《剰余の定理》
◆◆　例題　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ−２で割ると４余り，ｘ−５で割ると７余る．このときf(ｘ)を(ｘ−２)(ｘ−５)で割った余りを求めなさい．		 (答案)
　f(ｘ)を(ｘ−２)(ｘ−５)で割った余りをａｘ＋ｂとおくと，
　f(ｘ)＝(ｘ−２)(ｘ−５)Ｑ(ｘ)＋ａｘ＋ｂと表わせる．
f(2)＝４　だから　２ａ＋ｂ＝４･･･(1)
f(5)＝７　だから　５ａ＋ｂ＝７･･･(2)
(1)(2)より，ａ＝１，ｂ＝２
よって，余りは　ｘ＋２　･･･(答)
要点：２次式で割ったときの余りは，１次式(以下)ですから，ａｘ＋ｂとおけます．
　　　問題文から，条件式が２つ作れるので，ａ，ｂが求まります．
 
◆◆　問題１　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ−１で割ると８余り，ｘ＋２で割ると２余る．このときf(ｘ)をｘ2＋ｘ−２で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
８　２　２ｘ＋６　２ｘ−６　６ｘ−14
ｘ−２　ｘ＋２　−２ｘ＋６　−６ｘ+14
◆◆　問題２　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ−１で割ると２余り，ｘ＋３で割ると−６余る．このときf(ｘ)を(ｘ−１)(ｘ＋３)で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
２ｘ　　　−２ｘ　　２ｘ−３　
−２ｘ＋３　−４ｘ＋６　４ｘ−６

◆◆　問題３　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2−３ｘ＋２で割ると３余り，
ｘ2−４ｘ＋３で割ると３ｘ余る．このときf(ｘ)を
ｘ2−５ｘ＋６で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
３ｘ＋３　　３ｘ−３　　６ｘ＋９
６ｘ−９　　９ｘ＋６　　９ｘ−６
◆◆　例題　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2−４で割ると３ｘ＋２余る．このときf(ｘ)を　ｘ−２　で割った余りを求めなさい．		 (答案)
f(ｘ)＝(ｘ−２)(ｘ＋２)Ｑ(ｘ)＋３ｘ＋２とおく
f(2)＝８　だから
余りは　８　･･･(答)
要点：１次式で割ったときの余りは，剰余の定理で求まります．
◆◆　問題４　◆◆
　整式f(ｘ)を(ｘ−１)(ｘ＋２)で割ると３ｘ−１余る．このときf(ｘ)をｘ−１で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
−３　　−２　　−１
０　　１　　２　　３
◆◆　例題　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2＋１で割ると２余り，ｘ＋１で割ると４余る．
　このときf(ｘ)を(ｘ2＋１)(ｘ＋１)で割った余りを求めなさい．

 
 

 

 (答案)
※　ｘ2＋１のように因数分解できない式で割った余りが条件に示されているときは，剰余の定理を使いにくいので原始的に割り算実行で行います．
　(どうしても剰余の定理を使いたければ，ｉ，−ｉを代入します．このとき係数ａ，ｂ，ｃは実数とは限らないのでｉと−ｉで２つの式を作ります．)
◆◆　問題５　◆◆
　整式Ｐ(ｘ)をｘ2−２ｘ＋３で割ると余りがｘ+１，また，ｘ−１で割ると，余りが６であるという．このときＰ(ｘ)を(ｘ2−２ｘ＋３)(ｘ−１)で割った余りを求めなさい．

(答案)
ｘ2−ｘ＋

◆◆　問題６　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2＋１で割るとｘ＋４余り，ｘ−２で割ると１余る．このときf(ｘ)を(ｘ2＋１)(ｘ−２)で割った余りを求めなさい．

(答案)
−ｘ2＋ｘ＋

◆◆　例題　◆◆
　整式Ｐ(ｘ)は(ｘ-1)2で割り切れるが，ｘ−３で割ると４余る．このときＰ(ｘ)を(ｘ-1)2(ｘ−３)で割った余りを求めなさい．
(答案)
(別解)
Ｐ(ｘ)＝(ｘ-1)2(ｘ−３)Ｑ(x)＋ａ(ｘ-1)2とおく．
Ｐ(3)＝４だから４ａ＝４
ａ＝１
ｘ2−２ｘ＋１･･･(答)
※　完全平方式で割った余りが条件のときも，剰余の定理だけでは条件式が足りませんので，割り算実行が基本です．
◆◆　問題７　◆◆
　整式f(ｘ)を(ｘ＋１)2で割ると２ｘ＋３余り，ｘ−１ で割ると１余る．このときf(ｘ)を(ｘ＋１)2(ｘ−１)で割った余りを求めなさい．

(答案)
−ｘ2＋

◆◆　問題８　◆◆
　整式f(ｘ)を(ｘ−１)2で割ると２ｘ＋１余り，ｘ＋１で割ると３余る．このときf(ｘ)を(ｘ−１)2(ｘ＋１)で割った余りを求めなさい．

(答案)
ｘ2＋

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／17.5.30］
割る式が2次式と4次式で 問題に聞かれるのが3次式の余りという応用の解き方だけ知りたかったです。（3次式は因数分解できないもので、割っている2次式と4次式とは何の因数も持たないパターンです。）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．想像力豊かで物事を深く考える方のようですが，詰めが甘いのが弱点かもしれません．すなわち，アンダーラインをひいた箇所が，問題文を無にしており，そんな問題はありえないのです．･･･仮にそのような問題を出題したとすると，余りが定まらないのです．
【簡単な例】
「xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる多項式を，x+2で割ったときの余りを求めよ」という問題があったとすると，仮定として与えられているx, x+1と求めるべきx+2が独立（割っている式と何の因数も持たないパターン）になっているので，答は定まらず，どんな余りでもありえます．
(1) f(x)=x+1とすると，xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる．この式をx+2で割ったときの余りは−1
(2) f(x)=(x+1)2とすると，xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる．この式をx+2で割ったときの余りは1
(3) f(x)=(x+1)(2x+1)とすると，xで割ると1余り，x+1で割ると割り切れる．この式をx+2で割ったときの余りは3
そもそも，条件で示される２つの式x, x+1と余りを求めたい式x+2に何の因数も持たないパターンでは，答は定まらないのです．だからそういう問題はないのです．
※３次式が有理係数では因数分解できないが，無理係数，複素係数で因数分解でき，それらの因数が各々与えられた２次式，４次式の因数となっている問題なら解けます．
※この頁とかこの頁の問題をやる方がためになるでしょう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[剰余の定理について／16.12.11］
例題の解説の後についている要点で納得することがあったので凄く助かりました！ 問題も典型問題が多いし、ページも見やすいです。 難易度の高い問題も1.2題つけてもらえたら嬉しいです。大学の過去問レベルのもの等々……
＝＞［作者］：連絡ありがとう．