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== 区分求積法の考え方 ==

面積の定義
 次の図において,y=x,x軸,x=1の直線で囲まれた図形の面積を求めることを考えます.この図形は,長方形でもなく,三角形でもなく,円でもないので,小中学校で習った面積の求め方では求められません.むしろ,そのような面積が定義できるのか?と疑うことが,ここで扱うテーマを理解する早道です.

 そもそも,1×1の正方形の面積が1です(下図).これより小さい図形は,0.1の長方形が何個入るかに応じて,次の桁を決めます.以下同様にして,0.01,0.001,...の正方形・長方形を入るだけ埋めて,求める図形がちょうど埋まるまで繰り返します.
 素朴に考えれば,境界線がy=xのような曲線では,正方形や長方形をどう並べても埋まりそうもありません.
■ 右図のように,少し大き目の長方形の和(上組)と少し小さ目の長方形の和(下組)を考えます.もし,求める図形に面積Sがあるとすれば,
<S<となるはずです.
■ 長方形の横幅を小さくしていったとき(→0),もしの面積が一致したら,その一致した値を面積Sの定義とすることは合理的です.
≪はさみうち論法≫
an<S<bnならば
を用いると,下組と上組の極限が等しくなっとき,その等しい値を「面積」と定義します.

■ 下組



 → (n→∞のとき)
■ 上組


 → (n→∞のとき)
■ 以上により,S=・・・これが,求める図形の面積です.

定積分と面積の関係
 上の図形の面積は,定積分で表わされます.
 これらを比較すると,


すなわち,

上組と下組は等しいので, も成立します.

数列の和の極限を定積分に直す方法
■ 数列の和の極限を定積分に直すには,次のような図を考えます.

≪公式≫・・・次のように対応させて覚える

■この公式を使うには,「各部品」を正確に対応させることが大切です.(初めは,大変難しいものです.)

<要点>
1 まず,Δx(通常は1/n)を分離すること
→これがdxになります.
(Σ記号の初項から末項までの項数n個の等分となっている)
2 xを決める → f(x)を決める → f(x)を決める.
3 limΣ→ とします.
4 x=a,x=b とします.
  b−a=1でない場合は1の段階でΔxを調整します.


(例1) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
(考え方)
【ポイント:Δxの役割】
  • 1/n=Δxがなければ積分できません.なければ作ります.このために,/nでくくります.(区間の幅は

  • k/n=x → f(x)= → f(x)= とします.
  • k/n=x → a=x=0, b=x=1(区間の幅はでよい.)
  • limΣをにします.
(答案)

(例2) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
(考え方1)
【ポイント:区間の幅】
  • /nでくくります.(区間の幅は
  • =k/n → f()=πsinπ

  •  → f(x)=πsinπx
  • =k/n →a=x=0,b=x=1

  • (区間の幅は
  • limΣをにします.
(答案1)


(考え方2)
  • π/n=Δxとします.(区間の幅はπ
  • =kπ/n → f()=sin

  •  → f(x)=sinx
  • =kπ/n →a=x=0,b=x=π

  • (区間の幅はπ
  • limΣをにします.
(答案2)


(例3) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
【ポイント:x←→f(x)←→f(x)】
(考え方1)
  • /nでくくります.(区間の幅は
  • =k/nとおくと, f()=(1+

  • f(x)=(1+x)
  • a=x, b=x(区間の幅は
  • limΣをにします.
(答案1)


(考え方2)
  • /nでくくります.(区間の幅は
  • =1+k/nとおくと, f()=

  • f(x)=x
  • a=x, b=x(区間の幅は
  • limΣをにします.
(答案2)


(例4) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.

(考え方)

【ポイント:皮1枚過剰→引いてから足す】

 または  が  に等しいので,
 では,「皮1枚分」多いことになります.(次の図参照)

この場合,「大した違いはないから」などとあいまいにせず,「過剰分を引いて定積分を完成してから」「右端(または左端)の項を加え」ます.

(答案)




(例5) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.

(考え方)

【ポイント:皮1枚不足→足してから引く】

 または  が  に等しいので,この問題では「皮1枚分不足」です.
この場合,「不足分を埋めて,定積分を完成してから」「引きます」.(次の図参照)(埋めるのは,左端でもよい.)

(答案)



(例6) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
【ポイント:3n等分→Δx=1/(3n)】
(考え方)
k=1〜3nなので,短冊の横幅としてΔx=1/(3n)を使うと,図形を想像しやすくなります.
(答案)



※ (例1)でnに3nを代入したものと一致します.

(例7) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
【ポイント:a→初項,b→末項】
(考え方)
k=n+1〜3n なので,項数は2nです.
Δx=1/(2n),x=k/(2n)とおくとき,
a=x=1/2,b=x3n=3/2 です.

(答案)



○この項目をはじめて学ぶ場合,次の問題は難しく感じるはずです.
○慣れるまでは,解説を順に読んで,もう一度やったときに自分で解けるようになればよいでしょう.
○解説を読めば,毎回同じことをしていることが分かり,流れが読めるようになります.
《問題》
 次の極限値を定積分に直したとき,下欄のどの式と等しくなりますか.(下の選択肢をクリック)


[第1問 / 全7問]

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