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== 重積分...積分領域が変数に依存する場合 ==
○右図1のような立体[分かりやすくするために階段状に表示しているが,実際は滑らかな局面で囲まれているものとする]の体積(縦棒の体積の総和)は,面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として,定義域D上の重積分
.f(x, y)dxdy
で求めることができます.
図1
f(x, y)が連続関数で,各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は
. f(x, y)dx dy…(1)
または
. f(x, y)dy dx…(2)
のように,1変数の積分の繰り返しによって行うことができます.
 (1)は右図2のように,まず変数yを固定して,各々のyについて,xで積分し(図で示した壁の面積S(y)を求めて),次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています.
図2
 (2)は図3のように,初めにxを固定してyで積分し,図で示した壁の面積S(x)を求めて,次にxで積分するものです.
図3
○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦yxのように他の変数に依存しているときは
. f(x, y)dy dx

または0≦y≦1, yx≦1として
. f(x, y)dx dy
のように計算できます.


 一般に,図4(その平面図が図5)のように積分領域Dの境界線が長方形でなく,変数x, yの値に依存している場合
. f(x, y)dx dy…(A)
のように,固定された変数yの値に依存する積分区間
a(y)≦x≦b(y)についてxで積分し,できた面積S(y)(これはyの関数になる)を積分区間α≦y≦βについてyで積分します.
図4
図5
もしくは
. f(x, y)dy dx…(B)

のように,固定された変数xの値に依存する積分区間
α(x)≦y≦β(x)についてyで積分し,できた面積S(x)(これはxの関数になる)を積分区間a≦x≦bについてxで積分します.
図6
※ 理論上は,(A)と(B)のどちらでも求められますが,実際の計算の複雑さは大いに違う場合があります.
 図7の場合は,初めに縦に切る(赤線)と(先にyで積分すると)積分区間の下端と上端は場合分けの必要がなく1組で済みますが,初めに横に切る(青線)と(先にxで積分すると)積分区間の下端と上端は,図の水色の領域の場合と黄色の場合とで,積分区間の組合せが異なってきます.

【例1】
 D : 0≦x≦1, 0≦yxのとき,重積分
. (x+2y)dy dx
を計算してください.
(解答)
.(x+2y)dy=xy+y2
↑どの変数に代入するのかを明示するために,このような書き方も可能
=2x2
.2x2dx== …(答)
【例2】
D : x2+y2≦1, x≧0のとき
重積分2xy2dxdyを計算してください.
(解答)
 各々のyに対して
x=だから
2xy2dx=x2y2=(1−y2)y2=y2−y4
(y2−y4)dy=y3+y5= …(答)


※正しい番号をクリックしてください.
問1次の重積分を計算してください.
.(x2+y2)dydx
1 2 3 41 52


問2次の重積分を計算してください.
.2xy dydx
1 2 3 4 5

問3次の重積分を計算してください.
.xy dxdy( D : x2+y2≦1, x≧0, y≧0 )
1 2 3 4 5


問4次の重積分を計算してください.
.x dydx( D : x2≦y≦x+2 )
1 2 3 4 5

問5次の重積分を計算してください.
.(x−y)dxdy( D : y≦x≦ )
1 2 3 4 5

問6次の重積分を計算してください.
.(x+y)dydx( D : x≦y≦2x, y≦1 )
1 2 3 4 5


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■[個別の頁からの質問に対する回答][重積分...積分領域が変数に依存する場合について/17.3.30]
積分順序を一通りではなく二通り書いてくれたらありがたいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.積分順序の変更は1つの大きなテーマになりますので,その次の頁に書いてあります.