■2次関数の頂点(展開形)→ 携帯版
≪要点≫

【例1】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=2x2+8x+9
(解答)
x2の係数2でくくる.その際,定数項9は入れない方がよい.
(←最後はかっこの外に出すので,はじめから入れない方がよい.出したり入れたりすると2度手間になり,計算間違いも多くなる.)
y=2(x2+4x)+9

かっこの中で(x+p)2の形を作る.
定数項の分は,はじめに足した分だけ引いておく.
y=2(x2+4x+4−4)+9

=2{(x+2)2−4}+9

外側の{ }を外す.
=2(x+2)2−8+9
#よくある間違い#
先頭の係数を掛けるのを忘れてしまう!!
××2(x+2)2−4+9
=2(x+2)2+1
頂点の座標は(−2, 1)…(答)
【例2】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=3x2−6x+1
(解答)
x2の係数3でくくる.
y=3(x2−2x)+1

かっこの中で(x−p)2の形を作る.
y=3(x2−2x+1−1)+1
=3{(x−1)2−1}+1

外側の{ }を外す
=3(x−1)2−3+1
#よくある間違い#
先頭の係数を掛けるのを忘れてしまう!!
××3(x−1)2−1+1
=3(x−1)2−2
頂点の座標は(1, −2)…(答)
2乗するとxの係数が2倍される.
(x+p)2=x2+2px+p2…(1)
【例】
(x+1)2=x2+2x+12
(x+2)2=x2+4x+22
(x+3)2=x2+6x+32
(x−p)2=x22px+p2…(2)
【例】
(x−1)2=x22x+12
(x−2)2=x24x+22
(x−3)2=x26x+32

逆の計算をするにはxの係数の半分を持ってくる
(1)→x2+2px+p2=(x+p)2
x2+2px=(x+p)2p2
2p=Aとおくとp=
x2+Ax=(x+)2()2
【例】
x2+2x=(x+1)212
x2+4x=(x+2)222
x2+6x=(x+3)232

(2)の場合も2乗の式はx22px+p2となって最後の項が+p2になっていることに注意すると,逆の計算をするときはp2としなければならない.
(2)→x22px+p2=(x−p)2
x22px=(x−p)2p2
2p=Aとおくとp=
x2Ax=(x−)2()2
【例】
x22x=(x−1)212
x24x=(x−2)222
x26x=(x−3)232
 以下の問題においては,正しい変形を選べば次の変形が表示されるようになっています.
 正解しないと表示されません.(選択肢なので,何度かやれば正解になるはずです)
【問1】
次の各式は,2次関数
y=3x2+12x+7
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=3(x2+4x)+7
【問2】
次の各式は,2次関数
y=4x2−24x+37
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=4(x2−6x)+37
【例3】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=−2x2+12x−11
(解答)
x2の係数−2でくくる.その際,符号に注意する.
y=−2(x2−6x)−11

xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.
y=−2{(x−3)2−9}−11
外側の{ }を外す.そのとき−2を掛けることを忘れないこと.
=−2(x−3)2+18−11=−2(x−3)2+7
頂点の座標は(3, 7)…(答)

【例4】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=−x2−10x−28
(解答)
x2の係数−1でくくる.
y=−(x2+10x)−28

かっこの中で(x+p)2の形を作る.
=−{(x+5)2−25}−28

外側の{ }を外す.そのとき−1を掛けることを忘れないこと.
=−(x+5)2+25−28
=−(x+5)2−3
頂点の座標は(−5, −3)…(答)
【問3】
次の各式は,2次関数
y=−3x2+12x−20
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=−3(x2−4x)−20
【問4】
次の各式は,2次関数
y=−x2−8x−23
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=−(x2+8x)−23
【例5】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=2x2−6x+4
(解答)
x2の係数2でくくる.
y=2(x2−3x)+4

xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.pが分数になっても気にしない.
y=2{(x−)2}+4
外側の{ }を外す.
y=2(x−)2+4=2(x−)2
頂点の座標は(, −)…(答)
【例6】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=−3x2−x+2
(解答)
x2の係数−3でくくる.
y=−3(x2+x)+2
xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.pが分数になっても気にしない.
y=−3{(x+)2}+2
外側の{ }を外す.
y=−3(x+)2++2=−3(x+)2+
頂点の座標は(−, )…(答)
【問5】
次の各式は,2次関数
y=2x2+x+3
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=2(x2+x)+3
【問6】
次の各式は,2次関数
y=−2x2+5x+1
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=−2(x2x)+1
【例7】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=x2+x−1
(解答)
x2の係数でくくる.
でくくるときは,
かっこの中の係数は2掛ける.
y=(x2+2x)−1
(展開したときに「元の式に戻る」ことを目で確認しておくとよい)

xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.
y={(x+1)2−1}−1
外側の{ }を外す.
y=(x+1)2−1=(x+1)2
頂点の座標は(−1, −)…(答)
【例8】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=−x2+2x−
(解答)
x2の係数でくくる.
でくくるときは,かっこの中の係数は掛ける
y=−{x2+2×(−)x}−=−(x2−3x)−
xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.pが分数になっても気にしない.
y=−{(x−)2}−
外側の{ }を外す.
y=−(x−)2+=−(x−)2+
頂点の座標は(, )…(答)
【問7】
次の各式は,2次関数
y=x2+x−
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)の初めの2項をでくくると
【問8】
次の各式は,2次関数
y=−x2+x−2
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)の初めの2項をでくくると
【例9】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=ax2+bx+c (ただしa≠0
(解答)
x2の係数aでくくる.
y=a(x2+x)+c

xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.
y=a{(x+)2−()2}+c
外側の{ }を外す.
y=a(x+)2−a()2+c=a(x+)2+c
=a(x+)2
頂点の座標は(−, −)…(答)
【例10】
次の2次関数の頂点の座標を求めてください.
y=2x2+4ax+a2
(解答)
x2の係数2でくくる.
y=2(x2+2ax)+a2

xの係数の半分の大きさのpを使って,かっこの中で(x+p)2の形を作る.
y=2{(x+a)2−a2}+a2
外側の{ }を外す.
y=2(x+a)2−2a2+a2=2(x+a)2−a2
頂点の座標は(−a, −a2)…(答)
【問9】
次の各式は,2次関数
y=3x2−6ax+2a2
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=3(x2−2ax)+2a2
【問10】
次の各式は,2次関数
y=−2x2+8ax+1
の頂点の座標を求める計算(途中経過)です.正しいものを選んでください

(原式)=−2(x2−4ax)+1

■[個別の頁からの質問に対する回答][2次関数の頂点(展開形)について/17.3.10]
気にいった所 : 平方完成を途中を跳ばすことなく、愚直に進めているところ。途中を省くと必ず計算間違いをすると教えてくれたこと。
=>[作者]:連絡ありがとう.

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