2次不等式

== ２次不等式 ==
・・・２次関数のグラフがｘ軸と１点で接する場合 《要約》

y=ax2+bx+cがx軸とx=αで接するとき，グラフを見れば各々の２次不等式の解は次のようになることが分かります．
＜問題の形＞　　　　　　　　　＜答の形＞
ア）　ax2+bx+c<0 (a>0) 　→　解なし

０以上のものしかないときに、負のものを探してもない ♪～　「ないものねだり」の子守唄

イ）　ax2+bx+c>0 (a>0)　→　x<α, α<x （省略的に「x≠α」と書くこともある）ウ）　ax2+bx+c≦0 (a>0)　→　x=α

ax2+bx+c≦0とは，「負でもよい」「０でもよい」ということ
グラフを見ると，「負のところ」→ない，「０のところ」→１つだけある： x=αだけが解）

エ）　ax2+bx+c≧0 (a>0)　→　xはすべての数

０以上のものばかりのときに、０以上のものを探せば ♪～　「全員合格」

（参考）
ax2+bx+cは２次式

２次式には「解」などというものはない．２次式は，展開や因数分解などの式の変形ができるだけである．

ax2+bx+c=0は２次方程式

２次方程式の解は，因数分解や解の公式を使って求めることができる．２次方程式の解はxの「値」になる．
※見た目で言えば，２次式に=0を付けたら２次方程式になる．

ax2+bx+c≧0，ax2+bx+c<0などは２次不等式

２次不等式の解は，一般にはxの「値の範囲」になる．
※見た目で言えば，２次式に
<0, ≦0, >0, ≧0を付けたら２次不等式になる．

y=ax2+bx+cは２次関数

２次関数には「グラフ」が対応する．
※見た目で言えば，２次式にy=を付けたら２次関数になる．

■２次不等式の解き方の流れ
(1)　初めに「２次不等式」の問題が与えられたとき

【例】x2−4x+3<0

(2)　２次不等式を解くためには「２次関数」のグラフを描かなければならない．

【例】y=x2−4x+3

(3)　２次関数のグラフとx軸との交点を求めるには，２次方程式」を解かなければならない．

【例】x2−4x+3=0

実際に問題を解くときは，上記の考察を「逆順」にたどればよい．

初めに問題を見たら
(3)２次方程式を作る
x2−4x+3=0

２次方程式の解を求める
x=1, 3

(2) ２次関数
y=x2−4x+3
のグラフを描く（右図）

(1) ２次不等式の解を求める
1<x<3…（答）

※２次不等式を見せられたら，誰も聞いていないのに

「２次方程式は～♪」
「２次方程式の解は～♪」
「２次関数のグラフは～♪」

と一人演説をしなければならない．
この一人演説の長さに耐えられなければ，問題は解けない．

※次の違いにも注意してください
⇒ ２次方程式の解は２次不等式の解とは違う．
（ここでは２次不等式が目的で，２次方程式は手段）

【例題１】
　２次不等式x2−4x+3<0の解を求めてください．

（解答）

２次方程式
x2−4x+3=0
の解は
x=1, 3
２次関数
y=x2−4x+3
のグラフは右図のようになる．
グラフからy<0になるxの値の範囲は
1<x<3…（答）

※要約のところで，ア）イ）ウ）エ）に付いていたa>0は何の役にたっているのか．

たとえば，a<0の場合とは−x2+4x−3>0のようにx2の係数が負の数になっているとき，そのまま
y=−x2+4x−3
のグラフを使って解くと，グラフの凹凸が逆になって混乱する場合があるので，基本を固める段階では
−x2+4x−3>0
のような形の問題は，両辺に－１を掛けるとか，左辺の式を右辺に移項するなどして
x2−4x+3<0
に直してから解くということです．

【例題２】
　２次不等式x2−8x+16>0の解を求めてください．

（解答）

２次方程式
x2−8x+16=0
(x−4)2=0
の解は
x=4（重解）
だから，２次関数
y=x2−8x+16
のグラフは右図のようになる．
グラフからy>0になるxの値の範囲は
x<4, 4<x…（答）
（注：x≠4と書いてもよい）

【問題】
グラフを参考にして，２次不等式の解を選びなさい．
（右から正しい選択肢をクリック）

(1)	2次不等式　x2−6x+9>0の解は

(2)	2次不等式　ｘ²＋４ｘ＋４＜０の解は

(3)	2次不等式　ｘ²－２ｘ＋１≦０の解は

(4)	2次不等式　２ｘ²＋４ｘ＋２≧０の解は

(5)	2次不等式　４ｘ²－４ｘ＋１＜０の解は

(6)	2次不等式　９ｘ²＋１２ｘ＋４＞０の解は

(7)	2次不等式　２ｘ²＋１２ｘ＋１８≧０の解は

(8)	2次不等式　５ｘ²＋１０ｘ＋５≦０の解は

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