sinxに関する不定積分携帯版
sinxに関する不定積分≪一覧≫】
○[基本]
sinx dx=−cosx+C…(*1.1)
○[sinnx]の形のうちnが小さいとき→2倍角公式,3倍角公式などで変形する.
sin2x dx=−sin2x++C…(*1.2)
sin3x dx=cos3x−cosx+C…(*1.3)
sin4x dx=x−sin2x+sin4x+C…(*1.4)
=x−sinxcosx−sin3xcosx+Cでもよい
sin5x dx
=−sin4xcosx−sin2xcosx−cosx+C
=−cos5x+cos3x−cosx+C…(*1.5)
○[sinnx]の形のうちnが奇数の場合
f(cosx)sinx dxcosx=tとおいて置換積分
の応用として
sin2n+1x dx=sin2nxsinx dx
=(1−cos2x)nsinx dx

…(*1.6)
○[sinnx]の形のうちnが偶数の場合
nが正の整数のとき(奇数のときでも使えます)
sinnx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる.…(*1.7)
(※一般項を求めるのではない.)
○[]の形
=log|tan|+C…(*1.8)
=log()+Cでもよい
=−+C…(*1.9)
= dx = dx
…(*1.10)
○[xnsinx]の形→部分積分
xsinx dx=sinx−xcosx+C…(*1.11)
x2sinx dx=2xsinx−(x2−2)cosx+C…(*1.12)
xnsinx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる.
…(*1.13)
○[eaxsinbx]の形→部分積分を2回行う
exsinx dx=ex(sinx−cosx)+C…(*1.14)
e2xsin3x dx=e2x(2sin3x−3cos3x)+C…(*1.15)
e−xsinx dx=−e−x(sinx+cosx)+C…(*1.16)
○[]の形→則答:log|f(x)|
 一般に,分子が分母の微分となっている関数の場合は,分母・分子がどんなに複雑であっても,直ちにlog|f(x)|の形で積分が求まります.
.dx=log|x+sinx|+C…(*1.17)
.dx=log(1+sin2x)+C…(*1.18)
.=log|tanx|+C…(*1.19)
○[f(sinx, cosx, tanx)]の形tan=tとおけば,
.sinx=, cosx=, tanx=となって
.tで表されます.ただし,複雑な式になることが多いので,これは「最後の手段」と考えた方がよい.…(*1.20)
(解説)
(*1.1)←
(cosx)=−sinxの両辺を積分して符号を変えます.
(*1.2)←
半角公式(=2倍角公式)を使って,被積分関数を書き換えるとできます.
sin2x=により
sin2x dx=()dx=sin2x+C
(*1.3)←
3倍角公式を使って,被積分関数を書き換えるとできます.
sin3x=3sinx−4sin3xにより
sin3x=sinx−sin3x
sin3x dx=( sinx−sin3x)dx
=−cosx+cos3x+C
..(#1)
この積分は(*1.6)を使って求めることもできます.
sin3x dx=sin2xsinx dx
=(1−cos2x)sinx dx

cosx=tとおくと
=−sinx
(1−cos2x)sinx dx=(1−t2)sinx
=(t2−1)dt=−t+C=cosx+C..(#2)
cos3xの3倍角公式を使って変形すると,(#1)と(#2)とは同じ式であることが分かります.
(*1.4)←
半角公式(=2倍角公式)を2回使って,被積分関数を書き換えるとできます.
sin2x=により
sin4x=()2=(1−2cos2x+cos22x)
=(1−2cos2x+)
=cos2x+cos4x
sin4x dx=x−sin2x+sin4x+C…(#3)
この積分は(*1.7)を使って求めることもできます.
In=sinnx dxとおくと
In=−+In−2 (n=2,3,4,..)…(*1.7)
により,I0→I2→I4→...と順に求めることができます.
I0=sin0x dx=1 dx=x+C
I2=−+x+C
I4=−+(−+x)+C
=−sinxcosx+x+C…(#4)
sin3xの3倍角公式,2倍角公式を使って変形すると,(#3)と(#4)とは同じ式であることが分かります.
(*1.5)←
sin5x dx=(1−cos2x)2sinx dxから(*1.6)または
(2倍角公式を2回)使うことにより
sin5x dx=−cos5x+cos3x−cosx+C…(#5)
- - -
In=−+In−2 (n=2,3,4,..)
により, I1→I3→I5→...の順に求めるときは,
I1=sin1x dx=−cosx+C
I3=−+I1
を使って
sin5x dx=−sin4xcosx−sin2xcosx−cosx+C
…(#6)
となります.(#5)と(#6)は,sin2x=1−cos2xを使って変形すると,同じ式であることが分かります.
(*1.6)←
f(cosx)sinx dxcosx=tとおいて置換積分すると
=−sinx
f(cosx)sinx dx=f(t)sinx=−f(t)dt
=−F(t)+C=−F(cosx)+C
のようにf(t)の不定積分を求める問題となります.
[例]
cosx≧0の区間で
sinx dx
=−dt=−t+C=−cosx+C

cos4xsinx dx=t4sinx=−t4dt
=−+C
sin2n+1x dx=sin2nxsinx dx=(1−cos2x)nsinx dx
一般に
cosnxsinx dx=−+Cとなります.
(注)←
0<k<1のとき
dxdx
の形をした不定積分は,各々第1種及び第2種楕円積分と呼ばれ,初等的には求められないことが知られています.(定積分は数値積分により近似値を求めることができます.)
(*1.7)←
In=sinnx dx=sinn−1xsinx dxとして部分積分を行う
f(x)=sinn−1xf’(x)=(n−1)sinn−2xcosx
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
f(x)g’(x) dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x) dxにより
In=sinn−1x(−cosx)−(n−1)sinn−2xcosx(−cosx)dx
=−sinn−1xcosx+(n−1)sinn−2xcos2x dx
=−sinn−1xcosx+(n−1)sinn−2x(1−sin2x)dx
=−sinn−1xcosx+(n−1)(sinn−2x dx−sinnx dx)
In=−sinn−1xcosx+(n−1)(In−2−In )
nIn=−sinn−1xcosx+(n−1)In−2
In=−+In−2 (n=2,3,4,..)
(*1.8)←
=dx=dx=dx
=log|tan|+C
(*1.6)を用ると次のように計算できます.
=dx=dx=Iとおく
cosx=tとおいて置換積分すると
=−sinxだから
I==dt=( )dt
=(log|t−1|−log|t+1|)+C=log||+C
=log||+C=log()+C
(*1.9)←
()=()=
=−
の両辺を積分して符号を変えれば示されます.

(*1.10)←
(*1.6)を使った置換積分になります.
[例]
= dx =dx=−
(部分分数分解を行う...略)
={log()− }+C
(*1.11)←
次の部分積分を行います.
f(x)=xf’(x)=1
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
xsinx dx=−xcosx−(−cosx)dx
=−xcosx+cosx dx=−xcosx+sinx+C
(*1.12)←
部分積分を2回行います.
f(x)=x2f’(x)=2x
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
x2sinx dx=−x2cosx−(−2xcosx)dx
=−x2cosx+2xcosx dx=Iとおく
p(x)=xp’(x)=1
q’(x)=cosxq(x)=sinx
I=−x2cosx+2(xsinx−sinx dx)
I=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C
(*1.13)←
nが小さな整数の場合は,(*1.11)(*1.12)のようにxnを微分する側に選んで,それが定数になるまで部分積分を行うとできますが,nが大きい整数であるときは,次のような漸化式を作って,Inを順に求めて行くことができます.
In=xnsinx dxとおく(n≧2)
f(x)=xnf’(x)=nxn−1
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
In=f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx
=−xncosx−nxn−1(−cosx)dx
=−xncosx+nxn−1cosx dx

p(x)=xn−1p’(x)=(n−1)xn−2
q’(x)=cosxq(x)=sinx
In=−xncosx+n(xn−1sinx−(n−1)xn−2sinx dx)
=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2
これにより,
I0=−cosx+C→I2→I4→...の順に求めます.
I1=−xcosx+sinx+C→I3→I5→...の順に求めます.
(*1.14)←
部分積分を2回行い「方程式のように解きます」.
I=exsinx dxとおく
f(x)=exf’(x)=ex
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
I=f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx
=−excosx−ex(−cosx)dx=exsinx+excosx dx
p(x)=exp’(x)=ex
q’(x)=cosxq(x)=sinx
I=−excosx+exsinx−exsinx dx
I=−excosx+exsinx−I
2I=−excosx+exsinxだから
I=ex(sinx−cosx)+C
(*1.15)(*1.16)←
 係数に注意すれば(*1.14)と同様の方法で求められます.
a, b≠0のとき,I=eaxsinbx dxを求めてみると
f(x)=eaxf’(x)=aeax
g’(x)=sinbxg(x)=−
I=f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx
=−eaxcosbx+eaxcosbx dx
p(x)=eaxp’(x)=aeax
q’(x)=cosbxq(x)=
I=−eaxcosbx+(eaxsinbx−eaxsinbx dx)
=−eaxcosbx+eaxsinbx−I
b2I=−beaxcosbx+aeaxsinbx−a2I
(a2+b2)I=−beaxcosbx+aeaxsinbx
I=eax(asinbx−bcosbx)
したがって
eaxsinbx dx=eax(asinbx−bcosbx) (a, b≠0)
この式でa=2, b=3とおけば(*1.15),a=−1, b=1とおけば(*1.16)になります.
(*1.17)←
(x+sinx)’=1+cosxだから
dx=dx=log|x+sinx|+C
(*1.18)←
(1+sin2x)’=2sinxcosx=sin2xだから
dx=dx=log(1+sin2x)+C
(*1.19)←
(tanx)’=だから
=dx=log|tanx|+C
(*1.20)←
tanαの2倍角公式:tan2α=により
tan=tとおけば,
.tanx=
また,cosαの2倍角公式:cos2α=2cos2α−1と三角関数の相互関係: sin2α+cos2α=1 → 1+tan2α=を使うと
.cos2α=2−1=
となるから
.cosx=
sinx=tanxcosxだから
.sinx==
 このように,sinx, cosx, tanxは,すべてtan=tで表される
ので,sinx, cosx, tanxを含んだ式tan=tおとけば,tの積分
となります.(他の方法では不定積分が求められないときでも,この方法で求められます.ただし,他の方法でも求められるような問題にこの方法を使うと,途中経過が煩雑となって,かえって困ってしまうことがありますので,何でもこれでやればよいという訳ではないことに注意)
[例]
=Iとおくと
tan=tとおけば,
sinx=
==
dx=dt
I=dt=dt=−+C
=+C…(#7)
[よくない例]
「これを使えば三角関数の不定積分はほとんどできる」というのを真に受けると,次のような簡単な問題でもできるはずですが・・・気の遠くなるような長い答案になります.
sinx dx
tan=tとおけば,sinx=dx=dt
sinx dx=dt=dt
t2+1=sとおけば,=2t
=ds=−+C=−+C
=−+C=−2cos2+C
=−2()+C=−1−cosx+C
ここで,−1+C=C’とおくと
sinx dx=−cosx+C’
となります.(準備も後始末も大変で,もうこりごり#)

なお,この種の問題に広く使える訳ではないが,この問題についてだけ使える変形として,次の答案が考えられる.
=dx=dx
=dx+dx=tanx++C’…(#8)
(#7)と(#8)の関数の部分はそのままでは一致しない.
tanx++C’=++C’=+C’
=+C’=−+C’=−(1+)+C’=−1+C’
任意定数をC=C’−1とすると,等しくなります.
 以下の問題は,この頁のどこかに書かれている内容か,または,それを少しだけ変形したものです.正しい番号を選択してください.
[問題1]
次の不定積分を求めてください.
.sin2x dx

12sinxcosx+C 2+C
3sin2x++C 4sin2x−+C



[問題2]
次の不定積分を求めてください.
.cos3xsinx dx

1+C 2+C
3sin3x−sinx+C
4cos3x−cosx+C



[問題3]
次の不定積分を求めてください.
.xsinx dx
1xcosx+sinx+C 2xcosx−sinx+C
3cosx−xsinx+C 4sinx−xcosx+C



[問題4]
次の不定積分を求めてください.
.dx
1log|x+sinx|+C 2log|1+cosx|+C
3log||+C 4log||+C



[問題5]
次の不定積分を求めてください.
.sin3x dx
1+C 2+C
3sinx+C 4cosx+C



[問題6]
次の不定積分を求めてください.
.
1+C 2+C
3log( )+C 4log|tanx|+C



[問題7]
In=xnsinx dx (n≧2)とおくとき,次のどの漸化式が
成り立ちますか.
1In=−+In−2
2In=+In−2
3In=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2
4In=tann−1−In−2



[問題8]
次の不定積分を求めてください.
.e−xsinx dx
1e−x(sinx+cosx)+C
2e−x(sinx+cosx)+C
3e−x(sinx−cosx)+C
4e−x(sinx−cosx)+C



[問題9]
次の不定積分を求めてください.
.
1+C 2tanx+C
3+C 41++C



[問題10]
次の不定積分を求めてください.
.
1tan+C 2+C
3tanx−+C 4tanx++C



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