《剰余の定理》
 
◆◆　例題　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ−２で割ると４余り，ｘ−５で割ると７余る．このときf(ｘ)を(ｘ−２)(ｘ−５)で割った余りを求めなさい．		 (答案)
　f(ｘ)を(ｘ−２)(ｘ−５)で割った余りをａｘ＋ｂとおくと，
　f(ｘ)＝(ｘ−２)(ｘ−５)Ｑ(ｘ)＋ａｘ＋ｂと表わせる．
f(2)＝４　だから　２ａ＋ｂ＝４･･･(1)
f(5)＝７　だから　５ａ＋ｂ＝７･･･(2)
(1)(2)より，ａ＝１，ｂ＝２
よって，余りは　ｘ＋２　･･･(答)
要点：２次式で割ったときの余りは，１次式(以下)ですから，ａｘ＋ｂとおけます．
　　　問題文から，条件式が２つ作れるので，ａ，ｂが求まります．
 
◆◆　問題１　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ−１で割ると８余り，ｘ＋２で割ると２余る．このときf(ｘ)をｘ2＋ｘ−２で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
８　２　２ｘ＋６　２ｘ−６　６ｘ−14
ｘ−２　ｘ＋２　−２ｘ＋６　−６ｘ+14
◆◆　問題２　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ−１で割ると２余り，ｘ＋３で割ると−６余る．このときf(ｘ)を(ｘ−１)(ｘ＋３)で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
２ｘ　　　−２ｘ　　２ｘ−３　
−２ｘ＋３　−４ｘ＋６　４ｘ−６

◆◆　問題３　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2−３ｘ＋２で割ると３余り，
ｘ2−４ｘ＋３で割ると３ｘ余る．このときf(ｘ)を
ｘ2−５ｘ＋６で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
３ｘ＋３　　３ｘ−３　　６ｘ＋９
６ｘ−９　　９ｘ＋６　　９ｘ−６
◆◆　例題　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2−４で割ると３ｘ＋２余る．このときf(ｘ)を　ｘ−２　で割った余りを求めなさい．		 (答案)
f(ｘ)＝(ｘ−２)(ｘ＋２)Ｑ(ｘ)＋３ｘ＋２とおく
f(2)＝８　だから
余りは　８　･･･(答)
要点：１次式で割ったときの余りは，剰余の定理で求まります．
◆◆　問題４　◆◆
　整式f(ｘ)を(ｘ−１)(ｘ＋２)で割ると３ｘ−１余る．このときf(ｘ)をｘ−１で割った余りを求めなさい．

(次のうちから選びなさい)
−３　　−２　　−１
０　　１　　２　　３
◆◆　例題　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2＋１で割ると２余り，ｘ＋１で割ると４余る．
　このときf(ｘ)を(ｘ2＋１)(ｘ＋１)で割った余りを求めなさい．

 
 

 

 (答案)
※　ｘ2＋１のように因数分解できない式で割った余りが条件に示されているときは，剰余の定理を使いにくいので原始的に割り算実行で行います．
　(どうしても剰余の定理を使いたければ，ｉ，−ｉを代入します．このとき係数ａ，ｂ，ｃは実数とは限らないのでｉと−ｉで２つの式を作ります．)
◆◆　問題５　◆◆
　整式Ｐ(ｘ)をｘ2−２ｘ＋３で割ると余りがｘ+１，また，ｘ−１で割ると，余りが６であるという．このときＰ(ｘ)を(ｘ2−２ｘ＋３)(ｘ−１)で割った余りを求めなさい．

(答案)
ｘ2−ｘ＋

◆◆　問題６　◆◆
　整式f(ｘ)をｘ2＋１で割るとｘ＋４余り，ｘ−２で割ると１余る．このときf(ｘ)を(ｘ2＋１)(ｘ−２)で割った余りを求めなさい．

(答案)
−ｘ2＋ｘ＋

◆◆　例題　◆◆
　整式Ｐ(ｘ)は(ｘ-1)2で割り切れるが，ｘ−３で割ると４余る．このときＰ(ｘ)を(ｘ-1)2(ｘ−３)で割った余りを求めなさい．
(答案)
(別解)
Ｐ(ｘ)＝(ｘ-1)2(ｘ−３)Ｑ(x)＋ａ(ｘ-1)2とおく．
Ｐ(3)＝４だから４ａ＝４
ａ＝１
ｘ2−２ｘ＋１･･･(答)
※　完全平方式で割った余りが条件のときも，剰余の定理だけでは条件式が足りませんので，割り算実行が基本です．
◆◆　問題７　◆◆
　整式f(ｘ)を(ｘ＋１)2で割ると２ｘ＋３余り，ｘ−１ で割ると３ｘ−２である．このときf(ｘ)を(ｘ＋１)2(ｘ−１)で割った余りを求めなさい．

(答案)
−ｘ2＋

◆◆　問題８　◆◆
　整式f(ｘ)を(ｘ−１)2で割ると２ｘ＋１余り，ｘ＋１で割ると３余る．このときf(ｘ)を(ｘ−１)2(ｘ＋１)で割った余りを求めなさい．

(答案)
ｘ2＋

←メニューに戻る