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== ベクトルの大きさ(長さ)==

ベクトルの大きさとは……
○ベクトルは大きさと向きをもつ量です。これに対してベクトルの大きさ(長さ)は単なる1つの数です。
〇ベクトルの大きさ(長さ)は,絶対値記号を用いてで表します。
○ベクトル成分がのとき,図のように三平方の定理を用いて計算すると,

になります。
〇ベクトルの大きさは,ベクトルの始点から終点までの2点間の距離と同じです.

【例1】
 ベクトルの大きさを求めてください.
(解答)
右図のように横の長さが4,縦の長さが3の直角三角形の斜辺の長さになるから
…(答)
【例2】
 ベクトルの大きさを求めてください.
(解答)
右図のように横の長さが2,縦の長さが2(y座標が-2のとき長さとしては2)の直角三角形になる.
公式を使って計算するときは,負の値でも2乗すると正になるから,気にせずそのまま計算したらよい.
…(答)
○2点を結ぶベクトルの成分は,

だから

になります. これは2点間の距離

と同じです.
※ベクトルに絶対値も付けたら,何も着てない裸の王様と同じ

【例3】
 2点を結ぶベクトルの大きさを求めてください.
(解答)
だから…(答)

単位ベクトルとは……

例えば,大きさが3のベクトルを3で割ると,大きさが1のベクトルになります(向きは変わりません)。大きさが5のベクトルを5で割ると大きさ1のベクトルになります(向きは変わりません)

一般に,ベクトルをその大きさで割ったもの は,と同じ向きで大きさ1のベクトルになります。
大きさ1のベクトルを単位ベクトルといいます。

※注意 高校には,ベクトルの割り算というものはありません。は,ベクトルで割っているのでなく,記号は単なる数字なので,数字で割ることを表しています。数字で割ることは「ベクトルの実数倍」(大きさだけ変えて向きを変えない)で定義されています。

※向きをいろいろと考えると,大きさ1のベクトル:単位ベクトルは無数にあります。
※これに対して,x軸,y軸の正の向きの単位ベクトルは特に基本ベクトルと呼ばれます。基本ベクトルは,1つずつしかありません。


【例4】
 ベクトルと同じ向きの単位ベクトルを求めてください.
(解答)
だから
…(答)
(参考)
ベクトルと「方向」が同じでも「向き」が逆のベクトルは, になります.
同一直線上にあれば「方向」が同じになりますが,あちら向きとこちら向きの違いがあります.このように「向き」が同じという指定は,「方向」が同じというよりも強い指定になります.
[要約]
のとき,

2点を結ぶベクトルについては,


と同じ向きの単位ベクトルは,


それぞれの問題に対応する答を下の選択肢から選びなさい。
【問題1】
(1) のとき,を求めよ.
(2) のとき,を求めよ.


【問題2】
(1) のとき,を求めよ.
(2) のとき,を求めよ.

(3) のとき,を求めよ.
(4) のとき,を求めよ.


【問題3】
(1) と同じ向きの単位ベクトルを求めよ.
(2) と逆向きの単位ベクトルを求めよ.


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