【要点】
\( \mid\vec{a}\mid \)を変形するには\( |\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a} \)とする。

*** この公式はなぜ必要なのか？ ***

\( \mid\vec{a}\mid^2=\vec{a}\cdot\vec{a} \)

(1)　ベクトルの関係式から\( \mid\vec{a}\mid \)を求めるとき，
(2)　\( \mid\vec{a}\mid \)が与えられていて，他のものを求めるとき

\( \mid\vec{a}\mid \)の形のままでは，変形に不便なので，まず，\( \mid\vec{a}\mid^2=\vec{a}\cdot\vec{a} \)を使って，\( \mid\vec{a}\mid \)を内積などに関連づけします。

＃＃危険な落とし穴＃＃
　同じベクトルの内積は，同じものを２回書く
\( \vec{a}\cdot\vec{a} \)
　これに対して，\( \mid\vec{a}\mid \)は単なる数字なので2乗でも３乗でもできる．割り算もできる．
\( \mid\vec{a}\mid^2 \)
ベクトル\( \vec{a} \)の掛け算(\( \vec{a}\times\vec{a} \))や2乗の記号(\( \vec{a}^2 \))は，高校では習わないベクトルの外積の記号になってしまうので，間違って書いてはいけない

よい子の皆さんが，誘惑されそうな「落とし穴」ばっかりじゃないか！

【例】
\( \vec{a}\cdot \vec{b}=1,\hspace{3px}|\vec{b}|=2,\hspace{3px}|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5} \)のとき\( |\vec{a}| \)を求めてください．

\( |\vec{a}-\vec{b}|^2=5 \)

←展開ができる

\( (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=5 \)
\( \vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=5 \)
\( \mid\vec{a}\mid^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2=5 \)
\( \mid\vec{a}\mid^2-2+ 4=5 \)
\( \mid\vec{a}\mid^2=3 \)

\( \mid\vec{a}\mid=\sqrt{3} \)…(答)

≪１≫

\( \mid\vec{a}\mid=2,\hspace{5px}\mid\vec{b}\mid=3,\hspace{5px}\mid\vec{a}+\vec{b}\mid=3 \)のとき，
\( \vec{a}\cdot\vec{b} \)=

\( |\vec{a}+\vec{b}|^2=9 \)…(1)
また，\( |\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+ \vec{b})\cdot (\vec{a}+ \vec{b}) \)
\( =\vec{a}\cdot \vec{a}+ 2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b} \)\( =|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot \vec{b}+ |\vec{b}|^2 \)
\( =4 + 2\vec{a}\cdot \vec{b}+ 9=13+ 2\vec{a}\cdot \vec{b} \)…(2)
(1)(2)より，
\( 9=13+ 2\vec{a}\cdot \vec{b} \)
\( \vec{a}\cdot \vec{b}=-2 \)

≪２≫

\( \mid\vec{a}\mid=3,\hspace{5px}\mid\vec{b}\mid=2,\hspace{5px}\mid\vec{a}-\vec{b}\mid=\sqrt{7} \)のとき，
\( \vec{a},\hspace{5px}\vec{b} \)のなす角θは，θ=°

\( |\vec{a}-\vec{b}|^2=7 \)…(1)
また，\( |\vec{a}- \vec{b}|^2=(\vec{a}- \vec{b})\cdot (\vec{a}- \vec{b}) \)
\( =\vec{a}\cdot \vec{a}- 2\vec{a}\cdot \vec{b}+ \vec{b}\cdot \vec{b} \)\( =|\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot \vec{b}+ |\vec{b}|^2 \)
\( =4 - 2\vec{a}\cdot \vec{b}+ 9=13- 2\vec{a}\cdot \vec{b} \)…(2)
(1)(2)より，
\( 7=13- 2\vec{a}\cdot \vec{b} \)
\( \vec{a}\cdot \vec{b}=3 \)
これを用いて
\( \displaystyle \cos \theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\hspace{3px}|\vec{b}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \theta=60^{\circ} \)

≪３≫

\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=4,\hspace{5px}\mid\vec{a}\mid^2+\mid\vec{b}\mid^2=17 \)のとき，
\( \mid\vec{a}+\vec{b}\mid \)=，\( \mid\vec{a}-\vec{b}\mid \)=

\( |\vec{a}+ \vec{b}|^2=(\vec{a}+ \vec{b})\cdot(\vec{a}+ \vec{b}) \)
\( =|\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot \vec{b} \)
\( =17 +8=25 \)
だから
\( |\vec{a}+ \vec{b}|=5 \)
同様にして
\( |\vec{a}- \vec{b}|^2=(\vec{a}- \vec{b})\cdot(\vec{a}- \vec{b}) \)
\( =|\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot \vec{b} \)
\( =17 - 8=9 \)
だから
\( |\vec{a}- \vec{b}|=3 \)