【実数の平方の性質】
実数aについて
a2≧0が成り立つ． …(1)
（等号＝が成り立つのはa=0のとき）

a2+b2≧0 …(2)
a2+（正の数）>0 …(3)
（正の数）×a2≧0 …(4)
（正の数）×a2+（正の数）×b2≧0 …(5)
（負の数）×a2≦0 …(6)
（負の数）×a2+（負の数）×b2≦0 …(7)
（負の数）×a2+（負の数）<0 …(8)

　この頁では「絶対不等式」を多く扱います．
　他の頁で扱った不等式は条件付き不等式と呼ばれ，何らかの条件（仮定）のもとに成り立つもので，条件（仮定）を変形して（使って）不等式を証明します．
　これに対して，絶対不等式は何も条件がなくても成立する不等式で，利用すべき条件（仮定）がありません．･･･実際には，登場する文字がすべて実数の場合ということが条件になりますが「この単元を習うときには，通常，複素数を習っていないため文字が実数という条件はないのと同じ」「一般に，とくに断りがなければ，不等式で用いられる文字は実数だと考えてよい」ので，文字がどんな実数であっても成り立つ不等式ということになります．

平方完成の変形　⇒　（　　）2の形を作ること
が鍵になります．

【例１】 ←上記(1)の例
a2+9≧6aとなることを証明してください．
また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問１】
不等式a2−2a+9≧8a−16が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例２】 ←上記(2)の例
x2+y2≧2(x+y−1)となることを証明してください．
また，等号が成り立つ場合を調べてください．

x2+y2−2(x+y−1)
=x2+y2−2x−2y+2
=x2−2x+1+y2−2y+1
=(x−1)2+(y−1)2≧0
（等号が成り立つのは，x−1=0かつy−1=0すなわちx=y=1のとき）

【問２】
不等式x2+y2≧4(2y−x−5)が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例３】 ←上記(3)の例
x2+5>2xとなることを証明してください．

【問３】
不等式x2+5>4xが成り立つことを証明してください．

【例４】 ←上記(5)の例
x2+3y2≧3xyとなることを証明してください．
また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問４】
不等式x2+4xy+7y2−6y+3≧0が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例５】 ←上記(8)の例
−2x2+3x−2<0となることを証明してください．

【問５】
不等式−3x2+6x−5<0が成り立つことを証明してください．

○２つの文字の積xyの項がないとき
⇒ xの項，yの項に分けて，それぞれ平方完成するとよい．定数項は最後にxの項，yの項から出てくる定数項と合わせて差し引き計算する．

x2+y2−4x+6y+13
=(x2−4x)+(y2+6y)+13
={(x−2)2−4}+{(y+3)2−9}+13
=(x−2)2−4+(y+3)2−9+13
=(x−2)2+(y+3)2≧0
等号が成立するのはx−2=0かつy+3=0
すなわちx=2かつy=−3のとき

2x2+3y2+4x−6y+6
=(2x2+4x)+(3y2−6y)+6
=2(x2+2x)+3(y2−2y)+6
=2{(x+1)2−1}+3{(y−1)2−1}+6
=2(x+1)2−2+3(y−1)2−3+6
=2(x+1)2+3(y−1)2+1>0

【問６】
不等式x2+y2+20≧4(2x−y)が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

○２つの文字の積xyの項があるとき
⇒ (1) はじめに全体をxについて整理し，平方完成する．
（xについて整理するとはyは定数・係数と見なすということ）
⇒ (2) 次に，残りの部分についてyについて平方完成する．

x2−4xy+5y2
=x2−4yx+5y2
=(x−2y)2−(2y)2+5y2
=(x−2y)2+y2≧0
等号が成立するのはx−2y=0かつy=0
すなわちx=0かつy=0のとき

x2+2y2+2xy+2x+8y+10
=x2+2(y+1)x+2y2+8y+10
={x+(y+1)}2−(y+1)2+2y2+8y+10
={x+y+1}2+y2+6y+9
={x+y+1}2+(y+3)2≧0
等号が成立するのはx+y+1=0かつy+3=0
すなわちx=2かつy=−3のとき

【問７】
不等式x2+y2≧xyが成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問８】
不等式x2+4xy+6y2+2x+3≧0が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．