■合成関数携帯版

○ 2つの関数の合成関数は,関数の和や積よりももっと有機的に組み合わされたもので,合成関数f(g(x))f(x)xの場所にg(x)を代入したものです.
 また,合成関数g(f(x))g(x)xの場所にf(x)を代入したものです.
【例1】
 f(x)=x2, g(x)=2x+1のとき
f(g(x))=(g(x))2=(2x+1)2
g(f(x))=2(f(x))+1=2(x2)+1
○ 合成関数f(g(x))を記号fg(x)で表します.
【例2】
 f(x)=sin x, g(x)=exのとき
fg(x)=f(g(x))=sin(ex)
gf(x)=g(f(x))=esin x


右に続く→
※ 【例1】【例2】からわかるように,合成関数fggfとは,一般には等しくなりません.
※ 初歩的な注意として,関数を合成するときは,代入すべきxの場所に( )を付けると間違いが少なくなります.
《数年前の話》 以前,「x=−5のときx2の値を求めよ」という中学1年生の問題で,どうしてもx2−25になるといって頑張る人がおられて,困ったことがあります.
 彼(彼女?)は「xの場所に( )を付けずに−5を代入していたので−52を求めており,話が合わなかったのである.
※ f(x)xの場所が2つ以上あるとき,f(g(x))を求めるためには,それら全部のxの場所をg(x)に書き換える必要があります.
【例3】
f(x)=x2+2x, g(x)=x−1のとき
f(g(x))=(x−1)2+2(x−1)=x2−1
f(x)=, g(x)=exのとき
f(g(x))=
 以下,正しい番号を選択してください.
[問題1]
f(x)=x2+1, g(x)=x−1のとき,合成関数f(g(x))を求めてください.

1x2 2x2−1 3x2−2x 4x2−2x+2


[問題2]
f(x)=x+2, g(x)=3x−1のとき,合成関数gf(x)を求めてください.

13x+1 23x+5 34x+1 44x+5


[問題3]
f(x)=x2−2x, g(x)=x+2のとき,合成関数f(g(x))を求めてください.

1x2+2x 2x2+2x+4 3x2+2x−4 4x2−2x−4


[問題4]
f(x)=, g(x)=のとき,fg(x)を求めてください.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][合成関数について/17.1.22]
とてもわかりやすかったです!
=>[作者]:連絡ありがとう.