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【例題1】
 0≦θ<2πのとき,
.cos(2θ−)>
を満たすθの値の範囲を求めることを考えます.
(最後までたどり着けない答案)
 右上の図は,黒色がy=cosθのグラフ,緑色がy=cosのグラフです.
一般にy=cosのグラフはy=cosθのグラフを横方向にn倍に引き延ばしたものになるのではなく,n分の1に縮めたものになることに注意しましょう
 右中央の図は,緑色がy=cosのグラフ,青色が
y=cos(2θ−)すなわちy=cos2(θ−)のグラフです.
一般にy=cos n(θ−α)のグラフはy=cosのグラフを右にαだけ平行移動したものとなります.
(1) y=cos n(θ−α)のときに右にαだけ平行移動で,y=cos n(θ+α)のときは左にαだけ平行移動となることに注意しましょう.
(2) このとき平行移動する分量はy=cos n(θ−α)の形で判断し,y=cos(nθ−α)の形でそのまま読むと間違います.すなわち, y=cos(2θ−)y=cos
のグラフを右にだけ平行移動したものではなく
だけ平行移動したものになります.
 以上のようにして描いたものが3番目のグラフで青色で示した
y=cos(2θ−)のグラフで,赤で示したのがy=のグラフ
です.
 青と赤の2つのグラフから,cos(2θ−)>を満たす
範囲は2箇所あるということが分かりますが,実際の答案にまでまとめるのは大変困難です.
▲ 理屈の上では,このようにすれば解けるはずですが,現役の高校生がこの方法で答案をまとめるのは困難です.
▲ 第1の理由は,3番目のグラフを作るまでの作業が長くて,なかなかたどり着けないことです.
▲ 第2の理由は,3番目の青で示したグラフが正確に描けても,このグラフから条件を満たすθの範囲を読み取るのは困難だからです.

○ 他の解き方を考える方がよさそうです.
(答案)
 単位円を使って考える.
 0≦θ<2πのとき,t=2θ−とおくと
θ0→2π
t


≪定義域の変換≫
 右図の青で示した円(重ならないように少しだけずらして示
している)は,≦t<となるtについての図とします.
 図から,cost>となるtの値の範囲は
<t<…(1順目)
<t<…(2順目)
これをθの範囲に直すと
<2θ−<
<2θ−<
θについて解くと
<θ<, <θ<…(答)
○ このように単位円を使って解くときは,特に≪定義域の変換≫に注意しなければなりません.
○ 元のθが1周している場合でも,新しい変数tでは2周する場合もあります.(円が重ならないように描けばよいでしょう)
○ cosθ, costの値はx座標で調べます.sinθ, sintの値はy座標で調べます.
とかのような角度
はどこから出てくるのか?
⇒重要な5つの角度の正弦・余弦の値は「覚えているから」できるのです.
(上下左右対称に応じてこれに符号を付けます)
【例題2】
 0≦θ<2πのとき,
.sin(2θ+)≦
を満たすθの値の範囲を求めてください.
(解答)
t=2θ+とおくと
0≦θ<2πのとき≦t<…(1)
この範囲でsint≦…(2)を解く.
右図より
t=
≦t≦
≦t<
(1)(2)とも等号がある値は解に含まれる
θで表すと
2θ+=
≦2θ+
≦2θ+<
したがってθ=0, ≦θ≦π, ≦θ<2π…(答)

※正しい番号をクリックしてください.
問1 0≦θ<2πのとき,
.cos(2θ+)<−
を満たすθの値の範囲を求めてください.
1<θ<, <θ<
2<θ<, <θ<
3<θ<, <θ<
4<θ<, <θ<2π

問2 0≦θ≦πのとき,
.sin(3θ−)>
を満たすθの値の範囲を求めてください.
1<θ<, <θ<
2<θ<, <θ≦3π
3<θ<, <θ<π
4<θ<, <θ≦π

問3 0≦θ≦πのとき,
.<cos(3θ−)≦
を満たすθの値の範囲を求めてください.
1≦θ<, ≦θ<, ≦θ<
2<θ≦, <θ≦, <θ≦
3≦θ<, <θ≦, ≦θ<
4<θ≦, ≦θ<, <θ≦π


【例題3】
 0≦θ≦πのとき,
.tan(2θ−)≧1
を満たすθの値の範囲を求めてください.
(解答)
t=2θ−とおくと
0≦θ≦πのとき≦t≦
この範囲でtant≧1を解く.
右図より
≦t=2θ−<
≦t=2θ−<
θについて解くと,≦θ<, ≦θ<…(答)
【例題4】
 0≦θ≦πのとき,
.tan(2θ+)≦−
を満たすθの値の範囲を求めてください.
(解答)
t=2θ+とおくと
0≦θ≦πのとき≦t≦
この範囲でtant≦−を解く.
右図より
<t=2θ+
<t=2θ+
θについて解くと,<θ≦, <θ≦…(答)
.tanθの値は,x座標やy座標ではなくそれらの比になります.
 すなわち,tanθ==なので,m=tanθの値は原点
を通る直線y=mxの傾きmになります.
【重要】
○ この値を全部言えなければ問題は解けません.
○ 特に,, のところ(通俗的に言えば「北極」と「南極」
のところ)では,tanθの値は定義されないことに注意.

問4 0≦θ≦πのとき,
.tan(2θ+)<−
を満たすθの値の範囲を求めてください.
1<θ<, <θ<
2<θ<, <θ<
3<θ<, <θ<
4<θ<, <θ<

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