■ 3点が一直線上にあるための条件

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[例題1]
 3点 A(−2 , 1) , B(2 , 3) , C(4 , a) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ.
[解答1]
 2点 A(−2 , 1) , B(2 , 3) を通る直線の方程式は
________y−1=(x+2)

________y−1=(x+2)
________2y−2=x+2
________x−2y+4=0 …(1)
(1)が点 C(4 , a) を通る条件は
________4−2a+4=0 …(2)
(2)より
________a=4 …(答)


[別解1]
 直線 AB の傾きは
________

 直線 AC の傾きは
________

これらが等しければよいから
________=

________6=2(a−1)
________6=2a−2
________8=2a
________a=4 …(答)
【考え方1】
(I) 2点 A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) を通る直線の方程式は次の公式で得られる.
(ただし x1x2

________y−y1=(x−x1 ) …(1)

 そこで,「3点が一直線上にある」という条件を「点 C が直線 AB 上にある」と読み替えて,点 C が直線(1)の方程式を満たすようにすればよい.
(II) 点 C が直線 AB 上にあるかどうか調べるには,点 C の座標を直線 AB の方程式に代入すればよい.
.
【別解1の考え方】
○ 直線 AB の傾きが直線 AC の傾きと等しければ3点 A , B , C は一直線上にある.そうでなければ一直線上にない.
(右図では A,B,C の順に見えるがどの順に並んでいてもよい.)

○ さらに,直線の方程式とは次のように関係している.
________y−y1=(x−x1 ) …(1)
 は
________= …(2) と書くことができ

C(x3 , y3 ) が(2)を満たすための条件は
________= …(3) となる.

※ このように CAB 上にあるという条件は,AC の傾きが AB の傾きと等しいという条件と同じになる.
[例題2]
 3点 A(3 , 4) , B(1 ,−a) , C(a , 1) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ.
[解答2]
 2点 A(3 , 4) , B(1 ,−a) を通る直線の方程式は
________y−4=(x−3)

________y−4=(x−3)
________2y−8=(a+4)(x−3)
________2y−8=(a+4)x+(−3a−12)
________(a+4)x−2y+(−3a−4)=0 …(1)
(1)が点 C(a , 1) を通る条件は
________(a+4)a−2+(−3a−4)=0 …(2)
(2)より
________a2+a−6=0
________(a+3)(a−2)=0
________a=−3 , 2 …(答)
【考え方】
 2点の座標に文字 a が含まれていても直線の方程式を文字 a を用いて表わせばよい.

  [別解2]
 直線 AB の傾きは
________

 a3 のとき直線 AC の傾きは
________

これらが等しければよいから
________=

________(−a−4)(a−3)=6
________−a2−a+6=0
________a2+a−6=0
________(a+3)(a−2)=0
________a=−3, 2 …(答)
( a=3 のときは,A , Cx=3 上, B はそうではないから,3点 A(3 , 4) , B(1 ,−3) , C(3 , 1) は同一直線上にない.)
[問題1]
 3点 A(−1 ,−1) , B(2 , 5) , C(−2 , a) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ.
a=

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[問題2]
 3点 A(4 , 4) , B(a , 1) , C(0 ,−a) が同一直線上にあるように定数 a の値を定めよ.
a= (ア<イ とする.)

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■[個別の頁からの質問に対する回答][3点が一直線上にあるための条件について/16.12.14]
分かりやすく、重宝しています。
=>[作者]:連絡ありがとう.