■行列の乗法の性質

　[解説]

行列の積が定義できるとき，一般に
１　(積に関する)結合法則が成立します。
（ＡＢ）Ｃ=Ａ（ＢＣ）
　型については，
［ｐ×ｑ型］［ｑ×ｒ型］［ｒ×ｓ型］→[ｐ×ｓ型]
となります。(しりとりのルールです。)

２　(和の上への積の)分配法則が成立します。

(Ａ＋Ｂ)Ｃ=ＡＣ＋ＢＣ
C(Ａ＋B)=ＣＡ＋ＣＢ


※　当然のようですが，説明は難しい事柄：
　数字でも行列でも，積の上へ和は分配的ではありません。（分配法則は決して当たり前のことではありません。）

(ａ　×　ｂ)　＋　ｃ　≠　(a　＋　c)　×　(ｂ　+　ｃ)
(Ａ　×　Ｂ)　＋　Ｃ ≠　(Ａ　＋　Ｃ) × (Ｂ　+　Ｃ)
 結合法則が成立する例：
は
に等しい。
※　結合法則や分配法則の成立を一般的に示すには，行列の型に応じて，成分の数だけ両辺を比較する「息の長〜い計算」をします。(略)
 .
左右の位置を入れ替えても積が定義できる場合について，
３［重要］　(積に関する)交換法則は成立しません。
すなわち，ＡＢ=ＢＡは必ずしも成立しません。

例

※　交換法則が成立するとは，「すべてのＡ，Ｂについて，ＡＢ＝ＢＡが成立する」ということで，１つでもＡＢ≠ＢＡとなる例があれば，交換法則は成立しないといいます。
したがって，交換法則が成立しないという主張にとって，ＡＢ＝ＢＡとなる例が幾つあっても関係ありません。

　たとえ話による解説：
「この部屋にいるのは全員男子である」という主張が間違っていることを示すには，「この部屋に少なくとも１人は女子がいる」ことを示せばよく，「この部屋にいるのが全員女子である」ことを示す必要はありません。

 ※Ａ，Ｂが正方行列でないときは，積の型が異なるためＡＢ≠ＢＡは自明です：
→　［３×２型］［２×３型］=［３×３型］になります。
→　［２×３型］［３×２型］=［２×２型］になります。
［問題］
１
　２×２行列Ａ，Ｂで，ＡＢ≠ＢＡとなる例を（上の例以外で）１つ示しなさい。(例は幾らでもあります。１つ示せばよろしい。)

[ア]=，[イ]=，[ウ]=，[エ]=，[オ]=，[カ]=，[キ]=，[ク]=
２
　２×２行列Ａ，Ｂで，ＡＢ＝ＢＡとなる例を１つ示しなさい。(例は幾らでもあります。１つ示せばよろしい。ただし，Ａ，Ｂ異なるもので示しなさい。)

[ケ]=，[コ]=，[サ]=，[シ]=，[ス]=，[セ]=，[ソ]=，[タ]=
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