== 直線のベクトル方程式 ==

【例題1】
△OABにおいて,OA1:2に内分する点をMOBの中点をNとし,ANBMの交点をPとする.
 とするとき,で表してください.
(解答)
まず,線分ANのベクトル方程式を求める:
Nの位置ベクトルはAの位置ベクトルはだから

sは実数)…(1)
次に,線分BMのベクトル方程式を求める:
Mの位置ベクトルはBの位置ベクトルはだから

tは実数)…(2)
(1)(2)の両方を満たす点Pに対応する実数s, tを求める:

「ベクトルで表された2直線の交点を求める」ための次の定理を用いる.
平行でなく,零ベクトルでもない2つのベクトル
○1 を満たす
が成り立つ…(*)
○2 を満たす
が成り立つ…(**)
ここでは(**)を使って,両辺のの係数を比較する.
…(3)
(3)において,は平行でなく,零ベクトルでもないから


この連立方程式を解くと
(1)(2)に代入すると
…(答)

(参考)
中学校の数学で相似図形の性質を用いると
右図によりAP:PN=4:1…(a)
右図によりBP:PM=3:2…(b)
(b)より右図AL:LB=2:1
(b)より右図OP:PL=3:2


【問題1】
 右図の△ABCにおいて,AB1:2に内分する点をDAC2:3に内分する点をFとし,BFCDの交点をPとする.さらに,APの延長がBCと交わる点をEとする.
 このとき,BE:EC, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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【問題2】
 右図の△ABCにおいて,AC3:4に内分する点をFBC6:5に内分する点をEとし,BFAEの交点をPとする.さらに,CPの延長がABと交わる点をDとする.
 このとき,AD:DB, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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※以下の類題は,解答のみ示します.途中経過はここまでとほぼ同様です.
【問題3】
 右図の△ABCにおいて,AB2:3に内分する点をDBC5:7に内分する点をEとし,CDAEの交点をPとする.さらに,BPの延長がCAと交わる点をFとする.
 このとき,CF:FA, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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【問題4】
 右図の△ABCにおいて,AB3:5に内分する点をDCA4:7に内分する点をFとし,BFCDの交点をPとする.さらに,APの延長がBCと交わる点をEとする.
 このとき,BE:EC, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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≪問題3の詳細な解答≫
中学数学の平行線(相似図形)の性質で解く方法
AD:DB=2:3, BE:EC=5:7のとき
(1) CP:PDを求めよ
CP.PDに平行な2直線が交わるように1本増やす.
ア) DからPEに平行な線を引いて,BEとの交点をsとおくと,CP:PD=CE:ESとなるから,ESが求まればよい.
ES:SB=AD:DB=2:3でEB=5だからES=2
よって,CP:PD=CE:ES=7:2…(答)
イ) DからPFに平行な線を引いて,FAとの交点をTとおくと,CP:PD=CF:FTとなるが,CP:PDの代わりにCF:FTで求めようとしているのであるから,CF:FTが先に求まっている問題なら,この求め方も可能であるが,今はCF:FTも分からないのであるから,この方法は無理.
[コツ]内分比が分かる線へ向けて平行線を引く

(2) AP:PEを求めよ
AP.PEに平行な2直線が交わるように1本増やす.
EからPDに平行な線を引いて,DBとの交点をUとおくと,AP:PE=AD:DUとなる
BE:EC=5:7だからBU:UD=5:7
ここでBD,DAの縮尺を変えて,BD:DA=3:2=12:8にしておくと,BU:UD:DA=5:7:8
UD:DA=7:8
よって,AP:PE=AD:DU=8:7…(答)
(3) CF:FAを求めよ
CF.FAに平行な2直線が交わるように1本増やす.
DからPFに平行な線を引いて,FAとの交点をVとおくと,CF:FV=CP:PD=7:2となる
CF:FAを求めたいのにCF:FVを求めてどうなるのか?
FV:VA=BD:DA=3:2だからCF:FAも求まるのだ!
ここでCF,FVの縮尺を変えて,CF:FV=7:2=21:6にしておくと,CF:FV:VA=21:6:4
よって,CF:FA=21:10…(答)
(4) BP:PFを求めよ
BP.PFに平行な2直線が交わるように1本増やす.
FからPDに平行な線を引いて,ADとの交点をWとおくと,AW:WD=10:21となる
ここでAD,DBの縮尺を変えて,AD:DB=62:93にしておくと,AW:WD:DB=20:42:93
よって,BP:PF=BD:DW=93:42=31:14…(答)

≪問題3の詳細な解答≫
数学Aのチェバの定理,メネラウスの定理で解く方法
(1) CF:FAを求めよ
 チェバの定理から,右図の図形において

が言えるから

ゆえに,CF:FA=21:10…(答)
(2) CP:PDを求めよ
 メネラウスの定理は,1つの直線が三角形の各辺またはその延長と交わるとき,その3交点が各辺を内分または外分する比の間に成り立つ関係で,右図のように△ADCに直線APFが交わっている場合

が成り立つという定理です.
• この定理を使えば,2組の比が分かっていれば,残り1組の比が求まる.
• この図の場合,交点の内の1つは三角形の外に来る.
• 「分子」→『分母』の見方として,「頂点.交点」→『交点.頂点』の順に正確に見ていく必要がある.
• 直線上の交点間の比は求められない.求めたいものは三角形の辺の内分比または外分比として設定することが重要


よって,CP:PD=7:2…(答)
(3) BP:PFを求めよ
メネラウスの定理により


よって,BP:PF=31:14…(答)

(4) AP:PEを求めよ
メネラウスの定理により


よって,AP:PE=8:7…(答)

≪問題3の詳細な解答≫
数学Bのベクトルで内分比を2段階に分けて使う方法
(そもそも)
 の頂点の位置ベクトルを各々とするとき,

…(1)
となる点の内部の1点を表す.
(式の見方)
例えば

の分母と分子を各々2倍したとき

が全く同じ点を表すことからも分かるように,(1)のの値自体には意味はなく,の比率に意味がある.そのため,参考書では

…(2)
の形で使うことが多い.
 以下においては,は比率だけに意味があるということを押えた上で(1)を使う.
(理屈)

…(1)
のとき
…(2)
のように変形できるから,ABをq:pに内分する点をDとするとき,XはDCをr:(p+q)に内分する点になる.
同様にして
…(3)
のように変形できるから,BCをr:qに内分する点をEとするとき,XはEAをp:(q+r)に内分する点になる.

(2)の分子からp:q=3:2,(3)の分子からq:r=7:5
したがって,2と7を最小公倍数14でそろえると,p:q:r=21:14:10
…(4)
(問題の解き方)
CF:FA, AX:XE, BX:XF, CX:XDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(4)より

と変形できるから,Xは,「ACを10:21に内分する点F」と「B」を14:31に内分する点になる.
CF:FA=21:10…(答)
BX:XF=31:14…(答)
(4)より

と変形できるから,Xは,「BCを10:14に内分する点E」と「A」を21:24に内分する点になる.
AX:XE=24:21=8:7…(答)
(4)より

と変形できるから,Xは,「ABを14:21に内分する点D」と「C」を10:35に内分する点になる.
CX:XD=35:10=7:2…(答)
 

≪問題3の詳細な解答≫
数学Bのベクトルで2直線の交点を求める方法
 数学Bのベクトルで「2直線の交点を求める」とは,たとえば右図において原点をBにとった位置ベクトルを用いて,DCとAEの交点Pを求めるには,直線DCのベクトル方程式(1)と直線AEのベクトル方程式(2)を求め,両方を満たすベクトルをPの位置ベクトルとする.
BからDを通ってPに行くには


…(1)
BからEを通ってPに行くには


…(2)
 
Pは(1)(2)の両方を満たすから

ここでかつが平行でないから


この連立方程式を解くと

これを(1)または(2)に代入すると

(問題の解き方)
CF:FA, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
上記の解説で,sはDP/DCの比を表すから,CP:PD=2:7…(答)
tはEP/EAの比を表すから,AP:PE=8:7…(答)

と変形できるから
CF:FA=21:10…(答)
BP:PF=31:14…(答)
 

■問題4の詳細な解答■
中学数学の平行線(相似図形)の性質で解く方法
AD:DB=3:5, CF:FA=4:7のとき
(1) CP:PDを求めよ
CP.PDに平行な2直線が交わるように1本増やす.
DからPFに平行な線を引いて,AFとの交点をQとおくと,CP:PD=CF:FQとなる.
AQ:QF=AD:DB=3:5=21:35
AFの尺度を7→56に8倍しているから,FCも4→32とすると
CF:FQ=32:35
よって,CP:PD=CF:FQ=32:35…(答)
(2) BP:PFを求めよ
BP.PFに平行な2直線が交わるように1本増やす.
FからPDに平行な線を引いて,ADとの交点をRとおくと,BP:PF=BD:DRとなる
AR:RD=AF:FC=7:4=21:12
ADの尺度を3→33に11倍しているから,DBも5→55とすると
BD:DR=55:12
よって,BP:PF=BD:DR=55:12…(答)
(3) BE:ECを求めよ
BE.ECに平行な2直線が交わるように1本増やす.
DからPEに平行な線を引いて,BEとの交点をSとおくと,CE:ES=CP:PDとなる
CE:ES=CP:PD=32:35=3*32:3*35
SEの尺度を35→3*35に3倍しているから,ECも32→3*32とすると
BE:EC=8*35:3*32
よって,BE:EC=35:12…(答)
(4) AP:PEを求めよ
AP.PEに平行な2直線が交わるように1本増やす.
EからPFに平行な線を引いて,CFとの交点をTとおくと,AP:PE=AF:FTとなる
CT:TF=CE:EB=12:35=4*12:4*35
CFの尺度を4→4*47に47倍しているから,FAも7→7*47とすると
AF:FT=7*47:4*35
よって,AP:PE=AF:FT=47:20…(答)

■問題4の詳細な解答■
数学Aのチェバの定理,メネラウスの定理で解く方法
(1) BE:ECを求めよ
 チェバの定理により

が成り立つから


ゆえに,BE:EC=35:12…(答)
(2) BP:PFを求めよ
 メネラウスの定理は,1つの直線が三角形の各辺またはその延長と交わるとき,その3交点が各辺を内分または外分する比の間に成り立つ関係で,右図のように△ABFに直線DPCが交わっている場合

が成り立つという定理です.
• この定理を使えば,2組の比が分かっていれば,残り1組の比が求まる.
• この図の場合,交点の内の1つは三角形の外に来る.
• 「分子」→『分母』の見方として,「頂点.交点」→『交点.頂点』の順に正確に見ていく必要がある.
• 直線上の交点間の比は求められない.求めたいものは三角形の辺の内分比または外分比として設定することが重要


よって,BP:PF=55:12…(答)
(3) CP:PDを求めよ
図のように△ADCに直線BPFが交わるとき,メネラウスの定理を適用すると



よって,CP:PD=32:35…(答)
(4) AP:PEを求めよ
図のように△AECに直線BPFが交わるとき,メネラウスの定理を適用すると



よって,AP:PE=47:20…(答)

■問題4の詳細な解答■
数学Bのベクトルで内分比を2段階に分けて使う方法
 の頂点の位置ベクトルを各々とするとき,

…(1)
となる点の内部の1点を表す.

と変形すると,問題よりp:q=5:3
また

と変形すると,問題よりp:r=4:7
pを20にそろえると,p:q:r=20:12:35
…(*)
BE:EC, AX:XE, BX:XF, CX:XDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(*)より

と変形できるから,Xは,「BCを35:12に内分する点E」と「A」を20:47に内分する点になる.
BE:EC=35:12…(答)
AX:XE=47:20…(答)
(*)より

と変形できるから,Xは,「ACを35:20に内分する点F」と「B」を12:55に内分する点になる.
BX:XF=55:12…(答)
(*)より

と変形できるから,Xは,「ABを12:20に内分する点D」と「C」を35:32に内分する点になる.
CX:XD=32:35…(答)
 

■問題4の詳細な解答■
数学Bのベクトルで2直線の交点を求める方法
 右図において原点をAにとった位置ベクトルを用いて,DCとBFの交点Pを求める.
AからDを通ってPに行くには


…(1)
AからFを通ってPに行くには


…(2)
 
Pは(1)(2)の両方を満たすから

ここでかつが平行でないから


この連立方程式を解くと

これを(1)または(2)に代入すると

(問題の解き方)
BE:EC, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
上記の解説で,sはDP/DCの比を表すから,CP:PD=32:35…(答)
tはBF/PFの比を表すから,BP:PF=55:12…(答)

と変形できるから
BE:EC=35:12…(答)
AP:PE=47:20…(答)
 

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■[個別の頁からの質問に対する回答][直線のベクトル方程式について/18.7.11]
問題2の解答に青字で「BE:EC=14:5」と記載がありますが、問題分に「BCを6:5に内分する点をE」と記載されているのでBE:ECは6:5ではないですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.前の問題の解答を引きずってきたのかどうか,よく分かりませんが,余計なことが書いてありましたので削除しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][直線のベクトル方程式について/18.1.17]
問題2で、DE:DB=5:8で正解ですか? 宜しくお願いします
=>[作者]:連絡ありがとう.おっと,解答が問題に答ていませんでしたので追加しました.しかし,あなたの質問は変です.この問題では,縦横の尺度は決められていないので,同一直線上にないDE:DBのような比率は定まりません.AD:DBなら定まりますので,それを追加しました.