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※ 不定積分の漸化式の項を先に読むこと
○１
sinnx dx=In (n≧0) とおくとき， In= In−2 (n≧2) が成り立つ． I0= dx=x= I1=sin x dx=−cos x= 1 だから，上記の漸化式を用いると ア） ｎが偶数のとき In= · イ） ｎが奇数のとき In= |
（証明） 不定積分の漸化式の項において sinnx dx=In (n= 2, 3, 4, ···)とおくと In= − +In−2 となっているが，これを用いて区間0≦x≦の定積分を考えると，
sin0=0 , cos=0
になるので，sinnx dx= − + sinn−2x dx =(− )−(− )+ sinn−2x dx =0 + sinn−2x dx= sinn−2x dx すなわち，In= In−2 が成り立つ． |
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○２
cosnx dx=In (n≧0) とおくとき， In= In−2 (n≧2) が成り立つ． I0= dx=x= I1=cos x dx=sin x= 1 だから，上記の漸化式を用いると ア） ｎが偶数のとき In= · イ） ｎが奇数のとき In= |
（証明） 不定積分の漸化式の項において cosnx dx=In (n= 2, 3, 4, ···)とおくと In= +In−2 となっているが，これを用いて区間0≦x≦の定積分を考えると，
sin0=0 , cos=0
になるので，cosnx dx= + cosn−2x dx =( )−( )+ cosn−2x dx =0 + cosn−2x dx= cosn−2x dx すなわち，In= In−2 が成り立つ． |
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○３
tannx dx=In (n≧0) とおくとき， In= −In−2 (n≧2) が成り立つ． I0= dx=x= I1=tan x dx=−log|cos x|= log2
I2=1−I0=1−
I3= −log2
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（証明） 不定積分の漸化式の項において tannx dx=In (n= 0, 1, 2, ···)とおくと In= −In−2 (n= 2, 3, 4, ···) となっているが，これを用いて区間0≦x≦の定積分を考えると，
tan0=0 , tan=1
になるので，tannx dx= − tann−2x dx = −In−2 |
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○４
(log x)n dx=In (n≧0) とおくとき， In= e−nIn−1 (n≧1) が成り立つ． I0= dx=x= e−1 I1=e−I0=e−(e−1)=1
I2=e−2I1=e−2
I3=e−3I2=e−3(e−2)=−2e+6
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（証明） 不定積分の漸化式の項において (log x)ndx=In (n=0,1,2, ···)とおくと In= x(log x)n−nIn−1 (n= 1, 2, 3, ···) となっているが，これを用いて区間1≦x≦eの定積分を考えると，
1(log1)=0 , e log e=e
になるので，(log x)n dx= x(log x)n−n (log x)n−1 dx = e−nIn−1 |
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○５
xm(1−x)n dx=In (n≧0) とおくとき， In= In−1 (n≧1) が成り立つ． I0=xm dx= xm+1 = I1= I0= In= In−1= = |
（証明） In= xm(1−x)n dxと見る
 fg’ dx=fg−f’g dx
xm(1−x)n dx
(m+1)In= n(In−1−In )= (1−x)nxm+1 + n(1−x)n−1xm+1 dx = (1−x)n−1xm+1 dx = (1−x)n−1{ xm−xm(1−x) } dx = { (1−x)n−1xm−(1−x)nxm } dx In= (In−1−In ) (m+n+1)In= nIn−1 In= In−1 ■読み終わったら→ ここ ←をクリック■ |