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== 曲線で囲まれた図形の面積 ==
【曲線で囲まれた図形の面積】
 区間a≦x≦bにおいて,つねにf(x)≧g(x)であるとき,2つの曲線y=f(x), y=g(x)と直線x=a, x=bとで囲まれる図形の面積は
.S={ f(x)g(x) }dx …(1)
※ (上)(下)の積分 と考える
(解説)
■ この公式は,広く適用できるもので,図のB,Cのように2つのグラフy=f(x) , y=g(x)が両方ともx軸よりも上にある場合や,両方とも下にある場合だけでなく,Aのようにx軸を横切っている場合でも成り立つ.
図1
■ 教科書では,通常,図2のような図形の面積を
.S=f(x)dx
と覚えることになっているが,これは(上)がy=f(x)で,(下)がx軸すなわちy=0という特別な場合に過ぎないから,
.S={ f(x)0 }dx=f(x)dx
となって,上記の公式(1)に含まれている.
図2
■ また,図3のような図形の面積は(上)がx軸すなわちy=0で,(下)がy=f(x)という特別な場合に過ぎないから,
.S={ 0f(x) }dx=−f(x)dx
となって,この場合も上記の公式(1)に含まれている.
図3



要するに公式(1)で全部行ける
■ ただし,図4のようにx軸よりも上の部分と下の部分があるときに,y=f(x)x軸,直線x=a, x=cで囲まれた図形の面積は
.f(x)dx…(*)
では求められないことに注意.
図4
 図4のように,区間によって上にある関数と下にある関数が入れ替わっている場合は,区間ごとに分けて面積を求める必要がある.
○正しくは→{ 0−f(x) }dx+{ f(x)−0 }dx
.=f(x)dx+f(x)dx
とすべきところを,上の(*)の計算は
×間違って→f(x)dx
.=f(x)dx+f(x)dx
で計算してしまっているので,区間a≦x≦bの面積の符号を逆にしてしまっており,図4のような図形の場合に,(+)の部分と(−)の部分の面積が打ち消し合って,何も求められない.
■ 図5のようにy=f(x)y=g(x)が上になったり下になったりしている場合に,区間a≦x≦dにおいてこれらの曲線で囲まれた図形の面積を求めるためには
S={ g(x)−f(x) }dx+{ f(x)−g(x) }dx
.+{ g(x)−f(x) }dx…(*1)
のように,どちらが上になるかに応じて「ていねいに区間を分けて計算する」ことが重要
図5



公式(1)で全部行けるが,実際の計算は,上下を確かめて,ていねいに区間に分けて行うことが重要
(注意)
 教科書や参考書では,上の図5の図形の面積を
.S=| g(x)−f(x) |dx…(*2)
と書く場合があるが,このような絶対値記号を付けたままでは筆算はできず,結局(*1)の形に直す必要がある.(絶対値記号で表したものは,内容的に正しいが,それを筆算で数値に直すのは無理)
 特に,(*2)は
.|{ g(x)−f(x) }dx|
.|g(x)|dx−|f(x)|dxとは
等しくないことに注意


【例1】・・・図1に対応する問題
 区間0≦x≦2において,y=x+1, y=x2−1で囲まれる図形の面積を求めてください.
(解答)
 グラフの概形(だいたいの形)を描いて,どちらが上にあるか調べる
⇒ 図のようになるから,0≦x≦2において,y=x+1が上にあることが分かる
S={ (x+1)−(x2−1) }dx
=(−x2+x+2)dx
=++2x
=(−+2+4)−(0)=

※初歩的な注意として,(上)−(下)で計算している限り,x軸よりも下にある部分の面積は特別扱いしなくても計算に入っていることに注意
【例2】・・・図2に対応する問題
 区間0≦x≦2において,y=x2−2x+1x軸で囲まれる図形の面積を求めてください.
(解答)
 グラフの概形(だいたいの形)を描いて,どちらが上にあるか調べる
⇒ 図のようになるから,0≦x≦2において,y=x2−2x+1x軸よりも上にある
S=(x2−2x+1)dx
= −x2+x
=(−4+2)−(0)=

【例3】・・・図3に対応する問題
 区間−1≦x≦1において,y=(x+1)2(x−1)x軸で囲まれる図形の面積を求めてください.
(解答)
 グラフの概形(だいたいの形)を描いて,どちらが上にあるか調べる
x軸とx=−1で接し,x=1で交わり,xがさらに大きくなると正の値を取る.
図のようになるから,−1≦x≦1において,y=(x+1)2(x−1)x軸よりも下にある
S=−(x+1)2(x−1)dx
被積分関数を展開する
=(−x3−x2+x+1)dx
奇関数,偶関数
−a≦x≦aで積分する場合
x dx=0
x3 dx=0
……
C dx=2C dx
x2 dx=2x2 dx
……
=(−x2+1)dx
=2(−x2+1)dx
=2+x
=

≪別解≫
S=−(x+1)2(x−1)dx
S=−[ (x+1)2{ (x+1)−2 } ]dx
=−{ (x+1)3−2(x+1)2 }dx
=+2
=(−4+)−(0)=
≪微分の公式≫と≪不定積分の公式≫
○基本公式
xndx=+C…(A)
○発展公式
(ax+b)ndx=+C…(B)
(B)の公式は,普通は数学IIIで習い,合成関数微分法(⇔置換積分法)で簡単に示せる.
数学II(と数学B)の範囲でも示せるが長くなるので,発展問題にしばしば出遭う場合には,(B)を公式として覚えてしまう.
 この(B)の公式を使うと,さらに次のような変形によって計算が楽になる⇔計算間違いが減る.
次数の高い方
(x+a)2
に勝たせてしまう.
次数の低い方
(x+b)
は解体して吸収されてしまう.
(x+a)2(x+b)dx
=(x+a)2{ (x+a)+(b−a) }dx
=(x+a)3dx+(b−a)(x+a)2dx
=+(b−a)+C
※ 数学IIの問題として(B)の公式を使わなければできない問題を出題すると,学習指導要領の範囲を逸脱したものとなる.したがって,「普通の方法でもできる」が,「裏技を使えばより簡単になる」という形の問題にだけ適用できる.
 ただし,(B)の公式を使えば計算が簡単になり,計算間違いが減るといっても,分母にaが着くということを忘れると,逆に計算間違いになるので,公式(B)を使う場合は正確に覚えておく必要がある.
【例4】・・・図5に対応する問題
 y=1−x2y=−x−1,2直線x=−2 , x=2で囲まれる図形の面積を求めてください.
(解答)
 グラフの概形(だいたいの形)を描いて,どちらが上にあるか調べる
1−x2=−x−1を解いて交点のx座標を求めると
x=−1 , 2
図のようになるから,
−2≦x≦−1において−x−1≧1−x2
−1≦x≦2において−x−1≦1−x2
S={ (−x−1)−(1−x2) }dx
.+{ (1−x2)−(−x−1) }dx
.=(x2−x−2)dx
.+(−x2+x+2)dx
=−2x+++2x
・・・気長に計算する・・・
=

【例5】・・・図5の下の(*2)に関連する問題  
|x2+x−2|dxを求めてください.
(解答)
※このような問題を解くには,ていねいに場合分けして,| |記号を外してから積分計算を行う.
x2+x−2=(x+2)(x−1)=0の解はx=−2, 1だから
x<−2, x>1のとき
.x2+x−2>0
−2<x<1のとき
.x2+x−2<0
したがって
x<−2, x>1のとき
.|x2+x−2|=x2+x−2
−2<x<1のとき
.|x2+x−2|=−x2−x+2
|x2+x−2|dx=(−x2−x+2)dx
.+(x2+x−2)dx
・・・気長に計算する・・・
.=3
【例6】・・・下の公式に対応する問題
 y=−2x2−x+1y=x2+2x−2で囲まれる図形の面積を求めてください.
(解答)
 グラフの概形(だいたいの形)を描いて,どちらが上にあるか調べる
⇒ 図下のような図形になり,2交点の間では,y=−2x2−x+1が上にある.
(上)−(下)=−3x2−3x+3
 2交点を求める
−2x2−x+1=x2+2x−2を解くと
α=, β=
S=(−3x2−3x+3)dx
.={ −3(x−α)(x−β) }dx
.=−(β−α)3
.=()3=
この問題を,基本に忠実に

S=(−3x2−3x+3)dx
=−x3x2+3x
によって計算するのは大変.
x3x=を代入する計算などが,とても煩わ
しいので,話を単純化して
計算が大変→計算間違いが起りやすい
計算が簡単→計算間違いが起りにくい
を合言葉に,次の公式も覚えておく値打がある.
≪放物線や直線で囲まれた図形の面積≫
・・・「交点から交点までの積分」になるとき
 次図の上は,
y=f(x)=x+2y=g(x)=x2
のように直線と放物線で囲まれた図形になる.
この図形の面積を,求めるには
{ f(x)−g(x) }dx
=(−x2+x+2)dx
のように,2交点を積分区間の下端と上端として,2次関数の積分を行う.
 この定積分は,−x2+x+2=0の2つの解がα=−1, β=2だから
{ −(x−α)(x−β) }dxの形に
書ける.
 また,次図の下は,y=−2x2−x+1y=x2+2x−2のように2つの放物線で囲まれた図形になる.
 この図形の面積を,求めるには
{ f(x)−g(x) }dx=(−3x2−3x+3)dx
のように,2交点を積分区間の下端と上端として,2次関数の積分を行う.
 ただし,** , ##には,−3x2−3x+3=0の2つの解
.α=, β=…($$)
が入ります.
 この面積も
.{ −3(x−α)(x−β) }dxの形に書ける.
 このような場合に,次の公式が利用できます.
ax2+bx+c=0の2つの解をα, β (α<β)とするとき
.{ ax2+bx+c }dx
.=a(x−α)(x−β)dx
.=(β−α)3
が成り立つ.
この公式を使えば,α, βの値が($$)の例のような複雑な分数かつ根号であってもβ−α=となるので,簡単に代入できる.

≪ここまでに登場した公式一覧≫
【曲線で囲まれた図形の面積】
 区間a≦x≦bにおいて,つねにf(x)≧g(x)であるとき,2つの曲線y=f(x), y=g(x)と直線x=a, x=bとで囲まれる図形の面積は
.S={ (上)−(下) }dx …(1)

【奇関数,偶関数を−a≦x≦aの区間で積分する場合】
(奇関数)dx=0 …(2)
(偶関数)dx=2(偶関数)dx …(3)

(ax+b)nの不定積分】
(ax+b)ndx=+C …(4)
(x+a)2(x+b)の積分】
次数の高い方
(x+a)2に勝たせて,次数の低い方(x+b)を吸収する.
(x+a)2(x+b)dx
=(x+a)2{ (x+a)+(b−a) }dx
=(x+a)3dx+(b−a)(x+a)2dx …(5)

【放物線の2交点間で積分するとき】
a(x−α)(x−β)dx=−(β−α)3 …(6)
(解説)
 (6)の公式は,2次方程式の解と係数の関係を利用して示すこともできるが,(5)の応用として示すこともできる.
a(x−α)(x−β)dx=a(x−α)(x−α+α−β)dx
=a{ (x−α)2+(α−β)(x−α) }dx
ここで公式(4)を使うと
=a(x−α)3+(α−β)(x−α)2
=a[ { (β−α)3+(α−β)(β−α)2 }−{ 0+0 } ]
=a{ (β−α)3(β−α)3 }
=−(β−α)3



※正しい選択肢の番号をクリックしてください.
 なお,暗算ではできませんので,別途計算用紙と筆記用具が必要です.
【問題1】
.y=x2−2x+3x軸,x=1 , x=2で囲まれた図形の面積を求めてください.
1 2 3 4
5 6 7 8

【問題2】
.y=(x−1)2(x+2)x軸とで囲まれる図形の面積を求めてください.
1 2 3 4
5 6 7 8

【問題3】
.y=x3−x2x軸及び2直線x=−1, x=1で囲まれる図形の面積を求めてください.
1 2 3 4
5 6 7 8

【問題4】
.y=x2+2xy=−x2+3とで囲まれる図形の面積を求めてください.
1 2 3 4
5 6 7 8




≪自由研究1≫
・・・あなたが確かめたいと思う問題を書いてください.
 次の4個の項目を入力して,[面積を求める]ボタンを押すと,面積を計算できます.
結果は次の式を機械的に計算し,小数第3位までの小数で示します.
(例:10/3=3.333)
.S=|y2−y1|dx
(1) 積分区間の下端(左端)
a=
(2) 積分区間の上端(右端)
b=
(3) 曲線の方程式1
y1=()x4+()x3+()x2+()x+()
(4) 曲線の方程式2
y2=()x4+()x3+()x2+()x+()
面積を求める消してやり直す
次図のような面積を計算します.
(1)(2)は必須です.ただしa<bとします.
(3)(4)で空白があれば自動的に0と見なします.
(3)(4)のどちらが上にあるか,途中で上下が入れ替わるかなどは,コンピュータが判断して| |で計算します.
分数は2/3, -1/3のように記入してください.
≪面積≫
.
(参考)



≪自由研究2≫
・・・あなたが確かめたいと思う問題を書いてください.
 次の3つの係数を入力して,[面積を求める]ボタンを押すと,放物線とx軸で囲まれた図形の面積を計算できます.
結果は次の式を機械的に計算し,小数第3位までの小数で示します.
(例:10/3=3.333)
.S=|ax2+bx+c|dx=(β−α)3 ←(6)
曲線の方程式
y=()x2+()x+()
面積を求める消してやり直す
次図のような面積を計算します.
2つの曲線で囲まれる部分の面積を求めたいときは,かわりにy2−y1を求めて,その係数を入力してください.
積分区間の下端と上端α, βは自動で計算します.
x2の係数は0であってはいけません.残りの欄は空白があれば自動的に0と見なします.
分数は2/3, -1/3のように記入してください.
≪面積≫
.

≪自由研究3≫
・・・あなたが確かめたいと思う問題を書いてください.
 次の4つの係数を入力して,[面積を求める]ボタンを押すと,3次関数とx軸で囲まれた図形の面積を計算できます.
結果は次の式を機械的に計算し,小数第3位までの小数で示します.
(例:10/3=3.333)
.S=|y|dx+|y|dx
曲線の方程式
y= (x−[]) (x−[]) (x−[])
面積を求める消してやり直す
次図のような面積を計算します.
2つの曲線で囲まれる部分の面積を求めたいときは,かわりにy2−y1を求めて,その係数を入力してください.
次図のようにα≦β≦γの順に並べてください.2つ目,3つ目の図のように重解形になる場合は,α=β<γとかα<β=γのように2つの値を等しく指定してください
先頭の係数は0であってはいけません.
分数は2/3, -1/3のように記入してください.
≪面積≫
.
高校生の初歩的な質問として,どう書けばxという因数自体を表せるのか分からない,というのがあります.
⇒ xを因数とするには,x−0のように記入してください.


≪類題:問題と答≫
1. ==== 次図の形になるもの ====
積分区間の
下端(左端)と上端(右端)
x=a, x=b

が与えられていて,
曲線y=f(x)≧0x
で囲まれた図形の面積を求める問題
 
 問題
(1)y=x2+1x軸および2直線x=−1, x=2で囲まれる図形の面積6
(2)y=−x2+x+6x軸,y軸および直線x=2で囲まれる図形の面積
(3)y=(x+1)(x−2)2x軸,および2直線x=0 , x=1で囲まれる図形の面積
(5)が使える
(4)y=x3+x+2x軸,および2直線x=−1 , x=1で囲まれる図形の面積
(2)(3)が使える
4
2. ==== 次図の形になるもの ====
積分区間の
下端(左端)と上端(右端)
x=a, x=b

が与えられていて,
曲線y=f(x)≦0x
で囲まれた図形の面積を求める問題

 問題
(1) y=−x2+3x−2x軸,および2直線x=0, x=1で囲まれる図形の面積
(2) y=−x2+2x−1x軸,および2直線x=−1, x=2で囲まれる図形の面積 3
(3) y=x2+2x−4x軸,および2直線x=−2, x=1で囲まれる図形の面積 12
3. ==== 次図の形になるもの ====

積分区間の
下端(左端)と上端(右端)x=a, x=b
が与えられていて,
曲線y=f(x)x
で囲まれた図形(x軸の上側も下側もある場合)の面積を求める問題

 問題参考
(1) y=x2−2x−3x軸および2直線x=0, x=4で囲まれた図形の面積 0≦x≦3y≦0
3≦x≦4y≧0
(2) y=−x2+2xx軸および2直線x=−1, x=1で囲まれた図形の面積 −1≦x≦0y≦0
0≦x≦1y≧0
2
4. ==== 次図の形になるもの ====
曲線y=f(x)y=g(x)
交点(接点)α,β,γを各自で求めて,
y=f(x)y=g(x)で囲まれた図形の面積を求める問題

f(x) , g(x)が2次式と1次式,または2次式と2次式の組合せの場合
(上)−(下)
=a(x−α)(x−β)の形になるので
a(x−α)(x−β)dx
=−(β−α)3 …(6)
の公式が使える.

 問題
(1)y=(x−1)(x−2)x軸で囲まれた図形の面積
(2)y=x2−3xと直線y=xで囲まれた図形の面積
(3)y=2x2−2x−1x軸で囲まれた図形の面積
(4)y=−3x2+x+4と直線y=−x+2で囲まれた図形の面積
5. ==== 次図の形になるもの ==== 
曲線y=f(x)x
交点(接点)α,β,γを各自で求めて,y=f(x)x軸で囲まれた図形の面積を求める問題(区間に応じて,引き方を変える.(6)のような簡単な公式にはならない.)

 問題参考
(1) y=2x(x−1)(x−2)x軸で囲まれた図形の面積 0≦x≦1y≧0
1≦x≦2y≦0
1
(2)y=(x+1)(x−1)2x軸で囲まれる図形の面積 (5)が使える.展開した場合は(2)(3)が使える.
(3) y=x3−x2x軸で囲まれた図形の面積 0≦x≦1y≦0
6. ==== 次図の形になるもの ==== 
曲線y=f(x)y=g(x)
交点(接点)α,β,γを各自で求めて,
y=f(x)y=g(x)で囲まれた図形の面積を求める問題

f(x) , g(x)が3次式と1次式,または3次式と2次式の組合せの場合
(上)−(下)
=a(x−α)(x−β)(x−γ)=−a(x−α)(x−β)(x−γ)の形になるので,グラフの形を考えて
a(x−α)(x−β)(x−γ)dx−a(x−α)(x−β)(x−γ)dx
などを計算します.(6)のような簡単な公式にはならない.

 問題参考
(1) y1=x3−3x2+xy2=x2−2xで囲まれた図形の面積 0≦x≦1y1≧y2
1≦x≦3y1≦y2
(2) y1=x3−2x2−2x−2y2=x−2で囲まれた図形の面積 −1≦x≦0y1≧y2
0≦x≦3y1≦y2

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