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【剰余の定理 I 】(要点)
 多項式P(x)を1次式x−aで割った余りはP(a)に等しい。

【例 】
1. 多項式P(x)=x2+x+3を1次式x−1で割る計算は右のようになるが、このときの余りP(x)x1を代入するだけで求めることができる。

 P(1)=12+1+3=5
2. 多項式P(x)=x2−3x+4を1次式x+2で割る計算は右のようになるが、このときの余りP(x)x−2を代入するだけで求めることができる。

 P(−2)=(−2)2−3(−2)+4=14

【この定理を理解するために必要な予備知識 】
(1) 1次式で割った余りは定数
 多項式をn次式で割ったときの余りは、割る式よりも次数が低い。上の例1では1次式x−1で割っているから余りは0次(定数)になる。
 もし2次式で割っていれば、余りは1次式または定数になる。
 もし3次式で割っていれば、余りは2次式、1次式または定数になる。
多項式の割り算では、割る式よりも次数が低くなったときに余りとする。割る式よりも次数が高いときや割る式と次数が同じときはまだ計算の途中だと考えなければならない。
 例1の計算で、右のような段階では2x+3は割る式x−1と同じ次数の1次式だから、この割り算はまだ終わっておらず計算の途中である。したがって、2x+3は余りではなく、上の例のように求めなければならない。

(2) A÷B=Q···RA=BQ+R
  この関係式は「割り算の原理」(商と余りの関係)と呼ばれる。
 A÷B=Q余りRのとき、A , B , Q , RA=BQ+Rを満たす。(Qは掛け算に参加するが、余りRは掛け算に参加しない。)
 右図1のようにA÷B=Q余りRのときに「割り算の中身は引き算」であることに注意すると
A−BQ=R
となるから、移項すれば
A=BQ+R
が成り立つ。
例1のような割り算では、割り算が1階建てで終わるとは限らず2階建て以上になることがある。このような場合には、右図2のように預金を2回以上に分けて引き出しているだけだから、商としてx2に分けて計算せずにQ=x+2でまとめて計算すると、残高RA−BQで求められる。
右上に続く↑
■剰余の定理で注意すべき点
  • 多項式を1次式で割ったときの余りは、割り算しなくても求めることができる。
  • 剰余の定理は強力であるが、求まるのは「余り」だけで「」は求まらない…便利さと引き換えに重要なものを犠牲にしている
  • 1次式で割ったときに限る…2次式、3次式で割った余りはそのままでは求まらない。
  • この定理はx−aで割った余りを与えるもので、x+aで割った余りを求めるにはP(−a)を計算しなければならない。
  • この定理ではxの係数が1である1次式x−aで割ったときの余りが求められ、xの係数が1でない1次式ax+bで割ったときの余りを求めるには、後で登場する剰余の定理II を使わなければならない。

※ 剰余の定理を初めて学ぶとき、「速く理解しよう」とか「能率よく理解しよう」などと考えると、おそらく身に着かない。少なくとも30分はこの定理を牛のように反芻する必要がある。特に、鉛筆やマウスを持ってスラスラと片付けようなどと考えるのは無理。
 この定理は抽象的な論理でできているので、これを理解するには鉛筆もマウスも離して「腕組みをする」のが一番

図1
図2
【剰余の定理 I の証明】
 多項式P(x)を1次式x−aで割ったとき、商をQ(x)、余りをRとおくと、割り算の原理(商と余りの関係)により
P(x)=(x−a)Q(x)+R …(1)
が成り立つ。
(この余りRを求めることが当面の目標になる。)
(1)式にx=aを代入すると
P(a)=(a−a)Q(a)+R
すなわち
P(a)=R …(2)
になり、余りRP(a)に等しいことが示される。■証明終り■
 この定理はx−aで割ったときの余りを与えていることに注意しなければならない。
 例えばx+1で割ったときの余りを求めるためには、 x−(−1)と考えてP(−1)を計算するとよい。
右上に続く↑
 左の式(1)において与えられた多項式P(x)から余りRを求めるために
R=P(x)−(x−a)Q(x)
を使おうとしても、商Q(x)が分からないため、立ち往生してしまう。
 この商Q(x)は正体がつかめないお化け(お化けのQ太郎・・・昭和の時代の有名キャラクター)なので、値を求めようとしても無駄である。
 ところが、Q(x)の値が全く分からないときでも、これを「消す」方法が1つある。それは0を掛けるのである。すなわち、
0×Q(x)
の形になるようにうまくxの値を選べば、Q(x)が分からなくてもこれを消すことができる。
 (x−a)Q(x)の式の形に注意すると、そのようなxの値が1つだけあることが分かる。x−a0となる値、すなわちx=aを代入するのである。
P(x)=(x−a)Q(x)+R xx=aを代入すると
P(a)=(a−a)Q(a)+R
(1)式にx=aを代入すると両辺のxはすべてaに変わるので、P(x), Q(x)は各々P(a), Q(a)になる。
P(a)=0×Q(a)+R
P(a)=R
となって分からない値Rが与えられた式P(x)の値で表される。

(1) P(x)=x2+2x+3x−1で割ったときの余りは、
P(1)=12+2×1+3=6
(2) f(x)=2x3−x+5x−2で割ったときの余りは、
f(2)=2×23−2+5=19
多項式に名前を付けて使うときは多項式polynomialの頭文字を使ってP(x)が使われることが多いが、一般の関数と同じようにf(x) , g(x)などもよく使われる。
右上に続く↑
(3) P(x)=x2+2x+3x+1で割ったときの余りは、
P(−1)=(−1)2+2×(−1)+3=2
(4) f(x)=2x3−x+5x+2で割ったときの余りは、
f(−2)=2×(−2)3−(−2)+5=−9
【剰余の定理 II 】(要点)
 多項式P(x)を1次式ax+bで割った余りはP( − )に等しい。
※ 定理I と比較すると見かけの符号が逆になっていることに注意
【例 】
1. 多項式P(x)=2x2−3x+4を1次式2x+1で割ったときの余りはP(x)xを代入すると求めることができる。

 P()=2( − )2−3( − )+4=6

2. 多項式P(x)=2x2−3x+4を1次式2x−3で割ったときの余りはP(x)xを代入すると求めることができる。

 P( )=2( )2−3( )+4=4
右上に続く↑
 この定理II は上に述べた定理I が1次式x−aで割ったときの余りしか求められない(すなわちxの係数が1のときしか対応できない)のに対して、xの係数が1でないときにも適用できるように拡張したものである。
【剰余の定理II の証明】
多項式P(x)を1次式ax+bで割ったとき、商をQ(x)、余りをRとおくと、
P(x)=(ax+b)Q(x)+R …(1)
が成り立つ。
この式において、値が分からないQ(x)を消すためには、Q(x)にかけてあるax+bの値が0となるようなxの値を代入すればよい。
ax+b=0を解くとx= −
(1)式にx= − を代入すると
P( − )=(a( − )+b)Q( − )+R
P( − )=(−b+b)Q( − )+R
P( − )=0×Q( − )+R
すなわち
P( − )=R …(2)
になり、余りRP( − )に等しいことが示される。■証明終り■
※ かなり難しい話(参考)

 剰余の定理I において
P(x)x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい」
というとき、aが整数という前提はどこにも使っていない。したがって、正確に言えば剰余の定理I はaが分数や無理数であっても成り立つことになる。
 そうすると、
P( − )P(x)x+で割ったときの余りに等しい」
ことになる。

 このように考えると、剰余の定理II においてはP( − )ax+bで割ったときの余りを表すことになり、剰余の定理I においてはP( − )x+で割ったときの余りを表すことになる。
 これらの話は矛盾しない。(右の解説を見よ→)
右上に続く↑
(左欄から続き)
 上の例1において、P(x)=2x2−3x+4を1次式2x+1で割ったとき余りはP( − )=6となるが、実際に割り算をしてみると
2x2−3x+4=(2x+1)(x−2)+6
になる。
他方で、P(x)=2x2−3x+4を1次式x+ で割ったとき余りはP( − )=6となるが、これは
2x2−3x+4=(x+ )(2x−4)+6
を表している。

 一般に、多項式の割り算において割る式を定数倍したとき、商はその定数で割ったものになるが余りは変わらない。  したがって、P( − )を剰余の定理II の内容として「ax+bで割ったときの余り」と考えてもよく、剰余の定理I の内容として「x+で割ったときの余り」と考えてもよいことになる。
(他の例)
2x2−x+1=(2x−3)(x+1)+4
2x2−x+1=(x− )(2x+2)+4
となるから、2x2−x+12x−3で割ったときの余りとx− で割ったときの余りは等しい。
【2次式で割ったときの余り】
 剰余の定理は1次式で割ったときの余りを与えるものなので、そのまま使えば2次式で割ったときの余りは求められない。
 例えば、多項式x3−2x3+x+7を2次式x2−3x+2で割ったときの余りを求めるためには、剰余の定理の結果を覚えているだけでなく剰余の定理の証明の仕方に立ち返って式を組み立てる必要がある。
(A) 右の答案において、「2次式で割ったときの余り」を求めているのだから、余りは割る式(2次)よりも次数が低く1次または定数になる。したがって、余りはax+bとおける。(このa,bの値を求めるとよい。もしa=0なら、余りは定数になる。)

(B) 右の例のように、割る式が(x−1)(x−2)のように因数分解できるときはQ(x)に掛けてある式が2つあることになるから、0×Q(x)のようにQ(x)0を掛けて消すことのできる値が2つ見つかる。(この例ではx=1x=2
 割る式が(x−1)2のような重解型であったり、x2+1のような虚数解型であるときはやっかいな問題になるが、この例のように異なる2つの実数解がある型のときは、2つの値を代入することによって、(2)(3)のように連立方程式が得られる。(未知数が2個だから方程式が2個作れれば、連立方程式として解ける。)
右上に続く↑
例1
 多項式P(x)=x3−2x2+x+7を2次式x2−3x+2で割ったときの余りを求めよ。

(答案)
 2次式x2−3x+2で割ったときの余りは1次式(以下)になるから、求める余りをax+bとおく。 …(A)
P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b …(1)
(1)式にx=1を代入 …(B)
P(1)=a+b
a+b=7 …(2)
(1)式にx=2を代入 …(B)
P(2)=2a+b
2a+b=9 …(3)
(2)(3)をa,bの連立方程式として解くとa=2 ,b=5
ゆえに、余りは2x+5 …(答)
例2
 多項式x3−x2+ax+bx−1で割ると2余り、x−2で割ると3余るとき、a, bの値を求めよ。

(答案)
x=1を代入
a+b=2 …(1)
x=2を代入
8−4+2a+b=3 …(2)
(1)(2)よりa=−3 , b=5 …(答)
右上に続く↑
例3
 多項式P(x)x−1で割ると2余り、x+3で割ると−6余るとき、P(x)x2+2x−3で割ったときの余りを求めよ。

(答案)
P(x)=(x−1)(x+3)Q(x)+ax+b …(1)
とおく。
x=1を代入(剰余の定理からx−1で割った余りはP(1)に等しいが、問題文からこれは2になる)
a+b=2 …(2)
x=−3を代入(剰余の定理からx+3で割った余りはP(−3)に等しいが、問題文からこれは−6になる)
−3a+b=−6 …(3)
(2)(3)よりa=2 ,b=0
ゆえに、余りは2x …(答)
例4
 多項式P(x)(x−1)(x+2)で割ると3x−1余るとき、P(x)x−1で割ったときの余りを求めよ。

(答案)
P(x)=(x−1)(x+2)Q(x)+3x−1と書ける。
ゆえに、P(1)=2 …(答)
右上に続く↑
例5
 多項式P(x)x2−3x+2で割るとx+1余り、x2−4x+3で割ると3x余るとき、P(x)x2−5x+6で割ったときの余りを求めよ。

(答案)
P(x)=(x−2)(x−3)Q(x)+ax+bとおく。…(1)
P(x)=(x−1)(x−2)Q’(x)+x+1によりP(2)=3…(2)
またP(x)=(x−1)(x−3)Q"(x)+3xによりP(3)=9…(3)
(1)にx=2, x=3を代入
P(2)=2a+b=3…(4)
P(3)=3a+b=9…(5)
これより、a=6 , b=−9 ゆえに、余りは6x−9 …(答)

(参考)
※筆者は次のことが成り立つと考えていますが,手元の参考書やWeb記事では見つけられなかったので,個人的な考えかもしれない.
世間ではメジャーではないかもしれないので参考程度に.
(覚える必要はないが,自分で再現できたらかなり洞察力がついている.)
【2次式で割ったときの余り】
とする.
整式で割ったときの余りがになり
整式で割ったときの余りがになるとき,
整式で割ったときの余りは

に等しい.
≪この式の作り方≫
を代入したときは第2項が消える(分子が0になる)ようになっていて,第1項はp以外の分数の分母と分子が同じになる(分数として1になる)ようにしてある.
を代入したときは第1項が消える(分子が0になる)ようになっていて,第2項はq以外の分数の分母と分子が同じになる(分数として1になる)ようにしてある.
(証明)

とおくと




が成り立つ.
したがって,上記の1次式
…(*)
は条件を満たしている.

 次に,ある1次式…(**)
も条件を満たしているものとすると,(*)と(**)とは,「1次式」であってかつ「異なる2つの値に対して等しい」から恒等式として等しい.

 以上により,(*)が条件を満たす唯1つの1次式となる.
(もっと気楽な考え方)
整式で割ったときの余りがの形に書けたらいいな〜と考える.
 この形になっていると,を代入したとき第2項が消え,を代入したとき第1項が消えるから,計算が楽になるから.
 この式で「すべての1次式が表せるのか?」という疑問については保留にしたまま後で考える.

において,を代入すると

したがって

同様にしてを代入すると

したがって

結局

が余りになる.これがただ1つの解であることは上記のように1次の恒等式が異なる2つの値に対して等しくなることから言える.
【例6】
 整式f(x)x−1で割ると3余り、x−2で割ると1余るとき、f(x)(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。
(解答)
 上記の式でを代入すると


(余りをmx+nとおく通常の答案では)
f(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+mx+nとおくと
f(1)=m+n=3…(1)
f(2)=2m+n=1…(2)
(2)−(1)より
m=−2
(1)に代入
n=5
だから −2x+5

上記の【例3】
 多項式P(x)x−1で割ると2余り、x+3で割ると−6余るとき、P(x)x2+2x−3で割ったときの余りを求めよ。
(解答)
x2+2x−3=(x−1)(x+3)だから,上記の式でを代入すると



(余りをmx+nとおく通常の答案は先に述べた通り)
右上に続く↑
【3次式で割ったときの余り】
は互いに異なる数とする.
整式で割ったときの余りが
整式で割ったときの余りが
整式で割ったときの余りが
になるとき,
整式で割ったときの余りは

に等しい.
≪この式の作り方≫
を代入したときは第2項と第3項が消える(分子が0になる)ようになっていて,第1項はp以外の分数の分母と分子が同じになる(分数として1になる)ようにしてある.
を代入したときは第1項と第3項が消える(分子が0になる)ようになっていて,第2項はq以外の分数の分母と分子が同じになる(分数として1になる)ようにしてある.
を代入したときは第1項と第2項が消える(分子が0になる)ようになっていて,第3項はr以外の分数の分母と分子が同じになる(分数として1になる)ようにしてある.
(証明)




とおくと

が成り立つ.
したがって,上記の2次式
…(*)
は条件を満たしている.

 次に,ある2次式…(**)
も条件を満たしているものとすると,(*)と(**)とは,「2次式」であってかつ「異なる3つの値に対して等しい」から恒等式として等しい.

 以上により,(*)が条件を満たす唯1つの2次式となる.
(もっと気楽な考え方)
整式で割ったときの余りが

の形に書けたらいいな〜と考える.
 この形になっていると,を代入したとき第2項,第3項が消え,を代入したとき第1項,第3項が消え,を代入したとき第1項,第2項が消えるから,計算が楽になるから.
 この式で「すべての2次式が表せるのか?」という疑問については保留にしたまま後で考える.




において,を代入すると

したがって

同様にしてを代入すると

したがって

同様にしてを代入すると

したがって

結局

が余りになる.これがただ1つの解であることは上記のように2次の恒等式が異なる3つの値に対して等しくなることから言える.
【例7】
 整式f(x)x+1で割ると6余り,x−1で割ると2余り,x−2で割ると3余るとき,f(x)(x+1)(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。
(解答)
 上記の式でを代入すると




(余りをlx2+mx+nとおく通常の答案では)
f(x)=(x+1)(x−1)(x−2)Q(x)+lx2+mx+nとおくと
f(−1)=l−m+n=6…(1)
f(1)=l+m+n=2…(2)
f(2)=4l+2m+n=3…(3)
この連立方程式(1)(2)(3)を解くと
l=1, m=−2, n=3
だから x2−2x+3

【例8】
 整式f(x)x−1で割ると−2余り,x−2で割ると−1余り,x−3で割ると4余るとき,f(x)(x−1)(x−2)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。
(解答)
 上記の式でを代入すると





(余りをlx2+mx+nとおく通常の答案では)
f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)Q(x)+lx2+mx+nとおくと
f(1)=l+m+n=−2…(1)
f(2)=4l+2m+n=−1…(2)
f(3)=9l+3m+n=4…(3)
この連立方程式(1)(2)(3)を解くと
l=2, m=−5, n=1
だから 2x2−5x+1


次の各問に答えてください.
答は下の選択肢のうちで正しいものをクリック.(暗算では無理です.必ず計算用紙で計算してから答えてください.)
【問題1】
 整式f(x)x+3で割ると−5余り,x−3で割ると7余るとき,f(x)(x+3)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。
【問題2】
 整式f(x)x−1で割ると割り切れ,x−2で割ると3余るとき,f(x)(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。
【問題3】
 整式f(x)x−2で割ると1余り,x+3で割ると6余るとき,f(x)(x−2)(x+3)で割ったときの余りを求めよ。
右上に続く↑
【問題4】
 整式f(x)x−1で割ると2余り,x−2で割ると4余り,x−3で割る8余るとき,f(x)(x−1)(x−2)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。
【問題5】
 整式f(x)x−1で割ると1余り,x+1で割ると−3余り,x−2で割ると割り切れるとき,
f(x)(x−1)(x+1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。
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■[個別の頁からの質問に対する回答][剰余の定理について/16.12.19]
重解のときの解き方も載せて欲しい。
=>[作者]:連絡ありがとう.この頁の下の方を見てください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][剰余の定理について/16.12.9]
例題8の解答の中間式で係数2が抜けてます。
=>[作者]:連絡ありがとう.最近加筆した部分なので,入力ミスがまだ他の読者にバレていなかったようです.訂正しました.