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== 絶対値付関数の積分 ==

◆要点◆ ・・・ 区間によって異なる関数形となるときは,区間を分けて積分します。


※ 基本的な使い方は,右図[1]のような場合で,aからbまで積分するときに,途中のcで関数形が変わるとき,まずaからcまでの積分を求め,これにcからbまでの積分を加えます。
【解説】 原始関数の1つをF(x)とすると
左辺=F(b) - F(a)
右辺=F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
これらは等しい。

※ 上の解説において,a,b,cの大小関係は前提とされておらず,単にF(c)が計算上消えることによるので,右図[2]のようにcがa,bの外側にある場合でもこの公式は成り立ちます。



◆絶対値付の関数の積分◆
 絶対値付きの関数の積分は、要注意です。特に、積分してから絶対値を付けたものは,元のものと全く違います。

 絶対値付きの関数を正しく積分するためには,絶対値記号をはずして、区間ごとに分けて計算します。(次の例題参照)
■例題
(1) を計算しなさい。

(答案)
|x-1|は ア) x<1のとき-x+1 イ) x≧1のときx-1 となるから
【解説図】

(2) を計算しなさい。

(答案)
【解説図】





■問題1 ・・・ 次の各定積分の計算式を選びなさい。(初めに問題を1つ選び,続いて対応する計算式を選びなさい。合っていれば消えます。)
















【助変数を含むとき】
…(1)
の積分記号の中では,は定数,が変数
積分記号の外では,が変数,は存在しない.
…(2)
の積分記号の中では,は定数,が変数
積分記号の外では,が変数,は存在しない.
(1)のように積分変数がで,それとは異なる文字が積分区間の上端や下端にあるとき,
で積分するときは,は単なる定数として扱い,できあがったの式をの関数とします.
【例】

の簡単な式で表してください.
(解答)
のとき
のとき
だから
(ア) のとき積分区間に入るどのの値に対しても

となるから


ここではの図で説明したが,実際には積分区間の上端が下端よりも小さくても構わない(上から下を引くだけの計算だから)から,でもよい.
(イ) のとき積分区間は,次の2つの区間に分けられる.
i) のとき
ii) のとき





(2)のように積分変数がで,それとは異なる文字との大小に応じて絶対値記号のはずし方を考えるとき
で積分するときは,は単なる定数として扱い,できあがったの式をの関数とする事情は(1)と同じですが,が積分区間の中にある場合には,場合分けして積分することになります.
【例】

の簡単な式で表してください.
(解答)
(ア) のとき,積分区間に含まれるどのの値もを満たすから


は定数だから値が固定されている.
に先に手を出させてから,は「後出しジャンケン」をする
(イ) のとき,積分区間に含まれるの値のうち
i) のとき,だから
ii) のとき,だから




(ウ) のとき,積分区間に含まれるどのの値もを満たすから




【問題2】
は実数とする.関数
と定義し,とおく.
(2) 関数を求めよ.
(1)(3)(4) 略
(2014年度愛媛大入試問題)

【問題3】
 実数に対して,関数
とおく.次の問いに答えよ.
(1) 関数を求め,そのグラフをかけ.
(2)(3) 略
(2011年度金沢大入試問題)

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■[個別の頁からの質問に対する回答][絶対値付き関数の積分について/17.1.5]
短時間でこなせるように、難易度の低い問題から中程度の問題に遷移する形で、問題数を増やしてほしい。
=>[作者]:連絡ありがとう.サブメニューが易しいものから難しいものへの順に並んでいますので,活用してください.