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== 定積分の漸化式 ==
※ 不定積分の漸化式の項を先に読むこと
○1

  sinnx dx=In (n0) とおくとき,

In= In−2 (n2)

が成り立つ.


I0= dx=x=

I1=sin x dx=cos x= 1

だから,上記の漸化式を用いると
ア) nが偶数のとき

In= ·

イ) nが奇数のとき

In=

(参考)
wxMaxima(インストール方法使用例)を使って,これらの結果を確かめると次のようになる.

を求めるには
入力:integrate(sin(x)^2, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(sin(x)^3, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(sin(x)^4, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(sin(x)^5, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:
……

を求めるには
入力:integrate(sin(x)^10, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:
(証明)
 不定積分の漸化式の項において

 sinnx dx=In (n= 2, 3, 4, ···)とおくと

In= − +In−2

となっているが,これを用いて区間0xの定積分を考えると,
sin0=0 , cos=0
になるので,

sinnx dx= + sinn−2x dx

=(− )−(− )+ sinn−2x dx

=0 + sinn−2x dx= sinn−2x dx


すなわち,In= In−2

が成り立つ.

○2

  cosnx dx=In (n0) とおくとき,

In= In−2 (n2)

が成り立つ.


I0= dx=x=

I1=cos x dx=sin x= 1

だから,上記の漸化式を用いると
ア) nが偶数のとき

In= ·

イ) nが奇数のとき

In=

(参考)
wxMaxima を使って,これらの結果を確かめると次のようになる.

を求めるには
入力:integrate(cos(x)^2, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(cos(x)^3, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(cos(x)^4, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(cos(x)^5, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:
……

を求めるには
入力:integrate(cos(x)^10, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:
(証明)
 不定積分の漸化式の項において

 cosnx dx=In (n= 2, 3, 4, ···)とおくと

In= +In−2

となっているが,これを用いて区間0xの定積分を考えると,
sin0=0 , cos=0
になるので,

cosnx dx= + cosn−2x dx

=( )−( )+ cosn−2x dx

=0 + cosn−2x dx= cosn−2x dx


すなわち,In= In−2

が成り立つ.

○3

  tannx dx=In (n0) とおくとき,

In= −In−2 (n2)

が成り立つ.

(順に次のように求められる)

I0= dx=x=

I1=tan x dx=log|cos x|= log2

I2=1−I0=1−
I3= log2

(参考)
wxMaxima を使って,これらの結果を確かめると次のようになる.

を求めるには
入力:integrate(tan(x)^2, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(tan(x)^3, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(tan(x)^4, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(tan(x)^5, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:
……

を求めるには
入力:integrate(tan(x)^10, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果:
(証明)
 不定積分の漸化式の項において

 tannx dx=In (n= 0, 1, 2, ···)とおくと

In= −In−2 (n= 2, 3, 4, ···)

となっているが,これを用いて区間0xの定積分を考えると,
tan0=0 , tan=1
になるので,

tannx dx= tann−2x dx

= −In−2




○4

  (log x)n dx=In (n0) とおくとき,

In= e−nIn−1 (n1)


が成り立つ.

(順に次のように求められる)

I0= dx=x= e−1

I1=e−I0=e−(e−1)=1

I2=e−2I1=e−2
I3=e−3I2=e−3(e−2)=−2e+6

(参考)
wxMaxima を使って,これらの結果を確かめると次のようになる.

を求めるには
入力:integrate(log(x)^2, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果:
(wxMaxima上では自然対数の底を %e という記号で表す)

を求めるには
入力:integrate(log(x)^3, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(log(x)^4, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果:

を求めるには
入力:integrate(log(x)^5, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果:
……

を求めるには
入力:integrate(log(x)^10, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果:
(証明)
 不定積分の漸化式の項において

(log x)ndx=In (n=0,1,2, ···)とおくと

In= x(log x)n−nIn−1 (n= 1, 2, 3, ···)
となっているが,これを用いて区間1xeの定積分を考えると,
1(log1)=0 , e log e=e
になるので,

(log x)n dx= x(log x)n−n (log x)n−1 dx

= e−nIn−1

○5

  xm(1−x)n dx=In (n0) とおくとき,

In= In−1 (n1)

が成り立つ.

(順に次のように求められる)

I0=xm dx= xm+1 =

I1= I0=

In= In−1=

=


(参考)
wxMaxima では,m,nが文字のままでは計算できないので,m,nに具体的な数値を使って計算する.
○例えば,

を求めるには
入力:integrate(x^3*(1-x)^4, x, 0, 1); (Shift+Enter)

結果:
○漸化式ではなく,次の表で示したような定積分の値そのものが出力される.(茶色で示したものが上記の結果)
mの値 | nの値01234
0 1
1
2
3
4
(証明)

 In= xm(1−x)n dxと見る
f=(1−x)n f’=n(1−x)n−1(−1)
g=xm+1 g’=xm
部分積分法の公式

fg’ dx=fg−f’g dx
を適用すると
xm(1−x)n dx

= (1−x)nxm+1 + n(1−x)n−1xm+1 dx

= (1−x)n−1xm+1 dx

= (1−x)n−1{ xm−xm(1−x) } dx

= { (1−x)n−1xm−(1−x)nxm } dx

In= (In−1−In )
(m+1)In= n(In−1−In )
(m+n+1)In= nIn−1

In= In−1


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