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== 三角関数の定積分(絶対値付き) ==

【基本の公式】
.sinx dx=1…(1)
.sinx dx=2…(2)
.sinx dx=0…(3)
.sinnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(4)
(解説)
図で示せば:

Aの部分の面積が1
(1)←
計算で示せば:
.sinx dx=cosx
.=(−0)−(−1)=1


図で示せば:

ABの面積は等しいから合計は2
(2)←
計算で示せば:
.sinx dx=cosx
.={−(−1) }−(−1)=2


図で示せば:

A,B,C,Dの面積は等しいが,符号が逆になっておりC=D=−A=−Bだから,これらを単純に足せば0になる
(3)←
計算で示せば:
.sinx dx=cosx
.={−(−1) }−{−(−1) }=0



(4)←
 はじめに,y=sinnxのグラフはy=sinxのグラフを横方向にn倍に引き延ばしたものではなく,n分の1に縮めたものになることに注意しましょう.
この点について,高校生には思い違いが多いので,詳しく述べると
x 0 π
sin x 0 1 0
2x 0 π
sin 2x 0 1 0 −1 0
3x 0 π
sin 3x 0 1 0 −1 0 1 0
表のように,
x=のときsinx=1で山に達しますが
x=のとき2x= , sin2x=1となって山に達します
さらに
x=のとき3x= , sin3x=1となって山に達します
 一般に,y=sinnxとなっている場合には,nxという角度がn倍速く進むので,y=sinxのグラフを横にn分の1に縮めたものになります.
(4)式に戻ると,−π≦x≦πの区間にn=2の場合は,山と谷が2つずつでき,n=3の場合は,山と谷が3つずつできるので,定積分の値は0になります.一般に,y=sinnxとなっているときも同様です.
計算で示せば:
.sinnx dx=
nが偶数のとき:(−)−(−)=0
nが奇数のとき:()−()=0
となって,いずれの場合も0になります.

【基本の公式】
.cosx dx=1…(5)
.cosx dx=0…(6)
.cosx dx=0…(7)
.cosnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(8)
(解説)
図で示せば:

Aの部分の面積が1
(1)←
計算で示せば:
.cosx dx=sinx
.=(1)−(0)=1


図で示せば:

B=−Aだから和は0
(2)←
計算で示せば:
.cosx dx=sinx
.=(0)−(0)=0


図で示せば:

B=D=−A=−Cだから,これらを単純に足せば0になる
(3)←
計算で示せば:
.cosx dx=sinx
.=(0)−(0)=0


(4)←
図で示せば
一般に,y=cosnxとなっている場合には,nxという角度がn倍速く進むので,y=cosxのグラフを横にn分の1に縮めたものになります.

計算で示せば:
.cosnx dx==0−0=0


■絶対値付きの定積分■
【例1】
.|cosx|dxの値を求めてください.
(解答)
被積分関数に絶対値が付いているときは,区間を場合分けして絶対値記号を外して計算するのが基本です.
0≦x≦cosx≧0
≦x≦πcosx≦0
だから
.|cosx|dx=|cosx|dx+|cosx|dx
図のA=1 , B=−1
Bの部分を上にひっくり返してB'=1を使うと,A+B'=2になる.
.=cosxdx+(−cosx)dx
.=sinx+sinx
.=(1−0)+(0−(−1))=2
※高校生のごく初歩的な間違いとして
.cosxdxを計算してから絶対値を付けようとする
答案がよくありますが,上記の(6)で示したように,これでは0になって消えてしまいます.

※一般に|f(x)|dx |f(x)dx|は違うので注意
【例2】
. |sinx−cosx|dxの値を求めてください.
(解答)
sin=cos=
0≦x≦cosx≧sinx
≦x≦cosx≦sinx
. |sinx−cosx|dx
.= (cosx−sinx)dx+ (sinx−cosx)dx
.=sinx−cosx+cosx−sinx
.=(+)−(1)+{ (−1)−(−) }
.=2−2
【例3】
. |3sinx−4cosx|dxの値を求めてください.
(解答)
既知の角度を用いてx>, x<
のように書くことができないときでも,その角度を記号定数αなどで表して計算し,結果が出てから戻せばよい.1

◇三角関数の合成とグラフの平行移動が分かる場合
3sinx−4cosx=(sincos)
.=5(sincos)
と変形する.ここで図1のような角αを考えると
図1
.sinα= , cosα=
となるから
3sinx−4cosx=5(sinxcosα−cosxsinα)
.=5sin(x−α)
このグラフは,y=5sinxのグラフを右にαだけ平行移動したものだから,図2(を縦に5倍に引き延ばしたもの)のようになる.
図2
x=α5sin(x−α)=0
0≦x≦α5sin(x−α)≦0
α≦x≦5sin(x−α)≧0
. |3sinx−4cosx|dx
.= |5sin(x−α)|dx
.=−5 sin(x−α)dx+5 sin(x−α)dx
.=cos(x−α)cos(x−α)
.=5{cos0−cos(−α)}−5{cos(−α)−cos0}
ここで
cos0=1,cos(−α)=cosα=,cos(−α)=sinα=
だから
(原式)=5{1−}−5{−1}=5−3−4+5=3
◇三角関数の合成やグラフの平行移動に自信がない場合
それぞれ図のようなグラフになるから
交点のx座標をαとおくと
.3sinα=4cosαから
.tanα=
上の図1のような三角形で考えると,
.sinα= , cosα=
x=α3sinx=4cosx
0≦x≦α3sinx≦4cosx
α≦x≦3sinx≧4cosx
(原式)= (−3sinx+4cosx)dx+ (3sinx−4cosx)dx
=3cosx+4sinx+−3cosx−4sinx
={(3cosα+4sinα)−(3+0)}+{(0−4)−(−3cosα−4sinα)}
=6cosα+8sinα−7=6×+8×−7=3


次の定積分の値を求めてください.
※正しい選択肢の番号をクリックしてください.
 なお,暗算ではできませんので,別途計算用紙と筆記用具が必要です.
【問題1】
. |sinx−|dx
1+−1 2+1
3−1 4+1

【問題2】
. |sinx−sin2x|dx
1 2 3 4

【問題3】
. |2sinx−cosx|dx
12+ 2−2+
34+ 44−


 次のプログラムは,台形公式を使った数値積分によって,コンピュータを使って定積分の値を計算するものです.
 結果は小数第4位までの近似値で示されますが,各自の解答と近い値になれば,よい裏付けと見なせます.
≪付録1≫
. |asinx−bcosx|dx
の値を計算します.a, b (≠0)の値を入力して,[計算する]ボタンを押してください.
(分数は 1/3, -2/3のように記入.平方根の場合は,例えば,なら2.236のように近似値で記入)
.a=, b=

計算するやり直す
. |asinx−bcosx|dx=
≪付録2≫
. |asinx−bcosx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.a=, b=

計算するやり直す
. |asinx−bcosx|dx=
≪付録3≫
. |asinmx+bcosnx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.α=, β=
.a=, b=
.m=, n=
計算するやり直す
. |asinmx+bcosnx|dx=
≪付録4≫
. |asinmx+bsinnx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.α=, β=
.a=, b=
.m=, n=
計算するやり直す
. |asinmx+bsinnx|dx=
≪付録5≫
. |acosmx+bcosnx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.α=, β=
.a=, b=
.m=, n=
計算するやり直す
. |acosmx+bcosnx|dx=

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