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■円順列,じゅず順列

---円順列---
【例1】
 4人の生徒が円形のテーブルのまわりに座るとき、座り方は何通りあるか.
<考え方>
 上図の4種類の座り方は,左上の座り方を回転させたものです.
 このように「回転させれば一致する並び方は同じならび方とみなす」のが円順列です.

 円運列とは,座席を区別せず,ものの相対的な位置関係だけを区別するものだともいえます----上図のどの場合にもAさんの右手にはBさんがいます.

 座席の区別があれば4!通りの座り方がありますが,まわせば重なるものが4通りずつ含まれているので,円順列としては4!÷4=3!通りあります.
6通り・・・(答)

 次の図のように,赤で示した1人(Aさん)の座席を固定して表しすと,回転して一致するものを重複して数えるのを避けることができる.⇒全部で6通りになる.

《要点》
n個のもの全部を使ってできる円順列の総数は
そのうち1個を固定して,残り(n−1)個のものを並べる順列と考えるとよいから
(n−1)!

※この公式が使えるのは
「n個のものを全部使う場合」かつ「1回ずつ使う場合」かつ「同じものがない場合」です.
これらの条件を1つでも満たしていない場合には,上記のような簡単な式にはなりません.
---じゅず順列---
【例2】
 ダイヤ,サファイヤ,ルビー,水晶の4個の宝石を使って首飾りを作るとき,何通りの首飾りができるか.
<考え方>
 首飾りのように持ち上げることのできるものでは,「まわして重なる」だけでなく「裏返せば重なる」ことがあります.
 右の6個の輪は前の問題の円順列ですが,この中には裏返せば重なるものが2つずつあります.
 首飾りの種類は,円順列のさらに半分になります.
3!÷2=3通り・・・(答)

(このような数え方をするものを,「じゅず順列」といいます.)

※「裏返すとつぶれてしまう」ものは,じゅず順列ではなく円順列で数えることになります.
《要点》
n個のもの全部使ってできるじゅず順列の総数は
(n−1)!÷2

《問題》 正しいものを選んでください.
≪1≫
 5人の人が円形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか.


≪2≫
 6人の生徒が手をつないで輪になる方法は何通りあるか.


≪3≫
 父母と子供3人の合計5人が円卓のまわりに座るとき,父母が隣り合う座り方は何通りあるか.


≪4≫
 父母と子供4人の合計6人が円卓のまわりに座るとき,一番年下の子供が父母の間に座る方法は何通りあるか.


≪5≫
 先生2人,生徒6人の合計8人が手をつないで輪になるとき,先生は互いに向かい側に来るような並び方は,何通りあるか.




≪6≫
 男子2人,女子4人の合計6人が手をつないで輪になるとき,男子が隣り合わない並び方は何通りあるか.


≪7≫
 A,B,C,D,E,F,Gの7人が卓のまわりにすわるとき,D,FがともにAと隣り合うような座り方は何通りあるか.
(京都府大)


≪8≫
 男女5人ずつ合計10人が手をつないで輪になるとき,男女が交互に並ぶ方法は何通りあるか.


≪9≫
 4人の人が次の図のように正方形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか.


≪10≫
 赤1枚,青2枚,黄3枚の合計6枚のカードを机の上で円形に並べる方法は何通りあるか.ただし,同じ色のカードには区別はないものとする.




≪11≫
 相異なる6個の宝石を全部使って首飾りを作る方法は何通りあるか.


≪12≫
 相異なる6個の宝石のうち4個を使って首飾りを作る方法は何通りあるか.


≪13≫
 立方体(正六面体)の表面を6種類の色を全部使って塗り分ける方法は何通りあるか.


≪14≫
 正四面体の4面を赤,青,黄,緑の4色で塗り分ける方法は何通りあるか.
(龍谷大)


≪15≫
 実際に使われるさいころは,向かい合う2面に書かれた数の和が7になるように作られています.(1の裏は6,2の裏は5,3の裏は4です.)この約束だけでさいころを作ると,異なる種類のさいころは,何通りできるか.



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■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.6.10]
青いカード3枚と赤いカード6枚を円形に並べる問題で、書いてある通りに9!/3!6!=84として、 その後9で割ろうとしても割り切れません。どうして10番の問題ではその解法を使えるのですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.円順列については,公式が成り立つ場合だけを説明するのが普通で,公式が成り立たない場合に踏み込んでいくと複雑過ぎて初心者が混乱してしまうことが多いので,触れずに置いておいて応用問題に回すようにしています.すなわち
「n個の異なるものを」「全部使って」できる円順列の総数は (n−1)!
という公式において,「同じものがある場合」「一部分だけを使う場合」は公式の前提を満たしていないので,簡単には求められません.戦国時代の混とん状態になり,積の法則・和の法則や樹形図・辞書式配列のような原始的な取り扱いに帰って1つずつ数えざるを得ません.
【例1】5個の異なるものから4個とってできる円順列の総数は?
⇒上の円順列の公式だけではできません.4個とる取り方は5C4=5通り.その各々について円順列は(4−1)!=3!=6通り.結局,30通り
【例2】赤玉が1個,青玉が2つあり青玉は区別できないとき,これら3個を使ってできる円順列の総数は?
⇒同じものがあるときは円順列の公式に直接当てはめることはできません.まず,青玉に青1,青2と区別しておくと,これら3個のものを使ってできる円順列の総数は(3−1)!=2!=2通り.しかし,青玉は区別できないのだから,各々の円順列において青玉を交換した倍率(2倍)だけ数え過ぎているので,2で割ると1通り.
⇒この問題では,赤玉は1つしかないから,まず赤玉を上に置くと決めると,残りの置き方は自動的に決まるので,1通りになるという話とつじつまが合う.
【例3】赤玉が2個,青玉が2個あり同じ色の玉は区別できないとき,これら4個を使ってできる円順列の総数は?
⇒先に赤玉を並べると,隣り合う場合と1つ置きになっている場合とがある.このとき残りの場所は自動的に青玉の場所になる.結局2通り.
⇒この問題では,同じものがあるときの順列4C2=6通りを4で割っても解答にはならない.
さて,質問の本題に戻ると,教材の10番の問題では赤が1枚になっていて,これを固定すると残りのものは単に同じものがあるときの順列になるので解けるのです.これに対して,青玉3個,赤玉6個があって同じ色の球が区別できないとき,例えば頂上に位置に置く青玉を固定しようにもどの玉の話なのか決まりませんので,3個の青玉の配置を考えます.(1) 青玉3個が(3個連続で)互いに隣り合っている場合→1通り.赤玉は残りの場所に自動的に入る.(2) 青玉2個が互いに隣り合い,もう1つの青玉が左回りに数えて2個目,3個目,4個目,..,6個目にある場合→4通り.赤玉は残りの場所に自動的に入る.(3) どの青玉も隣り合わない場合→根性で数えていくことになります.
このように,同じものがあるときの円順列の総数はとても複雑になります.1個しかない玉があれば,それを固定すると単に同じものがあるときの順列になって,簡単になります.
※通常,教科書でもキラキラ輝く明るい道筋だけ(異なるものを全部使う円順列の総数)を扱っており,1つでも前提が外れると(同じものがある場合,一部分を使う場合,何回でも使える場合)暗闇の中でもがくような話になってしまうので,あまり触れていません.しかし,この前提を確認することは重要だということをどこかに書いておきます.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.4.22]
ぜんぜんわかんない
=>[作者]:連絡ありがとう.できれば助けてやりたいと考えていても,どこがどう分からないのかを述べないと,助けようがありません.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.3.29]
何を言っているのかがわかりにくいです「例1からわからない」
=>[作者]:連絡ありがとう.いきなりその頁だけを見ているようですが,順列・組合せの基本が理解できていないのかもしれません.投げるのもあなたの自由,食らいつくのもあなたの自由です.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.2.26]
採点するを押すと右の欄にキャラクターが表示されるがこれが正解か不正解かわからない。  全角で数字を入力すると値が正しくても不正解になる。
=>[作者]:連絡ありがとう.全問不正解なら区別はつきませんが1つでも正解があればわかるはずです.半角文字で入力してください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.1.14]
自分は受験生なのに勉強する意思が弱いのですが、パソコンを使って簡単にできて、すごくわかりやすく勉強しやすいです。本当に感謝の気持ちでいっぱいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/16.11.28]
むりなものがあります
=>[作者]:連絡ありがとう.主語を省略すると反対の意味になる場合があります.すなわち「あなたには無理なものがある」ということでしたら「もっと頑張りましょう」になりますが,「そもそも解けない問題がある」ということでしたら「問題が間違っています」という意味になります.
 このように,仲間内では省略できる主語や述語は他人に伝える場合は省略できませんので注意してください.