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== 直線のベクトル方程式 ==

【例題1】
△OABにおいて,OA1:2に内分する点をMOBの中点をNとし,ANBMの交点をPとする.
 とするとき,で表してください.
(解答)
まず,線分ANのベクトル方程式を求める:
Nの位置ベクトルはAの位置ベクトルはだから

sは実数)…(1)
次に,線分BMのベクトル方程式を求める:
Mの位置ベクトルはBの位置ベクトルはだから

tは実数)…(2)
(1)(2)の両方を満たす点Pに対応する実数s, tを求める:

「ベクトルで表された2直線の交点を求める」ための次の定理を用いる.
平行でなく,零ベクトルでもない2つのベクトル
○1 を満たす
が成り立つ…(*)
○2 を満たす
が成り立つ…(**)
ここでは(**)を使って,両辺のの係数を比較する.
…(3)
(3)において,は平行でなく,零ベクトルでもないから


この連立方程式を解くと
(1)(2)に代入すると
…(答)

(参考)
中学校の数学で相似図形の性質を用いると
右図によりAP:PN=4:1…(a)
右図によりBP:PM=3:2…(b)
(b)より右図AL:LB=2:1
(b)より右図OP:PL=3:2


【問題1】
 右図の△ABCにおいて,AB1:2に内分する点をDAC2:3に内分する点をFとし,BFCDの交点をPとする.さらに,APの延長がBCと交わる点をEとする.
 このとき,BE:EC, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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【問題2】
 右図の△ABCにおいて,AC3:4に内分する点をFBC6:5に内分する点をEとし,BFAEの交点をPとする.さらに,CPの延長がABと交わる点をDとする.
 このとき,AD:DB, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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※以下の類題は,解答のみ示します.途中経過はここまでとほぼ同様です.
【問題3】
 右図の△ABCにおいて,AB2:3に内分する点をDBC5:7に内分する点をEとし,CDAEの交点をPとする.さらに,BPの延長がCAと交わる点をFとする.
 このとき,CF:FA, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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【問題4】
 右図の△ABCにおいて,AB3:5に内分する点をDCA4:7に内分する点をFとし,BFCDの交点をPとする.さらに,APの延長がBCと交わる点をEとする.
 このとき,BE:EC, AP:PE, BP:PF, CP:PDをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
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