■重要な極限値(1)携帯版

■三角関数 y=sinx,y=cosx,y=tanx などを微分するためには,次の極限値を求めておかなければなりません。
1.この極限値が重要となる理由
2.この極限値
に分けて説明します。


1■この極限値が重要となる理由
⇒ このように,y=sinx を微分するためにはで示した極限値がどうしても必要になります.
※1
※2


⇒ このように,y=cosx を微分するためにはで示した極限値がどうしても必要になります.

⇒ y=tanxの微分はsinx,cosxの結果を用いて商の微分法で求められます。
.
2■
右のグラフはのx=0付近の様子を示したものです。
・このグラフはy=±1/xの間を振動します。
・x=0のとき分母が0となるため関数値 f(0) は存在しませんが極限値は f(x)→1(x→0)となっています。

■教科書では,もう少していねいに,次のように図を用いて証明するのが普通です。

図1において
△OAB<扇形OAB<△OPB
0<(1/2)1・sinx<(1/2)12・x<(1/2)1・tanx
0<sinx<x<tanx
0<1<x/sinx<1/cosx→1(x→+0のとき)
ゆえに
x/sinx→1(x→+0のとき)
sinx/x→1(x→+0のとき)

x→-0のとき(すなわちxが負の値をとりながら0に近づくとき)はx=−tとおくことにより
sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t→1
(x→-0,t→+0のとき)

・・・証明終わり
[重要な極限値(1)]

 も成り立ちます。

図1

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[例題]
を求めなさい。
[答案例]
sin4x を 変形するのは難しそうですが,4xで「割って、掛ける」ことは簡単です。
[例題]
を求めなさい。
[答案例]


♪〜
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[問題]
次の極限値を求めなさい。(初めに問題を選び,次に選択肢を選びなさい。正しければ消えます。なお,選択肢にはジョーカが含まれています。間違えばふりだしに戻る。問題を選んでからボタンを押せばヒントが出ます。)
  
  
    
[選択肢]


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■[個別の頁からの質問に対する回答][重要な極限値について/16.11.14]
大学の授業が全然理解できなかったので調べてこのページに来ました。 読むだけ読んで、わかった気になって、実際はわかっていないということが多いため、 問題を解いて理解できたか確かめられる機能とても良いと思いました。
=>[作者]:連絡ありがとう.