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== 定積分 ==

○ 関数 F(x) を微分すると f(x) になるとき,
 すなわち,
F(x)=f(x)f(x)dx=F(x)+C

のとき,F(x)f(x) の(1つの)原始関数,F(x)+Cf(x) の不定積分という.

(x2)=2x2xdx=x2+C だから

x22x の原始関数,x2+C2x の不定積分という.


○ 関数 f(x) の1つの原始関数を F(x) とするとき,F(b)−F(a) の値を f(x)a から b までの定積分といい,

f(x)dx
で表わす.すなわち,
f(x)dx=F(b)−F(a)

 実際の計算に当たっては, f(x) から F(x) を求めて,次に x=a , b を代入するために,
F(x)
という記号を用いる.

【要点】 定積分の定義

f(x)dx=F(x)=F(b)−F(a)

※ よくある間違い
 F(a)−F(b) ではなく F(b)−F(a) なので注意すること.
注意
________(x2+1)=2x

________(x2+2)=2x

________(x2+3)=2x

 だから,x2+1 , x2+2 , x2+3 , … も 2x の原始関数であり,2x の原始関数は1つではない.

 定積分の計算には,そのうちどれか1つの原始関数を用いればよいが,計算が簡単なように C=0 となるものを用いる.
 すなわち,
F(x)+C=(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)

となり,どんな C の値を用いても差で消えるので,計算が最も簡単になる C=0 の場合を用いる.


[なぜ原始関数を使うのか,なぜ差なのか,そんなことをして何になるのか]
 (教科書の項目として面積の項目は定積分の後に登場するが,)原始関数 F(x) は,関数 f(x) (>0) の下にできる図形の面積を表わし,
F(b)−F(a)axb の区間の面積を表わせるので,このように定義すると豊かな応用が広がってくるのである.
  (b よりも左の面積)−(a よりも左の面積)=(a , b の間の面積)
例1
2x dx=x2=22−12=3

例2  x の1つの原始関数は
であるから

x dx== =


例3  x2 の1つの原始関数は
であるから

x2 dx== =

【不定積分の公式:復習】 xn の不定積分

xndx= +C

(xn+1)=(n+1)xn だから ( )=xn となる.

問題1 次の定積分を求めよ.(やさしい)
  ___初めに [ ? ] を1つ選び,続いて下の欄から解答を1つ選べ.正しければ解答が入り,間違っていればもとに戻る.

[ 選択肢 ]



問題2 次の定積分を求めよ.(空欄を埋めよ)
(1) (2x+1)dx= x2 +x = (4+2)−(1+1)=4


(2) (3x2+2x)dx= x3+x2 =(+)−0=

(3) (x2−2x+2)dx= −x2+2x

___=(9−9+6)−(+)=


○ 多項式の積や累乗の定積分

【要点】 (I)(II)は不定積分と共通の性質.(III)は定積分だけの性質
(I) 多項式の積や累乗の形になっているものは個別に積分することはできないので,被積分関数を展開してから原始関数を求めるのが基本.
(II) 多項式の累乗の積分については次の公式がある.

________(x+a)ndx= +C

________(ax+b)ndx= +C


(III) 2次関数のグラフと直線とで囲まれた図形の面積を求めるときに,次の公式を用いると便利である.
 ax2+bx+c=0 の2つの解を α,β (α<β) とするとき

________(ax2+bx+c)dx=−

あるいは

________a(x−α)(x−β)dx=−
(II)は,数学IIIで学ぶ「置換積分」を用いて証明できるが,数学IIではその結果を利用する.(ここでは証明略)
(III)は,(II)の結果を用いて次のように証明できる.

(ax2+bx+c)dx=a(x−α)(x−β)dx

=a(x−α)(x−α+α−β)dx
=a{(x−α)2+(α−β)(x−α)dx

= a+a(α−β)

=a+a(α−β)−0=a−a

= −

(I)の例

(x−1)(x−2)dx=(x2−3x+2)dx=x2+2x

=( 9−+6)−0=


(x+1)2dx=(x2+2x+1)dx=+x2+x

=( +4+2)−( +1+1)=


(II)の例

(x+1)2dx=+C

(2x+1)4dx=+C

(III)は次のア)のように積分区間の両端が ax2+bx+c=0 の2つの解 α,β になっているときだけ成立し,イ)のように積分区間の両端が ax2+bx+c=0 の解でないときは(III)の公式は使えないので注意を要す.
(III)の例
2x2−6x+1=0 の2つの解を α,β とすると,α,β=
β−α=

このとき,(2x2−6x+1)dx=−=−=−

※積分区間の両端が根号を含む式で表わされるときは,この公式があると助かる.


問題3 次の定積分を求めよ.(空欄を埋めよ)

(1) (x−1)(x+2)dx =



(2) (2x−3)2dx =




(3) x2(x2−1)dx =


(4) (x−1)(x−2)dx =−




(5) 2x2−8x+5=0 の2つの解を α,β (α<β) とするとき

____(2x2−8x+5)dx =−



■解説
 定積分
f(x) dx

において,f(x)被積分関数a を積分区間の下端b を積分区間の上端という.
 定積分の性質を,(I)被積分関数についての性質,(II)積分区間の性質 に分けてまとめると次のようになる.
【定積分の性質 I 】 

kf(x) dx=kf(x) dx …(1)


{f(x)+g(x)} dx=f(x) dx+g(x) dx …(2)



 一般に,

{sf(x)+tg(x)} dx=sf(x) dx+tg(x) dx …(3)

※ 上の性質は,定数倍と和(差)については,積分計算と順序を入れ替えても結果は変らないことを表わしている(線型性).・・・ただし,関数の積や商と積分計算の順序を入れ替えると,もとのものと等しくならない.したがって,次のような変形はできないので注意を要する.

 (x+1)(x+2) dx ←×→ (x+1)dx(x+2)dx



■参考■
 定積分の性質(I)は,次の不定積分の性質をそのまま反映したものとなっている.

kf(x) dx=kf(x) dx


{f(x)+g(x)} dx=f(x) dx+g(x) dx


 一般に,

{sf(x)+tg(x)} dx=sf(x) dx+tg(x) dx


■参考■
 定積分の性質(I)は,必ず使わなければならないというものではない.

○ 次のように計算すれば,この性質を使わずにそのまま計算していることになる.

{x2+3x} dx=+x2=(+6)−(+)=

○ 次のように計算すれば,この性質を使って分けて計算していることになる.
{x2+3x} dx=x2 dx+3x dx=+x2

=()+(6−)=


※ 簡単な計算問題では,この性質(I)を使わずに求められる.
【定積分の性質 II 】 

f(x) dx=−f(x) dx …(4)


f(x) dx=0 …(5)


f(x) dx=f(x) dx+f(x) dx …(6)

(4) : 積分区間の下端と上端を入れ替えると符号が逆になる.
(5) : 被積分関数が何であっても,積分区間の下端と,上端が等しければ,定積分は0になる.
(6) : 何個かの積分区間に分けて計算してよい.
 (6)の性質は,区間によって関数形が異なるときの定積分に必要となる.|x2−1| のように絶対値記号を含む関数は,形式的には1つの関数と言えなくもないが,実際に計算するときは絶対値記号を外す必要があり,そのときこの性質を用いる.
|x2−1|= x2−1 (x<−1) −x2+1 (−1x<1) x2−1 (1x)
だから, |x2−1| dx=|x2−1| dx+|x2−1| dx


________={−x2+1} dx+{x2−1} dx

________=+x+−x

________=(−+1)−0+(−2)−(−1)=2


※よくある間違い・・・次のような変形はできないので注意

________|x2−1| dx|(x2−1) dx|
(証明)
(4) f(x) dx=F(a)−F(b)=−{F(b)−F(a)}

_______ f(x) dx=F(b)−F(a)

だから,(4)が成り立つ.

(5) f(x) dx=F(a)−F(a)=0

だから,(5)が成り立つ.

(6) f(x) dx=F(b)−F(a)

_______ f(x) dx+f(x) dx

_______ ={F(c)−F(a)}+{F(b)−F(c)}=F(b)−F(a)

だから,(6)が成り立つ.

■区間によって関数形が異なるときの定積分

_______f(x)=|x|= −x (x<0) x (0x)
のとき,|x| dx を求めよ.

(答案)

 |x| dx=|x| dx+|x| dx

ア) x0 のとき,f(x)=−x だから

 |x| dx=(−x) dx= =0−(−)=

イ) x0 のとき,f(x)=x だから

 |x| dx=x dx= =−0=2

ア)イ)より



 ※絶対値記号の付いている関数の定積分は,多くの生徒にとって「何をしているのか分かりにくい」ようです.おそらく,それは定積分が分からないのでなく,絶対値記号をはずす訓練が十分でないからです.もし,以下の問題で「解説を読んでもまだ分からない」という人は,絶対値記号のはずし方の練習を先にやる方がよいでしょう.

問題4 次の定積分を求めよ.(空欄を埋めよ)

(1) |x|dx =



(2) |x−1|dx =



(3) |x2+x−2|dx __________=


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■[個別の頁からの質問に対する回答][定積分の基本について/17.5.24]
いつも使わせて頂いてます。ありがとうございます。 問題(4)でdxが重複しています。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][定積分について/17.4.29]
いつも楽しく拝見しています。 間違いと思われる箇所を見ましたのでご連絡させて頂きます。 当該箇所は、PCでfirefoxより見ていたところ、定積分のページで、 ”○多項式の積や累乗の定積分”の要点Vの証明について、最後の式の-符号が抜けています。 下記該当箇所のコピペです。 (III)は,(II)の結果を用いて次のように証明できる. β∫α(ax2+bx+c)dx=aβ∫α(x−α)(x−β)dx =aβ∫α(x−α)(x−α+α−β)dx =aβ∫α{(x−α)2+(α−β)(x−α)dx =┌│└ a (x−α)3 3+a(α−β) (x−α)2 2 β┐│┘α =a (β−α)3 3+a(α−β) (β−α)2 2−0=a (β−α)3 3−a (β−α)3 2 = a(β−α)3 6
=>[作者]:連絡ありがとう.符号が1つ抜けていましたので訂正しました.