが多いので、ここでは助かりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３直線が１点で交わるための条件について／16.12.11］

求める定数がaとbの二つある場合が書いてないので、そこがあるといいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．未知数がx,y,a,bのように４個ある場合を，３直線が１点で交わる条件から解くと，条件不足のため不定解になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／16.12.9］

分かりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.12.9］

例題８の解答の中間式で係数２が抜けてます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近加筆した部分なので，入力ミスがまだ他の読者にバレていなかったようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.12.8］

非常に分かりやすく、やりがいのあるwebです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／16.12.8］

問８？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問８がどうかしましたか？選択肢のうちのいずれかを選んでもらうとhelpが出ますので，それを読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相関係数，回帰直線について／16.12.8］

アンケート項目４，の手前、『ｒ表より，自由度48で』というくだりですが、もしかしたら３８、ではないでしょうか。公開されているデータのｎがｎ＝４０だからです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[繰り返しのある対応のない二元配置の分散分析について／16.12.8］

混合計画で交互作用があった場合は、どのような分析をすればよいのか教えていただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は体験・入門的なもので，さらに踏み込んだ内容や質疑は想定していません･･･筆者も責任の持てる解答を示せません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆関数について／16.12.8］

基本のチェックの２問目で解答の配置が悪いと思います。 √2ｘを選んだつもりで(3)を選んだのに…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．謎の暗号のような感想を解読するのにとても時間がかかりました．読者が「基本のチェックの２問目で解答の配置が悪いと思います。」と述べていることから「Edgeというブラウザを使ったら，ほかのブラウザと全く異なる配置になることがある」という意味だと分かって，ようやく訂正できました．⇒ブラウザなどの情報も書いてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[マクローリン展開について／16.12.7］

ためになりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数，対数関数の導関数について／16.12.7］

正解をしているのに×がつきます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何番の問題に何と答えたのか述べないと，話が通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点Ａの周りの回転について／16.12.7］

点αの周りの回転、最後の＋αを知らないで覚えてましたどうりで合わないわけだありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値，標準偏差について／16.12.6］

右の例４の度数分布表において，10個のデータの平均 mと標準偏差 σ(X) を求めると，（右欄に途中計算が書けるようにしておく） m=(5+30+100+70+45)/5 = 25 とありますが、分母は10ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました･･･その後の計算結果には影響しません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Excelを使った一元配置の分散分析について／16.12.6］

見づらいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．モニター画面の32ビットで点検したものなので24ビットで見ると色調が薄くなり過ぎるようですので，灰色を茶色に変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の対称式，値の代入について／16.12.6］

問題1～3でyが抜けています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[最大公約数，最小公倍数について／16.12.5］

不定方程式をのせてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今は別のことで手がいっぱいですが，そのうち不定方程式の頁を作らなければならないと考えています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点・外分点について／16.12.5］

高校の授業で1時間かけてもわからなかった外分の意味や解き方を、このページが10分で完璧にしてくれました！ありがとござます！例題も理解できるようになりました(●´ω｀●)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昔，生徒の手元を見ていると，外分の意味を間違っている人が多かったので，この教材を作りました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号Σ（シグマ）に慣れようについて／16.12.5］

＜Σに慣れよう１＞の問３の、＜一番下の問題=Σ（j＋１）の２乗＞ですが、答えの４の２乗は必要ないのでは？もし必要だとすればそれはなぜでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(j+1)2にj=0を代入すると12
(j+1)2にj=1を代入すると22
(j+1)2にj=2を代入すると32
(j+1)2にj=3を代入すると42

要するに，3+1が4になるからです．あなたの理解は，まだ十分ではないかも･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[規則を見つける問題について／16.12.4］

問９のヒントの、＜２段目の差＞とは？２段目はどこにあるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分かりにくそうなので，１段目，２段目の数列も表示しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ) について／16.12.4］

どこの教師よりも教科書よりも分かりやすかったです！三角関数(性質？)分からなかったので調べてたらこのとんでもないわかりやすい図と説明が出てきてなんか泣きそうになりました笑本当感激です！これから頼らせて貰います！出会えて良かった、、、、、。！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／16.12.4］

例２　答案A f&rsquoになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．セミコロンが１つ抜けていましたので追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数とはについて／16.12.4］

すごいですね。もっと統計を勉強したらまた来ます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[等式の証明について／16.12.3］

もっと詳しく教えてほしい。そして、違った不等式などもだしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．不等式の証明については，先頭にあるサブメニューから不等式の項を選択してください．

■静岡[なしさん／16.12.3］

いつも参考にさせてもらっています。二次曲線の極線の解説のところで、楕円の（解説）の部分でx０がx１になってる間違いがあると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説の文章としては整合的になっていますが，図の解説と考えると合わないので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順列，組合せ（章末問題）について／16.12.2］

前回に引き続き、あまり大きなことではないのですが、、、、、公式の要約の重複順列で、記号がHではなくΠが使われているのは何か深いわけがあるのでしょうか？僕が根本的にダメな間違いをしていましたら、おゆるしください・•・m(_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は章末のまとめの問題なので，詳しい話は前にある個別の頁を見てください．
　深いわけというほどのことでもないのですが，異なるｎ個のものから重複を許してｒ個のものをとってくる組合せの総数をnHrで表し，異なるｎ個のものから重複を許してｒ個のものをとってくる順列の総数をnΠrで表します．

（例えば）
(a+b)2を展開するとaa+ab+ba+bbとなりますが，abとbaのように「書いてある文字の順序を区別する」と順列と見ていることになり，これが異なる２つのものa, bから重複を許して２つとってくる順列の総数2Π2=22=4に対応しています．
これに対して，(a+b)2を展開したときに，abとbaを書かれた順序を区別せずに同類項としてまとめるとaa+2ab+bbすなわちa2+2ab+b2となって，項の数は３個と数えることになります．これが異なる２つのものa, bから重複を許して２つとってくる組合せの総数2H2=3に対応しています．
（他の例）
(a+b)3を展開するとaaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbbとなりますが，aab, aba, baaのように「書いてある文字の順序を区別する」と順列と見ていることになり，これが異なる２つのものa, bから重複を許して３つとってくる順列の総数2Π3=23=8に対応しています．
これに対して，(a+b)2を展開したときに，aab, aba, baaなどを書かれた順序を区別せずに同類項としてまとめるとa3+3a2b+3ab2+b3となって，項の数は４個と数えることになります．これが異なる２つのものa, bから重複を許して２つとってくる組合せの総数2H3=4に対応しています．

※関係があるようなないような話として，ギリシヤ文字のΣは和を表すときに使い，Πは積を表すときに使う．Ｈはアルファベットで，その意味は重複組合せの頁に書いてあります．
$\sum_{k=1}^n a_k=a_1+ a_2 + \cdots + a_n$ 　⇒ギリシャ文字のΣはアルファベットのＳ...Sum（和）に対応
$\prod_{k=1}^n a_k=a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n$ 　⇒ギリシャ文字のΠはアルファベットのＰ...Product（積）に対応

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／16.12.2］

わかりやすかった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積の法則について／16.11.30］

とてもささいな点ですが、、、、、例3のエの塗り方は(アイウエで使った色以外)ではなく、(アイウで使った色以外)だと思いました。最終的な答えはあっていたので書くまでもないかと思いましたが、とりあえず書くことにいたしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに筆の勢い（キーボードの勢い）が余って，エを選ぶときにエ以外などとあり得ない話になっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／16.11.29］

問題を選択した時に、背景色が濃く、明暗比が悪いために見づらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そんなことはありません．よく見えます--きっぱり

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／16.11.29］

有効数字について調べていたが、まったくわからない。説明が意味不明。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．通俗的に言えば，波長が合わなかったとかご縁がなかったということかな

■［個別の頁からの質問に対する回答］[面積の求め方について／16.11.28］

この積分の面積の分野でしたが、このページを見た途端に学校での授業での謎(お前は何を言っているんだ状態)や、教科書の謎(製作者の頭の中身にはウジでも沸いているんかレベルの欠陥教科書「東京書籍：数3」)が氷解しました。考え方としては、まさにインテグラル橋を渡り、数値a,bの川に挟まれたメソポタミアの上を通る積分範囲を決める(わかっている数値によるxyグラフでの高さを決める)ことと、その橋の幅(xyグラフにおける横)をdx,dyなどの積分で求めるという内容でしたか。 ※ただし、ここでのxyグラフは代名詞のみであり十字のグラフを指すものとする意味不明な文章かもしれませんが、理解力のある先生が解読し、説明力のある先生が説明したならば文系を選択なさったこれから先の生徒さん、1998年生まれの私の後輩たちにも理解してもらえるかもしれません。まぁ、もう既に似たような説明をされているようでしたら、自力でそこに辿り着いた身の程知らずの子供が埼玉に一匹(？)いたことを胸に留めてくだされば、この感想文(？)を書く時間に意味を見出せるというものです。積分の面積の求め方を知らない私にすれば、底を合わせる、という考え方が最初にきて、その上で縦横の数値～、の行の方が嬉しいです。建築でもでも建物の基盤を固めてから建築、と言いますしね(謎) 長くなりましたが、稚拙な文をここまでお読み頂き、誠にありがとうございました。そして、テスト前日にテスト範囲が全く(今までもそうで、IQは最低値110で最低平均120overあるのに学校の授業が理解できた試しがありませんでしたが(笑))わからない私を助けてくださり感謝の念でいっぱいです。大変失礼致しました。(失礼にも程がありますよね…)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／16.11.27］

素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[割り算について成り立つ等式について／16.11.27］

とても分かりやすかったのでこれからも使わせて頂きます！！ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列の漸化式と極限について／16.11.27］

問題1.1(2)解説の特性方程式で求めた値が違うと思われる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説の途中経過で符号が逆になっていましたので訂正しました．結果は変更なしです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対偶証明法と背理法について／16.11.26］

1対偶証明法の問題1で［ア］の選択肢両方とも1より小さい、少なくとも１つは1以下、少なくとも１つは1より小さいの３つを選んでもエラーになり、404:File Not Found となって結果が表示されません。ゲイシャさんの管理者に問い合わせるようにとのことでしたので、ここに書かせていただきました。僕はiPadでSafariを使ってこのページを開いています。(使っている検索エンジンはGoogleです。)肝心な正解の選択肢でさえ開けませんので(とはいえとても難しい問題というわけではありませんが、、、)どうかご点検をお願いいたします。補足:なぜか唯一両方とも1以下の選択肢だけは反応してバツになります。[イ]の方は問題ありませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「あ〝～」ビックリ仰天のプログラムミスでしたので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均，母比率の推定について／16.11.25］

例題が充実していて理解が深まった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回帰直線，回帰係数について／16.11.24］

お世話になります。データが「観測結果」の取り扱いとして大変わかりやすいと思うのですが、一つ質問があります。データが「点群」の場合はいかがでしょうか？具体的には、一直線上にあるはずのものが千鳥足になっている場合、このページの手法でも「あるはずの直線」を求められるでしょうか？（座標系が任意であっても同一の直線が得られるか？ということになります）「回帰直線とは？」のあたりに補足として記載があれば最適と思います。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．興味を持っていただいたということはありがたいことですが，質問内容をもっと絞ってください．
すなわち，質的に異なる内容が１つの質問として尋ねられていますので，整合的な回答を示すことができません．
(1) データが「点群」の場合は･･･通常の統計データは点群だと思いますので，この用語は何も限定しておらず，特に何も語っていません．
(2) 一直線上にあるはずのものが千鳥足になっている場合･･･通常の統計データは，千鳥足になっています．はじめから同一直線上にあれば，回帰直線は不要で数学で解けます．
(3) 座標系が任意であっても同一の直線が得られるか･･･「一般に，ｘからｙを予測する式を裏返してもｙからｘを予測する式にはならない．」と文章で示してあります．

　文章で回答すると以上のような味もそっけもないものになりますが，上図において図１の赤線はｘからｙを予測する直線で，図２の青線はｙからｘを予測する直線です．通常の場合これらは一致しません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／16.11.24］

わかりやすかったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次方程式の解と係数の関係について／16.11.23］

色つきでわかりやすいですありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／16.11.22］

例題つけるの素晴らしい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／16.11.20］

いい問題がありましたね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数と確率分布について／16.11.19］

いつも丁寧な解説と図を載せて下さり感謝しています。硬貨の表の枚数の問題のところで、異なる5枚の硬貨A、B、C、D、Eのうち、表を向く硬貨2枚を選ぶ方法が5C2＝2!3!/5!になる理由が分かりませんでした。確かに解説にある通り最後の答えは10通りになりましたが、間にある階乗の式が自分の計算では何度やっても2×6/120＝12/120＝1/10になり、どうしても10にならなくてどのような意味があるのかが理解できませんでした。僕の計算が間違っているのか、誤植なのか教えてください。ちなみに自分は5×4/2×1になると思いました。中3で数検2級の2次が合格できるようにこのサイトを利用しています。本当に助かっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分母と分子が逆になっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点Ａの周りの回転について／16.11.18］

様々な解説をお読みさせて頂きました。とても分かりやすく、いい解説でした。ここからは要望です。カリキュラム上この順番なのかも知れませんが、出来れば「回転と拡大」のページの後に入れた方が理解が楽かも知れません。お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．やや応用問題ということで，深い考えもなく後ろの方に配置していましたが，内容のまとまりという点からはご指摘の通りですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.11.16］

全体的に、フォントの色が淡かったり、線が細かったりして少々読みづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．文字色は少し濃くしました．Chromeで線が細く見えるとはどういうことなのか分かりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数，対数関数の導関数について／16.11.15］

独学で学ぶのに役立つので、嬉しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／16.11.15］

左と右から選んで消していく問題について、誤タップから選択を消す方法がないので、再度タップすると選択中の赤枠が消えるなどあると使いやすい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の選び直し（=いわゆる迷い箸のようなもの）については考えておきます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分散，標準偏差について／16.11.14］

初めてメールさせて頂きます。詳細にご説明頂いております、本統計学の頁には大変お世話になっております。有難うございます。一つ質問があります。分散を求める場合には偏差平方和を自由度で除すと思っていましたが、本ページの最初の部分に記載されている分散ではＮで除されています。これは確率変数を扱っているからでしょうか。ご回答頂ければ幸甚に存じます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は高校生向けの教材なので，推測統計には触れていません．
　すなわち，その頁で述べている
$\frac{(x_1-m)^2+ (x_2-m)^2+ (x_3-m)^2+ \cdots +(x_N-m)^2}{N}$
は，与えられたN個の標本の分散です…(1)
これに対して，あなたが言っておられるのは
$\frac{(x_1-m)^2+ (x_2-m)^2+ (x_3-m)^2+ \cdots +(x_N-m)^2}{N-1}$
で，与えられたN個の標本から推測される母集団の分散です．…(2)
　今日ではコンピュータを使って何万個のデータでも簡単に処理できるので，全数検査も可能です．全数検査では分散は(1)式になります．［記述統計］
これに対して，与えられたN個のデータが巨大な母集団から抽出された標本であるときに，元の母集団の分散は(2)式になります．［推測統計］
　これらの違いや相互関係についてはこの頁に書いています．
　なお，Excelでは(1)に対応する標本分散は VARP() で求めることができ，(2)に対応する母集団分散は VAR() で求めることができます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の部分積分法について／16.11.13］

(４)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／16.11.13］

絶対値をのせてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教育課程の改訂のときに不等式の解き方が高校に移り，超基本から扱うようになったので，絶対値付きはちょっとした応用になります．機会があれば検討します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のセンター試験問題について／16.11.13］

二次関数の2012年のセンター試験問題のキクケの答えの符号、逆ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検しましたが間違いはありませんでした．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[基本的な三角比の値(図あり)について／16.11.13］

もっと問題を増やしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三角比の入門で取り扱う角度は全部で３個で三角関数の種類が３種類なので，合計９個ですべての問題を網羅しています．だからその項目ではそれ以上問題を増やすことはできません．
　その頁が済んだら，先頭のサブメニューに沿って，図なしに進み，さらにその次の項目を目指してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理（解説）について／16.11.12］

ものすごく分かりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列,関数の極限について／16.11.11］

平成23年度の問題についてなんですが、lim[x→∞]なのにnの関数になっていました。一つ一つの解説が丁寧で分かりやすかったです。これからも使わせていただきたいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／16.11.11］

練習問題が付いているのが、素晴らしいですね。理解が深まります。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの成分について／16.11.10］

配色が見にくかったです。他は参考になりました。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．配色を少し変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の平行移動について／16.11.9］

今日の基礎力判定試験の範囲ってわかりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．??　冗談を言っているのですか？どこかの予備校か学習塾の試験範囲のことなら，それをやっているところに尋ねないと･･･通りがかりのおじさんに尋ねてどうする．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[決定係数とはについて／16.11.9］

全くわからない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．初めに書いてありますように，回帰分析，重回帰分析の内容を先に読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方根の計算･･･センター試験問題について／16.11.9］

2011年の数1数Aのコからの解説をもっと詳しくしてほしいです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこそこ解説が書いてあるつもりですが，画面構成の都合上，あまり多くの式が書けないので･･･（なお2011年の問題は２つあります．どちらなのか？）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における直線の方程式について／16.11.9］

（１’）のグラフはy軸に垂直な(y軸を串刺しにしたような）～の説明でＹ－Ｙ０/aはZ-Z0/ｂではないでしょうか？６７歳です。放射線被曝の影響評価を理解するために、高校数学を学び直しています。丁寧な解説と直近の問題があるので、とても理解しやすく役立っています。ありがとうございます。なんとか微積・統計確率まで行きたいと思いますので、よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次不等式の解き方について／16.11.9］

最後の４項に分けている問題は、最初に式を出して、ボタンを押すと残りの式と答えが出る方式がいいと思います！式の書きかた、そして途中式の書き方がわかるからです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのような構成も考えられますが，全体としては簡単な問題から複雑な問題へ順に並んでいるので，その問題に達したときには，そこそこできるようになっていると想定しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.11.9］

２次方程式（１）について教科書ではｂ二乗ー４ac≧０　の時とありましたがどういう意味かわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校の数学Ⅱの教科書では，複素数を習ってから２次方程式の解の公式を習うので，解の公式についてb2−4ac≧0という制限は必要なく，b2−4ac<0の場合でも成り立ちます．だから，数学Ⅱの教科書には解の公式がb2−4ac≧0の場合だけ成り立つとは書いてありません．
　実際には，解の公式の説明が終わってから，判別式D=b2−4acの説明をするときに，

(1)　D=b2−4ac>0のとき異なる２つの実数解を持つ
(2)　D=b2−4ac=0のとき異なる実数の重解を持つ
(3)　D=b2−4ac<0のとき異なる２つの虚数解を持つ

と書いてあるはずです．さらに，これらのうちで(1)でも(2)でも実数解になるからこれらをまとめて書くとb2−4ac≧0となります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重回帰分析(2)について／16.11.8］

○　予測値の計算方法ツール→分析ツール→回帰分析はわかりますが　ここまでしていただいたのなら　Y値　X値をどの範囲で指定するのか　まで載せていただけないのでしょうか・・・。　
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分析ツールを用いた出力結果は，元の表になく，各自で設定して出力された結果を使います．○予測値の計算方法と書いているような表が出力されたら，その右側に１列作って，縦に101100などと入力して，=SUMPRODUCT(係数の列, 右の列)とすると１回で計算できます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／16.11.8］

Ｐの求め方がわからない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は対角化とはなにかということを説明した頁です．次に行列を対角化するにはという頁を読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数（文字係数と極値）について／16.11.8］

例題１の（イ）の増減表の中で，x=aのとき極大値をとるというのは誤りではないでしょうか．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ポカミスにしてはやや大きめのミスでした．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[連続型確率分布について／16.11.8］

「問題７」の場合、期待値が図形的にどんな意味をもつのか、について説明があればありがたいのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
期待値は「式」で定義されていますので，図形的にうまく対応するものが示せるとは限らないようです．たとえば
$f(x)$ は縦の長さ
$\int_a^b f(x)dx$ は面積
のように対応しますが
$\int_a^b xf(x)dx$ は何に対応するのか言いにくいです．
※言葉で言えば「重心」を表し，次の図Ａ，Ｂのように左右対称な確率密度関数の場合には，期待値（平均値）は対称軸になり確率密度曲線で作られる図形の面積の二等分線になります．しかし，Ｃ，Ｄのように左右対称でない場合は，重心を表す縦線は面積の二等分線にならず，Ｃではやや左寄り，Ｄではやや右寄りになります．（てこの原理で考えると，遠くて軽い物は近くて重いものと釣り合う．Ｃ：Ｓ＜Ｔ，Ｄ：Ｓ＞Ｔ）
だから一般の場合には面積の二等分線とは言えないのですが，面積の二等分線を引けば重心とそこそこ近い線になります．目分量で考えるだけなら面積の二等分線あたりに縦線を書いておけば感じはつかめます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号Σについて／16.11.7］

例12のkが3の時の計算が抜けてる気がします間違ってたらゴメンナサイ…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角方程式について／16.11.7］

例題3は誤答ですか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違いですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／16.11.6］

対角行列でない行列Aを対角行列にすることはできない．対角化とは，P－1APを対角行列にすることをいう．対角行列しか対角行列に出来ないというのはどういう意味でしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．これはよく考えてみると当然のことを，読者の気を引くように刺激的な表現にしたものです．
「対角行列でない行列」Aは，対角行列でないのだから，対角行列に等しいはずはありませんし，変形して対角行列にできるはずはありません．

$A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ が対角行列でないときに， $A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$ などと変形できるはずはありません．そんな変形は正しい変形ではありません･･･なぜなら，Aは，対角行列でないのだから， $A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$ の形に書けるはずはないということです．

対角化とは，与えられた行列Aに対して，うまく行列Pを見つけて
$A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}P^{-1}$
のように対角行列のサンドイッチにすること
もしくは，（同じことを別の書き方で示すと）
$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$
のようにAのサンドイッチが対角行列になるように変形することです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／16.11.6］

数式に使われている色が全体的に淡いのでもう少し濃くしてもらいたい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．少し濃くしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における直線の方程式について／16.11.5］

例題４の解答欄図のP0の座標数値が（１，２，０）になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数が対数のものについて／16.11.4］

一番難しい例題1のところが見ても読んでもさっぱりわからない。どれだけ紙に書いて計算しようとしても意味がわからず筆が一切動かない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は指数も対数もどちらも理解していないとできません．頁の先頭にあるサブメニューをたどって，基本の定義を理解してから読み直すとよいでしょう．･･･教材の順序から推定すれば，おそらく対数の定義がまだ十分身に付いていない可能性があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.11.4］

素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／16.11.3］

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■?[ゆみらさん／16.11.3］

半角の公式を用いてsin^2(2α)を求めたいのですが、どうやって求めたらよいかわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
半角公式というのは，２倍角公式を逆向きに読んだだけのもので

$\sin^2 \theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$ …(1)
または
$\sin^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}$ …(2)

の形で使います．(1)の式を使うとすると， $\theta$ に $2\alpha$ を代入して

$\sin^2 2\alpha=\frac{1-\cos 4\alpha}{2}$

このように特に難しい問題ではありません．(2)からスタートすると，何が $\frac{\theta}{2}$ なのだろう？と一瞬たじろぐかもしれませんが，(1)と(2)は見かけは違うが内容的には同じことを表しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／16.11.3］

例の(1)の2はy<x+2じゃないんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の問題の符号が逆でしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[導関数の定義について／16.11.1］

問題2の(1)の解答欄のx2乗が次の行に行ってしまっていて分かりにくかったです。それ以外はとてもわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．たしかにiPhoneで見ると次の行にわたってしまうようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.10.31］

かなり分かりやすい説明で驚いています。この講座の正式な名前を教えて下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正式というほどの格式のあるものかどうか，単に「高校数学の基本問題」という名前でやっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分(展開) について／16.10.29］

「なお発展学習として，１次式の累乗になってる関数の積分については... 」この部分の公式の右は1/aが足りなさそう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．ついでに文字色も濃くしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／16.10.29］

被積分関数の左端とインテグラルが被って表示されることがある
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Mac上のSafariでということのようですが，Windows上のSafariでは問題ないので，「ことがあります」のようにあいまいな言い方でなく，「何番目の式のどの関数」というように具体的に述べてもらわないと対応できません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／16.10.27］

分かりやすくて助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極方程式について／16.10.27］

例8計算ミスしていませんか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号が逆になっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／16.10.26］

原点 O.Aの場合は？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この公式は中学校で習う内容の復習になっています｡確かに普通の教科書では２点AB間の距離の公式と並べて２点OA間の距離の公式も書いてありますが，･･･必要ですか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの大きさについて／16.10.24］

とてもためになりましたありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値（区間や関数が変わる場合）について／16.10.24］

問１t>0のとき，２次関数y=−x2+2xの区間0≦x≦tにおける最大値と最小値を求めてください最小値の変域が違う気がします・・・。ほかのページの問題でも、変域が違う問題がありました・・・。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁内でつじつまの合わない箇所は訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／16.10.23］

とても役に立ちました！Thank U！もうすぐ数検準２級を受けるのでとても参考になりました。最後に問題があるのがいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数方程式について／16.10.22］

最後の問題８番の、2の2x乗-2のx+1乗-8についての質問です。ヒントでは２のx乗をtとすると、tの2乗-2t-8になるとあります。しかし、tの2乗+4t-8になるような気がして、そこで行き詰ってしまったのですが、いかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの場合は，指数法則が十分身に付いていないという弱点があるようですので，この頁で復習するとよいでしょう．なお，指数法則や対数の計算規則は，１つの問題の中で何回も多重的に登場しますので，（水や空気に親しむように）反復練習が必要です．
元の問題：

amn=(am)nだから2x=tとおくと22x=(2x)2=t2
次に
am+n=amanだから2x+1=2x21すなわち2x+1=2t
になります．

−2x+1は(−2)22x→4tにはなりません

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.10.22］

展開公式２　問題３の第３問で【採点する】をクリックできません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．IEまたはEdgeをお使いのようですが，いずれでも問題なく採点できます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.10.22］

Xやaの二乗の組み合わせが複数通りある場合はどの組み合わせが正しいか最初からわからないようにしてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁では６番目以降がそうなっています．初めのサブメニューにありますように，その頁は一番最初の初歩的な練習なので，難しい問題は後にいくらでもあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の階数について／16.10.21］

問題を解く時のヒントなどをもっと入れた上が良いと思います！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題に解答すれば，詳しいhelpが出ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／16.10.21］

もう少しレベルの高い実践的な問題を1問置くといいと思った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われる意味は分かりました．なお,頁の初めにあるサブメニューで同(2)を行ってもらうことができます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフと係数の符号について／16.10.20］

素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの大きさについて／16.10.17］

座標上の点をクリックして回答する場合に、点が勝手にずれて不正解になってしまいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁には座標軸はありません．質問や意見のある頁を示さないと話が通じません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／16.10.16］

解説がとてもよくわかります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／16.10.15］

問題２以降の【採点する】が押せません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Edgeは表示が遅い場合があるようで，その頁のすべての要素が表示されるまで反応しないのかもしれません．こちらで確認したところ，問題ありませんでした．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の方程式について／16.10.14］

とても良いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布（χ2分布）について／16.10.13］

とてもわかりやすいですが、途中式をいれていただけるとありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．後半の「途中式」については，書けるものは書いているつもりですが，Excelがどんな処理をしているのかというようなことは全く書きえないことです･･･どの式とどの式の間という具合にもっと具体的に質問してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理について／16.10.13］

本文の15行目にあるsin15°=sin(45°-30°)ですが、 45°ではなく40°になっています修正お願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆関数について／16.10.13］

テスト前にこのページを見ていたのですが、大変わかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベルヌーイ形微分方程式について／16.10.12］

詳細な式変形があるので、自分の間違いにすぐ気が付きます。大変に参考になっています。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／16.10.11］

複素数の定義 5−3iは複素数ではないのか。虚数となっている。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「複素数の定義」の右にある図で示されるように，複素数は実数と虚数から成り立っています．だから，虚数は複素数であり，実数は複素数です．･･･虚数と複素数とは「あれかこれか」の関係ではなく，西日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です．もちろん，実数と複素数も東日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です･･･（率直に言えば，この質問は想定外の質問です）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／16.10.10］

ありがとうございますわかりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／16.10.9］

一部の説明で灰色になっている箇所がありますが、見落としがちになったりしてしまうので、黒などの分かりやすい色で書いてあるとよりよくなると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこそこ対応できたと思います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理について／16.10.9］

例2の解答の8行目の sin2β=1－sin2β=1－14=34 は1－cos2βの間違いではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[等式の証明について／16.10.9］

いつも参考にさせていただいています。数ⅡB、式と証明、等式と証明、条件付き証明の例題2の答案3行目 (左辺)=(k^2a^2+k^2y^2+k^2z^2)は (左辺)=(k^2x^2+k^2y^2+k^2z^2)ではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／16.10.8］

答えが間違っている
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの答えがどう間違っているのかを連絡しないと，話が通じません

■［個別の頁からの質問に対する回答］[群数列について／16.10.8］

100項を求める時の nが14の時が91で15の時が105だと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．n-1に目が行っていたようで訂正しました（解答は変更なし）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[y=sin(θ−α）のグラフについて／16.10.6］

グラフの表の角度をπを使って分数でも表してほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭にあるサブメニューで次の項目，さらに次の頁が弧度法の表示になっています

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の３乗根ωについて／16.10.6］

三つ目の例の所なのですが、割り切れて、あまりは０、つまり答えは０になるのではないでしょうか？疑問に思ったので送らせていただきましたご説明とてもわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の式が間違っていて」解説になっていませんでしたので訂正しました･･･○眼の□眼の△視なので文字の大きさによっては，3と5と6が同じに見えていたようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[判別分析について／16.10.5］

変数3の数値が最も高いと書いてありますが、変数1の方が数値が高いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数値ではなく係数です．･･･「ここで行った例では，説明変数3の係数が最も大きく，説明変数３が群の判別に重要な役割を果たしていることが分かる．」→左の欄(2)にあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／16.10.4］

分からなかった所がわかりました。ありがとうございます。分数の場合のやり方も載せて欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分数の場合というのは「何が分数の場合」なのか話が通じません．係数が分数の場合なら特に説明するまでもないように思えますが，関数が分数の場合（分数関数になる場合）は境界線の描き方を数学Ⅱのこの教材の段階ではまだ習っていないと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.10.4］

問題の答え選択肢と答え合わせの方式、helpの出し方がすごくいいです。工夫されてますね。結構画期的です！感動この方法いいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.10.4］

苦手な範囲をわかりやすく解説付きで載っており回答も4択から選ぶだけなので手間をかけずにで来ました。今後も活用するかもしれませんがその時はよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.10.4］

特になし。素晴らしい解説ですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

b>■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.10.2］

こんにちは。22歳の大学2年生です。久しぶりに数学の力が必要になったのでどこかで復習できるところはないかと思っていたところこちらのサイトに出会いました。大変わかりやすくまとめられており、またそれが文章としても頭にすっと入ってきやすい形でまとめられていて、学生の頃勉強したことがみるみる蘇りました。ありがとうごさまいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同一直線上にあるための条件について／16.10.2］

読みやすさ理解しやすさ利用しやすさ三拍子揃っていて素晴らしい、公式もただ書いてあるだけでなく証明を１からまとめてあり、思い出せた、ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進法の演算について／16.10.2］

例1の問題が間違っています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．答が間違っているという話はよくありますが，問題が間違っているとは変わった話だな～と，ふと見ると，おお!!なるほど間違っています．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／16.10.1］

前か後ろの項との差で表される数列の和は中間の項が消えるというのは面白かったです。でも、例3で1/√(k+1)+√(k)＝√(k+1)-√(k)に変形できるのかがわかりませんでした。同様に例4でk(k+1)(k+2)＝{k(k+1)(k+2)(k+3)/4}-(k-1)k(k+1)(k+2)/4になるのかがわかりませんでした。変形後の式からは自力で答えにたどり着けるのですが、どうすればこの式通りになるのか教えてください。それともう１つ、【以上の要約】の１つ目の黒丸の文章で「簡単」が「間単」になっていました。ご訂正をお願いします。いつもありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．公開型のweb教材では，それが高校生向けの教材であっても，ある検索語句の上位に表示されれば中学生や７０歳の方が読まれる場合があります．そのような場合に，必要な前提知識（レディネス）が欠如している場合を想定しなければなりませんが，どこまでの欠如が想定内でとこからの欠如が想定外とみなすのかは，難しい判断です．
　例えば高校３年生で，数学Ⅲを選択していて，数学Ⅱと数学Bまでの単位を習得している生徒ばかりで，･･･のように均質集団の場合は，分数計算ができない，根号計算ができない，Σ記号の処理ができない，･･･とうことはないので，「前に習ったことは全部分かっているものとして」進めることになります．
　もし，そうしないとすると何が起こるか想像するだけで大変なことになります･･･１日目の講義は普通にできますが，２日目の講義は１日目の講義を欠席していた人にもわかるように２頁になり，３日目の講義は３頁，365日目の講義は365頁の講義になりますがそのような講義は物理的に１時間で聴くことはできません．
　ただ，ここでは「分数式の変形について途中経過を詳しく」という要望に絞ることができますので対応可能です．数日必要です．
　間単は簡単に直ります．（この漢字変換システムは，結構冗談が多い？）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.9.30］

３次式で割ったやつがないです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．３次式で割ったときの余りの求め方を述べても４次式で割ったときの，５次式で割ったときの余りは･･･となってイタチごっこになります．ここでは，何次式で割った問題が出ても「一般して対応できるだけの力が付くように」順を追って解説しているつもりですが，特に３次式で割った余りに即答しなければならないのでゆっくり考えている時間がないというような事情がありますか．
　あなたの場合は，２次式で割ったときの余りの求め方を約10秒しか見ていませんが，そこに一般に何次式で割ったときでも求められる方法が書いてあると思いませんか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／16.9.28］

重なっていること。　記号が読みずらい。解答の時に記号と記号が重なっていること。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたが使っておられるFirefoxで点検しましたが，解答欄と記号が重なるということはありえません．ただし，Firefoxでだけ他のブラウザと異なる作動になる箇所があって，解説と解説が重なることはあったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／16.9.27］

解説をもう少しわかりやすくしないと理解できない人もいると思います。この分野が苦手な友人に勧めたらわからないと言われてしまいました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁で扱っているテーマは逆三角関数の微分法なので，三角関数が分からない場合はその頁に戻り，三角関数の微分法が分からない場合はその頁に戻り，逆三角関数が分からない場合はその頁に戻らなければならないと考えますが，いずれも分からないままにこの頁をやるのは無理です．公開型ｗｅｂ教材でそこまで，ことさらに事実を強調して，読者の気分を害しても誰に何のメリットがあるのか疑問あり．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／16.9.27］

平方根、立方根あたりの計算になると、もう少し説明が必要に思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．累乗根を分数（有理数）の指数に直す練習は累乗根を分数（有理数）の指数に直す練習の頁でやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.9.26］

勉強したい単元を集中してでき、とても良いです。携帯で勉強できるのは、汽車の中など机がないところや立っている時でもできるため、とても便利で、少しの隙間時間でも解くことができとても良いです。解説が出た時に次の問題とかぶって読みにくいことと、間違えた時に正答が出ないことが改善ポイントかなと思いました。苦手だった単元がわかるようになり、とても嬉しいです。今後も利用しようと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者の機器では解説と次の問題がかぶるということはありませんが，いろんな機器がありますので，オバーフローしたときに対応できるようにしました．
次に，間違ったときに答えが出ないことについて．ヒントボタンをクリックして少し考えるようにしてあります．さらにそれでも分からないという場合でも，四択なので残り３回までで必ず正解には達するはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数不等式について／16.9.26］

センターの過去問で対数不等式の真数に定数aが含まてれいる問題があり、解けず悩んでいます。解説があると有難いです。因みに以下のような問題でした。 aを定数とする。不等式 log2(x-a)+log2(x-3)+log1/2(4-4a)＜0・・・(＊) が成り立つようなxの値の範囲を求めよう。以下誘導形式の穴埋め問題でした。どうかよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題が間違っているので，（問題を写し間違っているので）解けないのです．（第１項の符号に注意）
$\log_{2}(x+ a)+ \log_{2}(x-3)+ \log_{\frac{1}{2}}(4-4a)\lt 0$
真数条件から $x\gt -a,\hspace{10}x\gt 3\hspace{10}a\lt 1$ …(*)
第３項を底の変換公式を用いて底を２に揃える
$\log_{2}(x+ a)+ \log_{2}(x-3)-\log_{2}(4-4a)\lt 0$
$\log_{2}(x+ a)(x-3)\lt \log_{2}(4-4a)$
$(x+ a)(x-3)\lt (4-4a)$
$x^2+ (a-3)x+(a-4)\lt 0$
$(x+ a-4)(x+ 1)\lt 0$
とりあえず， $-1$ と $4-a$ の間と見ておく
(*)から $-1,\hspace{10}-a,\hspace{10}3,\hspace{10}4-a$ の大小関係に応じて共通部分を答えにする．
1) $a\lt -3$ のとき $-1\lt 3\lt -a \lt 4-a$ の順に並ぶから

$-a\lt x \lt 4-a$

2) $-3 \underline{\le} a\lt 1$ のとき $-1\lt -a\underline{\le} 3 \lt 4-a$ の順に並ぶから

$3\lt x \lt 4-a$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.9.26］

ヒントが、とても分かりやすくて良かったです。有難う御座いました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／16.9.26］

問の2,4の符号がおかしい気がします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの考えを書かないと答えようがありません．

■広島[えびすさん／16.9.25］

正弦定理（解説）「（角度が大きいと辺も大きい）　右図のような三角形を描いてみると、3つの角度の中でAが一番大きいとき」の右図の直角三角形と説明内容が、いまいち理解できません、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Aが大きい図になっていないということで，文字を入れ換えました．

■?[ごーちゃんさん／16.9.25］

大変わかりやすくて助かっています。ご指摘になりますが、数Ⅰ・A 、集合・命題・証明、受験向き:集合・条件の問題9のヒントの「捜査の範囲を絞ります」以降の「必要条件」「十分条件」が逆ではないでしょうか。確認よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
「ｐ→ｑ」が成り立つとき，ｐはｑであるための十分条件であるといい，ｑはｐであるための必要条件であるという．
「ｐ←ｑ」が成り立つとき，ｐはｑであるための必要条件であるといい，ｑはｐであるための十分条件であるという．
そこで，「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」→「Ａ⊃Ｂ」となるから，「Ａ⊃Ｂ」は「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」であるための必要条件です．…(*1)
次に，「Ａ⊃Ｂ」→「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃとなる」が言えるから，「Ａ⊃Ｂ」は「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」であるための十分条件です．…(*2)
（必要条件）（十分条件）と書いている場合には，最後の式が初めの式の何条件であるかを表しています．
ところで問題では，「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」となることは「Ａ⊃Ｂ」であるためのとなっているので，問題との関係では反対になり，結果は必要十分で一致します．
論述の部分を逆さまに書くことはありえないので，問題文と照合する一文を加筆しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号　Σ（シグマ）に慣れようについて／16.9.25］

問題１の４番目の答えが待ちがってます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$\sum_{k=2}^4(k-1)$
は $k-1$ に $k=2\hspace{10},k=3\hspace{10},k=4$ を代入したときの式の値を足したものになりますので
$1+ 2+ 3=6$ になります．
　あなたはどう考えたのか，自分の答えも書きましょう．（それを書いていないので誠実さがダウンして見えます．待ちがって→間違って，よく使う漢字がこんな文脈からばれやすいので投稿のまえにチェックすべし［筆者もな］）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積について／16.9.24］

エーベクトル➕ビーベクトル＝エービーベクトルになるんですか？？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が通じません．
　この頁は，成分で表されたべクトルの内積の求め方を扱っています．もしベクトルの和差のことを聞いておられるのなら，先頭のサブメニューに従ってベクトルの和差の頁を見てください．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{A} + \vec{B}=\vec{AB}$ ですかと尋ねておられるのなら，高校では大文字１文字は点を表すときに用いるので，左辺のような記号は使いません．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{a} + \vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}$ ですかと尋ねておられるのなら，ベクトルの和と内積は別のものです．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{a} + \vec{b}=\vec{AB}$ ですかと尋ねておられるのなら，そうではありません．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／16.9.22］

エクセルの使用例までわかりやすく解説されているので、実用的だと感じました（過去に見た参考文献の中には、指定するセルがわかりづらいものもありました）。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.9.22］

とても考え方や解説など、とても解りやすく、また例題もあるため身に付けやすく助かりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同次形微分方程式について／16.9.22］

詳しい解説をありがとうございます。自分の計算ミス・不注意なミスが良くわかります。とても勉強になります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[点の存在範囲について／16.9.21］

イメージが掴めました。ありがとうございますヽ(´ー｀)ノ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号Σについて／16.9.20］

一問一問問題を解いていけるのが良い。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[変数分離形微分方程式について／16.9.20］

数検１級　微分方程式がわからいなので、こちらにたどり着きました。　丁寧な説明でとってもよくわかりました。ありがとうございます。もうすぐ定年オヤジでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.9.19］

■問題３　次の式を展開せよ． [ 第3問 / 全3問中] この時に、［採点する］のところがクリックしても反応がほとんど無く、回答がなかなか出来ませんでした。連打すると稀に反応してくれます。このページの他の問題に関しては、この症状は出ませんでした。当方、osはwindows10 ブラウザはMicrosoft edgeです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．edgeで点検しましたが，特に不具合は見当たりませんでした.

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値について／16.9.18］

自分で解く問題について、helpを付けてほしいです。特に・・・グラフを利用する方法・・・以下の問題についてお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いてあるグラフがそれなりのヒントですが，全部まで書いてしまうかどうか考え中です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法について／16.9.18］

将棋、k、k＋１、もちろん文章も非常に良くできていると思います。他のサイトも検索しましたがトータルで一番解り易いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数のグラフについて／16.9.18］

y=cos2（x-π/2）のグラフとy=cos（2x-π/2）のグラフの違いがわかりません。教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．11番目の問題の解説にありますように
$y=\cos2(x-\frac{\pi}{2})$
のグラフは $y=\cos2x$ のグラフをｘ軸の正の向きに $\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したものです．このように変数ｘの代わりに何を使っているかによって判断するのが基本です．
　そこで，
$y=\cos(2x-\frac{\pi}{2})$
のグラフは
$y=\cos2(x-\frac{\pi}{4})$
に書き換えて判断します．つまり， $y=\cos2x$ のグラフをｘ軸の正の向きに $\frac{\pi}{4}$ だけ平行移動したものです．
※ $y=a\cos bx$ のグラフをｘ軸の正の向きにｐ，ｙ軸の正の向きにｑだけ平行移動してできるグラフの方程式は，次のようにして考えます．
　元のグラフ上の点の座標を $(x,y)$ ，移動してできる新しいグラフ上の点の座標を $(X,Y)$ とおくと

$y=a\cos bx$ …(1)
$X=x+ p$ …(2)
$Y=y+ q$ …(3)
(2)(3)から $x=X-p,\hspace{10}y=Y-q$
これらを(1)に代入して旧座標を消去すると新座標だけの方程式ができる．
$Y-q=a\cos b(X-p)$
すなわち
$Y=a\cos b(X-p)+ q$
習慣に従って $(x,y)$ で書くと
$y=a\cos b(x-p)+ q$ …(*)
このように(*)の形の方程式（グラフ）が元の方程式（グラフ）(1)をｘ，ｙの向きにどれだけ移動したかを調べるためには，ｘの代わりに何が，ｙの代わりに何が代入されているかを調べなければならないので
$y=a\cos (bx-p)+ q$ …(**)
の形では判断できず，(*)の形で判断しなければならないということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[統計データの種類，尺度水準について／16.9.17］

非常に分かりやすかったです。勉強になりました。ありがとう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[データの代表値について／16.9.15］

エクセルを使わなくてもできるようなデータの数が少ない例題を用意しておいて欲しかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数,対数関数の導関数について／16.9.15］

かなり良い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列と一次変換について／16.9.15］

行列の各列の意味がよく分かりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[主成分分析について／16.9.15］

主成分分析、実際の作業（エ）、3節目の「相関係数行列の固有ベクトルを求める」の説明の「図のC19に　=MMULT(B14:D16,B19:B21）」の関数のパラメーター2つ目の引用が2乗の式を引用しているが、係数そのものの「A19:A21」ではないか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Excelを使って行列の積を求める方法はこの頁の下の方にある（■参考■）　Excel を用いた逆行列の計算にあります．･･･ワークシート上で「配列」を作る方法です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／16.9.13］

説明が難しすぎてよくわかりませんでした。苦手な人にもわかりやすい説明を希望します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．YAHOO! から「三角比相互関係」で検索するとその頁が検索上位に来ますが，頁の先頭に注意書きで書いていますように「前提となっている内容が分からない」という場合にはサブメニューのもっと前の頁から見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内分点，外分点の位置ベクトルについて／16.9.12］

中点についてよくわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．初めの方に「特に」の続きに書いている説明そのままの問題です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点を結ぶベクトル（有向線分）の演算について／16.9.11］

すごくわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.9.11］

ずっとわからなかったけれどわかるようになりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／16.9.8］

英数が読みずらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．公平に言えば，この頁のブロック字体のフォントはきれいとは言えませんが，読み間違うことはないでしょう．人によっては，こちらの方が見やすいかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式の練習問題について／16.9.8］

三角関数の和積の公式の練習問題を増やしてくだされ(°_°)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．積和，和積で３つある教材の内で１つの頁を見ておられるようですが，他に２つありますのでそちらも見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／16.9.7］

独立試行の確率・反復試行の確率の問題で、ここに掲載されている問題以外でもっと難しいのはありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もう少し難しいのはセンター試験問題（過去問）にありますが，さらにとなると各大学の２次試験問題を検索で調べられるとよいでしょう．ただし，ただ難しい問題をやっていればそれだけ偉くなったなどと考えてはいけません．どれだけ身に付いたかも重要です．さらに，根本問題として「数学では知識を関連付けて考える」ことが重要で，１点だけ深い知識があってもあまり力にはなりませんので，広い範囲をやる中で個別にも深めていくというスタイルで臨むとよいと考えられます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／16.9.8］

全体的にはわかりやすかったです。ベン図は良いですが、文章の並びが多少、左右分かりにくかったです。また、p⇨q の真偽について、前原昭二先生の『記号論理学入門』に挑戦しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ほとんどの頁は携帯版も作っていますが，その頁はまだPC版だけだったようです．数日中に携帯版も作ります．
筆者の赤い表紙の本は「つんどく」になったままになっていたような･･･．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式の証明2について／16.9.7］

下部　問８（１）の候補は空欄外の「+（6y）＾2+3」まで入っており不自然に感じます。全体的なステップはとても分かりやすく参考になりました。しかし計算部分の大半が記されており、このページの問題の勉強には向かないように感じました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問８（１）の問題と選択肢は整合的になっていませんでしたので，訂正しました．
（後半について）作者の迷いを鋭く突いておられるので感心しました．実際のところ，紙ベースで試験をしていても「証明問題」の採点は大変です．
　証明問題の答案では，ありとあらゆる段階で思い違い・間違い・記号用語の違いなどが混入します．よくない言葉ですが「目くそ」と「鼻くそ」のどちらがどれだけ汚くないかを客観的な検証に耐え得る数値として示すのは無理で，部分点の採点基準として「ここまで書いてあれば何点」とする採点方法では，死んでいる答案の残りの部分が生きている場合の取り扱いなどを一律に決めることは無理になります．（間違った前提の上に，その前提から導かれる嘘の内容が延々と書かれている場合の取り扱いなど）
　このようにして，証明問題の採点では「完全解答以外は零点」とするのが客観的な検証に耐え得る唯一の方法となりますが，これによって単位不認定・原級留置となった生徒が少なからずいるのではないか．とすれば，証明過程をスモ－ルステップの書き込み問題にすることには一定の意味があるのではないか．特にWeb上での採点となると，自由記述の証明答案に対して，それが「目くそ」であるか「鼻くそ」であるか「どのくらい汚いか」を判定する技術は筆者はまだ持ち合わせていません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般角について／16.9.6］

ipad mini を使用して問題を解いていたら問題画像がバグって出ました。一応確認お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．管理人はiPad miniを持っていませんので，その環境での点検はできませんが，Windows上のsafariとiPhoneでは問題なく作動します．
「問題画像がバグって」と書いておられますが，あなたがこの教材を読まれた７分余りのうちでほとんどの時間を［例］を読むことに費やしておられ，しばらく先頭の図に戻っておられます．問題自体は５秒も見ておられないようですが??

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.9.4］

解説がはみ出てしまいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者の方では，Mac上のFirefoxの作動確認はできません．Windows上のFirefoxでは問題ありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.9.2］

中学生ですわかりやすくて楽しかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転移動の１次変換について／16.9.1］

解り易くて、よいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／16.9.1］

TTESTorT.TEST関数についてもう少し解説が欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．メニューから別の教材を見ていただくとよいかと思います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／16.8.31］

大変素晴らしい、ありがとうございます。他のページへのジャンプがいっぱいあれば、なおよいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC版の方は画面が大きいので「メニューに戻る」などが自由に選べると思いますが，携帯版の方は移動が大変なので現在書き換え中です．「

■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理関数について／16.8.31］

問題2の y=√x-2+3 の答えが不服
＝＞［作者］：連絡ありがとう．詳細が分かりませんので，今までに出会った高校生に多かった傾向からの予断と偏見から答えますが， $y=\sqrt{x-2}+ 3$ のグラフについて，ｙ方向（上に） $3$ だけ移動するということを間違う人はめったにませんが，ｘ方向（右に） $-2$ だけ（左に $2$ だけ）移動すると考える間違いは結構多くあります．もう一度「無理関数のグラフの平行移動」(1)の解説を読んでください．
ｙだけ見た目のままでｘは見た目と逆に動くのは「不公平だ＃＃」という#正義感#は悪魔の誘惑です．例えば， $y=\sqrt{x-2}$ は（根号内が0以上でなければならないので）x<2のとき定義されず，x≧2の場所にだけグラフがあります．

■東京都[元素太郎さん／16.8.31］

どこに送れば良いのか迷いましたが、数Ⅱしかここではやっていなかったので・・・今年の8月中に指数関数と対数関数、微分、積分のそれぞれ項目の一部の頁をしっかりとやり、問題も一頁分全ての問題を解いたりしたのですが、自分の最近完了した頁数が全く更新されず数Ⅱで1頁だけしかやっていないという記録になっています。どうすればやったとカウントされるのでしょうか？万が一学習の記録が壊れていた場合どうすればいいのでしょうか？いつも勉強の助けになり感謝しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．トップメニュ－の下端に赤字で学習の記録をリセットするボタンを作っていますので，それを押してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分で定義される関数について／16.8.30］

いつもお世話になっております。定数をkとおいて関数f(x)を求める問題の事で教えて頂けますか？例題を取り上げて申しますと、「関数f(x)を求めなさい」ときかれたら、その時点で ∫(上端2)(下端0)f(t)dtは定数だと決めても大丈夫なのでしょうか？どのような場合に定数と決めても良いのかはっきりとした見分け方があるのかどうか教えて下さい。基本的なことですみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．結論から言いますと，「上端と下端が定数であるような定積分はつねに定数になります」．

関数F(x)の微分がf(x)になるとき
すなわち， $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)\leftarrow \rightarrow \int f(x)dx=F(x)+ C$ のとき
(1)　不定積分は関数です．（積分変数に依存します．）
$\int f(x)dx=F(x)+ C, \hspace{5}\int f(t)dt=F(t)+ C$

【例】 $\int 2xdx=x^2+ C, \hspace{5}\int 2tdt=t^2+ C$

◎(2)　上端と下端が定数であるような定積分はつねに定数になります．
$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a), \hspace{5}\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$

【例】 $\int_0^2 2xdx=2^2-0^2=4, \hspace{5}\int_0^2 2tdt=2^2-0^2=4$

(3)　積分区間の上端が変数であるような定積分は不定積分と同様に関数になります．
（この場合は話が混乱しないように積分変数と上端に使う変数を変える方がよい）
$\int_a^x f(t)dt=F(x)-F(a), \hspace{5}\int_a^t f(x)dx=F(t)-F(a)$

【例】 $\int_1^x 2tdt=x^2-1, \hspace{5}\int_1^t 2xdx=t^2-1$

(4)　積分区間の下端が変数であるような定積分は上記の関数と符号が逆になります．
（この場合は話が混乱しないように積分変数と上端に使う変数を変える方がよい）
$\int_x^a f(t)dt=F(a)-F(x), \hspace{5}\int_t^a f(x)dx=F(a)-F(t)$

【例】 $\int_x^1 2tdt=1-x^2, \hspace{5}\int_t^1 2xdx=1-t^2$

※(2)(3)(4)において，定数a, bを代入したものF(a), F(b)は定数です．これがポイントです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法とはについて／16.8.30］

とてもわかりやすくて為になります。数学的帰納法だけでなく、一般的な帰納法などの説明があるところも有り難いですm(*_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／16.8.30］

気にいった所 : 例1の運転免許の解説が非常に分かりやすかったです
わかりにくい問題 : 問題6と7。「今日」というのが現実世界で一意に定まる「今この日」のことを指しているのか、それとも一般的に「とある任意の日」のことを指しているのかが分からなかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題6の方はhelpにも書いていますように，ある日でも可能です．問題7の(2)は，読者がこれを昨日，明日，先月あるいは来月読んでいたらどうなるのだろうと考え出すと迷うかもしれませんので，今のあなたに絞るよう加筆しました．（実際には真→真の組合せしか出ないようになっていますので真になります）．(3)も同様にして，偽→偽の組合せしか出ないようにプログラムされていますが，迷わないように加筆しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の値(270゜～360゜) について／16.8.29］

And not nor 論理回路　ぶれっくboard　pic nic の組み込み用　C言語　コンパイル　アセンブラ　に利用してます。助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半はそちらの専門分野のようで筆者には分かりませんが，後半はなつかいし話です．アセンブラの方は真っ暗な画面の中で死ぬほど書かないと１つの仕事にならないとか，前方参照禁止とか苦労が多いなという記憶があります．２０年ぐらい前のゲームはアセンブリ言語で開発していたようでプログラマは大変だとかいう噂でした．
筆者の方はCをやっていましたので，javascriptをやるようになってもCのコードをそのまま書いています．（カーニハン・リッチ風ではないが･･･）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／16.8.29］

aのn乗根だとx^n=aを満たす数という風になり、a^(1/n)とならないと思います（1の4乗根は1,-1,i,-iの4つ）たしかn乗根aという方がよりそちらに近い気がします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに，初めの方は記号を紹介する上であいまいな用語になっていますが，数学Ⅱのこの段階でド・モアブルの定理を持ち出しても読者が分からなくなるばかりです．
「n乗根a」と言い換えればという話は，教科書や参考書でメジャーな使われ方ではないだけでなく， $\sqrt[n]{a}$ のような記号や「n乗根a」のような用語が，多価関数を表すか１価関数を表すかは，この記号，用語が使われている文脈によって変わります．
$\sqrt{i}=\pm \frac{1+ i}{\sqrt{2}}$ ←多価関数として使っている場合には，こういう意味になることがあります．
「※以降」に述べていますように「このページでは，以下においてａ＞０のみ扱います。」として，累乗根の内の第１象限にある部分だけを扱っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／16.8.28］

今学習しているところ、効率よく学習をする上でのポイントをしっかり書いてあって、分かりやすく説明しているのでとてもいいと思います。問題も○×がすぐわかり、解説もしてくれるので、とてもいいです。これからも利用させていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題をやり，必要に応じて解説に立ち返る学習方法は，このサイトの一番良い利用方法だと考えています．

■神奈川県[?さん／16.8.26］

剰余定理について勉強しています。大変参考になりました。高校数学のウェブサイトであることは後から知りました。大変素晴らしいウェブサイトだと思います。今後も利用させていただきます。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.8.25］

問9について。 "すべてのCについて"○○となることは、△△であるための～。というのはあるCのときに○○が△△になれば、他のCのときに関係が成立しなくても、○○→△△という関係になると解釈してよろしいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言葉通りに答えると，「そうではありません」．この問題の解き方として，「すべてのＣについて○○が成り立つ」に対して「あるＣについて○○が成り立つ」は必要条件です．

他の例１：「どんな実数cについても(c+a)2≧b」が成り立つとき，「特定の都合の良いc=−aを持ってきても(c+a)2≧b」が成り立つはずだから「0≧b」が成り立つはずです．だから「0≧b」は必要条件です．
しかし，「0≧b」ならば，「どんな実数cについても(c+a)2≧b」が成り立つかどうかは，別途調べてみなければなりません．
そこで，十分性について検討してみると，「どんな実数cについても(c+a)2≧0≧b」が成り立つことが言えるので，結局「どんな実数cについても(c+a)2≧b」に対して「0≧b」は必要十分条件であることが証明できたことになります．

他の例２：「どんな集合Cについても(A∪C)⊂(B∪C)」が成り立つとき，「特定の都合の良いC=φ（空集合）を持ってきても(A∪C)⊂(B∪C)」が成り立つはずだから「A⊂B」が成り立つはずです．だから「A⊂B」は必要条件です．
しかし，「A⊂B」ならば，「どんな集合Cについても(A∪C)⊂(B∪C)」が成り立つかどうかは，別途調べてみなければなりません．
そこで，十分性について検討してみると，問題９のヒント図のような一般的な集合図を描きA⊂BとなるようにするとAのうちでBの外側にある２か所がないことになり，「どんな集合Cについても(A∪C)⊂(B∪C)」が成り立つことが言えるので，結局「どんな集合Cについても(A∪C)⊂(B∪C)」に対して「A⊂B」は必要十分条件であることが証明できたことになります．

※元の問題では，C=∪を持ってきているのに，なぜ上の例ではC=φの場合を考えるのかと疑問に持たれるかもしれませんが，それはやってみてよい結果が得られたものだけを答案に書いているからです．
元の問題：どんな集合Cについても(A∩C)⊃(B∩C)」が成り立つときに，C=φの場合を考えても，φ⊃φという自明の結果が得られるだけなので，これはスルーします．
また，「どんな集合Cについても(A∪C)⊂(B∪C)」が成り立つとき，C=∪（全体集合）を持ってきても∪⊂∪という自明の結果が得られるだけなので，これもスルーします．このようにして，都合の良い結果が得られるものだけを答案に書きます．

この論理（「すべてのＣについて○○」に対して「あるＣについて○○」は必要条件になり,これを利用すれば捜査の範囲を絞ることができるということ）は慣れないと難しいので，元の問題のヒントに加筆しておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[一般角について／16.8.24］

言うことなしの最高です！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／16.8.24］

学習からのミニテストでの習得率の増加は素晴らしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対偶証明法と背理法について／16.8.23］

背理法例５について。なぜ、n/mが互いに素という仮定をつけていいのかがよく分からないのですが、例えば入試にこれが出てきて問題を解こうとするとき、解答者がn/mに互いに素という条件をつける意図は何なのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．整数の比で表された分数は，もし約分できるものなら約分した形で考えることができます．これが「互いに素」という仮定の意味です（約分しない形のまま扱っていたら分母と分子が確定しません．）
たとえば， $\sqrt{2}=\frac{14142}{10000}$ のまま使うと $n=14142,m=10000$ とすることになりますが，こんなことが許されるなら $n=28284,m=20000;\hspace{10}n=42426,m=30000,\cdots$ もすべてできることなり，ｎ，ｍが定まりません．この分数では $\sqrt{2}=\frac{7071}{5000}$ としてｎ，ｍを確定する必要があります．
本音を言えば，高校生なら誰でも知っているように， $\sqrt{2}=\frac{141421}{100000},\frac{1414213}{1000000},\frac{14142135}{10000000}\cdots$ が有限個の桁で等しくなるとしたら，その約分した結果のn/mについて両辺を２乗したら「分母も分子も2の倍数でなければならないことになるのは矛盾である」という理屈です．
そこで質問を振り返ってみると，n/mが互いに素という仮定を付けないと（既約分数でないものでもそのまま使っているとすると）ｎ，ｍが定まらないことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の交点を通る直線の方程式について／16.8.23］

(1)において，2k+1=0 かつ k－7=0 とはならないから　の部分ですが，「k-2=0」の間違いではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数の導関数について／16.8.23］

問題関数y={x－(1/x)}^4の解説の計算結果が間違っている分子の(x－1)^3➡(x^2－1)^3 一応、導関数の選択肢の方は正しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／16.8.23］

三角関数の合成との違いを教えてください！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
○２つの三角関数 $f(x)=\sin x$ と $g(x)=\cos x$ の合成関数 $f\circ g(x)$ すなわち $f(g(x))$ とは $f(x)$ の $x$ の代わりに $g(x)$ を代入したもので
$f\circ g(x)=\sin(\cos x)$ になります．
同様にして， $g\circ f(x)=\cos(\sin x)$ ， $f\circ f(x)=\sin(\sin x)$ ， $g\circ g(x)=\cos(\cos x)$ になります．
○これに対して，「三角関数の合成」は２つの三角関数 $\sin x$ と $\cos x$ の１次結合（=定数倍の和差） $a\sin x+ b\cos x$ が１つの三角関数で表されることを示したもので
$a\sin x+ b\cos x=\sqrt{a^2+ b^2}\sin(x+ \alpha)$ （ここに $\alpha$ は $\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}},\hspace{10}\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}}$ となる角）
または $a\sin x+ b\cos x=\sqrt{a^2+ b^2}\cos(x- \beta)$ （ここに $\beta$ は $\cos \beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}},\hspace{10}\sin \beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}}$ となる角）
になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[等比数列の和について／16.8.19］

わかりやすくていろんなパターンがあってありがたかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内接円の半径について／16.8.17］

問題１の二番の答が違う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．はじめに書いてありますように[?]をクリックすると解説が出ます．特に不具合はありません．あなたが正しいと考える答えはいくらなのか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[接線の方程式について／16.8.17］

僕は中学生ですが、いつもこのサイトで楽しく学習させて頂いています。問題(5)の答えを入力する欄が3,4桁の答えにしては少し狭いように感じました。最初、欄の大きさからして本当に3,4桁の答えなのかと戸惑ってしまいました。問題(6)のような少し大きめの欄を作って頂ければうれしいです。また、例題(3)の(Ｂ)の実演のp^3＝1がp３＝1になっていました。些細な点ですがどうぞよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いずれも訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの実数倍について／16.8.17］

ベクトルの実数倍のページの要点のところで、何倍かではなくk倍だと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．より正確さを目指せば，ご指摘のような表現になりますが，ｋ倍にはなりません．次のようには言えないことに注意してください．

ベクトル $\vec{a}$ の実数倍 $k\vec{a}$ は $k\lt 0$ のとき $\vec{a}$ を逆向きに $k$ 倍したものである．

k自身が負の数だから，正確には次のように言わなければなりません．

ベクトル $\vec{a}$ の実数倍 $k\vec{a}$ は $k\lt 0$ のとき $\vec{a}$ を逆向きに $\mid k \mid$ 倍したものである．

ところで当サイトの読者層はまちまちですが，その頁は結構な（相当な）基礎・基本の頁で，その頁を読んでいる人はその項目が「分からないから」「自信がないから」読んでいると想定できます．･･･学習塾の講師が教材を収集しているような場合を想定する必要はありません．そうすると，「絶対値記号を使うことによって頭がパニックになって投げ出してしまう人の比率」「あなたのように倍率は自由に指定できるのかと読める余地があると考える人の比率」のどちらが多いかを考えなければなりません．この頁の読者で $-3\vec{a}$ を2倍でもよいのかと勘ぐる余裕のある人がそれほどいるとは思いにくいです．
　内容的にはその上に例を使って書いているので間違う心配はないのですが， $\mid k \mid$ 倍と書く方がストンの頭に入るかどうかの判断になります．（表現から受ける不安定な印象が強い場合には $\mid k \mid$ 倍を加筆することになりますが･･･）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸近線の方程式について／16.8.16］

エックスが入力認識しません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁でアルファベットの入力を要するのは最後の問題ですが，問題の初めに書いていますように「空欄にはスペースを使わずに半角のアルファベット小文字または数字だけを使用する」ようになっています．
どのブラウザを使われたのか書かれていませんが，ChromeやSafariでは，上記の注意書きに沿って入力する限り問題なく認識します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数不等式の解き方について／16.8.15］

よかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁では「画面上でグラフを描く」ために，筆者もそれなりに苦労したかもしれない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸近線の方程式について／16.8.15］

答えがでない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

計算を押せば99％まで答案が示されます．残り1％はあなたが考える番です．全部まで筆者が教えてしまったら良くないので，読者が考える余地を残したというのがこの頁の構成です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式、分数関数、無理関数の不定積分について／16.8.15］

無理数の数式が一切表記されません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．無理関数の表示を定義している関数名と定義の書かれたファイル名がずれてしまいました･･･余計なことに労力を使わせて申し訳ないことです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.8.15］

p→q を、p⇒qに、した方がいいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．→と⇒はどちらも使うのに対して，その逆向きはコンピュータ上では，←は使えるのに対して二重矢印は環境依存文字（機種依存，フォント依存）となっています．だからこの頁のように両方必要な場合に，二重矢印では毎回図を使わなければならない煩わしさを伴います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／16.8.13］

「2辺とその間にない角が与えられたとき」の問題は大学入試に出ることがあるのでしょうか？あるなら例題を交えてどの値を求めることがあるのか、また、三角形を２つ描くとはどういうことなのか教えて頂きたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正弦定理の解説の例２，正弦定理の問題でa,B,A; a,b,B; b,c,Cのように辺と角の１組と他の１辺が与えられた問題，余弦定理の２次方程式でa,B,Aのように辺と角の１組と他の１辺が与えられた問題がこれに該当します．
　教科書や定期試験に普通に出る基本問題なので，大学入試にはそのままの形で単独で出題されることは少ないでしょう．しかし，少子化のために私立大学の40％が定員割れしているという現実から考えると，教科書程度の基本問題でも大学入試に出ることがあるかもしれません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数が対数のものについて／16.8.11］

すごいわかりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／16.8.10］

表すが正しい送り仮名です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この問題については以前にも回答しています．参考までに，文部科学省「送り仮名の付け方」では，

許容　次の語は，(　)の中に示すように，活用語尾の前の音節から送ることができる。表す(表わす)　著す(著わす)　現れる(現われる)　行う(行なう)　断る(断わる)　賜る(賜わる)

と例示列挙されています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[位置ベクトルの応用について／16.8.10］

数Bのベクトルを最初から順番にやっていて、今、ベクトルの図形の応用(2)をやっているのですが問題1までわかるのですが、問題2から、突然「→」の無いアルファベットが問題に登場してきて、HELPを見てもよくわかりません。（「内分点の公式」が初耳だったり。）今までの問題はすんなり解けました。私だけがきちんと理解できてないだけかもしれませんが…＞_＜問題2の前に、この問題を解く為の、要点&解説を作って欲しいです。すごく良いサイトに見つけることができて良かったなと感じています。お世話になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題は「次の各点の位置ベクトルを， $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ で表しなさい」となっていますので，大文字１つで書かれているP, Q, R, S, Tは点の名前です．この約束事は中学校以来同じものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／16.8.10］

問10や問12など組み合わせの公式や同じものがあるときの順列の方法はこの項までにはまだ習っていないので、思いきって、それぞれの項の問題に入れてみてはいかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このサイトの読者は現役：1/3，上級生：1/3，社会人：1/3の割合ですので，復習対応にでも使えるようにしています．
前後関係に気を遣うのは，実数しか習っていない生徒に複素数の話をするとき，微積を習っていない生徒に微積の結果を使うときなど，長いスパンでの逆行がある場合です．順列と組合せ程度の逆行は（1週間程度の時差ですので）１つの定期試験の中で相前後して扱われ，結果的に円順列の中で組合せの考えを使った問題を全く含めないと，定期試験で生徒が出会う問題が扱えないことになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／16.8.10］

じゅず順列の例題に四種類の宝石を「１つずつ」使っての文言を足すべきかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．業界の習わしとして「種類」というときには個数の制限を意識しないようですので4個に変更しました．･･･チェックもれです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／16.8.10］

ここでは円の方程式のことについて説明しておられまきたが、円の方程式は実際に生活の中で使われているのですか？身近で使われていなくても、どういう時に使われているというのがあれば、教えてください。
＝＞［作者］：

連絡ありがとう．他のところで，中学生ということで同じ質問をしておられますので，こちらでまとめて答えます．
幾つかの例があれがそれを並べると納得してもらえるのですが，ほとんどすべての分野で登場するため，とても列挙できないのが実態だと思います．ただし，「生活の中で」となると，方程式そのものを目にするかどうかは，その人が何を扱っているのかにもよります．
例えば，「中心から半径○○ｋｍ以内は暴風圏です」とか「半径○ｍには立ち入らないでください」のような災害や安全に関する情報が提供される場合，一般人が円の方程式そのものを使って自分で判断することを要求されることは少なく，日常生活では○○県◇◇市は該当するかどうかという「結果」が示されます．このように，本当は円を使って東経何度北緯何度を中心とする半径○ｋｍの円を描いて計算していても，生の計算を一般人に要求される場面は，さほど多くはありません．
他の例でいえば，左図のような動物が逃げていくときに，こちらからボールを投げて「当たったことにする」かどうかを中心からの距離で決める場合には，プログラムを作る側は半径がある値よりも小さければ合格，そうでなければ不合格としますが，ゲームをする側は円の方程式を意識しておらず，結果だけを見ています．
ある事柄を使う方法が，全国一律に決まっていないような文化や心理の内容を扱う場合には，研究者ごとに距離を定義して分析する場合もあるでしょう．例えば，ある中学校で国語，数学，英語の得点が(x, y, z)である生徒について「得点のよく似た卒業生がどこに進学したか」を調べるために，２人の得点の近さ（距離）を
$r=\sqrt{(x-a)^2+ (y-b)^2 + (z-c)^2}$ で定義して，そこそこ近い範囲としてとりあえず $r\lt 10$ などから調べて(a, b, c)に該当する卒業生を調べるとよいことになります．（普通は，生徒にはそんなデータは見せてもらえませんが，ここでは距離の概念は何にでも使えて文化の分野でも使えるということの例として述べています）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／16.8.10］

メニューバーが一番下に表示されており、探すのに時間がかかりました。上にあるとより良いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材を作った当時，メニュー（トップメニュー）に戻るというリンクをどこに設置するかについて迷いがありましたが，読者はメニューをたどってくるだろうと想定していましたので，いきなり「お帰りはこちら」では気分を害するかなという判断で，メニューに戻るを下端に置いたように記憶しています．現在では多くの頁で，あなたのようにGoogleから直接来られる方があり，ブラウザの機能としての「戻るキー」ではメニューに戻れないということは認識していますが，ほとんどすべての頁でこの形式になっているため，気が付いた時に直すとして，上端にもメニューに戻れるようにリンクを付けるには，数年かかります．とりあえず，要望のあった頁には付けました．
　サーチエンジンから直接来られた場合に，上端にメニューに戻るリンクを置くメリットがある場合としては，「見てもわからない=難しすぎる」「既に分かっていることを書いている=やさし過ぎる」「検索ではヒットしたが興味のない内容が書かれていた」場合などが考えられますが，この場合は単にブラウザの戻るボタンでサーチエンジンに戻れば十分だと考えられます．読む前に，または読んだ後にサイトマップから筆者などを確認して「書かれていたものが信用できる情報かどうか」判断材料とする利用の仕方は少ないと考えています．（筆者の個人情報はほとんど書いていません．）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[センター試験問題２次関数について／16.8.9］

2006年度の最初の問題のエとオの正解が逆になってると思います。エ2がオ3が正解になってしまっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答が正しく解説が逆ということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ) について／16.8.8］

いつもわかりやすい図を使って教えてくださっていることに本当に感謝しています。１つ質問があります。問題3の(5)の問題の式のcos(80°－θ)が－cosθになるのがなぜなのか教えて下さい。補足:どうやら以前にも別の方が同じような質問をされたことを見て知りました。(■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ) について／16.7.10］を参照)この質問からすると同じ問題3の(3)の解説に誤りがあったようだとわかります。確認したところ(3)はすでに訂正されていましたが、(5)の問題の式と解説は80°のままになっていました。以前の質問者の指摘のように180°の誤りであれば、ご訂正をお願い致します。さらに気づいたこととして、もし(5)の問題と解説を訂正すると、(4)の問題と全く同じになってしまうように感じました。そうでしたら同じ問題があるのは少し不自然に思います。その点も少しご考慮頂ければと思います。もう１つは(4)の解説の(原式)＝の後の部分で、これだとcosθと－sinθをかけているのかそれともcosθからsinθを引いているのか区別しづらいです。またsin(180°－θ)＝sinθだから、(原式)＝の後の式の左から3項目のsinθの符号は－になると思いました。詳しく書くと(原式)＝－cosθsinθ＋sinθcosθ＝0になるということです。(4)の解説が(5)の解説と全く同じになるととてもわかりやすいと感じました。長きにわたり文章を書き連ねてしまい申し訳ありませんでした。以上の点についてご考慮頂ければうれしく思います。どうぞ今後ともよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．突っ込みどころ満載でボロボロの問題でしたので，訂正しました．→(4)の問題，(5)の180°を訂正

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／16.8.4］

高校版の置き換えによる展開の(6)の解説がわかりにくいです。項が3つあり、計算が大変だから置き換えをするのではないのでしょうか？ならばなぜ、x2-x+1をAとするのでしょうか。元に戻した時の計算がまた大変になると思うのですが。x2-×+1を計算する公式などがありましたら教えていただきたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じものが２回登場したら置き換えます．x2-x+1が２回登場するからx2-x+1=Aと置きます．
元に戻すには，その頁の先頭に書いてある(a−b+c)2の公式を使います

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／16.8.4］

(6)のX'について解説ではX'＝(Z'－Z)/y^2となっていますが、X'＝(Z'y－Z)/y^2ではないのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．ついでに省略していた式も埋めておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.8.3］

絵が答え方によって変わってとてもおもしろく思います　　でも初めは気付かず困りました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この問題では初めの方は正解続きになる可能性がありますので，採点結果の図の意味を追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／16.8.3］

とてもわかりやすかったです。参考書などはいきなり難しい言葉で説明されているので、こんなに噛み砕いて丁寧な説明があって助かりました。特に、式の展開や変換がきちんと書かれていて良かったです。参考書はものすごく省かれてるので、なぜその式に行き着くのかわからないことが多いのですが、ここでは全て理解できました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Excel：重回帰分析(2)について／16.8.3］

○カテゴリーデータが何をさすのか ○「一般にｎ個のカテゴリーデータを区別するにはｎ－１個の列を準備し」・・・なぜ-1なのか ○「１個の列が全部0のもので最後の１つの属性を表わす」なぜか ○ 一文が長いので、短い文に修正していったら読みやすくなるのではないか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
１番目の質問について：この頁（統計データの種類）を見てください．
２番目の質問について：その上に男女の別を区別する方法，「高校」「大学」「専門学校」のように３つの属性を区別する方法を例にとって示しています．
３番目の質問について：どれにも該当しないものが１つ表せるからです．
４番目の質問について：これ以上短くするのは無理です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の移動について／16.8.2］

正解か不正解かわからないので文字表記でお願いしたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全問不正解の場合を除けばすぐにわかります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[N進法について／16.8.2］

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の移動について／16.8.2］

問題12について。与式をx＝-1に関して対称移動したのち、y＝1に関して対称移動した式はy＝(x+4)+1ではないでしょうか？答にはy＝(x+4)+3となっています。元の方程式の頂点のy座標が1ですし… 間違っている場合は修正お願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の方を変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.8.2］

x+6÷x+2の解き方がわからないので教えて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．展開公式の頁を見ておられますが，多項式の除法（割り算）の頁を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路の問題について／16.8.2］

問題に「経路に含まれる最も長い距離が○m以上のものは何通りか」を入れて欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この形の順路の問題では，どの順路も合計が同じ長さで，最も長い線分も同じ個数だけ含まれます.だから，経路に含まれる最長距離に差異が生じることはありません．差異が生じるのは遠回りを認めた場合で，遠回りを認めてしまうと順路は無限個できます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／16.8.1］

このようなｗｅｂページを作っていただきありがとうございます．私は主にパターン認識の勉強をしているのですが，ところどころ数学の操作でわからないところがあれば参照しています．もう少し，文字の間に余白があると見やすくなると思います．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面上の「文字間の間隔」「改行幅」は普通の教材ではすぐにでも変更できますが，この頁では分数関数を多用しておりその表示のために基準線よりも何ピクセル上に分子を書き，何ピクセル下に分母を書くかということが，改行幅に依存しています．そのため簡単には変更しにくい事情があります．改行幅を150％に変更しましたが，これ以上だとブラウザによっては分子と横棒が重なり醜くなるようです．文字間隔の方は広げ過ぎると間延びするのでこれくらいかなとも思いますが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／16.7.31］

問題の(6)番の(X3-X2+X-1)(Χ3+Χ2-Χ+1)の後ろの式、 (X3+X2-X+1)を(X3+X2-X+1)に直さないと解けないですよね？解説の中ではX2-になっているので多分間違いだと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「(X3+X2-X+1)を(X3+X2-X+1)に直」すとはどういうことなのか，質問の意味が伝わりません．
後ろの式はそのまま使います．質問者は，x3+x2−x+1=x(x2+x−1)+1のような変形を考えておられるのかなとも思えますが，そうではなくそのまま使うということです．

■?[?さん／16.7.31］

このPCだけかもしれないですが、進み具合がおかしくなって高校の問題をしても色がつかず、中学数１にだけ異様に増え、送信ができない状態になってしまいました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（都道府県も名前も伏字にしなければならないほどの事情とは？）
何らかの事情で学習の記録が壊れてしまった場合のために，トップメニューの下端に，削除・リセットボタンを作りました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[理科における有効数字の表し方について／16.7.29］

加減の方法も教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．加減の方は簡単な基本とは言えません．精度の異なる幾つかの数字を加減するときは，一番精度の悪いものの勝ちになります．たとえば，ｍの単位まで図れる高度計とｍｍの単位まで図れる物差しを使って山の高さを図ろうとしても，精度の悪い方（ｍ）の単位までしか使えません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.7.28］

例２において計算の順序を解説してください。2行2列なら分かるんですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算の順序とは？必ずしも何の計算なのか明らかではありませんが，初めの方の行列式の計算方法のことを訪ねておられるのならこの頁の真ん中あたり（余因子展開による計算）を読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.7.28］

もっと多く例を出してほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は角度の単位だけを扱っていますが，それに続く頁，その次の頁...などがすべてラジアンを使った練習になっています--三角関数を考える中で弧度法の単位も練習するというのが実際に即した練習の仕方です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの定義について／16.7.28］

後半で英語との対比が他のテキストにあまり記載の少ない内容で、訳す方の苦労もわかります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値について／16.7.28］

グラフの利用の問３(２)、エ)３<xのときについてです。(x^2-3x)-x＝2(x-1)を整理した式、x^2-6x+1＝0に解の公式を使うと、自分で計算するとx＝3+√8になるのですが、答はx＝3+√7となっています。自分で計算してもこの答にはたどり着けないので、答が間違っている場合は修正を、この答で合っている場合はHELPの追加をお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(x^2-3x)-x＝2(x-1)を整理するとx^2-4x＝2x-2になりますので，x^2-6x+2＝0に解の公式を適用してx＝3±√7．そのうちでx>3となるのはx＝3+√7となります．
要約すると，2(x-1)のかっこを外すときに係数に気を付けるということです

■［個別の頁からの質問に対する回答］[度数分布表をexcelで作成する方法について／16.7.27］

なぜ関数を変なフォントで書くのですか？見にくいだけです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Excelの初期設定（=普通の場合の設定）では，ワークシートの表示はMS Pゴシック，ノーマル字体，大文字の英字になると思いますので，分かりやすくするためにその設定に合わせています．Excelのhelpもこの設定で書かれており，明朝体や小文字にすると分からない人が増えると考えられます．（質問者のExcel画面はどんなフォントで表示されているのか？）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／16.7.27］

例題1の解説についての些末な質問です。 1/4を√の中身にかけているのはわかるのですが、その結果におけるt^2の係数は4ではなく16では無いでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／16.7.26］

ボタンを押すと開くなどの形で計算過程も書いてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われる意味は分かりますが，この頁も次の頁も「対角化とは」という感じの言わば受付窓口のようなものなので，この場面で伏字の解説をしていると，話が通じなくなります．演習問題の頁に進んでからゆっくり考えてください．
※途中経過を全部書いてほしいという意味でしたら，すぐにはできませんが考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.7.24］

社会人ですすべてに目を通せたわけではありませんが多項式が一次式で割り切れる場合にわざわざ整式の割り算をしなくても係数計算で因数分解できますが、そのときの商の暗算が理解できません特にaX2+bX+cの一次係数であるbの出し方がわかりませんご教授くださいm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
例えば，f(x)=x3−1の場合

f(1)=0だからf(x)はx−1で割り切れるといえる．
そこで，x3−1=(x−1)(ax2+bx+c)とおく
［両端から合わせる］→左辺のx3の係数は1，右辺でx3になるのはx×ax2，したがって，a=1
左辺の定数項は−1，右辺で定数項になるのは−1×c，したがって，c=1
x3−1=(x−1)(x2+bx+1)…(*)とおく
2次の項を比較すると，左辺は0，右辺は−1x2+bx2，したがってb=1
（必要条件=これしかないが，一応１次の項も確かめておくと）
左辺は0，右辺はx−bx，したがってb=1で合う

以上により，x3−1=(x−1)(x2+x+1)
ポイントは(*)のように，両端のわかるものは数字にしておき，未知数の数を減らして体制を立て直して見やすくするところ

もう一つ別の例
f(x)=x3+x2−7x+2の場合

f(2)=0だからf(x)はx−2で割り切れるといえる．
そこで，x3+x2−7x+2=(x−2)(ax2+bx+c)とおく
［両端から合わせる］→左辺のx3の係数は1，右辺でx3になるのはx×ax2，したがって，a=1
左辺の定数項は2，右辺で定数項になるのは−2×c，したがって，c=−1
x3+x2−7x+2=(x−2)(x2+bx−1)…(*)とおく
2次の項を比較すると，左辺はx2，右辺は−2x2+bx2，したがってb=3
（必要条件=これしかないが，一応１次の項も確かめておくと）
左辺は−7x，右辺は−x−2bx，したがってb=3で合う

■岩手[テディベアさん／16.7.24］

この欄で、質問をしてよいのかどうかわかりませんが、・・・質問させて下さい。　会社員で事務仕事をしている中年女性です。電卓を叩いて消費税の計算をしていた時に、不思議に感じられることに出会いました。　税込みでいくらになるか、というとき、税込みで20,000円ならば、元値が　20,000÷1.08＝18518.5185185・・・となりますが、どうして108で割ると循環小数になるのかご教示下さい。他の数字で計算みたり、素因数分解ぐらいはしてみましたが、わかりません。高校で数学が好きだった程度のレベルです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．10進法の小数に直す場合，既約分数に直した時に分母に２と５以外以外の素因数が残るものはすべて循環小数になります．有限小数になるのは，既約分数の形で分母が２と５だけでできている場合だけなので，むしろ有限小数となるのは珍しいともいえます．
（このようなことが起こるのは10進法を使うからで，３進法や16進法を使う場合には全く別で話が逆になる場合があります．）

(1) 分母が素因数２だけで成り立っている場合の例
$\frac{1}{2}\rightarrow \frac{1\times 5}{2\times 5}=\frac{5}{10}=0.5$ $\hspace{1}\frac{1}{2^2}\rightarrow \frac{1\times 5^2}{2^2\times 5^2}=\frac{25}{100}=0.25$ $\hspace{1}\frac{1}{2^3}\rightarrow \frac{1\times 5^3}{2^3\times 5^3}=\frac{125}{1000}=0.125$
(2) 分母が素因数5だけで成り立っている場合の例
$\frac{1}{5}\rightarrow \frac{1\times 2}{2\times 5}=\frac{2}{10}=0.2$ $\hspace{1}\frac{1}{5^2}\rightarrow \frac{1\times 2^2}{2^2\times 5^2}=\frac{4}{100}=0.04$ $\hspace{1}\frac{1}{5^3}\rightarrow \frac{1\times 2^3}{2^3\times 5^3}=\frac{8}{1000}=0.008$
(3) 分母が素因数2と5で成り立っている場合の例
$\frac{1}{2^2\times 5}\rightarrow \frac{1\times 5}{2^2\times 5^2}=\frac{5}{100}=0.05$ $\hspace{1}\frac{1}{2\times 5^2}\rightarrow \frac{1\times 2}{2^2\times 5^2}=\frac{2}{100}=0.02$ $\hspace{1}\frac{1}{2^3 \times 5^4}\rightarrow \frac{1\times 2}{2^4\times 5^4}=\frac{2}{10000}=0.0002$
(*) 分母が2，5以外の素因数を含んでいる場合の例
$\frac{1}{3}=\frac{3}{10}+ \frac{3}{100}+ \frac{3}{1000}+ \cdots$ 右辺は初項が $\frac{3}{10}$ 公比が $\frac{1}{10}$ の無限等比級数だから
右辺を $\frac{3}{10}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{10}\times \frac{10}{9}$ と書いていることになります．
$\frac{1}{6}=\frac{1}{10}+ (\frac{6}{100}+ \frac{6}{1000}+ \cdots)$ 右辺のかっこ内は初項が $\frac{6}{100}$ 公比が $\frac{1}{10}$ の無限等比級数だから
右辺を $\frac{1}{10}+ \frac{6}{100}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{10}+ \frac{6}{100}\times \frac{10}{9}=\frac{3}{30}+ \frac{2}{30}$ と書いていることになります．

以上の話は10進法で表すために起こったことで，（N進法の小数の頁参照）3進法などで表すと立場が逆になり

(1) 分母が素因数3だけで成り立っている場合の例
$\frac{1}{3}\rightarrow 0.1$ $\hspace{1}\frac{1}{9}\rightarrow \frac{1}{3^2}=0.01$ のように有限小数になるのに対して
(*) 分母が3以外の素因数を含んでいる場合の例
$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{27+ \cdots =0.111\cdots$ 右辺は初項が $\frac{1}{3}$ 公比が $\frac{1}{3}$ の無限等比級数だから
右辺を $\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}$ と書いていることになります．

そこで，最初の問題に戻りますと

$\frac{2000000}{108}=\frac{2^7\times 5^6}{2^2\times 3^3}=\frac{2^5\times 5^6}{3^3}$ は既約分数にしたときに分母に２と５以外の素因数3が含まれるので，循環小数になります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転の１次変換について／16.7.24］

点の回転は分かったのですが、グラフ、つまりy＝f(x)を回転させる時にどうなるかわかりません。例題も含めて説明してくださるとありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１次変換では元の図形が直線図形となっているもの（線形=直線や長方形）の像を扱うのが基本です．これは，サブメニューの直線の像，領域の像を読んでください．
元の図形が直線図形でないもの（非線形な図形）についても，形式上は簡単に解けますが，結果がどのような図形を表しているのかわかるためには，２次曲線など別の単元の知識を要するため，どちらかといえば発展学習になります．

旧座標をx, y，新座標をX, Yで表すとき，
$\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta& \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$
←→ $\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin\theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix}$ だから
$y=f(x),\hspace{10}x=X\cos\theta + Y\sin\theta,\hspace{10}$
$y=-X\sin\theta+ Y\cos\theta$ から旧座標を消去して新座標のみの方程式にすると
$-X\sin\theta+ Y\cos\theta=f(X\cos\theta + Y\sin\theta)$ が新座標の方程式となります．

例えば，双曲線xy=1のグラフを原点の周りに45°回転してできる図形の方程式を求めるには

旧方程式：xy=1
新座標と旧座標の関係 $\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$
←→ $\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$
$x=\frac{1}{\sqrt{2}}(X + Y),\hspace{10}y=\frac{1}{\sqrt{2}}(-X + Y)$ だから
旧座標を消去して新座標のみの方程式にすると
$\frac{1}{2}(Y^2-X^2)=1 \rightarrow X^2-Y^2=-2$ が新座標の方程式となります．

双曲線xy=1のグラフを原点の周りに−45°回転してできる図形の方程式は，同様にして

$X^2-Y^2=2$ となります．

元の図形が

$\frac{x^2}{4}+ y^2=1$

のような楕円である場合，これを原点の周りに45°回転してできる図形の方程式を求めると

$5X^2-6XY+ 5Y^2=8$

などとなって，どのような図形であるか想像するのは難しく，発展学習となります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における直線の方程式について／16.7.22］

質問に丁寧に返信なさっているようですが、このサイトに載っている問題以外の個人的な模試などの数学の質問は受け付けてないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それぞれの頁にある問題以外については回答していません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分散分析について／16.7.21］

とても、助かりました。掲載ありがとうございます。最終的には分析ツールに頼ったのですが、一元配置法の説明の中の下記の文章において、「=SUMPRODUCT(不偏分散の範囲,自由度の範囲)」の、不偏分散の範囲,自由度の範囲がどこに該当するのか理解することができませんでした。すみません。私の見落としかもしれませんが、図の方に色をつけていただけると分かるのではないかと思います。また、利用させていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（自分で書いた文章ですが，約10年経過して読み直してみると，解読するのに1時間ほどかかりました．）
(2)の後で(3)の前にある短縮法のことを訪ねておられるものと解釈しました．この短縮法は表の中に対応するものはありません．理屈は次の通りです．
偏差平方和は，その定義通りに求めれば，平均を求めて，差の平方の和を求めることになります：B21+C21+D21=E21：16.9+31.5+14.6=63.1

しかし，Excelの組み込み関数 VAR(B2:B9)は偏差平方和を自由度6で割ったものになっているので，これに6を掛けると偏差平方和に戻せます．
同様にして，VAR(C2:C9)は偏差平方和を自由度5で割ったものになっているので，これに5を掛けると偏差平方和に戻せます．
同様にして，VAR(D2:D9)は偏差平方和を自由度4で割ったものになっているので，これに4を掛けると偏差平方和に戻せます．

そこで，表にはない24行目BCD列ににVAR(B2:B9)，VAR(C2:C9)，VAR(D2:D9)とすると，=SUMPRODUCT(B24:D24,B23:D23)により63.1の値が得られることに，この値を自由度の和15で割ると4.20になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正規分布について／16.7.21］

問題(7)の考え方で、「上位から20%すなわち, p(u) = 0.3 となる u」というのがどうしても理解できません... このp(u)=0.3というのはどこから導き出せば良いのでしょうか？よろしければ回答お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問内容が明快で論理的に描かれているので，回答するにも気持ちがいいです．
まず，正規分布は左右対称なので，期待値（平均値）の右側に来る確率は50％（0.5）です．そこで，上から20%以内に入るためには，平均値から30%（0.3）以上の場所にいなければなりません．だから，「上位から20%すなわち, p(u) = 0.3 となる u」となります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.7.20］

表示が崩れているところは無いです。トップページに戻るボタンの場所をもっと分かりやすくしていただけると嬉しいです。分かりやすい解説ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「トップ頁に戻る」をどこに置くと見やすいかという問題は迷うところですが，どの頁も同じような構造なので，今後の課題です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／16.7.20］

問題4の解答欄の表記が分かりづらいです。答えは|a-1|/2でしょうか？違ったらヘルプをつけて下さると助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分数の一部を空欄にするために複雑な処理をしており，そのためにブラウザによっては横棒が表示されていなかったようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｔ検定について／16.7.20］

わかりづらいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このような分量の多い頁をわずか1分で流し読みするのは無理です．高卒以上の方のようですが，他にも10頁以上瞬間的に見ておられますが，そんなに短時間で読むのは誰でも無理です．もっと腰を落ち着けて１つの頁を分かるまで読んだ方が身につくことも多いと考えられます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.7.19］

わかりやすい！丁寧！ありがと！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[データの種類について／16.7.19］

データの尺度に関しては初心者でしたが、とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.7.19］

宣伝が多すぎ言いたいのはそれだけ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．有料サイトにするよりは，無料サイトにしたほうが誰でも利用できてよいと考えますが･･･それよりも，あなたは解説を3回見たようですが，問題を解いた形跡がない

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／16.7.17］

簡便で見易くて、参考になります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／16.7.17］

逆行列って不思議ですね、、、！とてもわかりやすかったです！！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／16.7.17］

本の解説より解りやすく練習問題も理解し易いと思います。（40代後半男）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／16.7.16］

これらの問題のです解答は存在しないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題に答えると，解説と解答が出ます．･･･［解説］というボタンをクリック

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／16.7.14］

2) A～Aの対角成分以外の成分は，次のようになるがよく分からない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ところでA&spos;を考えると，その展開式になっており，２つの列が同じならば行列式は0になる･･･と読みます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.7.12］

すごくわかりやすい、しかし色彩豊かすぎて目がチカチカします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そうかもしれん

■［個別の頁からの質問に対する回答］[t分布について／16.7.11］

放送大学で統計を選択しましたが、このサイトのおかげでばっちりです!　ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式１について／16.7.11］

非常にわかりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ) について／16.7.10］

(3)解説公式(2) sin(90°－θ)=cosθにθ=10°を代入すると sin85°=sin(90°－10°)=cos10° ↓ 公式(2) sin(90°－θ)=cosθにθ=10°を代入すると sin80°=sin(90°－10°)=cos10° (4) 問題 sin(90°－θ)cos(90°+θ)－sin(180°－θ)cos(80°+θ) ↓ sin(90°－θ)cos(90°+θ)－sin(180°－θ)cos(180°+θ) (4)解説 sin(90°－θ)=cosθ cos(90°+θ)=－sinθ sin(180°－θ)=sinθ cos(80°+θ)=－cosθだから ↓ sin(90°－θ)=cosθ cos(90°+θ)=－sinθ sin(180°－θ)=sinθ cos(180°+θ)=－cosθだから
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通り，入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／16.7.09］

まとまっているので、短時間で習得でき（昔を思い出せ）て、とても助かりました。長すぎず短すぎずちょうどよいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／16.7.08］

間違えたときに、［?］と言われてもこっちが分からないから解説が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面は教材と読者の対話になっており，読者が［？］をクリックすると解説が出るようになっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不等式と領域について／16.7.08］

(3)-2 (x-3)の二乗+(x-4)の二乗>25については、境界線は含まないと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．丁寧に読んでくれてありがとう．ご指摘の通り入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複順列について／16.7.07］

分かりやすくてとてもいい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モアブルの定理について／16.7.05］

携帯用ページを開いています。【aのn乗根】の【例２】の計算についてです。 cosπ/６+isinπ/６,cos(π/６+２π/３)+isin(π/６+２π/３),cos(π/６+４π/３)+isin(π/６+４π/３)の計算結果がそれぞれ-√３+i/２,-i,√３+i/２と表記されているのですが、計算したところ、順に√３+i/２,-√３+i/２,-iになるかと思います。そちらで確認が取れ次第、修正のほどよろしくお願いします。加えて、同じく【aのn乗根】から。 (解説)の一番最後の"(右図参照)"と書かれているのですが、恐らく【例２】と【例３】の間に表記されている図形かと思いますが、携帯用のページだと、そこに表記されているので、せめて、(解説)と【例１】の間に表記するように修正願います。以上二点修正よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りですので訂正しました･･･こちらの記録では約３時間半かけて熱心に読んでくれた様子がうかがえます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／16.7.04］

文章問題を入れてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の上端のメニューから文章題の頁を選んでください

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.7.03］

おかげさまで、必要条件、十分条件の区別がつくようになりました！めっちゃ助かりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの直行条件について／16.7.03］

数字がずれている所が多々ありますよ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．windows10にしてEdgeを使うとそうなりますが，今日から１か月くらいで数百～数千頁の教材について，Edge対応の作業に入る予定です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列・じゅず順列について／16.7.02］

7人のうち4人を選んで円形に並べるこの問題がわかりません教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．７人のうち４人を選ぶ方法が $_7 C _4=\frac{7!}{4!3!}=35$ 通りあり，その各々について４人の人を円形に並べる方法は，円順列の公式そのもので，3！通りあるから，結局 35×6=210通りになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算について／16.7.02］

メニューに戻る、に加えてページの上に戻るボタンもあると、いいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頁が長いとそういうものもあってもよいかもしれません

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式について／16.7.02］

色の使い分けが少し見えづらいところがあります。色弱の方は少し違った見え方になると思うので、字の太さや色の使い分けは少し変更してはどうでしょう？（赤文字の上に青の斜線等）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．赤と緑の組合せは読みにくい人がいるということで避けていますが，ネットで調べると赤と青の組合せもそれに次いで読みにくい場合があるように書かれています．ただ，カラーはRGBの組合せなので，どれも使わないと水墨画の世界になってしまいます．
文字で書かれたものは，読者の選択で組合せを選べる方法も考えられますが（全体を変えるにはかなり先の話ですが），画像になっているものは１つずつ書き換えなければならないので，なかなかできそうな感じがしません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／16.6.30］

対応が親切です。また利用します
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／16.6.30］

∑の上が今までは、n だったのが階差数列になってからn-1 になってよくわからなかったけど、ちゃんとそのことについて詳しく書いてあって嬉しかったです。ちゃんと理解できました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆関数について／16.6.28］

もう少し問題を増やしてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁にはすでにかなりの例題と問題が載っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.6.26］

中三です。 2問目まではできなかったけど、3問目から全問正解でした。理解できてスッキリしました。ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／16.6.26］

実測分布と理論分布を比較するにあたり、統計的に判定する方法を知りませんでした。おかげさまで、妥当な検証をすることができます。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[全微分方程式について／16.6.26］

本項にはたいへんお世話になっております。誠にありがとうございます。全微分方程式、完全微分形の例題4の青いところが-2xyではなく、-2yであると思います。小さなことではありますが、気付いたので申し上げさせて頂きます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／16.6.25］

間違いの指摘や多い誤答例、正答率も表記されておりとてもわかりやすかったです！ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／16.6.25］

問題正解したときにもっと派手に祝福を！ｗ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頑張って正解したときは，派手に祝福された方がやるきが起こるというのはその通りだと思う．ただ，これも大げさ過ぎると読者の気分によっては一歩間違うと「馬鹿にされている」と受け止められる場合があり，陽気な読者から気分的に落ち込んでいる読者まで幅があるので，さじ加減がむずかしいのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／16.6.23］

本当にわからないです。泣きそうです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの動きは，初めに10秒ほど解説を見て，次に問題をやらずに終了しています．もっと気長に解説を読んで，イメージをつかんでから，とりあえず問題を１題クリックすると，意外にできることに気付くはずです．とりあえず間違ってみると展望が開けてきます．では頑張ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算（解説）について／16.6.22］

どれも解りやすく丁寧で助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成の変形について／16.6.22］

なぜx二乗＋3xのような式を平方完成させると分数が出てくるのですか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例題1の前にある（平方完成の考え方）の所をよく読むと
$(x+ p)^2=x^2+ 2px + p^2$
だから
$x^2+ 2px=(x+ p)^2- p^2$
ここで，
$2p=A$
とおくと
$p=\frac{A}{2}$
だから
$x^2+ Ax=(x+ \frac{A}{2})^2- (\frac{A}{2})^2$
のように，分数が登場します．
例えば
$x^2+ x=(x+ \frac{1}{2})^2- (\frac{1}{2})^2$ $\hspace{10}x^2+ 3x=(x+ \frac{3}{2})^2- (\frac{3}{2})^2$ $\hspace{10}x^2+ 5x=(x+ \frac{5}{2})^2- (\frac{5}{2})^2$
ただし，Aが偶数の場合は約分できるため，分数にはなりません．
$x^2+ 2x=(x+ \frac{2}{2})^2- (\frac{2}{2})^2=(x+ 1)^2-1$ $\hspace{10}x^2+ 4x=(x+ \frac{4}{2})^2- (\frac{4}{2})^2=(x+ 2)^2-4$ $\hspace{10}x^2+ 6x=(x+ \frac{6}{2})^2- (\frac{6}{2})^2=(x+ 3)^2-9$
この話は，Aが負の数の場合でも同様です．
$x^2- x=(x- \frac{1}{2})^2- (\frac{1}{2})^2$ $\hspace{10}x^2-3x=(x- \frac{3}{2})^2- (\frac{3}{2})^2$ $\hspace{10}x^2- 5x=(x- \frac{5}{2})^2- (\frac{5}{2})^2$
$x^2- 2x=(x- 1)^2-1$ $\hspace{10}x^2- 4x=(x- 2)^2-4$ $\hspace{10}x^2- 6x=(x- 3)^2-9$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同時確率分布と周辺分布について／16.6.22］

とてもわかりやすかったです、ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／16.6.21］

とてもわかりやすく、ためになりました。でも、iPadで見ているのですが画面が真ん中に寄り、見にくいです。改善よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者はiPadのことはよく分かりませんが，この教材のような縦長のものは，当然縦持ちで読んでもらえると考えていましたが，iPadユーザは普通，こういう形でも横向きで読むということでしょうか．（真面目な疑問です）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[循環小数について／16.6.21］

気にいった所 : 循環小数を分数に直す方法がよく分かった
わかりにくい問題 : 「有限小数は、有限小数による表記と循環小数・・」の部分が理解できない。そもそも、循環小数は無限ではないのか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（参考）の初めに書いていますように，

１＝0.9999･･･
２＝1.99999･･･
他の例も示せば
3.4=3.3999…
4.56=4.55999…
5.678=5.677999…

このように，すべての有限小数は有限小数で表す「表記法」と循環小数で表す「表記法」があるということです．
ご質問の点についてストレートにお答えすると，すべての有限小数は無限小数として書き直せるということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転体の体積について／16.6.21］

一つ目の問題x軸とじゃなくてy軸とじゃないですか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．y軸の周りの回転の場合は
$V=\pi \int_0^1 x^2 dy$
になります（第3問参照）．一つ目の問題はx軸の周りの回転です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／16.6.20］

大変解り易かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／16.6.20］

組分けの重複されている、区別されていないについての説明をもっと詳しく
＝＞［作者］：連絡ありがとう．加筆しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数のグラフについて／16.6.19］

背景青ってグラフ見にくくないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前景色は細い線や小さな点でも見えるように明るい色を使うので，背景色は暗色を使うことが多くなります．昔の黒板には真っ黒というのもありましたが，最近は暗緑色が多くなっています．ところで，赤緑系統の組合せは見えにくい人がいるらしいのでその組合せは避けていますが，夜空の雰囲気の青（この背景色は青ではなく暗青色）は色は暗くても雰囲気は明るいので，筆者は気にいっています．暗緑でも実験しましたが色数が増え過ぎ，赤との配色の組合せの雰囲気が悪いのであまりよくないです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（等比形）について／16.6.18］

分かりやすいです！文字のズレを解消して下さいm(_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．iPadで見たときに文字のズレがあると言っておられるようですが，筆者はiPadを持っていませんので確認できません．ズレている箇所を教えてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／16.6.18］

わかりにくい問題 : x2－2x=(x－1)2－1 x2－4x=(x－2)2－1 x2－2x=(x－1)2－4
＝＞［作者］：連絡ありがとう．4と１が入れ替わっているということで訂正しました．

■神奈川県[Prof.N.Hkさん／16.6.18］

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/complex_plane1.htm の問題１の最初の問題、4+5iで、4+4Iのプロットが正答となっています。また、下で私が言いたかったことは、2^(n-1)-1が正答として認識されない、ということです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この問題は結構複雑な問題です．おそらく，あなたは５月から６月上旬までの間にWindows 10に変更されて，そのときにブラウザをその標準のEdgeに変更されているはずです．（※その最重要なことを書くべきです!!）そのためにスタイルシートの取り扱いがFirefoxと同様になったものと考えられます．筆者の場合は，Windows10で使えなくなると困るソフトが幾つかありますので，７月中旬までこの変更は行いません．したがって，Edgeのテストはそれ以降になります．
　大げさではない話として，国内のほとんどのサイトで互換性のテストを行っていて金融機関など重要情報を取り扱うサイトでは，Edgeは未確認となっている場合もあるかと思います．私のサイトの場合は頁数が数千頁と多いため，Edgeで見られた場合のスタイルシートの取り扱いをFirefoxと同様に１文字分下げる変更を行うには１年以上の月日がかかるかもしれません．Internet Explorerも使えると書かれていますので，そちらで読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位・ラジアンについて／16.6.15］

解説がとても丁寧なので、わかりやすく活用させていただいております！より多くの問題を解きたいので問題の数を増やしていただきたいです！お願いいたします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．興味を持っていただくのはとても重要なことですが，数学の場合は１つ「点知識」ではなく「知識のつながり」が重要です．弧度法の単位についてそこそこ理解できるようになったら，その弧度法を使った正弦関数，余弦関数の値を求める教材などが続いていますので，そちらをやっていただく方が身につくことが多いでしょう．学習の進め方として１箇所だけ濃い学び方よりは，１つの単元，１つの科目がだいたい分かることの方を目指すとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[常用対数について／16.6.15］

常用対数の説明の中に「この表を覚える必要はない．特に，今日では(コンユータ)で簡単に計算できる。」とありますが「コンピュータ」ではないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.6.15］

明日テストがあるんですが、いい点をとるにはどのようなことに気をつけたらいいと思いますか？教えて下さい！私は数学がとても苦手で、克服しようと頑張っているのですが、なかなか克服することができません。数学を得意分野にするにはどのような勉強をすればいいのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．様々な観点から言えることがあると思いますが，問題が大き過ぎて広過ぎて１問１答は適した質問ではありません．とりあえず地道にやればその分は身につくと言えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／16.6.15］

すぐに合っているかどうかがわかるのがすごくいいところだと思いました。自分は全部やってから答え合わせをするのでこのサイトはとてもいいものだと思います！これからも使わせていただきます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.6.14］

わかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[マクローリン展開について／16.6.14］

1/(2-x)の微分で何でマイナスが前に出てこないのか知りたい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁で扱っている問題と無関係な問題には原則としてお答えしないようにしています．特に，各自で解かなければならない宿題や課題の答を尋ねている場合には，代わりに解いてしまうと弊害がありますので答ません．ただし，あなたの場合は「何でマイナスが･･･」と尋ねているのでその部分については答えます．
　y=(2−x)−1 → y'=(−1)(2−x)−2(−1)だからマイナスは前に出ています．２つあるから消えるだけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列・じゅず順列について／16.6.12］

できれば、1～9までが書かれたトランプで円形に並べる方法が何通りあるのか？こういうのがあればいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．原理的には何も難しくはないのですが，９個も並べると数字が大きくなり過ぎて扱いにくい難点があります．この問題の場合は，８！なのでまだできなくもないのですが，５２枚のトランプを円形に並べる方法という問題になると
５１！=155111875328738228022424301646930321106325972 0016986112000000000000 となって，数学の学習というよりは体力作業に変わってしまいます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ ３項間漸化式の一般項について／16.6.12］

広告がきちんと目にはいる場所においてあるのですが、拡大してみれば広告が全然気にならなくなるので広告に気が紛らわされることなく勉強できます。そして参考書より解りやすい説明ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重複組合せについて／16.6.12］

重複組合せは○と棒を使った説明とともに公式を暗記していただけでした。 Hというアルファベットを用いる背景、多項式のところ、目が醒めるような思いでした。説明もわかりやすいです。（数学好き24歳男性）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたが「重複組合せの記号には，なぜH を使うのか」という解説に興味を持っていただけたということがよく分かりました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分:変数変換.ヤコビアンについて／16.6.12］

その場合において，積分変数dxは，単純にdtに変わるのではなく，図１に示されるようにg’(t)tdに等しくなります． ⇒g'(t)tdではなくg'(t)dtですよね...
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[４次方程式について／16.6.11］

こんばんは．補足です．あえて載せていないのならすみません．相反方程式のところで，降べきの順に整理された方程式の係数が 1 → 1 → 3 → 2 → 4 のように，左から 1 番目の係数が左から 2 番目の係数の 2 乗に，もしくは左から 5 番目の係数が左から 4 番目の係数の 2 乗になっていてもこの方法は使えます．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あえて載せていないとまではいいませんが，なにしろ複２次式から説きはじめているので，そこまで書き切れないというのが実情です．また，この頁は４次方程式に限定して解説しているので，奇数次の相反方程式も取り上げていませんが，また別の機会があれば･･･という感じで保留しています．なお，「左から 1 番目の係数が左から 2 番目の係数の 2 乗に」かつ「左から 5 番目の係数が左から 4 番目の係数の 2 乗に」なっていてもだと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直交行列について／16.6.11］

Ⅰ→Ⅱの証明の箇所で，t(AB)=tAtB となっていますが，t(AB)=tBtAの間違いかと思います．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにその部分は入力ミスでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積の法則について／16.6.10］

難しすぎます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このサイトでは学習者の今までの学習履歴に関係なく教材を公開していますので，１つの教材を見たときに「易し過ぎる」「ちょうどよい」「難し過ぎる」と感じる３種類の読者がありえます．ただこの頁は，高校の教科書に書かれている普通の内容を著作権を害しないように配慮しながら平凡に教材化したもので，この頁の内容が難し過ぎるとなると，中学生なのか？と思ったりもしますが，ほぼすべての問題をクリアしておられるようなので失礼しますた．おっと，問題６のフォントがおかしいようなので訂正します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進法，３進法，ｎ進法について／16.6.10］

理屈は分かるが、３２進数、６４進数には出合ったことはない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一般には分かりにくいので日常生活でムケムケの形で登場することは少ないですが，あなたが送信されたこのメッセージもBase64という64進法で送られているようです=パソコン通信などで使われていた制御コードを含まずに，文字や写真を安全なテキストで送るためにA-Z,a-z,0-9,+/を64種類の文字に当てはめる方法です．
我々は，好きでも嫌いでも宇宙時代，コンピュータ時代に投げ出されてしまっており，得意分野でない部分は耳学問として聞き流すのもありかなと思いますが，10年以上前に読んだ木田祐司さんという方の書籍では数千ケタの数値計算を近似を使わずに厳密に計算するための工夫として32768進法で書かれていたようです．（人の目に見える形にするには文字数の制限がありますが，コンピュータの内部計算は全く自由です．だから基数(Base)が大きいほど計算量は少なくなり，高速計算が有利になる見みたいです）
昔，16ビットだったコンピュータはその後32ビット，さらに64ビットになっています･･･たぶん，あなたのコンピュータもWin64; x64となっていますので，内部ではおそらく64ビットで計算してから，人の目に見えるときには10進法に直しているのだと思います．

■神奈川県[Prof.N.Hkさん／16.6.9］

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/sasum101.htmで、 Σ[k=1→n-1]2^(k-1)の正答は2^(n-1)-1ですよね？正答が見当たらないのですが…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．よく見てください．あるはずです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／16.6.9］

Pが急に出てきてわからなくなりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．･･･という性質を持った行列をPとおくというように，「式に名前を付けるときに」急に出てくるのは当然のことで，以下の文脈を分かろうと努力するのもあなたの自由で，分かろうとしないのもあなたの自由だと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／16.6.9］

基本公式⑴の解説の7行目に間違いがありますただし，π/2≦y≦π/2の場合は，cosy≧0 この範囲は、「-π/2≦y≦π/2」のはずです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前の方にマイナスの符号が抜けているということで訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／16.6.8］

計算過程がわかりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／16.6.8］

とても分かりやすく、例題もあって良いです。明日試験なのですが、寝る前に再度確認出来ました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数（有理関数）の不定積分について／16.6.8］

いつもこのサイトにお世話になってる高校生です。不具合(?)報告なのですが、AndroidのChromeでこのサイトを見ると、積分記号が半角文字3,4文字分程左にずれていて、横の等号に重なってしまい読みにくく感じたので、可能でしたら修正をしてもらえたらと思います。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．微妙なさじ加減（何とアナログな！）で難しいのですが，とりあえず修正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の部分積分について／16.6.8］

(6)の途中の－1/4を外に出したら+1/4∮…だと思うんですけど
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(6)の途中の－1/4というのが２箇所あってどの(6)か迷いましたが問題２の方だろうと決めて回答します．
「－1/4を外に出したら+1/4」はその通りなのですが，その前の－{ も同時にはずしているので，結局２回変わります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同時確率分布と周辺分布について／16.6.6］

わかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路の問題について／16.6.6］

すごく良いと思うが、もっと、解説を先に与える前にヒントをした方がいいと思う。すぐに答えを与えてしまうと伸びるものも伸びないと思う。長文失礼いたしました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われていることはもっともですが，この頁の問題のように，問題と解答の間の論理的な距離が近い場合には，解説でない示唆や暗示の程度の段階を作れるとは限りません．論理的に何重にも組み立てて行かなければならない場合には，そういうことも言えます．
　あなたの場合は，基本は分かっているから≪6≫≪7≫の応用問題だけをやったという感じですが，基本から分からない人もいますので，できるだけすべての問題に解説を付ける方向で進めています．ヒントと解説が２段階になるか，１段階になるかはその頁によって変わります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.6.5］

解説が解りやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／16.6.5］

回答が重なっていて見にくいところがありました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PCのsafariで解答が重なる所があるということで，行間を少し広げました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／16.6.5］

問２を全問解いたあとに表示されるHelpを押しても反応しません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁のHELPは，問題を指定すれば解説が出るようになっています．（全部の解説を表示するととても長くなるため）．だから，問題を指定した後，まだ解答する前ならHELPが出ます．
全部解けたのならHELPはいらなかったといえますが，確かめるために見たいときは，上記の説明を踏まえて「問題を選択→HELP→解答」の順でやってもらえばできます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の漸化式について／16.6.4］

=sinn－1x(－cosx)+∫(n－1)sinn－2x cos x(－cos x) dx ここふごうミスってません?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに符号が逆になっていましたので訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線の方程式について／16.6.3］

2焦点が(1,1),(-1,-1)の双曲線を知りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２焦点が $(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)$ となる双曲線を原点の周りに45°回転させるとよい．
　ところで，この問題は２つの漸近線のなす角を指定しないと，結果が決まらないが，ここでは最も簡単な直角の場合を示してみる． $a=1,b=1,c=\sqrt{2}$ となる直角双曲線の方程式は $x^2-y^2=1$
次にこれを原点の周りに45°回転するには，
$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix},\theta=45^{\circ}$
によって旧座標(x, y)から新座標(X, Y)に変換するとよいから，
$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix},\theta=45^{\circ}$
代入して新座標の方程式を求めると
$(\frac{1}{\sqrt{2}}(x+ y))^2-(\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+ y))^2=1$
これを整理すると
$xy=\frac{1}{2}$
となって，中学校１年で習う反比例のグラフになる．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[高次方程式2について／16.6.3］

【問題　A.2.2】で答えと解説の答えが一致してません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．選択肢の方で分母の根号が余計でしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／16.6.3］

回答に一つだけ当てはまらない場合の方がよく考えれると思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ジョーカーがある形がお気に入りということですが，時間があれば考えてみます

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／16.6.3］

とてもわかりやすく問題もいいものですわがままかもしれませんがもっとのせてほしいですエクセル頑張ってみます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ワープロ文書と異なり１つずつがプログラムなので，追加するのは結構大変です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／16.6.2］

丁寧で分かりやすくてとても助かってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数，確率分布について／16.6.2］

当てはまる例と使えないときの例のどちらも書いてあってとてもわかりやすいです。確認問題でアウトプットできるところもありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.6.1］

数Ⅲのまだ微積をやっていなかったため、入試の過去問を解いていても全くわからなかった三角関数の積分がこちらのページでわかりました！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数のグラフについて／16.5.31］

y=sin4x^3
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校生がこのグラフを書かされることはないので，高卒以上の方だと思いますが，他に相談できる人がないのでお願いしますぐらいの一言があるべきケースかなと
Exelでグラフを書くには，A列にA1=0,以下増分0.1で6.3ぐらいまでフィル．次にB1に =sin(4*a1)^3としてこれをB63までコピー．平滑線付き散布図
wxMaximaでは，プロット→2次元プロット→関数 sin(4*x)^3 x 下端 0 上端2 OK

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル，行列の簡単な復習について／16.5.29］

すごいわかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ちゃんと読んでもらった感じです．この連絡があったので教材をチェックしたら，たまたまIEで行列の表示のおかしいところが見つかったので訂正しておきました．

■?[?さん／16.5.29］

①放物線の移動問2の１答えがどうしてもア２イ0.5 になります。ヒントを見ても同じ答えになります。どうしたらいいでしょう。解答もあればそこからも学べるので、もっと学習しやすいです ② グラフの移動が上手く出来なくていつも × になります。ショックです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ヒントにありますように，頂点の座標が(１，３)から(３，２)へ移動してから(３，－２)に至るのだから，(１，３)から(３，２)へｘ軸方向の移動は「2」で，ｙ軸方向の移動は「−1」です．ヒントを少し詳しくしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重要な極限値(1) について／16.5.28］

xを0に限りなく近づけると sinx/xの値が1に限りなく近づくことの証明について。貴方は、証明の中で円の面積がπr^2で表されることを前提にしていますよね。しかし、遡って考えると、円の面積の公式は「cosxを積分するとsinxになる」ことをもとに作られていて、それは今回の命題が真であった時に初めて成り立ちます。つまり、貴方の証明は、その最中にこれから証明することを使ってしまっているので、間違っていると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「cosxを積分するとsinxになる」ことをもとに作られているという所が間違っています．他の方法があります．
　なお，この議論自体は高校数学の三角関数の微分に関連する等式や不等式について昔から参考書に出ているものです．本来，解析的に定義すべき三角関数を，高校の教科書では生徒の発達段階に合わせて幾何的に定義していることから生じる矛盾を突くというパターンで循環論法だと主張するのが普通のシナリオですが，あなたの場合は円の面積の求め方が１通りしかないという思い込みから生じてます．
　その部分も間違っています．管理人はこういう議論を好みませんので，以後同一テーマについて述べられても取り上げませんので悪しからず．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の乗法定理について／16.5.28］

改善されててうれしい！とても使いやすかった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／16.5.28］

分数の因数分解も教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分数係数の場合の因数分解は通分すればタスキ掛け因数分解の問題に書き換えられます．分数係数のままで因数分解するものや無理係数のままで因数分解する問題も追加しておきます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の導関数について／16.5.28］

とても参考になりましたし、問題や回答方式も良くて分かりやすかったです。言うことがあるとすれば、三角関数の微分の証明を三角形の図などを交えたりして解説してほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図でやる方法も参考に付けておきます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[全微分方程式について／16.5.27］

すごくみやすくてわかりやすいです．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（非同次）について／16.5.27］

問題１０のところは答えが間違っていると思います．そしてその過程にも字の間違いがあると思います．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最後の方までていねいに読んでくれてありがとう．途中経過でr=±1に間違いがありましたので訂正しました．解答の方はおかしくないように思う．この問題のように計算が長くなると，計算違いが起りやすくなるので，wxMaximaで一般解と初期条件を入れた解の求めた式の入力方法，出力結果も書いておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[リッカチ形微分方程式について／16.5.26］

参考書だけでは足りない部分まではっきり書いててすっごく勉強になりました．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベルヌーイ形微分方程式について／16.5.26］

参考書だけではなぜそうなるかという過程などが足りなかったんだけど，これを見てその過程を学べてもっと確かにわかることができました．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点の座標について／16.5.25］

解説が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違った場合，==?==というマークが表示されますのでそれをクリックすると解説が出ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[いろいろな因数分解について／16.5.24］

x^4-2x^2+1 =(x^2-1)^2 =(x+1)^2(x-1)^2 まだ分解出来ます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まだ因数分解できますが，問題は「もうこれ以上因数分解できない形を探しなさい」ではなく，「等しいものを選びなさい」となっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.5.24］

答えが合ってるのに「間違え」と表示されるので改善してほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの問題に，自分はどう答えて，解答は何であるのに「間違え」と表示されると書かないと，何を質問されているのか話が通じません．実際のところ，あなたは問題３で立ち往生していていますとなぜ書かないのですか．そのことを隠してしまっては，何も進みません．次に，問題３のHELPで示されているのは，読者の便宜に供するための係数で，たとえばそこに +1y と書かれていても，まさかそのまま答案に書いているようでは，中学１年生の文字式の基本が習得できていないことになります．+1y とか +1x は +y , +x と書くべきことは中学校の常識です．また， -1y は -y，-1x は -x と書かなければならないことも当然のことです．（1x，1y のような答案を正解にすれば，定期試験や入試であなたが不利益を被ります）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の方程式について／16.5.23］

参考になりました。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．管理人の私は最近，どの頁でも第１問の解説はよく読まれるかもしれないと考えています．たぶん，あなたもそのあたりを重点的に読んだ？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[統計データの種類について／16.5.23］

尺度の分類が覚えられません。よい方法がありますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．私の場合は，まず両極端を外します･･･比較できない=名義尺度，何でもできる=比例尺度．次に，等間隔=間隔尺度，等間隔でない=順序尺度

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二重根号について／16.5.22］

分数のバーと根号が重なって見にくいときがある
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Chromeで読んだら根号の分数や分数の根号で少し重なるところがあると理解しました．実際のところこのプログラムは１０年程前にInternet Explorerに合わせて作ったもので，ブラウザのシェアが変化するとなかなか大変です･･･分数関数の表示プログラムと根号の表示プログラムを合成する方法を見つけたところまではよかったのですが，フォントサイズごとにブラウザごとにバージョンごとに合うようにするのはなかなか難しいので，少々重なる所はお愛嬌としてにっこり笑って見逃してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式１について／16.5.22］

丁度、休んでいた時の内容で、問題の解き方が解らなかったので、使わせていただきました。アニメーション付きなのは解りやすく、とても良いと思います。とても助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．授業を休んだところを補充するために使うのはよい使い方だと思います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積の法則について／16.5.20］

素因数分解を理解していなかったので、例４が困った。別のページで素因数分解から始めた。問題８までやれば、例４も理解できた。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／16.5.20］

無理数の階乗を知りたかったので、残念でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．初めの方に書いていますように，階乗は0以上の整数に対して定義され，負の整数，小数，分数などには定義されません．当然，無理数，複素数，ベクトル，行列に対しても定義されません．そもそも階乗は「初めの数」と「次の数」という概念だけで構成できる数の列について，「初めの数」から「その数」までのすべての数の積で定義されますが，例えば，小数の1.9に対して，「前の数」は1.8とは限りません．1.89, 1.899, 1.8999, ...かもしれません．このようにして小数を持って来ると，何を掛けるのかが決まりません．分数でも同様です．正の整数以外には階乗は定義できません（0！だけは，順列，組合せの公式を自由に使うための例外です）．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項分布について／16.5.19］

大学の講義よりもはるかにわかりやすい解説がなされていて、とても役立ちました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

b>■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数平面について／16.5.19］

問題３の点が1メモリ分下にずれていて、HELPを見るまで気づかず悩んだ。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたがお使いのWindows10標準のMicrosoft Edge(Webkit系)というブラウザで，一昔前のFirefoxのように，次の文字のスタート位置が１文字分下がる特徴があるということでしたら，そのバグが訂正されるまで一定の対応が必要になるかと思いますが，その症状の報告は初めて聞きました．設定・仕様を各会社の都合に合わせて変更していると，体が持たない!?ブツブツ･･（互換モードIntenet Explorer, Firefox, Chrome, Safari, Opera, Sleipnirのいずれでも問題なく，現在までにその症状が報告されたのはEdgeだけです）
（追伸）2016.5.24 Internet Explorer11にEdgeエミュレーションモードがあったので，これを使ってEdge対応にしました･･･根号の位置もずれていた･･･該当箇所多数なので少しずつ直す予定

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／16.5.18］

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／16.5.18］

採点後の解説がわかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．管理人も，分かりやすくするためにそれなりに苦労しているのです

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理（解説）について／16.5.18］

わかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．すでに，そこそこ理解しておられるためか，初めの部分と例1，2のあたりに絞って読んでもらえたものと考えています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[樹形図、辞書式配列について／16.5.17］

問題数が少ない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を解かれた形跡がありません．この頁が答案を採点する機能があるということを分かってもらえるように，問題１の上に「クリックしてください」の文章を入れておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.5.17］

問題を毎回変えてくれるところが嬉しいです、が、もう少し問題数があると嬉しいです(｀)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．４日ほど前にも感想を書いていた人がいましたが，この頁は空欄書き込みなので入力が大変で最後まで持たない人が多いです．特に問題３に赤字で書いておきましたが，最後の方は白紙答案が多い．そんな中でもう少し問題数があると嬉しいとは，やるき十分だな

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／16.5.16］

解説がわかりやすくて助かりました🎉 又、練習問題を解いて定着を図れるところもよかったです✨
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／16.5.16］

わかりづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もう少し具体的に書いてもらえると，回答したり対応したりできるのですが･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／16.5.16］

解説や図を交えてからの問題を解くというながれで理解することができました。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．こちらの記録を見ても，きっちり勉強されたように思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.5.15］

たすきがけ因数分解ですが、答えを書いた際＋やマイナスが半角でないと正解しません。全角で書いても正解になるようにしてくれれば嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．InternetExplorerとFirefoxでは全角文字が入らないようになっていましたが，Safari(iHoneも)やChromeでは全角文字も書こうと思えば書ける状態になっていたようです．設定を変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.5.15］

解説のところや重要なところが文字の色が目立つ色になっていて見やすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.5.15］

9は、十分条件じゃないんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．≪9≫の問題の解答は十分条件だという質問だと解釈しましたが，そこにヒントが書いてありますので，それを読んでください．
あなたはその頁をキッチリ学習した感じがしますので，もしその質問があるのならばもっと早い時点（1番とか2番の問題で）でその質問があるはずだと思うのですが，なぜ８番までは質問がなくて，９番で質問があるのかそこが不明です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／16.5.14］

わかりにくい問題 : 右から左から
＝＞［作者］：連絡ありがとう一番先頭の解説から5行までを読んでいただいていないようで，この頁の内容がすべて吹き飛んでいます
５行目に書いてあるのは，行列についてはAにBを右から掛けたものABとAにBを左から掛けたものBAは違うのだということをその頁で解説しています．これらが普通の数字と同じように当然等しいはずだと思い込んでおられる場合には，この頁に書いてある内容は何も頭に入りません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[簡単😉について／16.5.13］

簡単😉
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.5.13］

入力めんどいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにそうだと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.5.11］

理解が進みました！感謝いたします。幸運をお祈りいたします☆
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／16.5.11］

とってもいいです❗
＝＞［作者］：

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／16.5.10］

逆行列の３X３をやってるのに当たらない。　何で？？？？？
＝＞［作者］：「当たらない」という言い方は適当ではありません．それが，答えが合わないという意味でしたら，問題とあなたの答，模範解答の３種類を示さなければ，話が成り立ちません･･･何も材料がないのに通りすがりのおじさんに「なぜ答が合わないのでしょうか」と尋ねている場面を想像してみると，この場面設定はおかしいことに気付くはずです･･･これだけなら，あなたが間違っているか，模範解答が間違っているか，両方とも間違っているかのいずれかですという以外に答え方がありませんので，質問の仕方を変えてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の和差積について／16.5.9］

等しい物を見つけていくとジョーカーが出て来るというゲーム形式が、素晴らしいです！楽しみながら出来ました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．余裕をもってできたという印象を受けます．約9分で完了しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／16.5.9］

問題2 累乗根ヒント Log3 9√3=log3(3^2・1/2)=log3 3^5/2 Log3 9√3=log3(3^4・1/2)=log3 3^5/2 ^4が^2になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．9=32だから，元のヒントで合っています．それにしても，あなたはこの頁を３時間半も勉強したように記録されており，忍耐力に関心しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[外分点の位置ベクトルについて／16.5.9］

外分店のm<nのときの公式証明がとてもやくにたちました。どこの参考書もサイトもm<nのときの証明を端折ってるので自分で証明ができなくて困ってました。ベクトルの方向が逆になることを見落としてて、証明できなくてほんとに困ってました。このサイトのようにちゃんと証明しているサイトはありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／16.5.9］

三角関数の合成のところにて、符号がどちらも「－」になっているので、誤字の訂正を宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁全体が三角関数の合成公式なので，式は非常にたくさんあり，どの式なのかを絞って述べていただかないと分かりません．あなたが時間をかけて見ていたのは「紛らわしい公式との区別」【例題１】あたりかと思いますが，そこには何も誤字はありませんが

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成の変形について／16.5.8］

とても役に立ちましたありがとうございます。改善点として挙げるとすれば、前の問題の解説と次の問題の問題文が少しかぶっていることでしょうか。そこを直せば完璧だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．管理人の画面では前後の問題でかぶっているということはないのですが，機種によって少し違いがあるかもしれませんので，間隔を少し広げておきます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二重根号について／16.5.8］

解き方がとてもわかりやすかったですただやりたい項目をピンポイントで出来ないのはすこし煩わしいです私の場合二重根号の６項目をやりたかったのでそれ以前のページの内容は理解出来ていたので... 勉強をこのサイトをベースにやるのなら全く問題ないと思います。むしろこの方がちゃんと理解できているか確認しながら進めると思います！私はわからないところがあって探しにきたので、そうすると知りたいところを開くまでに時間がかかりすぎます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者自身でもプログラムを点検するために該当箇所にたどり着くのが大変なので，やりたい個所を出してほしいという要望はよく分かります．（あなたは約40分かかって目的の頁にたどり着いています．）ただこの教材は下から積み上げていく構成にするとどうなるのかという仮説の基に作っているので，ジャンプする設定にするには別の頁を作らなければならないかもしれません．少し考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法（不等式の証明）について／16.5.8］

数列の苦手な息子が特に数学的帰納法の不等式に苦しんでいて、このサイトにたどり着きました。市販の参考書には書かれていない、なぜこの処理をするのかということが書かれていて、解き方のコツがわかったようです。ありがとうございました。次は群数列です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頑張ってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／16.5.7］

4(5), 積は (-12 7 -18)になり、その(1,2)成分は 7 だと思うのですが、違うのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．申し訳ない．全く違う計算を書いていました･･･いったい何の計算だったのか･･･訂正しました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同次形微分方程式について／16.5.7］

積分記号とその後ろの式の高さが違っちゃうので,積分記号だけ浮いてしまっているような感じになってます. 分数はyが先の下にはみ出す事がありますが,それ以外は美しいです.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教科書では「積分記号とその後ろの式の高さが違う」のが普通で，逆にそうでない教科書は見たことがありません．TeXで数式を文中に埋め込むために同じ高さに表示するのは略式と考えるべきでしょう．御指摘の意味が通じませんが，とりあえず他のバージョンの積分記号にしておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／16.5.6］

定数係数2階線形微分方程式のrが複素数の時、実数のみに直す時の説明が少し分かりにくかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「rが複素数の時、実数のみに直す時の説明が少し分かりにくかった」と述べておられますが，あなたはそこそこ分かっているせいか，初めから解説を読まずにいきなり問題を解き，ｒが複素数の時の説明を5秒ほどしか読んでいません．そこが問題の1つです．おそらくもう一つはオイラーの公式eix=cosx+isinx（もしくはド・モアブルの定理）が理解できていないのです．その部分をもう一度理解してから，読まれるとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／16.5.6］

4プロセスの説明では不定の置換積分の原理が分からなかったのですがこのサイトを見ることにより、理解することができました。このサイトの例題ですが、空白が少ないというか、その式の前後だけ見れば考えなくても解けてしまう、という仕様になっているように感じ、人により、効果が半減してしまう気がしました。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．４プロセスというのが数研出版の参考書だということがようやく分かりました．ところで，左の学習進行状況［横は時間（秒），縦は進み具合（ピクセル数）］から見ると，あなたはコンスタントに進んでおり，途中で例題１を２回見直したのは何か気になることがあったからで，おそらくバリバリの現役で，学力・持久力とも十分あるのです．しかし，管理人が何年かこのサイトを運営する中で分かったことは「サーチエンジンから入って来る人は，分からないことがあるから調べごとをしている」という事実です．中には高校中退の人もあり，文化系で卒業した人，定年退職後ようやく気になっていた教科の学習時間ができたという人もあります．そうすると「教材は，分からない人を前提に作るべし」という結論に達するのです．あなたのようにそこそこ分かっている人は，当サイトから見れば模範生のようなもので，分かることまで書いてあるところはにっこり笑って見てもらえばよいのです．

■石川県[井上さん／16.5.5］

三次式がかなり自分にとって難しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校で3次式の展開や因数分解を学んだときには，初めは項数が多いので戸惑いますが「作業は分けて処理する」のが基本です．高校で○十年間教えていた管理人でも，前から順にスラスラと答案を書こうとすると計算間違いすることがあります･･･最終的に4個ないしは5個の係数を合わさなければならないときでも「一度にやっているのではなく」１つずつ作った部品を組み立てているだけです．このように3次式を処理するには，「仕事は分けてやる」「１つずつの係数を正確に作る」ことがポイントです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／16.5.5］

とてもわかりやすいです（≧∇≦）間違った時しかHELPが見られないので、正解した時も解き方が見られるようにしてほしいです‼
＝＞［作者］：連絡ありがとう．要点を見直したりしながらよく勉強できていると思う.とくに最後の方の２題に時間をかけてやった感じです．正解の場合でも解説が読めるようにしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.5.4］

とっても分かりました。大人でも子供にも教えてあげたいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．３次の展開公式あたりがお目にとまったように思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均の推定・信頼区間について／16.5.4］

例題2の計算が間違ってます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中経過の式に余計な係数が付いていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／16.5.4］

回答すると解説で次の問題が読めませーん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Safariでチェックしましたが，解説と問題が重なる箇所は見当たりませんでした．それよりもあなたの場合，問題１は２分半ほどかけて熱心に解いていますが，それよりも後ろの方は解説も読まず問題も解かずに放棄してしまっているのが気がかりです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.5.4］

気にいった所 : 右側の問題全問解けたので解説は読んでないわかりにくい問題 : 今のところ大丈夫です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[共通部分と和集合について／16.5.3］

すごくいい問題でした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■三重県[あーたそさん／16.5.3］

わかりやすくて良かった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■?[?さん／16.5.3］

[x+1/xの値について／16.5.3］大変良く理解できました! 有り難うございます!!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／16.5.3］

(3xー2)(3x+5)の答えを教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁にある問題についてはお答えしますが，各自で解かなければならない宿題などの問題には答えていません．この頁を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[x+1/xの値について／16.5.3］

数1 Xn+1/Xn の値 7*の問題 x-1/x=a とするとX2-1/X2 の値は X2-1/x2 = (X-1/X)2 +2 では解けないんですか? ２乗と分数が上手く入力出来ないのでわかりにくい書き方でスミマセン
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学３年と高校1年で登場する展開公式で $(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$ というのがあります．（ $b^2$ の符号に注意．）
これにより $(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2+ \frac{1}{x^2}$ になります． $x^2-2- \frac{1}{x^2}$ にはなりません．
そこで問題を解くために， $a^2-b^2=(a+ b)(a-b)$ の公式を使って $x^2- \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$ とします．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.5.1］

数字が消えているときが存在する
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「Chromeで見たら数字が消えている場合がある」と述べておられるものと解釈しましたが，第何問など場所を特定していただかないと調べられません．なお，点検作業の中でChromeで見たら改行位置の違う箇所があったので１箇所訂正し，薄い文字色を濃く変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項分布について／16.5.1］

わかりにくかった　もっと言えば教える意志を感じられなかった。　自分は学校の勉強だけでは理解が追い付かないためインターネット検索を利用しているのにこのページはまるですべての数学知識を持ち合わせているのを大前提に置いて作成されているように感じた。　まったくの初心者向けと言いながら専門用語が行き交う文章はいかがなものだろうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あまり攻撃的な文章は取り上げないようにしていますが，今日は時間に余裕があるので回答します．
あなたは，中学校の確率の基本からスタートして，条件付確率，二項分布，反復試行の定理などを見ておられますが，確率について基本から分からないので，どこから手をつけてよいのか分からないという感じです．数学は積み上げ科目です，「まったくの初心者向け」と書かれているのはその頁を読むための最小限の前提を書いていますので，それが分からなければ中学レべルまで遡るべきです．確率分布や期待値が分からない人に二項分布は無理です．
ただ管理人が感心したのは，自分が分からないのはすべて他人のせいだという姿勢です．自分の努力不足を全く反省せずにすべて他人のせいにする姿勢は，世間一般では嫌われますが，こんな世の中なのでいちいち反省して自分に刃を向けていては傷つくばかりなので，他人のせいだと考えるのも生き残るための知恵だと思う．この基本姿勢で貫きながら，必要な努力はこっそりするぐらいの構えで行けば世間の荒波を乗り越えられるかもしれません．では頑張ってください．･･･なお，確率分野は中学校数学，高校１年，高校２年と重複しながらも積み上げでできていますので，順序よく学んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.5.1］

完璧です。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分集合，集合の包含関係について／16.4.30］

(2)Ａ)｛0,2,4,8,16,32}だと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．20=1 , 21=2 , 22=4 , 23=8 , 24=16 , 25=32になります．この頁参照

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ 複素数の計算について／16.4.30］

突然失礼します。虚数の計算順序を忘れてしまい、こちらにたどり着き、質問させていただきます。 (2+√-2)^2 を計算する時、そのまま展開し始めるのか、(2+√2ｉ)^2としてから展開するのかご教授頂きたく。よろしくお願いしますm(_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご質問の計算順序について，どの順序でなければならないという決まりはありませんが，結論から言えば「 i に書き変えてから行う方がよい」でしょう．
（その理由）i を用いた式の計算規則： (ア) 普通の文字と同じように加減乗除ができ，同類項を整理することもできる． (イ)　ただしi²が登場したら −1に置き換える．は覚えますが，次のような負の根号についての計算規則は，通常覚えないので，負の根号のまま変形するのは不利です．

$a,b\gt 0$ のとき
$\sqrt{-a} \sqrt{b} = \sqrt{-ab}$ …(1)，　 $\sqrt{a} \sqrt{-b} = \sqrt{-ab}$ …(2)， $\sqrt{-a} \sqrt{-b} = -\sqrt{ab}$ …(3)， $\frac{\sqrt{-a}}{ \sqrt{-b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ …(4)

(1)(2)は簡単ですが(3)(4)は紛らわしいもので，これらの証明自体 i に直して行いますので，結局 i に直して行う方が楽になります．

■神奈川県[Prof.N.Hkさん／16.4.29］

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/vector102.htm で、なぜ{(→＋→)/2 + (→＋→)/2 + (→＋→)/2} /3 が (→＋→＋→)/3 　　　　 a b b c c a a b c になるのですか？普通にやれば (→＋→＋→)/6 になると思うのですが… a b c
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\frac{\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{b}+ \vec{c}}{2} + \frac{\vec{c}+ \vec{a}}{2} }{3}$ において分子の $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は２回ずつ登場しているので， $\frac{\frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{2} }{3}$ となり， $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ になるということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／16.4.28］

解答を認識しないときがある
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PCのChromeでチェックしましたが，正常に作動しています．たとえば，１つの問題で誤答→別の誤答と選択した場合，画面の表示は全く変わらない仕様になっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／16.4.28］

文系大学1年生です。学科の都合上一から数学2を勉強していますが、とても分かりやすく且つ楽しく学べました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．がんばってください．なお,管理人の都合で，今日から学習者がどこら辺をどのくらい時間をかけて読んでいるかを大まかに分析するプログラムを埋め込みました．あなたが，第１回回答者ですが，時系列に沿って教材頁内を順調に移動していることが手に取るように分かり，管理人も喜んでいます．今日は記念すべき日でした．

■神奈川県[Prof.N.Hkさん／16.4.27］

相当どうでもいいかもしれませんが、http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/iti_vector2.html のスモールシーベクトルが、設問文でラージシーベクトルになっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値記号2つの外し方について／16.4.27］

助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数について／16.4.27］

逆三角関数の予習で利用致しました。計算練習が出来たお陰で、基本的なイメージが掴めました。これから微分にチャレンジします。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡があった頁を見たら，選択肢が改行されておかしくなっているものがあることに気付き，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.4.26］

A’=180°－A の証明へのリンクお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もちろんその内容も前提にはなっていますが，前提となることは非常にたくさんあります．教材を前から順に読む限り参照は「多くの生徒が忘れている」と考えられる項目に絞っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の連続，極限関数について／16.4.26］

書き込みができないときがある
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ＰＣのChromeで確かめましたが，不具合はありませんでした．「書き込みできないときがある」とは，書き込みできるときがあって，書き込みできないときが時々あるという感じなので，空欄にマウスがうまく合わないのかもしれませんので空欄を少し大きくしました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.4.26］

三角形の「2辺の長さの比」が正弦の値になるのは直角三角形の場合だけ　なのになぜ関数電卓などで任意の数でsin cosできるのがわからない

＝＞［作者］：連絡ありがとう．実に深く本質に迫るよい質問だと思う．
そもそも三角比の値，例えばsin30°はその角度が30°であるときの「直角三角形の辺の長さの比」で定義されているので，左図のような三角形ではキラキラ輝いておいしい役割を演じている辺の長さの３と２で辺の比を求めても，sin30°の値には関係していません．
見かけを無視して，茶色で示したような直角三角形を考えて，この直角三角形で辺の比を求めていることになります．
⇒見たままの形で辺の比が三角比になるのは直角三角形の場合だけ．それ以外では，直角三角形の骨組みを別に書いて求めていると考えるとよい．
⇒どうやって求めるのか？分度器を使って30°の図を描き，斜辺の長さが１になるようにしてから縦の長さを読めばよい．分かりやすいのはここまでですが，それだけでは小数第４位とか小数第６位までなど詳しい数字が求められないので，今日ではコンピュータを使って（ただし角度の単位はラジアン） $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+ ...$ により必要な桁数まで求めます．関数電卓では角度の単位を度に書き直した公式が組み込んであると考えるとよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.4.25］

問題3の⑶と⑷の違いがよく分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説が付いているのでそれを読んでもらえば分かると思いますが，
(3) では(a+b)(a2−ab+b2)になっているのでa3+b3と変形できますが
(4) では(a+b)(a2−2ab+b2)になっているのでa3+b3とは変形できないということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／16.4.24］

すごくわかりやすかったです！僕はこれで東大目指します！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.4.24］

選択式なのでいちいち打たなくていい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／16.4.24］

全体を通して、丁寧に説明されていて見やすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／16.4.24］

よくわからん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．感想が短すぎて，中学生が読んでいるのか大学生が読んでいるのか，どの個所のことなのか書かないと返答のしようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.4.22］

今晩、固有値、固有ベクトルの意味が初めて分かりました。図解されている他のサイトも見ましたが。６０歳代後半の文系人間で、高校では行列を学ばなかった世代なので。解析学のほうは、フーリエ級数の入り口あたりまでをおおむね理解しているつもりです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／16.4.22］

新課程対応三角比の相互関係は今は3つの式を習います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「今は」ではなく，昔から３つですが，３つ並べると３個目が覚えられない生徒が多いのでどう教えるとよいかという問題について，まず２つに絞るとよいという教え方を提起しています．教科書には通常３個書かれていますが，4個目はできなくてもよいということではありません．数学の公式は相互に関連しているので，これだけ覚えたらよいという形ではなく必要に応じて「作れる」ことも重要です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／16.4.18］

役立っています　ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／16.4.17］

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開の順序について／16.4.17］

分かりやすかったです！とても役立ちました！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式について／16.4.16］

黄色い矢印が意味がわからなくって止まってしまってアルファとベータ二分のエイプラスビィトか暗記してしまいました。もっと黄色い矢印になるまでの家庭が知りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あわてずにゆっくり読みましょう．α，βの式は証明できていますがＡ，Ｂの式はまだ証明できていませんので，α，βの式からＡ，Ｂの式を作るにはどうしたらよいかと考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定形の極限について／16.4.16］

わかり易かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.4.16］

小数点がつけられない。解答が出てこない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．小数点を使わなければならない問題はありません．採点すれば解答は出ます．PCのChromeで確認済みです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[割り算について成り立つ等式について／16.4.16］

3]　2x3－9x2+ax を整式 x2 －3x+b で割ると－x+3 余るとき，定数 a , b の値を求めよ。という問題でなぜa-2b-9＝-1となるのでしょうか？同様になぜ3b＝3となるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．申し訳ないのですが，問題を読んでおられないか，恒等式の取り扱いについて慣れておられないのではないでしょうか．
余りが－x+3 という問題で，余りが Ax+B になるときに，A＝-1かつB＝3になることについては，なにも省略はありません．この説明について，「なぜ」と尋ねることは，まともな議論ではありません．
同様にして，余りが－x+3 という問題で，余りが (a−2b−9)x+3b になるときに，a-2b-9＝-1かつ3b＝3になることについては，なにも省略はありません．この説明について，「なぜ」と尋ねることは，まともな議論ではありません．
軽い日常会話の例でいえば，2016年4月16日現在の日本の総理大臣が安倍信三であるときに，現在日本の総理大臣の姓はなぜ阿倍で，名はなぜ信三になるのですかと尋ねることは，まともな議論ではありません．
あなたがそんなことを尋ねているとは思えません．恒等式の係数比較法の頁を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[実数係数方程式の虚数解について／16.4.15］

解法3は初めて見ました。少しズルっぽいですがとても便利そうなので使わせていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／16.4.14］

もう少し式同士の空白を開けてほしい。上の式が目に入ってこんがらがる。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁は画像を使用していないため1行書き加えるだけで行間を広げられました．他の頁ではこのコマンドにＩＥが対応しないため簡単にはいかないようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円と直線の位置関係について／16.4.13］

例1の答案Aで不等式の文字がxではなくkだと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．結構大きなポカミスでした．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数，対数関数の導関数について／16.4.13］

参考になる情報ありがとうございます。「○　これらの極限値は，次の極限値で表わすことができる．」次の数式にn乗が抜けているようです。参考になれば幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．iPhoneでチェックしましたが，ｎ乗は見えています．電波事情か何かで表示が遅いのかな？（iPadで遅い事があるという話は，たまにネットに書かれている）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均，母比率の推定について／16.4.11］

P(X≦m-1.67σ’)=0.5-0.4525=0.0475 この説明の１，６７が判りません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．右の欄に説明していますが，標本平均は $\sigma\apos =\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の正規分布をなすと見なせます．
ここで， $145=150-1.67\frac{30}{\sqrt{100}}=150-3.0k$ となるｋの値は1.67だから $145=m-1.67\sigma \apos$ になります．（その値145が，平均値から標準偏差の何倍離れているかを調べます）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数，確率分布について／16.4.11］

練習問題で理解度を確認でき良い。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均の推定・信頼区間について／16.4.11］

例題３等の計算経路をもう少し詳しくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．結構詳しい説明になっていると思いますが････

■埼玉[魚成さん／16.4.10］

対偶証明法と背理法の問題１ｘ，ｙの［　ア　］ならば［　イ　］となる．よって対偶により示された．はｘ，ｙは　か、ｘ，ｙが　のほうが文脈がいいかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例えば「象は鼻が長い」という文は，主語が2つあって「象は長い」とも「鼻が長い」とも読めるので，引っかかることがあります．「象について言えば，鼻が長い」と読めばセーフです．単純に「象の鼻は長い」とすれば問題は起こりません．これと同様に，「ｘ，ｙは少なくとも１つは１以下」とすると主語が２つになり，「ｘ，ｙは両方とも（が）１より小さい」としてもおかしくなります．正解の文脈で見ると「ｘ，ｙの両方とも（が）１より小さい」とすれば納まっていることが分かります．
　会話言葉では，「彼は歌がうまい」とか「彼女は数学がよくできる」と言い，それが自然に聞こえますが，書かれた文字にするときは，多義的に解釈されないシンプルな表現の方がよいと考えます．

■長崎県[新一年さん／16.4.9］

同（二文字）２の答えはどこにありますか？　答えを選択して１０問解きましたが、その後がよくわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．選択問題で数回の試行で正解に達することが分かっているのに，やってみる時間が無駄だという主張をしておられるものと判断しました．
申し訳ないのですが，そのレベルの顧客水準まで対応できる教材と必ずしもそうではない教材とがあります．特に，ヒントを見ても答が分からないという人は問題ありです．（先生に全部言ってもらわなけらば自分では何も分からない，なんてありえない話でしょう）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／16.4.9］

７３歳の私でも理解できました。有り難う御座いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／16.4.6］

色味が良くないです。図も見にくいです。文章中の色分けに規則性がなく、読みづらいです。内容はわかりやすく、Excel での計算方法も明記されているので助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半について：確かにご指摘の通り．作者が読んでも疲れる･･･ただし，直すのは今後の課題です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.4.5］

問題文のあとに、はっきりとした答が書いていないので、正しい答がなんなのかよくわかりません。解答を見たときに始めに赤い文字で大きく答を表示してから解説をして欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．記述問題ではなく単なる選択問題（４択）なので必ず正解に達します．分からないはずはありません．解答自体は４通りしかなく，この項目では解答が重要なのではなく，途中の考え方が重要で，それがヒントとして書いてあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直線の像，領域の像について／16.4.3］

問題８の解答と説明の答えが違っていた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.4.3］

入門から標準までとても良い問題だと思います。さらに多くの問題を載せていただけるとありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.4.3］

こういう感じのやつ、すごく楽しいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おそらく簡単にできた方の感想かなと受け止めました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.4.2］

分ったつもりでいて、いざ演習題を解こうとするとき、固有ベクトルの導出で躓いてました。一般固有ベクトルへの良いステップでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法について／16.4.2］

「右に続く」がどこに続いているのかわかりにくい。左を途中まで右を読んでまた左の途中から読むような記事配置になっているようで、どことどこがつながっているのかよくわからない。急に将棋や電球の話が出てきて、「続き」がここであってるのかがわかりにくい。普通に上から下に流すだけの読ませ方でよいと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．縦横２次元の配置を好まれない方は，上下１次元配置の携帯用を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.4.2］

分ったつもりでいて、いざ演習題を解こうとするとき、固有ベクトルの導出で躓いてました。一般固有ベクトルへの良いステップでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．情報量過多の現代，商品の効能書きをいちいち読んでいてはこちらの体が持たない，という生活スタイルに慣れてしまってしますが，数学やプログラミングの場合は「一言」読みそこなったら，すべて終わってしまう場合があります．白か黒かというような世界は住みにくいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.4.1］

問題演習で、内容が定着しました。非常に良いと思います。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の２倍角公式,半角公式について／16.3.31］

前の項で、式の導出を覚えたので、とても解きやすかったです。 ※問題が親切すぎると感じるほどでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／16.3.31］

公式→例題→演習の流れが、非常に定着しやすいのですごく良いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次変換の定義について／16.3.31］

例1の回答が間違ってますよ。 g・fとf・gの回答が逆です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中経過は正しくて結果が逆ということで了解しました．行列を表示する関数を作ったときに，どの機種のどの範囲のブラウザまで表示できるかなどを気にしていたため，「数学」の話は飛んでいたようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／16.3.31］

難しかったです。導出の仕方を理解するのに半日かかりました。数学が苦手なので、左記の簡略説明からだと、たどり着きにくかったのかも。。。その後、自分でいろいろ調べたので、おかげさまで公式は身に付きました。あやうく心が折れるところでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校の授業で現役バリバリの生徒が1週間くらいかけて習う内容を，数学が苦手の人が独学・半日で理解したというのですから，自分を褒めてもよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.3.30］

たすき掛けの因数分解の問題で、自分は数学が苦手だけど、とてもわかりやすく、しっかりと理解する事が出来ました。本当にありかとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／16.3.29］

仕事で必要だったため、利用させていただきました。理論などは難しくて理解できませんが、とりあえずエクセルでの計算はできるようになりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／16.3.28］

初めて三角関数の合成がわかりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理関数について／16.3.28］

もしかしたら、例の(３)と(４)の定義域が間違っているかもしれないです。無理関数は、よく分からないので難しく感じます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例の(3)(4)はこれでよいはずです．根号（2次無理数）を含む式の定義域は，（根号内）≧0で考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[相加平均.相乗平均.調和平均について／16.3.28］

３つの数の２乗平均のところが間違えていると思うのですが。。。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．3乗になっていたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数について／16.3.27］

難しかったけど、楽しかったです。剰余の定理をすっかり忘れていて苦戦しました！問題２のxyの平方完成の利用が思い付かなかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正確には平方完成とは言わないと思いますが，平方完成風の変形は少々マニアックなので問題2の4.についてはもっとノーマルな考え方も書いておきました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数について／16.3.27］

大変分かりやすく解説されており、理解が進みました。１点質問があります。「基底」とは、「空間Vを生成する１次独立なベクトルの組」そのものを指すのか、組を構成している各々のベクトルのことを指すのか、どちらが正しい理解なのでしょうか（おそらく各々のベクトルのことを指すのかと）。ご教授頂けると幸いです。また、それについてもこのウェブサイトに解説を入れて頂けると良いかと考えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．○4　基底と次元の所に書きましたが，「空間Vを生成する１次独立なベクトルの組を空間Vの基底という」ので，あなたの理解とは異なります．みんなで協力すれば空間を生成できるが，１つずつでは何もできないという感じかな．後半は理解できません･･･この頁全体が解説です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／16.3.26］

これほど綺麗にまとめるのは大変な労力であると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内接円の半径について／16.3.26］

ヘロン公式の記憶方法:父母2人，a母，b父，c子供。Q完整家庭。（Q-a）:失母，（Q-b）：失父，（Q-c）:失子。s:家庭四種類完全，根号。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ただし，誰かが足りないというような家族構成の問題を，数学教育のような社会改善とは直接関係のない単なる論理的な材料に使うことは歓迎できません．逆の使い方，すなわち，数学の話を社会教育を進めていく上で１つの話題として使うのはかまわないと思います．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数不等式について／16.3.26］

おもしろかったです！例３の底が１より小さいのに大きいと文章だけに間違っていました。修正いただけますとうれしいです!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解（２文字）について／16.3.26］

正解or不正解だけを知らせるのではなく、しっかりと解答＆解説を付けた方がその場で理解が深まってとても良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC用と携帯用の２つあってメンテが大変ですが，こちらの方には解説が付いていますので見てください．（PCはどちらも見られます）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[置き換えによる展開について／16.3.26］

すごく助かります! 中学生でもめっちゃわかります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■埼玉[魚成さん／16.3.26］

期待値の問題ですがミスですか？全員同じ手を出す（パパパなど）のが【３】通り　では？ (6)　紙＝パー，石＝グー，鋏＝チョキ，以下パグチと略す手の出し方の総数は N=33=27 通り（ア）１人勝ちとなるのは，パググのような出し方で　　　勝者の手の決め方が 3 通り（敗者の手は自動的に決まる）　　　勝者の決め方が 3C1=3 通り　　　 n=9 通りだから，確率は .13n （イ）２人勝ちとなるのは，パパグのような出し方で　　　勝者の手の決め方が 3 通り（敗者の手は自動的に決まる）　　　勝者の決め方が 3C2=3 通り　　　 n=9 通りだから，確率は .13n （ウ）アイコ（勝者0人）となるのは，　　　全員同じ手を出す（パパパなど）のが 1 通り　　　３種類の手が出るのが 3!=6 通り　　　 n=9 通りだから，確率は .13n 勝者の人数の期待値は E=0·.13n+1·.13n+2·.13n=1 …（答）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．結果はよいのですが途中経過にミスがありましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[高次方程式について／16.3.24］

4次方程式の解き方も教えて欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前回の指導要領改訂（H11年）で，高次方程式は３次までと複２次式までとなったときに，４次以上を扱わなくしていましたが，今回の改訂（H21年）ではこの限定はなくなったようです．ただ，筆者は手の込んだ高次方程式は，次のような理由から今後あまり重視されないように思います（本質的な問題と本質的でない事情が混ざっています）．(1)今日では高次方程式はコンピュータで解くことができ，人的な労力を投入する値打が下がってきたと思う (2)伝統的な方程式の理論に時間をかけるよりは，統計を駆使したデータサイエンスに重点が移ってきた (3)定期試験で４次方程式の問題を出してしまうと，１題解くために15分から20分ほど使ってしまうため，他の問題が出せなくなる．基本の理解は３次方程式までで調べられる (4)入試に関しては，数値係数の４次，５次方程式は解き方が決まっていて，受験者の創意工夫が測りにくい･･･（言い方に気をつけて言うと）浪人してでも入りたいような大学は，そんな問題は出さない．推薦入試や適性検査のような基本知識を大量に扱う試験で，小品の１つとして出す程度だと思う．
とりあえず，４次以上の方程式がこの教材の中にないことは確かで，現役生徒だけでなく社会人も読んでいる場合がありますので，４次方程式の教材も追加します．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.3.24］

良かったところとしてずっと疑問に思っていた点が書いてあった事です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.3.22］

上の高1メニューの赤枠の位置が違う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．疲れが出てしまったようで申し訳ない．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数の導関数について／16.3.22］

×2x^2-3 ○2x-3
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式:変数変換による解き方について／16.3.22］

あまり初歩的な本では見ない内容なので非常に助かりました。できれば、(v)あたりの直線が平行、交わるといった箇所のイメージ、物理的意味や、なぜそうなるかを加えていただけるとよりわかりやすいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２つの直線 ax+by+c=0 , a'x+b'y+c'=0 について a:a'=b:b' となっているとき，例えば

2x+4y=5 …(1)
3x+6y=7 …(2)

において，(1)の傾きは −2/4=−1/2 で(2)の傾きも −3/6=−1/2 となって，(1)(2)は平行です．a , a'が0でなければ，２直線 a'x+b'y+c'=0 , ax+by+c=0の傾きはそれぞれ−b/a , −b'/a'になるので，これらが等しければ平行になります．
すなわち，平行←→ $\frac{b}{a}=\frac{b\apos}{a\apos }$ ←→b:a=b':a'これはa:a'=b:b'と書いても同じ
ところで，ｙ切片も一致すると単に平行であるだけでなく一致します．（全く同じ直線になります）
そこで，a:a'=b:b'=c:c'ならば一致，a:a'=b:b'≠c:c'ならば平行，a:a'≠b:b'ならば平行でない（交わる）とまとめることができます．ただし，どれか１つが0であるときは，対応するものも0であると決めると分母が0になる場合を分ける必要がなくなります．（たとえばa=0のときはa'=0とする）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.3.19］

頭をつかいました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．基本とはいえども，作業量が多いので大変です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／16.3.18］

超楽しかったです！分数の問題もあったんですね！！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／16.3.18］

基礎の問題ばかりで、理解しやすかったです。欲を言うと、もう少し計算が複雑な分数や少数があると嬉しいです。楽しかったです。ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頁の上端にサブメニューを作っていますので，その次の項目を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２文字のたすき掛け因数分解について／16.3.17］

いきなり難しくなり、答えを見てもヒントを見ても、わからず逃げ出したくなりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は2文字たすき掛けの最後にやる「腕試し問題」なので，その頁から始めるのは無理です．･･･ちょうど今，因数分解あたりのサブメニューを作っていますが，もう何時間も作業をして疲れたので，明日以後にできます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／16.3.17］

例えばf(x)=5/xなど分数の時の問題も欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分数関数の微分は数学Ⅲにあります．頁の先頭に小メニューが作ってあり，「商,分数関数の微分」を選んでいただくようになっています．なお，微分係数f’(a)は導関数f’(x)のxをaに変えたものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.3.16］

難度が高いたすき掛けについてよく理解できました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次以上の因数分解について／16.3.14］

わかりにくかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．卒業生のようですが，あまり飛び離れた箇所を読むのではなく，もう少し系統的に読まれた方が分かるかもしれません．月日の間隔も，余りに開いていると知識がつながりにくくなります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の基本について／16.3.13］

(1) 5∫1dxx+1 5∫1dxx = ┌│└log|x|5┐│┘1=log5－log1=log5 +1が不要だと思うのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[割り算の原理について／16.3.12］

危険な落とし穴というところで「A÷B =Q…RであってもA÷Q=B…Rとはならない」と書いてありますが、成り立つ場合もあるので「とはならない」ではなく「になるとは限らない」にした方がいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正確に言えばご指摘の通りです．ここのところをグリグリに言っておかないと，多くの生徒が罠にはまってしまうので，ついつい勢い余ったのかな･･･訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／16.3.12］

みにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．5Ｗ1Ｈのうちの5Ｗが抜けているので，意味が通じません．通常，「みにくい」とは「みにくいアヒルの子」の使い方で「汚い」という意味になりますが，そういう意味でしょうか．とりあえず，配色，文字サイズ，文字間隔の内で配色を変えてみましたが，何度もアクセスしておられるようなので，再読み込み（リロード）しないとその結果は現れません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数について／16.3.11］

わからない所ので、すごく助かりました！！本当にありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／16.3.9］

分かりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．特に要望があった訳ではありませんが，見てみたら選択肢の間隔が狭いようなので広げました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.3.8］

本当に助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次式の因数分解について／16.3.8］

自分で選んだ項目の色が変わるなどして欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁では選択肢の間隔が狭くて何を選択したのか分かりにくいということがあるようですので，直します．なお，androidで記録が残るのか？という意味でしたら確認できません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[基本的な三角比の値について／16.3.7］

これから高校生。数学頑張ります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／16.3.7］

もう少し難しいのも出してほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭に書いていますように，高校の確率の基本は中学校の復習から始まります．メニューをたどれば順に難しくなります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分法について／16.3.7］

分数が、その上段、下段の文字と重なり、良く見えないところがあります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Windows 上のSafariでは取り立てて重なりは見当たりませんが，Mac上については点検できません．第何問の何行目のどれとどれの間というように具体的に述べていただくと直せます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直交行列とは（定義，性質）について／16.3.6］

分かりました。年のせいかすぐ忘れます。すみません。知識の確認にとても役立ちました。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.3.6］

独学にとって分かりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.3.6］

分かりづらかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／16.3.6］

図と例があって分かりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式について／16.3.6］

理解しているつもりでもやってみると一回ではなかなか正解にたどり着かず、やり直しが必要でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■大阪[iriさん／16.3.6］

社会人です。高校は美術専攻だったため1年時しか数学の授業がなく数Ⅰ数Aまでしか履修していませんでした。有名な微分積分がわかるようになりたくて中学数学から勉強しなおしています。こちらのサイトがなかったら独学できなかったかもしれません。今、微分を勉強しています。すごく楽しいです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．独学でやったときに，壁になりやすい個所などがありましたら，気がついたときに教えてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[総和記号　Σ（シグマ）に慣れようについて／16.3.5］

クリックをしても反応しないことがある
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題が画面に表示されてから，周辺の付属物の表示に取りかかっている初めの数秒間は，採点関数がまだロードされていないことがあります．「♪～せまい日本．そんなに急いでどこへ行く」

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.3.3］

やりたい問題が手軽に手に入るので、便利だと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／16.3.1］

Pの見つけ方はこれではわからない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は行列の対角化とはどういうことかということを述べており，「行列Pを見つける方法については，次の頁で扱う」と書いてあるので，次の頁を読んでもらえばよいのですが．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／16.2.29］

わかりやすいです。問題もピンポン!!ってなるし、暗算でできるレベルなのでめんどくさ、ってならずに解くことが出来ました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの大きさについて／16.2.29］

もやもやしていた部分が解決しました！単位ベクトルの事なんてすっかり忘れていました…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[繁分数式について／16.2.29］

分かりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の部分積分法について／16.2.29］

答えがでない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど答が出ないようなので，出るようにしました

■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.2.28］

目次が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書いているうちに，あれもこれもと分量が増えてしまったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.2.28］

詳しい解説を載せてほしいです！問題だけでもすでにありがたいんですが…✨
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡をもらいましたので点検しました．なぜかIEでのみ問題３の(2)以後の解答が表示されていませんが，Safari, Chorome, Firefoxではエラーはありませんでした．あなたの場合は，Safariなので表示されていると思います．･･･それとも，詳しい解説というのは 3²×2=18というような途中経過の全部のことでしょうか．

■福井県[?さん／16.2.27］

中学で支援員をしています。すっかりなまってしまった頭を回転させなおしているときに、行き当たりました。がんばって思い出します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[導関数の定義について／16.2.27］

数字の1をイタリックで書いたフォントを、アルファベットのエルの小文字のイタリック体と、見間違えてしまった。イタリックはやめた方が良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁には l という変数は定義されていません．lim の記号以外で，文字のエルが登場する根拠がありません．
他方では，normal字体で書いても l (*)が何と言う文字か区別が難しい事情は変わりませんが，イタリックで書いたlを1と読む生徒はいません．
また，xと×の区別が付かないのに対して，xは×と区別ができます．
さらに，今日では多くの学校で筆記体を教えないので，英数が得意でない生徒には，数学の教科書に登場するaが英語のaだと理解できないことがあります．（学力低下のせいで高校でqという字が書けるだけで英雄待遇を受けるという場面に出くわしたことがあります！）
このように，normal字体で書いても利点がないのに対して，italic字体で書くと利点があります．
（sin θ, lim x, log x などの特定の関数記号はできる所からnormal字体に直しています．）･･･(*)はエル

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｔ分布について／16.2.26］

要約の式で、標本不偏標準偏差と標本単純標準偏差の式が逆になっているように思います。片側検定と、両側検定の使い分けの説明がある方が親切と思いました。
（追伸）
先ほど、『要約の式で、標本不偏標準偏差と標本単純標準偏差の式が逆になっているように思います。』と書いて送信しましたが、こちらの勘違いでした。失礼いたしました。片側検定と、両側検定の使い分けの説明がある方が親切と思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．片側検定と、両側検定の使い分けは，その頁にはあまりはっきりとは書いていません．踏み込めば混乱してしまうかもしれないと躊躇したためです．
さらりと言えば，「片側検定にするか両側検定にするかは，分析者の興味・関心による」すなわち「帰無仮説μ=μ₀に対して，対立仮説μ≠μ₀に興味・関心があるなら両側検定を使い，対立仮説μ>μ₀とかμ<μ₀に興味・関心があるなら片側検定を使う」．
このように言うと「分析者の主観的事情で検定が変わるのか」と疑問を持たれるかもしれませんが，「分析者が興味・関心を持っていること，したがって読者が興味・関心を持っていると推定できること」が「ある値にほぼ等しいかどうか」「ある値よりも大きい（小さい）かどうか」を選ぶことになります．
さらにもっと具体的な例でいうと「10円硬貨を10回投げて，表が3回，裏が7回出た」とします．「こんなことがあるのか．この10円硬貨はいかさまではないのか．」という観点から調べようとする場合，わたくしなら「表がそんなに出にくいことはあるのか → μ<5」という片側検定を行うことになります．しかし，私がどこかの政府の造幣局責任者で，「表と裏の出方が十分均等にならないような貨幣はだめだ」と考えているなら「μ≠5」の両側検定をします．
このように，分析者の興味・関心，それに応じて推定される読者の興味・関心が，両側なのか片側なのかどちらを調べたいのかによって決まります．（カイ２乗検定のように，実際には片側検定しか使わないものもあるようです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値記号2つの外し方について／16.2.25］

始めのところa>0|a |= a
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学1年の教材の初めの方に書いていますが，絶対値の定義の仕方は幾つかありますが，一番簡単なのは「符号」と「符号なしの数字」に分けたときの「符号なしの数字」が絶対値です．正の数の絶対値は|+3|=3 , |+5|=5, |+7.1|=7.1のようにそれ自体に等しくなります．（難しく考えなくても符号を取り除いただけ）
ただし，0についても|0|=0が成り立つので，これらをまとめるとa≧0 → |a|=a
これに対して，負の数の絶対値は|−3|=−(−3)=3 , |−5|=−(−5)=5のように符号が変わる：a<0 → |a|=−aとなります．（難しく考えなくても「符号を取り除く」にはどうしたらよいかを考えれば分かる）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Google Chartを使った数式の書き方について／16.2.25］

\times{b}とすると、bの前にSpaceを入れなくてもOKのようです。Spreadsheetで使うには、Spaceがあると誤作動を起こします。偶然見つけました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／16.2.25］

答えも書いてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答が必要な後半は書いてあり，前半は「見れば分かる」即答問題なので，特に答は必要ないと思いましたが，どうしても書いてほしいという人がいるならということで，付けました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の頂点の座標について／16.2.24］

とてもわかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／16.2.24］

上から見ていけばこの場合にどういう手法を使えばよいのかがわかりやすく作られていてよかった。欲を言えば、上部にジャンプメニューを配置し、見たいところがすぐ見れるようになっていたら非常に良いと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．欲を言えばそのようにも言えますが，この頁は全くの初心者向けなので，そもそも何の話か？のあたりから説いています．そこそこイメージができている人から言えば，あなたのようにジャンプすることができるかもしれませんが･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[導関数の定義について／16.2.24］

わかりにくい問題 : y = √2xの部分
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いていますように，その問題は発展問題で，本来数学Ⅱでは無理関数（累乗根）の微分は扱いませんので，見かけは難しく感じるかもしれません．ただし，導関数の定義に従って計算すると，その問題もできることになり，定期試験の応用問題として出される場合もあります．ただし，数学Ⅱまでが出題範囲となっている入学試験などでは出さないでしょう･･･もめるから．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／16.2.24］

複素数の意味がよくわかりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／16.2.23］

証明の部分も素晴らしいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[関数の連続性について／16.2.23］

極座標変換しないで解く方法も教えて欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「２変数関数における連続の定義」のところに書いていますように，「どんな近づき方をしても一つの値に近づくときに極限値がある」というので，その下の例に示したように近づき方によっては異なる値になる場合は極限値は存在しません．このように，２変数の場合に「近づき方に依存しない極限値」を求めるには，ｒ→0 とするのが安全で，たまたま他の方法でできる問題があっても，それは危ないものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定･･･平均値の差の検定について／16.2.23］

表の中で注目すべき値がカラーになっていて見やすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[積和の公式.和積の公式について／16.2.22］

やったーの画像が可愛かったです^_^
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全部できたときに出すご褒美メッセージは，数学的にはどうということはないように見えますが，やる気を起こす上で重要だと考えて，所々頑張って書いています．
山登りでも，頂上の展望がよい山はやる気が起こりますが，頂上だというだけで何もないと，あまり気合が入りません．こんな訳で，よく頑張ったときには，何かそれなりのねぎらいの言葉でも出すべきかと考えています．
　ばればれだと思いますが管理人は元高校の数学の教員で，冷たいロジックの世界の住人なので，幼稚園や小学校の先生のようにいい配色のかわいい絵を描くことはできませんが，著作権法に反しないように「下手は下手なりにそれなりに頑張って」絵を描いています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法について／16.2.21］

大阪につく電車の例えは秀逸でした。これのおかげで、すっきりと頭に落とし込むことが出来ました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.2.21］

とりくみやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.2.20］

トップページ、ホームページへのリンクがわかりづらい。ページ左上くらいにほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その課題はありますが，まだ対応できていません．改訂には１年ぐらいかかります．- - 作っているときには，十年以上前にはどんな頁ができるのかはあらかじめ分かりませんので，トップ頁＞学年＞単元＞現在頁･･･前後の頁　といった階層図を作成できるようになったのは，全体ができて以後のことです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理について／16.2.20］

【例１】 sin15°の値を求めてください．　この問題では，コンピュータや数表を使った近似値ではなく，根号を使った厳密な値を要求しています．　高校では，0°, 30°, 45°, 60°, 90°, ...の三角関数は覚えなければなりませんが，それ以外の角の三角関数は，通常覚えません．　ここでは，sin15°=sin(40°－30°)のように変形することにより，三角関数の加法定理を使って既知の三角関数で表せるものを扱います．この文のsin15=sin（45°-30°）ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が不明です．sin15と書くとラジアン単位となり，sin（45°-30°）と書くと度単位になるので，全く異なるものです．sin15°=sin(40°－30°)が正しいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／16.2.20］

とてもわかりやすい説明と、手軽に答えられる問題(問題が簡単すぎるという訳ではなく、操作に於いての意味です。)がスムーズな流れで配置されているので、気が付いたら全問解答していたという感覚です。とても取っ付きやすいサイト様だと感じました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階差数列について／16.2.20］

すごいわかりやすくてびっくりしました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／16.2.20］

覚えやすくまとめられており良かったです。ありがとうございました。覚え方のごろ合わせなんかもあるといいですね♪
＝＞［作者］：連絡ありがとう．覚え方のごろ合わせについては，少々考える所があって文中の表現のようになっています．すなわち，私塾などでは正弦について「咲いたコスモスコスモス咲いた」，余弦について「コスモスコスモス咲いた咲いた」などと教えるところもあるようですが，語呂合わせは「元のものをそのまま覚えるよりも，簡単になっていて，印象が強く，情報量が多くなければなりません」．しかし，この私塾のやり方では，どちらがどちらかの区別が付かず，符号も区別できません．印象だけ残りますので，１か月も経てばどちらがどちらなのか分からなくなります．このようにして､筆者としては，サインは「サ行=ストレート，そのまま」，コサインは「カ行=カーブ，クセあり」で符号だけは間違わないように押さえています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.2.18］

因数分解のやり方を楽しく思い出すことができました！ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／16.2.18］

いつも参考にさせて頂いております。基本チェックの問題(2)の準線の解答欄(空欄の部分)がy=-1/4のところがx=となっておりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数について／16.2.17］

非常に分かりやすくて勉強になりました。特にカーネルと次元のところがよく分かっていなかったので助かりました。 2節例2のa1ベクトルの第3成分に-を付け忘れているみたいですよ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項分布について／16.2.15］

■まったくの初心者向け■ 基本にもどつての計算は参考になりました。分散計算で V(X) =E(X2) - E(X)2 は50/36-25/36となり 5/36ではなく 25/36ではと思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．ついでにその上のE(X)も書く場所がおかしいので直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定について／16.2.15］

◇簡単な例でイメージ作り(1)◇の文中、 σ = np(1-p) = 3.536 とありますが、np(1-p)の平方根をとらないと計算が合いません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．N(m, σ²)で第2引数は２乗だと教えながら，自分で間違っていたようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算について／16.2.14］

とてもわかりやすかったです。例題が多く、要所が赤で色分けしてあったので、ひとつひとつ確実に消化しながら取り組めました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[数学的帰納法 ==（等式の証明）について／16.2.14］

無料でこのような問題を作っていただき、ありがとうございます。数列と組み合わせた問題を作っていただくと、より楽しめると思いました。
先ほどの補足です。階差数列の問題等と組み合わせていただけると、より楽しめると思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．精密な形で証明しようとすれば，数列の問題は何でも数学的帰納法の証明問題になるといえます．
ところで，そもそも数学的帰納法による証明が必要となるのは，結論が予想できるがそれが正しいかどうか分からない場合です．結論が予想できない問題は，証明問題にはなりません．これに対して，高校生が問題集や大学入試で出遭うのは，階差数列，漸化式，群数列，･･･などから一般項を求めよという形の問題ですが，これらのほとんどは，公式を使ったり規則性に注意すると解けてしまうものばかりです．その過程で答案作成時間と紙面を全部使ってしまうようになっています．そこで，入試問題集の解答例に備考として「帰納法を持ち出すまでもない」などと書いてあるのは，この答案は「･･･」で十分なのに，その結論をさらに数学的帰納法で証明しだしたら時間がいくらあっても足りなくなるから，そこまでは必要ないという意味です．（初項が１，公差が１の等差数列の一般項を求めよという問題では，等差数列の一般項の公式に代入すれば解けてしまいますが，これをさらに数学的帰納法で証明することはできますが，そこまでは必要ないなど）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[マクローリン展開について／16.2.14］

log(1+x)という形は、他と比べて特殊な形ですがどんな場合に使われますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

テイラー級数： $f(x)=f(a) + \frac{f\apos (a)}{1!}(x-a) + \frac{f\apos \apos (a)}{2!}(x-a)^2$
$+ \cdots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!}(x-a)^{n} \cdots$
を $a=0$ の近傍に適用したものが
マクローリン級数： $f(x)=f(0) + \frac{f\apos (0)}{1!}x + \frac{f\apos \apos (0)}{2!}x^2$
$+ \cdots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!}x^{n} \cdots$
ですが
$y=\log x$ のグラフは $x=0$ の所が特異点になっており，f(0)もf’(0)もf”(0)も何もありません．このように $y=\log x$ という関数を $x=0$ の近傍で展開することは「無がむなしいことを言う」ような話です．
これに対して $x=1$ の近傍で展開すると，教材の公式のようにうまくいきます．
他の例では， $y=\frac{1}{x}$ のグラフもf(0)もf’(0)もf”(0)も何もありませんので，同様にして

$\frac{1}{1+ x}=1-x + x^2-x^3 \cdots + (-x)^n \cdots$ が示されます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.2.12］

気にいった所 : B)　「師匠が直接管理する」
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／16.2.12］

とても分かりやすかったですありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１階線形微分方程式について／16.2.12］

1階線形微分方程式波動方程式の、時間変化する誘導電荷の式導出に、参考にさせていただきました。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．難しいのをやっておられるようで，筆者に今後復習の機会があるかどうか･･･

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／16.2.11］

どういうときに階乗を使うのかがわからないから、「おお便利だな！」という感動が薄い感じがします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭に書いていますように，順列と組合せの全部に登場します．そこから後のその単元全部です．階乗の計算を習得しないと，そこから後の項目に進めません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数の増減（文字係数）について／16.2.10］

実習１　≪答案≫(Ｃ)何故「２つの解が０以下」、「２つの解が1以上」なのでしょうか？解説をお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに解説が書いてあるのに，解説をお願いしますと言われたら，普通はイラッとしますが，一応気長に述べると
ｙの増減［図3］はｙ' の符号［図4］で分かる．図3のように２つの極値の間の区間で減少になることは，図4の２つの解の間の区間が負になることに対応する．だから，0から1までの区間がこも区間の中にないようにしなければならない．そうすると，「２つの解が０以下」、「２つの解が1以上」になるようにしなければならないということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[たすき掛け因数分解について／16.2.10］

理解しやすいので試験勉強に利用させてもらっています。ありがとうございます。第3問の12x^2+xy-6y^2+14x+36y-48での質問です。 (-4x-3y+6)(-3x+2y-8)で答えを出したのですが、試験では誤回答として減点されますか。 xをできるだけプラスの項で記入して綺麗な状態にしないといけないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ｘの係数を正にするのが普通でしょう．簡単な例で示すと

$x^2 + 3x + 2=(-x-1)(-x-2)$ と書く生徒がいたら，「わざと符号を変えて読みにくくしている」のだとしたら，教育的指導が必要でしょう．「負の符号は避けた方がよいということを知らない」のだとしたら，それも問題ありでしょう．
数学なのだから正しければよいはずだと考える人は，次の答案で正解にしてほしいというかもしれませんが，それは無理でしょう．
$x^2 + 3x + 2=x(x + 3 + \frac{2}{x})$ $x^2 + 3x + 2=x^2(1+ \frac{1}{x})(1 + \frac{2}{x})$

このような訳で校内の定期試験では，学習の途中だから「少しでもよい答案が書けるように」減点するかもしれません．しかし，何千人，何万人が同じ試験を受ける模擬試験や入学試験では，結果判定ということに重きを置いており，採点官も多人数になりますので正答の許容範囲を完全に決めます･･･そもそも，入学試験では何通りも書き方があるような問題は，避けるでしょう．
　さて，元の質問に戻りますが，A「あなたはその書き方しか思いつかなかったのかどうか」、B「本当にその書き方の方がよいと思うのか」、C「全知全能の採点官に喧嘩を売って不利な結果を得たいのか」，D「奇をてらった答案で目立ちたいのか」という辺りの自分の動機に曇りがないのかということを振りかえってみることも重要です．（若いころの筆者ならDの路線で突っ走ったかもしれない）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正弦定理について／16.2.9］

いろんな問題を出して欲しいあともっとわかりやすくして欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭に書いていますように，その頁は解説の頁で問題は別の頁にあります．次に，正弦定理をいろいろな場面で使えるようになるには，結構複雑な処理が必要になりますので，話が込み入って来るのはやむを得ないことです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／16.2.9］

階乗という数式があることをこの年までしりませんでした。数字の後ろに！。練習問題解けてよかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｔ分布について／16.2.9］

右と左で分けてあるが、特に上部のt分布の説明でそれらがどのように関連しているのかわかりにくかった。あと歳を取ってきているせいか、一部の文字の色（特に灰色）と大きさが少し私の眼にはつらかった。いずれにしても感謝してます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／16.2.8］

分かりやすいくて良かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／16.2.8］

正しい解を入力してもはずれと表示されるようです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題欄のはじめに書いてありますように「英字は半角小文字、数字は半角」で入力してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内接円の半径について／16.2.6］

中学二年生です。塾の授業の復習に使っています。分かりやすいです。いつもありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学で習いますか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項分布について／16.2.6］

ちょっと忘れた者にはそのまま効く（有り難うございます）が、すっかり忘れた人には他のページなど（全体の構成がわかりませんが）へ飛んで詳しい説明が見られるなどあるとよいかも。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．必要なものをメニュー項目からさがしていただく想定になっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／16.2.6］

指数が分数の場合の計算を調べた後はとても簡単に理解できました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３次関数（文字係数と極値）について／16.2.6］

例題もついていてわかりやすい。質問対応もしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材全般について，教材で取り上げた問題については，質問があれば答えます．ただし，各自が授業や学習塾，問題集で疑問を持った他の問題を解いてほしいという要望には答えません． - -「入試会場の中からweb書き込みで質問して，その答を答案に書いた」という大きな事件が数年前にありました．また，自分で解かなければ力がつかない宿題をやってもらうようなこともよくない．このような訳でこの教材の中にない問題については回答しないのが原則です． - - とはいえ，箸にも棒にもかからないような，何が分からないのか分からない，どの教材を見てよいのか分からない，というような質問に対しては教材の場所（URL）を教えている場合があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[pならばqの真偽について／16.2.6］

問題7の2.3は問題としては不適切、もしくは設定不十分と思います理由としては、回答側としては、この問題がいつ生成されたかが分からないからです。問題文の「今日」が今まさにこの文章を作っている今日なのか、この問題が作成された(回答者はわからない)今日なのか、判別できないからです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．物事を深く考える方だということは伝わってきますが，提出された御意見には賛同できません．
詳細は解説を読んでもらえばわかりますが，問題作成者の「今日」と回答者の「明日」という具合に日付を判断する主体を変えてしまう手品を使うと問題が成り立ちません．筆者の今日と筆者の明日でもよく，読者の今日と読者の明日でもよいが，通常は読む人が自分の月日と曜日で考えます．
たとえば，日本では今日は2016年2月6日土曜日の午前の早い時間ですから，そのプログラムでは2「今日が6日なら，今日は土曜日である」，3「今日が日曜日なら，明日は6日である」となっているはずです．この場合，2は真→真だから真になります．3は偽→偽だから真になります．
しかし，この問題をアメリカ側にいる人が読んでいる場合（現地時間にセットされ，日本語フォントがインストールされているコンンピュータを使っていれば，2016年2月5日金曜日を示しているはずです）2「今日が5日なら，今日は金曜日である」，3「今日が土曜日なら，明日は5日である」となっているはずです．この場合，2は真→真だから真になります．3は偽→偽だから真になります．
他方で，この教材をあなたが読んでいて，国際電話でアメリカにいる友人に問い合わせた場合（月日と曜日の判断はすべて友人が行う），問題は2「今日が6日なら，今日は土曜日である」，3「今日が日曜日なら，明日は6日である」となっているので，これを電話で伝えて友人に考えさせても，2は偽→偽だから真になります．3は偽→真だから真になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／16.2.5］

0はどのようにすればlogにできますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁のテーマそのものではなく，対数のテーマだと思いますが

0<a<1 , a≠1となる任意の実数aについてa0=1が成り立ちます．
それゆえに，0<a<1 , a≠1となる任意の実数について0=loga1が成り立ちます→0=log21 , 0=log31 , 0=log41 , 0=log51 , ...

■［個別の頁からの質問に対する回答］[同時確率分布と周辺分布について／16.2.5］

わかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／16.2.4］

すごくわかりやすかったです！！！どこ見てもわからなくて困ってたので助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｔ検定について／16.2.4］

ものすごく助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／16.2.3］

大変わかりやすいサイトで、とても重宝しています。このページの階乗問題の、問い6のHELPの項目に、誤りではないかと思う記載がありましたので、ご連絡いたします。訳文の説明で、したの項が4×3×3×1となっていますが、正しくは4×3×2×1ではないでしょうか？これからも利用させていただきますので、何卒よろしくおねがいします！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．タイプミスですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内接円の半径について／16.2.2］

受験日なのですが分かりやすくて助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．会場の外なら見てもよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算について／16.2.1］

問題６(3)の◯が表示されない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．表示されないことはないのですが，携帯版では「選択肢の間隔が狭い」「個別問題の解説がない」という問題があるようですので，改訂します．

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組合せについて／16.1.31］

パスカルの三角形を紹介し、「こんな所にも組み合わせがある」と、載せてみるのはどうでしょう。パスカルの三角形そのものも面白いものですから、数学に興味を抱く人が増えるかもしれません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．パスカルの三角形を扱うのも悪くないと思いますが，「こうです」と言ってしまえばそれで終わってしまうと，一方向の言いっぱなしになってしまうので，読者が「遊べる教材」に組み立てるには，どのように仕上げたらよいかと考えているうちに，忘れてしまったようです．そのうちいい考えが浮かべば見当してみます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分：基本計算について／16.1.31］

このサイトが断然分かりやすくて、すぐに理解することができました。助かりました！とっても感謝です。このようなサイトを作っていただき　ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.1.30］

教科書よりも、とても分かりやすい解説でした！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.1.30］

実用的な例題などがあって式の組み立て方とその説明があったら言うこと無しです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「実用的な」ということが何を表しているかは別として，弧度法によるグラフや三角方程式，不等式での使われ方については，メニューをたどって該当項目をご覧ください．
　教育現場の本音をムケムケに言ってもよいのかどうか迷うところですが，原理的に（理屈の上では）弧度法の単位：ラジアンが数学Ⅱにある必要は全くなく，どうしても弧度法が必要になるのは三角関数の微積分が登場するとき：数学Ⅲです．弧度法が数学Ⅱに入っている理由は，たぶん高校３年生は授業時間数が少ないため，数学Ⅲに入れてしまうと数学Ⅲがパンクしてしまうからだと思います．（理系離れで成り立たなくなってしまった数学Ｃがないとすると，残り全部を数学Ⅲに入れなければならない．）
［要約］学習意欲をそぐようで申し訳ないのですが，弧度法がそれなりに使われる例を学ぼうとすれば，三角関数のグラフ，三角方程式，三角不等式の問題をやってください．ただし，本質的にはその問題は度数法（60分法）で考えても解ける問題です．
　これに対して，弧度法の「実用的」な例となるのは，どうしても三角関数の微積分の問題になります．これ以外には弧度法の存在意義は考えられません．三角関数の微積分の問題は数学Ⅲにあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／16.1.29］

Exelでのchitest関数の使い方が分かってよかった。返す値がpの確率となるのはどんな仕組みか簡単に説明して頂けるとありがたい。4分割表でdf1の確率比からどのようにしてpを出しているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の下端（２項分布の正規分布による近似）で解説していますように，各々の自由度に応じてカイ２乗値を計算し，◇簡単な例でイメージ作り(2)◇の１つ上の表でカイ２乗値からｐを逆に読むと考えるとよいでしょう．（コンピュータの中には表が組み込まれていると考える）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／16.1.29］

ラムダが表示されない (Androidにて)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Android でギリシャ文字のフォントがない？- - Times，ひげなしゴシック風，ひげあり明朝風，手書き風の順にその機器で利用可能なものがあれば表示されるはずですが，どれにも該当しないとは？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／16.1.28］

すごくわかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.1.28］

本当に分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／16.1.28］

行列の計算ができず、このサイトにたどり着きました。とても良かったです、簡単に練習できる形式のおかげで、誤って理解していたところを把握できました。やはり文章を読む→練習問題は鉄板でありながら重要ですね……。文章も丁寧でとても良いです。助かりました、ありがとうございました。(*´◒`*)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Ｆ検定→ｔ検定について／16.1.28］

統計知識がゼロの人間にはちょっと理解できませんでした…。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなた自身が述べておられるように，統計知識がゼロではその頁は無理です.メニューに沿ってもっと前の方から読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[極限値，不定形の極限について／16.1.28］

∞や+0、-0という表記を高校で扱ってる教科書や問題集でしていなかったので、わかりにくく感じてしまいました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学Ⅱには∞や+0、-0という記号がなくても数学Ⅲには必ずあります．その意味は頁の初めの方に解説しています．数学Ⅲではこれらの記号から逃げることはできませんので必ずマスターしてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正規分布について／16.1.28］

ちょうど大学のテストに使うところだったので、わかりやすいし、例題が多くて自分でもできるようになってきました。ただ、まだわからないところとしては、解説のP=２θ？のように一旦置き換える作業がよくわかりません。私はExcelで直接入力して、式は違うけど答えがあっているので、問題はないとは思いますが、置き換える作業の意味と効果など、ありましたら教えて頂きたいです。もしくはそれが普通なのだとしたら無知ですいません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Excelが使える場所にいれば，NORMSDIST() は負の値に対してでも使え，さらにNORMDIST() にすれば，期待値（中央）が0でなく，標準偏差が1でない場合でも使えるので，ことさら変数を変換しなくても直接求められます．
　しかし，試験会場のようにExcelを持ちこめない場所では標準正規分布表で求める必要があるので，常に0以上の区間に直し，かつ期待値0，標準偏差1に変換してから表を読み取らなければなりません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[負の指数について／16.1.27］

負の指数の導入が分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分散分析について／16.1.27］

時間がない初心者にとって非常にわかりやすい解説で助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の移動について／16.1.27］

問題8の解答が解答欄のチョイスの中にない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の符号が逆になっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[検定.標本が大きく正規分布が使える場合について／16.1.26］

順番を追って丁寧に説明されており，非常に分かりやすかったです．助かりました．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[重積分--積分順序の変更について／16.1.25］

iMac/Safari　少しですが積分記号と数字が重なって表示されます。全く判別不能という訳ではありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．積分区間が根号のある分数の場合に，本体の式と少し被ることがあるようですが，これは技術的に防ぎにくい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方根の計算･･･センター試験問題について／16.1.25］

このページは全体的に分数が崩れていて、全く読み取れません。このサイトはとてもいいサイトだと思っているので改善のほうをよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PCのIEということですので調査しましたが，こちらからは全く問題なく読めており，崩れていません．（IE, Safari, Firefox, Chrome, Operaいずれも問題ありません．）この１か月の間にその頁を読んだ100人以上のひとからもそのような苦情は来ていません．
携帯版の方はどうですか．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の移動について／16.1.25］

問題1の正解不正解のイラストがズレて表示される.問題1の1,2のイラストは左上の'メニューに戻る'の左辺りに,5ミリ位の大きさで表示され,3のイラストは1のところに,4のイラストは2のところに…とういうように2つずつ上にズレている. タブレットでクロムを使っています. 分かりやすくていつもとてもお世話になっています.ありがとうございます.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．携帯版に移植した時に，ずれてしまったようですので，訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[≪定数係数の２階線形微分方程式≫（非同次）について／16.1.25］

答えかけよ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．大学生にしては粗雑な言葉使いが気になるところです．あなたは，360 x 640の画面のAndroidを使って，同じ頁に約15分ずつ４回，計１時間以上見ていながら１題も問題に答えなかったということが分かります．１題でも答えていれば解答は表示されます．
　世間的には，まだまだ採点機能の付いていない一方向通信の教材の方が多いので，採点機能があるとは思いつかないのは無理ないかもしれませんが･･･．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／16.1.24］

これだけは押さえた方がいい👍 といったポイントが欲しいです👀
＝＞［作者］：連絡ありがとう．赤枠でぐりぐりに強調してあるのが【要点】です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式の除法（割り算）について／16.1.24］

とっても分かりやすい!!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／16.1.24］

わかりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[陰関数の導関数について／16.1.24］

導入やら解説やらわかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組わけについて／16.1.24］

例３の(2)で2！をしていません！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，携帯版で例題の解説を増やしたときに，ミスがあったようです．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／16.1.22］

わかれば一気に楽しくなりますが、理解するまでが長いのが数学だと思います。テスト前の確認としてこのページを見さしていただきましたが、とてもわかり易かったと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／16.1.22］

すっかり、忘れていました。数Ⅲ でやったのかなぁ？微積分、代数・幾何とかの時？受験科目が数ⅡBまでだったから授業だけで。知っていて損はないものだと。解りやすい説明でした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の対角化とはについて／16.1.22］

Pについての議論、特にはPをどのようにとるのかについて触れていただければと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その次の頁行列を対角化するにはを読んください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[解と係数の関係について／16.1.21］

672Xにじょう－2840X+2652＝0 は、どのようにして求めればいいですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材で扱っている問題ではなく宿題か何かの問題のようです．そういう質問にはお答えしません．
　参考までに，「何を」求めるのかを書かないと質問になっていません．あなたが質問している頁は「解と係数の関係」の頁です．解と係数の関係なら，その頁を読めば「みた通りに」直ちに答が言えるはずです．（係数を4でくくる必要があるが）
　そうではなくて「２次方程式の解」を求めたいというのなら，見ている頁が違います：この頁の「解を求めるプログラム」で数字を入れたら答が出ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モルガンの法則について／16.1.20］

よくわからなかった問題はないが問題4の答案の傾向が問題5の問題文に被っている。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたと同じようにPCのChromeでチェックしましたが，ご指摘の症状は確認できませんでした．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／16.1.18］

y=tan－1x とは x=tany (π/2<y<π/2 , －∞<x<∞)となるyの値のことです． yの範囲は-π/2<y<π/2ですよね
＝＞［作者］：連絡ありがとう．マイナスが抜けていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列式について／16.1.17］

結局４次の正方行列の場合の行列式のもとめ方がわかりませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2次の場合にたすき掛けの引き算で，３次の場合にサリュの方法でというように，それだけに通用する方法で済ませていると4次以上の場合ができなくなります．
行列式については，この頁やこの頁にも解説がありますので，ぜひ４次の行列式を３次の行列式から余因子展開によって帰納的に定義する方法をマスターしてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式２について／16.1.17］

自分の答えが間違っている時何が間違えているか確認したいので解答があればなぁ～と思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HELPを押せば解答も出ます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[t検定について／16.1.16］

大学の授業の参考になりました!!!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／16.1.16］

とても良かったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[≪定数係数の２階線形微分方程式≫（非同次）について／16.1.16］

例が出ていてとても分かりやすく参考になります、ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.1.15］

私は72歳です。57年ぶりに二次方程式を解きました。解説がわかりやすく、昔もこのくらい良い教師だったらよかったのに。孫に教えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／16.1.15］

χ二乗分布は、天下り的に教えられたことが多く、学ぶ気もしませんでしたが、このテキストを読み、確率論的なバックグラウンドと応用のを非常に短時間に学ぶことができました。もうテキストを読まなくても適用できるほど理解できました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／16.1.14］

正規分布に従うXiにおいてその2乗の和がカイ2分布に従うということの証明を探していて、この教材を見つけました。　最初の箇所は特に感覚的に分かりやすいと思いました。　まだ、最後まで読めてませんが、他の本などと比べて分かりやすい印象です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.1.13］

三角関数の積分の解き方が見やすくパターン化されていて自分の知識を整理するのに役立ちました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の計算について／16.1.13］

とても良いページで、重宝しています。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[簡単な重積分の計算について／16.1.13］

xの定義域にyが含まれてるのとかもあるとより助かるなと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その内容は→重積分:積分領域が変数に依存する場合にあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[弧度法の単位ラジアンについて／16.1.12］

図が表示されない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PCのIEでチェックしましたが，こちらでは図は表示されており，そちらのPCの状況が分かりません．
　たとえばセキュリティ対策としてjavascriptを止めておられる場合は，「図は表示される」が「問題が表示されない，採点できない」となるはずですが，図が表示されないとは？
　なお，余計なお節介かもしれませんが，あなたが使っておられるIE 9.0 は今日（2016.1.13）でサポートが終了するようです．何かの都合があって特にそうしておられるのかな？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／16.1.11］

どこで使ったらいいのか一切分からないため、文章問題を用意して欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．先頭に書いてありますように，順列や組合せの問題をすれば階乗計算がたくさん出てきます．メニューでは次の項目です．
階乗の項目は，記号と約束に慣れる練習になっており，階乗記号だけの文章題というのは見たことがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／16.1.11］

いつもお世話になっております。反復試行、例題のサイコロを6回投げるとき、ちょうど1が2回出る確率の答えはお間違いないでしょうか？当方の計算機ですと、3125/15552 になってしまいます。お忙しいところ、失礼致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分子の計算で5を１回分掛け忘れていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の頂点の軌跡，円の中心の軌跡について／16.1.10］

== 放物線の頂点の軌跡，円の中心の軌跡 == 大問4番 4-a^2>0 この条件よりどうして-3<x<1になるのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．円の中心の座標は

x=−a−1 …(1)
y=2a+1 …(2)
で，半径は正でなければならないからD=4−a2>0 → −2<a<2 …(3)
(1)(2)からaを消去すると，軌跡の方程式はy=−2x−1
(1)(3)からxの値の範囲は−3<x<1（直線だから，xの値の範囲を言えばよく，yの値の範囲は自動的に決まるので，−3<y<5の方は言わなくてもよい）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／16.1.10］

良い復習になりました！練習問題もいい感じです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[場合分けのまとめ方について／16.1.10］

分かりやすい解説ですね！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／16.1.9］

仕事で統計などする必要があり，復習に役立ちました!ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[内接円の半径について／16.1.9］

中学生です解説のS＝rsの小文字のsとは何ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学生に「何」という形でもので示すのは難しいです．スモールsはその頁に何回か登場しますように
$s=\frac{a+ b + c}{2}$ …(*)
で定義される値です．（3辺の長さを足して2で割ったもの．）言ってみればそれまでですが，なぜそんな式にわざわざ名前を付けてスモールsで表すのか，そんなことをして何がうれしいのか，どんな役に立つのか？というのが質問者の本音でしょう．
　その頁の(2)に書いていますように，三角形の面積ラージSは
$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+ b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b -c)}$
と書くことができ，(*)のように定義すると
$\frac{b + c -a}{2}=\frac{a + b + c - 2a}{2}=\frac{a + b + c}{2}-a=s-a$
$\frac{c + a -b}{2}=\frac{a + b + c - 2b}{2}=\frac{a + b + c}{2}-b=s-b$
$\frac{a + b -c}{2}=\frac{a + b + c - 2c}{2}=\frac{a + b + c}{2}-c=s-c$
などは，すべて s で表されることになるので
$S=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$
$=\frac{1}{4}\sqrt{4^2s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
のように s を使って表わせることになります．
　さらにその頁の先頭にある式も
$S=r\frac{a+ b + c}{2}=rs$
と書けることになります．
　このように何度も登場する式は，名前をつけて１つの文字で表すと，１回ずつ $\frac{a+ b + c}{2}$ …(*) と書くよりも便利だという考え方です．
≪要点≫ s は「目に見える特定のもの」を表すというよりは，「何度も登場する式に付けた名前」と考えればよいでしょう．

■東京都[しゅーとさん／16.1.8］

曲線で囲まれた図形の面積 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/integral_poli1.htm ≪類題：問題と答≫ 2.　==== 右図の形になるもの ==== (1)y=x2－3x+2とx軸，および２直線x=0, x=1で囲まれる図形の面積の問題についてこの問題が問うている面積S全体は図のようにy<=0には存在しません。 0<=x<=1の範囲ではy>=0に存在します。問いと答えに間違いはないのですが、説明の流れの中においては、この場所に適切な問いではないと思います。私の思い違いであれば大変恐縮なのですが、この指摘が正しかったとすれば、それはこのサイトで学んだ成果です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにそのままではグラフがｘ軸よりも上に来てしまうので，問題の符号を変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数計算1について／16.1.7］

まったくわからなかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この感想では，管理人としては，「そーか」といしか言えませんが，読者としては，本当は「こんなことができるようになりたかったのに，分からなかった」ということではないのですか？「できたらよいな」と思うこと「まだできないな」という思うことが整理できれば，問題は半分以上解決できたものと考えてもいいです- - 何がどうわからないかを整理することが重要．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／16.1.7］

わかりにくい問題 : (X+4)(X+6)=0
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校の不等式などの頁をずーっと検索した結果としてこの頁に来られたようですが，筆者としてはどんな立場の人が，どこまで分かっていて何がどう分からないのかを明らかにしてもらえば，解決策が見出されるはずのところが，これでは材料が全然足りません．だから，ここから先は推定です．
　因数分解できている２次方程式の解き方が分からないということのようですが，（ここに来るまでの検索頁を見れば）おそらく高校生以上の方で，中学校の授業を何日も続けて休んでおられて，因数分解と方程式の解がつながらないものと推察しました．あなたが読むべき頁はこの頁です．
※管理人はただのおじさんです，「あなたの不満を単に排泄するだけ」では助けられません．どこまで分かっていて，何がどう分からないのかというように，あなたの置かれている状況について手掛かりとなる材料を書いてもらえば，そこそこ答えることはできますが，手掛かりがないと助けられません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[循環小数の計算について／16.1.5］

3 ー11を循環少数で表しなさい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは質問の書き方を間違っています--この問題は，当サイトに掲載されていない問題で，学校や学習塾などからあなたに「やっておくように」いわれた問題をそのまま写した形になっています．何の関係もない当サイトの管理人に解いてもらうように依頼するには，「表わしてください」と言うべきです．
　さて，循環小数を分数に直す問題は等比数列の問題ですが，分数を循環小数に直す問題は小学生でもできる単なる割り算の問題ですから，当サイトでは扱っていません．
　電卓などを使って3÷11とすれば分かります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[例題対比）２次関数のグラフ［標準形］について／16.1.5］

他のよりわかりやすく、採点もできるのでいいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.1.4］

違うんじゃないですか？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何がどう違うのかを述べないと，質問にも意見にもなっておらず，答えようがありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数法則について／16.1.3］

私は中三ですが、教科書や持っている参考書には指数についてさらっとしか説明がなく、もうすぐ受験なのに分からない…と焦っていましたが、すごく分かりやすくて苦手が解消できました。問題はクイズみたいで良いと思います。マルが出たときの嬉しさは何とも言えません。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列・じゅず順列について／16.1.3］

12番の問題が理解が及びません。より詳しく解説していただけると幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中経過の式を追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／16.1.1］

むり！わかんない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．約30秒で学習を放棄されましたが，やり直す機会が何度もある方ならそれでもよろしいが，これで高校2年以上の三角関数は投げたということなら，残念です．
　小中学生がたまたま検索に当たって見た場合とか，成年の方が軽く昔の弱点を振りかえっておられる場合なら，他の教材を見ればまだチャンスはあると思えますが･･･ホットな現役が投げたのなら残念としか言いようがないです．（もちろん，当サイトは公開サイトで各々の読者に対して何の権利も何の義務もありませんが，「どのレベルの人がどう分からないのか何の手がかりもない」ということは残念です･･･たとえば，小中学生が「わかりません」と言っている場合は，また今度来てね！という他ありませんが･･･）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式について／16.1.2］

授業で先生に説明されても中々理解できませんでしたが、geisyaで勉強したら、解説がとてもわかりやすくてとてもいい勉強になりました。一つ、提案なのですが、練習問題をもう少し多くしていただければ幸いです。よろしくお願いします！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「練習問題をもう少し多くについて：そのような要望はあり得ますが，問題が多過ぎてできないという意見もあります．Web上では，統計的に約4分程度で読者の「持久力が切れてしまって」学習を放棄してしまうようです（この頁の3.2の項目（PDF 485KB））ので，１つの頁にそのような大量の問題を期待されるのではなく，各自の学力に応じて，もっと簡単な，あるいは，もっと難しい頁に分けて学習してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／15.12.31］

分母の５や７の上の棒が線と重なって、一瞬何かの記号かと思いびっくりしました笑　見にくいわけではないですが、一応＾＾；
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Chrome で見ると確かに重なりがきついようですので，分数の横棒の位置を上にあげました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式１について／15.12.31］

問題３（３）（４）（４）は係数がー２だから公式は使えない。（３）の係数もー２だと思ってしまいました。 abの係数がどこかよく分からなかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．abの係数はabの係数です．（画面の上では，何もついていないので１になっているということです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路の問題について／15.12.30］

ややこしいところが少し... けれど、とても勉強になりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／15.12.30］

全く分からないのでもっと簡単に解ける方法を知りたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたがこの１週間に見たのはその頁だけのようです．高校の授業を受けたことがあるのか（sinθ,cosθという言葉を聞いたことがあるのか，そもそも，θを何と読むのか分かっているのか）も分かりません．あなたがどのレベルの数学をやっていて，何がどう分からないのかを書かないと回答のしようがありません．- - 例えば小中学生が，たまたま検索で当たった頁に対して「全く分からない」と述べているのなら，回答はしません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／15.12.30］

とてもわかりやすく、条件付きが苦手だったのですが、基本は理解できました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式1について／15.12.30］

ものすごく分かりやすいし復習で自分が分かっていないとこが明確に分かった、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ただ単にお礼を述べているのではなく，読者がどんな内容に興味があるのかがよく分かりましたので，お礼申し上げます． - - 次のように理解しました：教科書レベルの公式に数値を代入するという問題で間違いやすいポイントを指摘することなどにも，興味がある人が多いということが分かりました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[カイ２乗分布について／15.12.29］

いままで有意差ありかなしか判定の数字の意味しかわかっていませんでしたが、このページをみてかなり身近なものに感じられました。手計算でも自由度とpの表をみれば有意差ありなしが計算できるということに感動しました！理論は複雑なんでしょうが、計算自体は難しくないので、なんだか気がぬけたような感じです（笑）。大変たすかりました！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／15.12.28］

入試などに出てきそうな問題を少し入れてくれるとありがたいなと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入試のことを考えに入れると取り扱いがとても複雑になります．現行のセンター試験のレベル（数ⅠⅡAB）までなら基本問題で扱うことができますが，数学Ⅲはその中に入りませんので，私大一般入試はたは国公立２次試験ということになります．（推薦入試では数Ⅲは入らないのではないか．）ところで，御承知のように少子化が進んで，「国内のほとんどの大学は基本ができれば合格できます」(1)．他方では，「いわゆる難関校となると，単に定形的な問題を練習しただけでは解けない問題が出題」(2)され，このような頁では解説し切れません．
　結局，該当者が多くて簡単な練習で対応できるのは(1)の場合です．この場合は，教科書レベルの基本がしっかりできれば十分です．
　あと，定型的な取り扱いとして，2次曲線の標準化とか微積分との融合問題がありえますが，これはまだ教材化できていません．
［要点］あなたがどんな入試を想定しておられるのか分かりませんが，難関校理系を目指される場合を除けば，2次曲線については教科書レベルの基本が確実にできればよいと考えて，他の単元，他の科目，他の教科に浮いた時間を振り向けるとよいと思います．（あくまで予想ですが）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／15.12.27］

解答と解説のつくりかたがインターネットならではで非常に良かったと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの頁の話かなともう一度点検してみました．特にご指摘がなかったものの，配色がいま一つ見やすいものではないようなので，文字色などを改善しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２円の交点を通る円・直線の方程式について／15.12.27］

学習に詰まった際時々活用させて頂いております。いつもありがとうございます。当ページの一部に誤りと思われる箇所がありましたので恐れ多くも報告させていただきます。以下抜粋 -------

［例題1］
　２円
(x+3)2+(y－3)2=9 …(1)
x2+y2=9 …(2)
について
(1)　２交点と点 (0 , 0) を通る円の方程式を求めよ．
(2)　２円の交点を通る直線の方程式を求めよ．

［答案］
(1)　求める円の方程式を
(x+3)2+(y－3)2－9+k(x2+y2－9)=0 …(1)
とおく．
(1)が点 (0 , 0) を通るための条件は
32+32－9+k(0－9)=0
9－9k=0
k=1
このとき，方程式は
(x+3)2+(y－3)2－9+(x2+y2－9)=0
2x2+2y2+6x－6y=0
x2+y2+3x－3y=0 …（答）
(2)　(1)において k=－1 とおくと，
(x+3)2+(y－3)2－9－(x2+y2－9)=0
x2+6x+9+y2－6y－9－x2－y2+9=0
【左辺について(y-3)²の
展開について+9が抜けていると思われます。】
6x－6y+9=0
2x－2y+3=0 …（答）

以上この場を借りてご報告させていただきました。失礼いたします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違っていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点間の距離の公式について／15.12.27］

一個間違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全問チェックしましたが，特にデータミス，プログラムの作動ミスとも感じませんでした

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／15.12.25］

気にいった所 : 発想が優しくまた丁寧だと思います。どうもありがとうございます。わかりにくい問題 : 大変懇切丁寧なので分かりやすかったです。感謝いたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／15.12.25］

説明が難しくてあまり理解できませんでした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．難しかったのは残念．難しいときはイラストを見ながら考えるとよい．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[固有値，固有ベクトルの求め方について／15.12.24］

良い点:固有値、固有ベクトルとは何かが書いてあり、分かりやすかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／15.12.23］

私、数学で0点取ったことがあるくらい苦手なんですよ。でもこれなら、なんとか赤点（30点）はとれそうです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者も昔は勉強のできる人（IQが高い）がうらやましく思えましたが，今は楽しく生きられる人（EQが高い）がうらやましく思えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[母平均，母比率の推定について／15.12.23］

良いと思います。書籍化してください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面なら採点ができ，グラフが表示でき，容易に訂正できますが，印刷物にすると何もできなくなりますので，今のところ出版は考えていません．出版社との打ち合わせなどもそれなりに面倒なものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／15.12.23］

[右図のように直角三角形を描くと，糸の長さが 2a だから，直角三角形の斜辺は a．　そこで，b2=a2−c2 とおくと，三平方の定理（ピタゴラスの定理）により，b は右図の長さになる]・・この右図が良かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の合成公式について／15.12.23］

ものすごくわかり易かったです！色々なパターンを作って欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成変換・逆変換について／15.12.22］

例題１の行列の合成変換の計算が間違えてる。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．左辺の式が g○g になっていましたので訂正しました．その他，Firefoxで行列成分の表示が乱れる箇所がありましたので，ついでに直しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線を表わす方程式について／15.12.21］

とても分かりやすかったです！逆にどんな2直線も２元2次方程式で表せるんですかね～？ 2直線を2元2次方程式で表せ問題ってあるんですかー？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「2直線はx,yの２次方程式で表わせます．」そういう問題を作ることは可能ですが「やさし過ぎるのでめったに出題されません．少なくとも筆者は見たことがありません」．

【例】
(1)　２直線y=xとy=−xは各々y−x=0とy+x=0と書くことができます．論理的には，「y−x=0またはy+x=0」ということになります．だから「(y−x)(y+x)=0」すなわち「y²−x²=0」という２次方程式で書けます．
(2)　２直線y=ax+bとy=cx+dは各々y−ax−b=0とy−cx−d=0と書くことができます．論理的には，「y−ax−b=0またはy−cx−d=0」ということになります．だから「(y−ax−b)(y−cx−d)=0」いう２次方程式で書けます．展開するのは容易です．
(3)　ｙ軸またはｘ軸に平行な場合も含めて，一般に２直線はax+by+c=0とdx+ey+f=0と書くことができます．論理的には，「ax+by+c=0またはdx+ey+f=0」ということになります．だから「(ax+by+c)(dx+ey+f)=0」いう２次方程式で書けます．これを展開すれば，２次方程式になるので，問題としては簡単過ぎることになります．
(*)　上記の(1)において「y²−x²=0」と「y²−x²=k」との関係は右図1の略図に示したようになっており，ｋ≠0の場合は２つの直角双曲線を表すのに対して，ｋ＝0の場合はその屈曲点がちょうどくっついたものになっています．これに対して(3)は，幾つかの形に対応していますが，ある条件を満たしていれば，右図2の略図に示したように「(ax+by+c)(dx+ey+f)=k」はｋ≠0の場合は２つの斜交双曲線を表すのに対して，ｋ＝0の場合はその屈曲点がちょうどくっついたものになっています．（a,b,c,dの符号によっては楕円や放物線が境目となっている渦を表す場合もあります）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列を対角化するにはについて／15.12.20］

3行3列の計算方法を詳しくやってほしかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今読んで見ると確かに内容が薄いようですので，その部分を追加しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[順路の問題について／15.12.20］

問題を見て難しいと感じる人がいるだろうから、道に名前をつけるなら簡単な名前にしたほうが良いと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この問題で道の名前は問題の難易度に全く影響していません･･･数学としてはそれがすべてです．（ただ，順路の問題としてイメージしてもらうためには，それが道であることが分かればよく，修学旅行などで多くの生徒が親しみを持っていると思われる実在の通り名を使っています．今日は高校駅伝で，これらの通り名を解説者が何度も読んでいます．）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[必要条件と十分条件について／15.12.19］

「犬であることは，シェパードであるための必要条件です」について。これってp←qを例示しただけで実際は必要条件じゃないですよね？「犬であることはチワワであるための必要条件」て反例も上がりますし。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
　どうやら，質問者は必要条件は１つしかないと決めておられるために疑問に迷い込んでおられるようです．まず「必要条件や十分条件は何個でもある」ということを押さえてください．

【例１】
「シェパード→犬，チワワ→犬，ブルドック→犬，トイプードル→犬」などが成り立ちますので，「犬はシェパードの必要条件，犬はチワワの必要条件，犬はブルドックの必要条件，犬はトイプードルの必要条件」などといえます．
【例２】
「こぶた→動物，たぬき→動物，きつね→動物，ねこ→動物」などが成り立ちますので，「こぶたは動物の十分条件，たぬきは動物の十分条件，きつねは動物の十分条件，ねこは動物の十分条件」などといえます．
【例３】
不等式から例をとれば
「x>1 → x>0」「x>2 → x>0」，「x>5 → x>1」「x>5 → x>0」などが成り立ちますので，「x>1もx>2も両方ともx>0の十分条件」「x>1もx>0も両方ともx>5の必要条件」といえます．

　次に「反例」という用語の使い方ですが，反例というのは「その主張がなりたたないような例」をいいます．「ｐ→ｑ」が間違った主張であるときにこれに対する反例は，「ｐであってかつｑでない例」です．このようなものがあればそれを反例といいますが，反例がなければ元の「ｐ→ｑ」は正しい主張になります．

【例１】
「ねこは犬の必要条件である」という主張が間違っていることを示すには，世界中にいる何億？（もっと？）ものねこを調べる必要はない．例えば，隣の家の黒猫は「ねこであって，かつ，犬でない」のだから反例が一つ示せたことになり，「ねこは犬の必要条件である」=「すべてのねこは犬である」という主張が間違いであることが証明できたことになります．
【例２】
「x>1 → x>0」の反例を探そうとして「x>1であって，かつ，x>0でないもの」すなわち「x>1であって，かつ，x≦0であるもの」をどんなに探しても見つかりません．だから，「x>1 → x>0」という主張は正しい=これに対する反例はないことになります．（「集合A={x | x>1}とB={x | x≦0}の共通部分」が空集合になるということと同じです）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[正規分布について／15.12.19］

すげーたすかる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡を受けた機会にもう一度読み直してみると，前後関係が読みにくい部分がありましたので，一部書き換えました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／15.12.19］

とても丁寧でわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／15.12.17］

すばらしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／15.12.15］

ページの見方を教えてください。左と右の項目の関係がよくわかりません。ページの構成がよくわかりませんので。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．多くは左側が本文で右側が補足説明，本文が左側に書き切れないときは右に書く場合もあります．=一般の文書と同様に左から右へ，次に上から下へです．
　どうしても分からないときは，携帯版を見てください．--こちらは上から下だけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／15.12.14］

一連の式を書いてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中経過もその解説もていねいに書いてあります．あなたは約10秒ほどこの頁を見ただけで，１題も解答せずに答を探したようです．解答すれば，解説は出ます．昨日も述べましたが同じことを繰り返しますと「このホームページは単なる情報提供のWeb頁ではなく，すべてアプりになっています．あなたが解答すれば，採点結果と途中経過，解説が出ます．見ているだけでは何も出ませんが，解答で幾ら間違ってもあなたに不利なことは何も起りません．管理人はただの個人で，あなたの学力を他社に売るなど個人情報を流出する手段を持っていません．（そもそもあなたが誰であるかも分かりません）
　問題に答えて解答するのです．そうすれば，自分がどれだけ分かっているかが分かり，ついでに有益な補足説明も出るのです=双方向通信になっているのです．腕組みしているだけでは一歩も進みません．」

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／15.12.14］

あっててもhelpほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正解の場合にHELPを出さない根拠はこの頁(ただしPDF 486KB)の3.2の項目ですが，出す出さないの差は微妙なものですので，個別に希望のあった頁については，正誤によらず「解説」を選べるようにします．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／15.12.13］

色が薄くて見づらいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．申し訳ないのですが，あなたはPC画面の設定を16ビットにしています．その設定では微妙な色合いが飛んでしまいます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[S_n→a_n関係式について／15.12.13］

途中式もふくめてもっと詳しく書いてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは結構な長時間見ておられますが，このホームページは単なる情報提供のWeb頁ではなく，すべてアプりになっています．あなたが選択肢の内の一つをクリックすれば，採点結果と途中経過，解説が出ます．見ているだけでは何も出ませんが，解答で幾ら間違ってもあなたに不利なことは何も起りません．管理人はただの個人で，あなたの学力を他社に売るなど個人情報を流出する手段を持っていません．（そもそもあなたが誰であるかも分かりません）
　問題に答えて（選択肢をクリックして）解答するのです．そうすれば，自分がどれだけ分かっているかが分かり，ついでに有益な補足説明も出るのです=双方向通信になっているのです．腕組みしているだけでは一歩も進みません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／15.12.12］

見づらい分かりづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．うすい色の配色は少し濃くしました．根気よく読まないと分からない場合はあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直交行列とは（定義，性質）について／15.12.10］

紫色の文字の部分が見づらいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．たぶんあなたが使っておられるものと同じ iPhone で確かめましたが，紫色に見える文字というのはありません．申し訳ないですが対応できません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次不等式（D=0）について／15.12.07］

まったくわからないです… むしろ混乱しました↓
＝＞［作者］：連絡ありがとう．十分な準備ができていない場合に，基本問題(Ｄ＞０の場合)をやらずに，いきなりＤ＝０，Ｄ＜０の応用問題をやろうとするとできないことがあります．先に基本をやってください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の基本について／15.12.07］

それぞれの答えや解説を付けて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題に答えて選択肢のどれかをクリックすれば，解答も解説も出ます．問題に答えずに読んでいるだけでは何も出ません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフ［標準形］について／15.12.07］

最後の回答表示欄が少し狭い気がする。2～3文字分あると見やすいと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに Safari で見ると解答欄が狭いようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／15.12.06］

作戦盤の表を答案に書くのは良いですが、名前を出すと笑われる。という下りですが、その書き方ではこれを読んでこのテーマを初めて学習してるor再び理解しようとしている人が何も説明せずに表だけ突然答案に書き、「表より余弦定理を使えばいいとわかるので～」っという答案を作ってしまうことが予想できる。が、実際説明なしで突然表を書くのは、答案に三次関数の箱入り性と書くのと同じように説明不十分意味不明な答案になると思われ減点されると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算用紙も配布されていればそちらに書きますが，計算用紙が配布されていない試験の場合，答案の本文以外に思考の補助として図や表を書くことは何も問題はありません．「三次関数の箱入り性」というのは何のことか分かりません．

■?[MA管理人さん／15.12.06］

ホームページを拝見させていただきました。当方のブログにリンクを張らせていただいてもよろしいでしょうか？よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今日では，公開サイトに対してリンクを作成することは，通常は承諾なくして行ってよいものと考えられているようです．当サイトについても同様です･･･ただし，昔，ある新聞社からは「リンクはトップページだけにしてほしい」「フレームの中からあたかも自分のサイトの一部であるかのように表示するのは避けてほしい」などと言われたことがありますが，このような条件も最近では曖昧な取り扱いになっているようです．
　ただ，このメールにはそちらのブログのアドレスが書かれていませんし，返信用メールアドレスもありませんので，通常はかまいませんとはいいながらも，誰に何を承諾しているのかが決まりません．？？

Re:>>昨日は失礼いたしました。送信ボタンを押すと連絡板に掲載されるのかと思い，売名行為になってはいけないとアドレスを書かなかったのですが，確かに正体不明のお伺いになってしまっていました。申し訳ございませんでした。 http://mathaquarium.blog24.fc2.com/blog-entry-121.html この記事で紹介させていただきました。まだまだ訪問者の少ないブログですが，よろしくお願いいたします。

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の性質(まとめ)について／15.12.05］

sin49/6πはどーやったらといたらいいのか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．大きな角の三角関数を求めるときは，２π回転するごとに１周するから，２πを取れるだけ取ります（割って余りを求める）
$\frac{49}{6}\pi = 8\pi + \frac{1}{6}\pi$
次に， $\sin(2n\pi + \theta)=\sin \theta$ の公式［度で書けば(1)の先頭の公式：sin(360°×n+θ)=sin θ］を使うと
$\sin(\frac{49}{6}\pi) =\sin( 8\pi + \frac{1}{6}\pi)=\sin \frac{1}{6}\pi=\frac{1}{2}$
になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数関数、対数関数の不定積分について／15.12.05］

対数関数の(3) 違う問題の解答になってる気がします、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いやはや，ビックリ仰天玉手箱です．今日，携帯版に移植したばかりですが，累乗根を表示する関数名が違っていたため，累乗根が消えていました．平謝りの陳謝です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[Google Chartを使った数式の書き方について／15.12.05］

分数等の数式をできるだけ短いURLで表現できないか調べてました。内容は盛沢山でとても良かったです。今後も参考にさせてもらいたいと思います。ただ、目的（分数）の表示方法だけを探そうと思った時には、少々見つけにくかったです。見出しが強調されてないから？（なんとなくなのですみません）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われることは分かるのですが，その頁は各種記号一覧のようなものなので，一つずつ見出しにしてしまうと，それはそれで分かりにくくなります･･･どこかの学校で誰かがつぶやいたぼやきにこんなものがあったのを思い出します：「この学校は重点教育の柱が多過ぎて，息をする場所がない」

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付確率について／15.12.05］

入試やテストの前にチラッと確認するには丁度いい
＝＞［作者］：連絡ありがとう

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の接線の方程式について／15.12.05］

円上の点Pの座標がどちらもマイナスの時も、そのまま当てはめればいいんですか？
＝＞［作者］：その通りです．
例えば，円x2+y2=25上の点(−3 , −4)における接線の方程式は
−3x−4y=25
になります．通常はこれを変形して
3x+4y=−25
と答えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／15.12.05］

(x+y)3 の解き方を教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
　たぶん，Web画面上では累乗がうまく書けなかったので(x+y)3のことを尋ねておられるのだと解釈しました．
　また，中学高校の授業に少しでも出ていたら，この文脈の中で「解き方」とは言わないはずで，展開の仕方というはずですが，他に解釈する余地がないので「展開」と解釈しました．
　だから，上に基本公式として(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3が書いてあるので，文字を入れ替えるだけのことになります．(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3

　これが分からないから尋ねておられて，上の回答で納得されるのでしたら，逆にあなたの学習の仕方には大いに問題があります．
　なぜか，学生時代に読んだ「テアイテトス」（プラトン著）が思い出される．
　そもそも，人は他人に知識を教えることができるのか？通信では送信者は，言葉やイラストを送り，受信者はそれを受け取るだけであるが，それが知識の伝達となるためには，その言葉に結びついている一連の概念や作業の裏付けが相手になければならない．もし，あなたに代入という概念がなければ，知識としては伝わっておらず，言葉はただの音として文字として消えて行くだけになります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式について／15.12.04］

すごい！やはり基礎が大事！基礎を意識した応用が王道だと再び気づかされました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[楕円の方程式について／15.12.04］

√のところがはっきりしていてわかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／15.12.04］

ふつう、ωは(-1+√3)/2だけを表し、(-1-√3)/2はωの2乗と表すと思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ただし，あなたの考えは間違っています．
【例】　東京書籍の教科書「数学Ⅱ」p.41，第一学習社「数学Ⅱ」p.54，科学振興社「ものグラフ　公式集」p.25･･･「１の３乗根のうち虚数であるものの１つをωで表すと」など

⇒このような訳で， $\omega=\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}$ と決めてしまうと証明問題などで半分の場合しか示していないことになります．
【例１】１の虚数３乗根の１つを $\omega$ とするとき，他方は $\bar{\omega}$ となることを示せ．
（まずい答案）
$\omega=\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}$ だから， $\bar{\omega}=\bar{\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ が成り立つ．
⇒この答案は， $\omega=\frac{-1- \sqrt{3}i}{2}$ とすると $\bar{\omega}=\bar{\frac{-1- \sqrt{3}i}{2}}=\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}$ となる，ということを示していないので，半分以下に減点されることがあります．
【例２】１の虚数３乗根の１つをωとするとき，他方はω²となることを示せ．
（まずい答案）
$\omega=\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}$ だから $\omega^2=(\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2})^2=\frac{1-2\sqrt{3}i+ 3i^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{3}i- 3}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
⇒この答案は， $\omega=\frac{-1- \sqrt{3}i}{2}$ とすると $\omega^2=(\frac{-1- \sqrt{3}i}{2})^2=\frac{1+ 2\sqrt{3}i+ 3i^2}{4}=\frac{1+ 2\sqrt{3}i- 3}{4}=\frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}$ となる，ということを示していないので，半分以下に減点されることがあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／15.12.03］

薄い灰色の文字がとても見にくいと感じました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．色の深さが24bitのパソコンの場合に，灰色のコントラストが弱過ぎることがあるようですので，変更しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／15.12.03］

参考になりましたありがとうございます^_^
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／15.12.03］

学習の記録がアクセスのたびにクリアとなり表示されない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．学習の記録は，ブラウザや設定によって残らない場合があるようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率変数，確率分布について／15.12.03］

なぜA型B型が確率変数でないか分かるのに時間がかかった。事象・数値・確率が○○○のときに数値が確率変数。○×○のときには確率変数はないという言い方の方が分かりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．白い背景色の欄の※で最初の方に書いているのですが

■［個別の頁からの質問に対する回答］[円の方程式について／15.12.03］

途中の計算の説明がない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題１の解説はその上の文章全部です．問題２はHELPが付いています･･･画面ドット数 320×580 のiPhoneでは画面の下端よりもさらに下に見えるかもしれませんので，画面構成を少し変更してHELPボタンを真ん中に，HELPメッセージを問題の右側に移動しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／15.12.02］

例2の答えの部分の√7が抜けてます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．携帯版に移植したときに，根号を表示する関数のディレクトリ指定が間違っており，根号が表示されていませんでした．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆行列の求め方について／15.12.01］

の(1, 2)成分は a12·A11+a22·A21+a32A31 このような式は，行列Aの２つの列が等しいときの展開に対応しており，２つの列が同じ場合の行列式は0になる． a12·A11+a22·A21+a32A31=0 となる理由をもう少し詳しく教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何年も前に書いた教材で，今読んでみると作者自身も省略の部分が分かりにくいと感じましたので，補足しました．

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