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== 定積分で定義される関数 =
【用語】
〇関数で微分するとになります.

これは次のように書かれることもあります.

この場合のように,微分したらになる元の関数原始関数と言います.
〇この他,関数などをで微分してもになります.



〇このように,関数が与えられたとき,微分してになる元の関数は多数あり,
は定数)
の形の関数を微分すると,いずれもになります.
〇一般に関数が与えられたとき,となるとき,それぞれの関数1つの原始関数を表しますが,原始関数全体の集まりを表すには
という記号を使い,不定積分と言います.
の1つの原始関数をとするとき
は任意定数)
になります.
【まとめ】
のとき,の1つの原始関数という.
≪例≫
の1つの原始関数
の原始関数全体の集合
は任意定数)
の不定積分という.
≪例≫

の不定積分

【定積分と微分の関係】
〇定積分は,原始関数を使って表されます.すなわち,の1つの原始関数をとするとき
 上で述べたように,原始関数はの形の関数での値が何であってもよいのですが,
定積分の計算は引き算になるので


のようにを付けていても「引き算で消えてしまいます」.
 そこで,不定積分の話をするときには,積分定数を忘れないように!と教えておきながら,定積分の話をするときにはの形,すなわちが付いていない形を使います.

よい子の皆さんに,なぜ無駄なを教えたんだよ〜
定積分ではは消えますが,他の場面ではよく使います.は無駄ではありません

〇定積分で定義される関数が表している内容を考えるには,原始関数を使って書き直すとよい.
【例1】
を定数とするとき

を求めるには
(解答)
の1つの原始関数をとおくと

ここで,は定数だから,は定数.
定数を微分すると0になるから
…(答)
【例2】
を定数とするとき

を求めるには
(解答)
の1つの原始関数をとおくと

ここで

だから

(参考)
 積分変数と被積分関数が変数として対応していれば原始関数は求められます.
 定積分では,求めた原始関数に,積分区間の上端の値と下端の値を代入して引くので,結果として変数は残りません.
 だから,問題が他の積分変数で」書かれていても,同じ答えになります.

 実は,積分変数と積分区間の上端が同じ文字を使って問題が書かれていても,同じ結果になります.

これに対して,微分する変数と積分区間の上端が無関係な変数である場合

において,の関数ではないから,これをで微分すると0になります.

【重要】
を定数とするとき
(1) 定積分

は,積分区間の上端の関数になる.
 積分変数の関数ではない.
(2) 定積分

は,下端の関数になる.
 積分変数の関数ではない.
【例3】
を定数とするとき

を求めるには
(解答)
の1つの原始関数をとおくと

ここで

だから


※次の問題は,上に述べた例とほぼ同じ内容です.
【問題1】 (選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
を定数とするとき

を求めてください.

(2)
を定数とするとき

を求めてください.

(3)
を定数とするとき

を求めてください.

(4)

を求めてください.



【例題1】
のとき,定数の値及び関数を求めてください.

(解説)
の1つの原始関数をとおくと

ここで

だから
右辺をで微分すると
ゆえに
…(答)
 定積分において,積分区間の下端と上端が等しいときは,被積分関数が何であっても積分は0になります.(これは公式です)

したがって,

この2次方程式を因数分解によって解くと

…(答)
※このようにして求めたの値は必要条件(これ以外には解がないこと)ですが,十分性の証明は,を用いて実際に積分してみると分かります.

ここで,のとき,だから

が成り立つ.ただ,教科書や参考書では,十分性の証明までは要しないと考えられているようです.

【問題2】 (選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
のとき,関数を求めてください.

(2)
のとき,定数の値を求めてください.

(3)
のとき,定数の値を求めてください.

(4)
のとき,定数の値を求めてください.


【例題1】
のとき,関数を求めてください.

(解説)
下端と上端が定数である定積分は定数であるから
は定数)
とおける.

として,右辺の積分を計算すると


この方程式を解くと

…(答)
【要点】
は定数とおける
の関数形が決まる

【問題3】 (選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
のとき,関数を求めてください.

(2)
を満たす関数は,である.
(立教大2016年度入試問題)

(3)
を満たす関数を求めてください.

(4)
を満たす関数を求めてください.

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