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== 分母の有理化 ==

■解説
 分母に根号を含む式を,分母に根号が含まれない形に変形することを分母の有理化という.

 ■有理化の長所1  
_=


では,どこまでいっても計算が始まらないが,

_=

の形ならば,前から順に必要なだけ求められる.
 ■有理化の長所2
_+3 ( +3x の形)

では,簡単になるかどうか分からないが,

_+3 ( +3x の形)

ならば,簡単になる.

 右の I の形の式は,で示した部分を分母と分子の両方に掛けると根号が2乗になって分母が有理化できる.単純に分母と同じものを掛けてもできるが,(2)の例のように分母の全体を掛けなくても,分母のうちで根号になっている部分だけ掛ければよい.(2)の例で分母分子に2 を掛けても間違いではないが,この場合はできた分数を2で約分することになり,遠回りになる.
 なお,元の式で分子に何があるかは変形方法に関係がなく,正しく変形していくだけでよい.

 右の II の形の式では,分母と同じものを掛けても分母から根号は消えない.
(+)2=5+2+3=8+2
( - )2=5 - 2+3=8 - 2
そこで,
(+)( - )=a - b
の形に合うように,「分母に和があれば,差を掛け」「分母に差があれば,和を掛ける」と根号を取り除くことができる.
II の(1)では分母が和の形:+ になっているから,差: - を分母分子に掛けたものである.
II の(2)では分母が差の形: - になっているから,和:+ を分母分子に掛けたものである.

 右の * の形の式では,分母を2乗しても有理数とはならないから,このような式では分母の有理化はできない.

 右の III の形の式は,3乗の形にすれば根号が外れるので,計算はやや難しくなるが発展学習として有理化できる.
IIIの(2)では
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a - b)(a2+ab+b2)=a3 - b3
の公式が使えるように変形する.
I (分母が単項式のもの)

(1) =

(2) =


II (分母が和または差のもの)
(1) =
(2) =


* (有理化できないもの)

  , 

  (π は円周率 3.1415...
  (e は自然対数の底[ネイピアの数] 2.71828...

III (3乗根は発展学習)

(1) , (2) 





【要約:無理数の分母の有理化】
I 
 単項式では,分母の根号部分を分母分子に掛ける.
II 
 分母が和になっていれば差を,差になっていれば和を分母分子に掛ける.
* III 
 有理化できるのは,根号の場合で、πのように根号でない無理数は有理化できない.
 分母に3乗根などがあるときは,3乗して根号を消す変形を考える.

■解説
 分母に根号を含む式を,分母に根号が含まれない形に変形することを分母の有理化という.

 ■有理化の長所1  

では,どこまでいっても計算が始まらないが,

の形ならば,前から順に必要なだけ求められる.

 ■有理化の長所2
の形)
では,簡単になるかどうか分からないが,
の形)
ならば,簡単になる.
 次の I の形の式は,で示した部分を分母と分子の両方に掛けると根号が2乗になって分母が有理化できる.単純に分母と同じものを掛けてもできるが,(2)の例のように分母の全体を掛けなくても,分母のうちで根号になっている部分だけ掛ければよい.(2)の例で分母分子に2 を掛けても間違いではないが,この場合はできた分数を2で約分することになり,遠回りになる.
 なお,元の式で分子に何があるかは変形方法に関係がなく,正しく変形していくだけでよい.
I (分母が単項式のもの)
(1) 

(2) 

【問題1】 分母を有理化してください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


 次の II の形の式では,分母と同じものを掛けても分母から根号は消えない.


そこで,

の形に合うように,「分母に和があれば,差を掛け」「分母に差があれば,和を掛ける」と根号を取り除くことができる.
II の(1)では分母が和の形:になっているから,差:を分母分子に掛けたものである.
II の(2)では分母が差の形:になっているから,和:を分母分子に掛けたものである.
II (分母が和または差のもの)
(1)

(2)


【問題2】 分母を有理化してください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)


 次の * の形の式では,分母は無理数ではあるが根号ではないので,分母を2乗しても有理数とはならない.このような式では分母の有理化はできない.
* (有理化できないもの)

  (π は円周率 3.1415...
  (e は自然対数の底[ネイピアの数] 2.71828...
 次の III の形の式は,3乗の形にすれば根号が外れるので,計算はやや難しくなるが発展学習として有理化できる.
III (3乗根は発展学習)

(1) 
IIIの(2)では
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a - b)(a2+ab+b2)=a3 - b3
の公式が使えるように変形する.
【要約:無理数の分母の有理化】
I 
 単項式では,分母の根号部分を分母分子に掛ける.
II 
 分母が和になっていれば差を,差になっていれば和を分母分子に掛ける.
* III 
 有理化できるのは,根号の場合で、πのように根号でない無理数は有理化できない.
 分母に3乗根などがあるときは,3乗して根号を消す変形を考える.
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