■ ３点が一直線上にあるための条件［例題1］３点 A(−2 , 1) , B(2 , 3) , C(4 , a) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ． ［解答1］ ２点 A(−2 , 1) , B(2 , 3) を通る直線の方程式は y−1=(x+2)  y−1=(x+2) 2y−2=x+2 x−2y+4=0 …(1) (1)が点 C(4 , a) を通る条件は 4−2a+4=0 …(2) (2)より a=4 …(答) ［別解1］ 直線 AB の傾きは 直線 AC の傾きは これらが等しければよいから = 6=2(a−1) 6=2a−2 8=2a a=4 …(答) |
【考え方1】
.
(I) ２点 A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) を通る直線の方程式は次の公式で得られる．（ただし x1≠x2 ） y−y1=(x−x1 ) …(1) そこで，「３点が一直線上にある」という条件を「点 C が直線 AB 上にある」と読み替えて，点 C が直線(1)の方程式を満たすようにすればよい． (II) 点 C が直線 AB 上にあるかどうか調べるには，点 C の座標を直線 AB の方程式に代入すればよい．
【別解1の考え方】
○ 直線 AB の傾きが直線 AC の傾きと等しければ３点 A , B , C は一直線上にある．そうでなければ一直線上にない．（右図では A,B,C の順に見えるがどの順に並んでいてもよい．） ○ さらに，直線の方程式とは次のように関係している． y−y1=(x−x1 ) …(1) は = …(2) と書くことができ C(x3 , y3 ) が(2)を満たすための条件は = …(3) となる． ※ このように C が AB 上にあるという条件は，AC の傾きが AB の傾きと等しいという条件と同じになる． |
|
［例題2］ ３点 A(3 , 4) , B(1 ,−a) , C(a , 1) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ． ［解答2］ ２点 A(3 , 4) , B(1 ,−a) を通る直線の方程式は y−4=(x−3) y−4=(x−3) 2y−8=(a+4)(x−3) 2y−8=(a+4)x+(−3a−12) (a+4)x−2y+(−3a−4)=0 …(1) (1)が点 C(a , 1) を通る条件は (a+4)a−2+(−3a−4)=0 …(2) (2)より a2+a−6=0 (a+3)(a−2)=0 a=−3 , 2 …(答) |
【考え方】 ２点の座標に文字 a が含まれていても直線の方程式を文字 a を用いて表わせばよい． ［別解2］ 直線 AB の傾きは a≠3 のとき直線 AC の傾きは これらが等しければよいから = (−a−4)(a−3)=6 −a2−a+6=0 a2+a−6=0 (a+3)(a−2)=0 a=−3, 2 …(答) （ a=3 のときは，A , C は x=3 上， B はそうではないから，３点 A(3 , 4) , B(1 ,−3) , C(3 , 1) は同一直線上にない．） |
|
［問題1］ ３点 A(−1 ,−1) , B(2 , 5) , C(−2 , a) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ． |
直線の方程式で考える方法 ２点 A(−1 ,−1) , B(2 , 5) を通る直線の方程式は y+1=(x+1) y+1=2(x+1) y=2x+1 …(1) (1)が点 C(−2 , a) を通る条件は a=2×(−2)+1=−3 傾きで考える方法 直線 AB の傾きは =2 直線 AC の傾きは =−a−1 これらが等しいから 2=−a−1 |
|
［問題2］ ３点 A(4 , 4) , B(a , 1) , C(0 ,−a) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ． |
直線の方程式で考える方法 ア） a≠4 のとき ２点 A(4 , 4) , B(a , 1) を通る直線の方程式は y−4=(x−4) y−4=(x−4) (a−4)y−4(a−4)=−3(x−4) 3x+(a−4)y+(−4a+4)=0 …(1) (1)が点 C(0 ,−a) を通る条件は (a−4)(−a)+(−4a+4)=0 …(2) (2)より −a2+4=0 a2−4=0 a=−2 , 2 イ） a=4 のとき，A , B は x=4 上， C はそうではないから，A(4 , 4) , B(4 , 1) , C(0 ,−4) は同一直線上にない． 傾きで考える方法 ア） a≠4 のとき 直線 AB の傾きは 直線 AC の傾きは これらが等しいから = −12 =a2−16 a2−4=0 a=−2 , 2 イ） a=4 のとき，A , B は x=4 上， C はそうではないから，A(4 , 4) , B(4 , 1) , C(0 ,−4) は同一直線上にない． |