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○右図１のような立体［分かりやすくするために階段状に表示しているが，実際は滑らかな局面で囲まれているものとする］の体積（縦棒の体積の総和）は，面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として，定義域D上の重積分 .f(x, y)dxdy
で求めることができます．
○f(x, y)が連続関数で，各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は . f(x, y)dx dy…(1)
または . f(x, y)dy dx…(2)
のように，１変数の積分の繰り返しによって行うことができます．
　(1)は右図２のように，まず変数yを固定して，各々のyについて，xで積分し（図で示した壁の面積S(y)を求めて），次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています．
　(2)は図３のように，初めにxを固定してyで積分し，図で示した壁の面積S(x)を求めて，次にxで積分するものです．

○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦y≦xのように他の変数に依存しているときは . f(x, y)dy dx

または0≦y≦1, y≦x≦1として
. f(x, y)dx dy
のように計算できます．


　一般に，図４（その平面図が図５）のように積分領域Dの境界線が長方形でなく，変数x, yの値に依存している場合 . f(x, y)dx dy…(A)
のように，固定された変数yの値に依存する積分区間
a(y)≦x≦b(y)についてxで積分し，できた面積S(y)（これはyの関数になる）を積分区間α≦y≦βについてyで積分します．
もしくは . f(x, y)dy dx…(B)

のように，固定された変数xの値に依存する積分区間
α(x)≦y≦β(x)についてyで積分し，できた面積S(x)（これはxの関数になる）を積分区間a≦x≦bについてxで積分します．

※　理論上は，(A)と(B)のどちらでも求められますが，実際の計算の複雑さは大いに違う場合があります．
　図７の場合は，初めに縦に切る（赤線）と（先にyで積分すると）積分区間の下端と上端は場合分けの必要がなく１組で済みますが，初めに横に切る（青線）と（先にxで積分すると）積分区間の下端と上端は，図の水色の領域の場合と黄色の場合とで，積分区間の組合せが異なってきます．

【例１】
　D : 0≦x≦1, 0≦y≦xのとき，重積分 . (x+2y)dy dx
を計算してください．

↑どの変数に代入するのかを明示するために，このような書き方も可能

【例２】
D : x2+y2≦1, x≧0のとき 重積分2xy2dxdyを計算してください．

問１次の重積分を計算してください．
.(x2+y2)dydx

.(x2+y2)dy=x2y+=x3 .x3dx=x4= …（答） → 2

問２次の重積分を計算してください．
.2xy dydx

.2xy dy=xy2=x3−x5 .(x3−x5)dx=−=−= …（答） → 5

問３次の重積分を計算してください．
.xy dxdy( D : x2+y2≦1, x≧0, y≧0 )

積分の領域Dは右図のようになるので，0≦x≦→0≦y≦1で積分すればよい．
xydx=y

=(1−y2)y=y−y3 (y−y3)dy=y2−y4=→ 3

問４次の重積分を計算してください． .x dydx( D : x2≦y≦x+2 )

右図のようなグラフになり，y=x2とy=x+2とはx=−1, 2で交わり，−1≦x≦2の区間でx2≦y≦x+2が成り立つ．
x dy=xy

=x(x+2)−x3=−x3+x2+2x (−x3+x2+2x)dx

=−x4+x3+x2=...= → 2

問５次の重積分を計算してください．
.(x−y)dxdy( D : y≦x≦ )

右図のようなグラフになり，x=yとx=とはy=0, 1で交わり，0≦y≦1の区間でy≦x≦が成り立つ．
(x−y)dx=−yx

=(−y)−(−y2)

=+−y (+−y)dy=+ −y

=+−=→ 5

問６次の重積分を計算してください． .(x+y)dydx( D : x≦y≦2x, y≦1 )

x≦y≦2x, y≦1を満たす領域は右図のようになり，赤線で示したように横に切ると（初めにxで積分する）と場合分けが簡単になる．
(x+y)dx=+yx

=(+y2)−(+)=y2 y2dy=y3=

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積分順序を一通りではなく二通り書いてくれたらありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．積分順序の変更は１つの大きなテーマになりますので，その次の頁に書いてあります．