面積の定義
次の図において,y=x2,x軸,x=1の直線で囲まれた図形の面積を求めることを考えます.この図形は,長方形でもなく,三角形でもなく,円でもないので,小中学校で習った面積の求め方では求められません.むしろ,そのような面積が定義できるのか?と疑うことが,ここで扱うテーマを理解する早道です.
■ そもそも,1×1の正方形の面積が1です(下図).これより小さい図形は,0.1の長方形が何個入るかに応じて,次の桁を決めます.以下同様にして,0.01,0.001,...の正方形・長方形を入るだけ埋めて,求める図形がちょうど埋まるまで繰り返します. 素朴に考えれば,境界線がy=x2のような曲線では,正方形や長方形をどう並べても埋まりそうもありません. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ■ 長方形の横幅を小さくしていったとき(→0),もし ![]() ![]()
≪はさみうち論法≫
を用いると,下組と上組の極限が等しくなっとき,その等しい値を「面積」と定義します.
an<S<bnで ■ 下組 ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ![]() ■ 上組 ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ![]() ■ 以上により,S= ![]()
定積分と面積の関係
上の図形の面積は,定積分![]() これらを比較すると, すなわち, ![]() 上組と下組は等しいので, ![]() |
数列の和の極限を定積分に直す方法
■ 数列の和の極限を定積分に直すには,次のような図を考えます.
![]()
≪公式≫・・・次のように対応させて覚える
![]()
■この公式を使うには,「各部品」を正確に対応させることが大切です.(初めは,大変難しいものです.)
<要点>
1 まず,Δx(通常は1/n)を分離すること →これがdxになります. (Σ記号の初項から末項までの項数n個の等分となっている) 2 xkを決める → f(xk)を決める → f(x)を決める. 3 limΣ→∫ とします. 4 x0=a,xn=b とします. b−a=1でない場合は1の段階でΔxを調整します. |
(例1) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
(考え方)
![]()
【ポイント:Δxの役割】
(答案)
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(例2) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
(考え方1)
![]()
【ポイント:区間の幅】
→ f(x)=πsinπx (区間の幅は1) ![]() = ![]() (考え方2)
→ f(x)=sinx (区間の幅はπ) ![]() = ![]() |
(例3) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
![]()
【ポイント:xk←→f(xk)←→f(x)】
(考え方1)
f(x)=(1+x)2 ![]() ![]() = ![]() (考え方2)
f(x)=x2 ![]() ![]() = ![]() |
(例4) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
![]() (考え方)
【ポイント:皮1枚過剰→引いてから足す】
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() → ![]() (答案)
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(例5) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
![]() (考え方)
【ポイント:皮1枚不足→足してから引く】
![]() ![]() ![]() この場合,「不足分を埋めて,定積分を完成してから」「引きます」.(次の図参照)(埋めるのは,左端でもよい.) ![]() (答案) ![]() = ![]() ![]() |
(例6) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
![]()
【ポイント:3n等分→Δx=1/(3n)】
(考え方)
k=1〜3nなので,短冊の横幅としてΔx=1/(3n)を使うと,図形を想像しやすくなります. (答案) ![]() ![]() ![]() ※ (例1)でnに3nを代入したものと一致します. |
(例7) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.
![]()
【ポイント:a→初項,b→末項】
(考え方)
k=n+1〜3n なので,項数は2nです. Δx=1/(2n),xk=k/(2n)とおくとき, a=xn=1/2,b=x3n=3/2 です. (答案) ![]() ![]() |
○この項目をはじめて学ぶ場合,次の問題は難しく感じるはずです.
○慣れるまでは,解説を順に読んで,もう一度やったときに自分で解けるようになればよいでしょう. ○解説を読めば,毎回同じことをしていることが分かり,流れが読めるようになります. |
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