○この項目をはじめて学ぶ場合,次の問題は難しく感じるはずです.
○慣れるまでは,解説を順に読んで,もう一度やったときに自分で解けるようになればよいでしょう.
○解説を読めば,毎回同じことをしていることが分かり,流れが読めるようになります.
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}} \)
において
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+ x_k}\rightarrow f(x)=\sqrt{1+ x} \)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+ x}dx \)
→解説を隠す←
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+ k^2} \)
においては,Δx となるべき 1/n がないから,これを作る
分母をn2でくくると
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{1+ (\frac{k}{n})^2}\times \frac{1}{n^2} \)
1/n2 のままではn等分にならないので1/n×1/nに分ける
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{1+ (\frac{k}{n})^2}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=\frac{x_k}{1+ x_k^2}\rightarrow f(x)=\frac{x}{1+ x^2} \)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 \frac{x}{1+ x^2}dx \)
→解説を隠す←
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}(\sqrt{k}+ \sqrt{n})^2 \)
において,Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(\sqrt{k}+ \sqrt{n})^2}{n}\times \frac{1}{n} \)
真ん中の式の分数の形を整える
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\frac{\sqrt{k}+ \sqrt{n}}{\sqrt{n}})^2\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\sqrt{\frac{k}{n}}+1)^2\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=(\sqrt{x_k}+ 1)^2\rightarrow f(x)=(\sqrt{x}+ 1)^2 \)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 (\sqrt{x}+ 1)^2 dx \)
→解説を隠す←
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \)
Σ記号の中では,kが変数でnは定数だから
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} \)
Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n}}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=\sqrt{x_k}\rightarrow f(x)=\sqrt{x} \)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{x} dx \)
→解説を隠す←
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(n+ k)^2}{n^3} \)
Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(n+ k)^2}{n^2}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac{n+ k}{n} \Bigr)^2\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \Bigl(1+ \frac{k}{n} \Bigr)^2\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=(1+ x_k)^2\rightarrow f(x)=(1+ x)^2 \)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 (1+ x)^2 dx \)
→解説を隠す←
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}\sqrt{n^2+k^2} \)
Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{n^2+ k^2}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+ \frac{k^2}{n^2}}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+ (\frac{k}{n})^2}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+ x_k^2}\rightarrow f(x)=\sqrt{1+ x^2} \)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+ x^2} dx \)
→解説を隠す←
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+ k^2}} \)
1/n を作るために分母をnでくくる(根号内は n2で割る)
\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{k}{n}}\times n} \)
\( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{k}{n}}}\times \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \)
とおくと
\( \displaystyle f(x_k)=\frac{1}{\sqrt{1+ x_k}}\rightarrow f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+ x}}\)
\( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \)
となるから
(原式)= \( \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+ x}} dx \)
→解説を隠す←
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