■直線のベクトル方程式

[問題]


 △OABにおいて,OAを1:2に内分する点をM,OBの中点をNとし,ANとBMの交点をPとする。
=, =とするとき,で表しなさい。

(次の記号[ア]〜[ケ]に入るものを、右から選んで答案を完成しなさい。
解答するときは,初めに記号[ア]〜[ケ]を選び,次に対応する選択肢を選びなさい。正しければ,選択肢が入ります。なお、選択肢にはジョーカが幾つか含まれています。)

[答案]
 まず,線分ANのベクトル方程式を求める:
Nの位置ベクトルは , Aの位置ベクトルは  だから
=
-
= + s = + s( )  ・・・(1) (s は実数)
[選択肢]



 次に,線分BMのベクトル方程式を求める:
Mの位置ベクトルは , Bの位置ベクトルは  だから
= -
= + t = + t ( )・・・(2) (t は実数)


 (1)(2)の両方を満たす点Pに対応する s,t を求める。  
+ s( - ) =  + t ( - ) 
(1 - s) + = + (1 - t)・・・(3)
(3)において
 だから
1 - s = ,  =  より



s = ,  t =



 s を(1)に代入





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参考1
上記の問題においてs=4/5, t= 3/5 だから
AP:PN=4:1
BP:PM=3:2
また,
       = だから
OPの延長がABと交わる点をLとおくと
OP:PL=3:2
AL:LB=2:1

参考2
中学校の数学で相似図形の性質を用いると
右図によりAP:PN=4:1・・(a)
右図によりBP:PM=3:2・・(b)
(b)より右図AL:LB=2:1
b)より右図OP:PL=3:2


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