《解説》
区分求積法の考え方携帯版

 次の図において,y=x,x軸,x=1の直線で囲まれた図形の面積を求めることを考えます.この図形は,長方形でもなく,三角形でもなく,円でもないので,小中学校で習った面積の求め方では求められません.むしろ,そのような面積が定義できるのか?と疑うことが,ここで扱うテーマを理解する早道です.

 そもそも,1×1の正方形の面積が1です(下図).これより小さい図形は,0.1の長方形が何個入るかに応じて,次の桁を決めます.以下同様にして,0.01,0.001,...の正方形・長方形を入るだけ埋めて,求める図形がちょうど埋まるまで繰り返します.
 素朴に考えれば,境界線がy=xのような曲線では,正方形や長方形をどう並べても埋まりそうもありません.
■ 右図のように,少し大き目の長方形の和(上組)と少し小さ目の長方形の和(下組)を考えます.もし,求める図形に面積Sがあるとすれば,
<S<となるはずです.
■ 長方形の横幅を小さくしていったとき(→0),もしの面積が一致したら,その一致した値を面積Sの定義とすることは合理的です.
( はさみうち論法: )
こまかな「すきま」が気になりますが,「ちりも積もれば山となる」とは限りません.この場合,「0はいくら足しても0」ということもあります.
■ 下組


 → (n→∞のとき)
■ 上組


 → (n→∞のとき)
■ 以上により,S=・・・これが,求める図形の面積です.


■ 定積分との関係
 上の図形の面積は,定積分で表わされます.
 これらを比較すると,
すなわち,
上組と下組は等しいので, も成立します.

数列の和の極限を定積分に直す方法
■ 数列の和の極限を定積分に直すには,次のような図を考えます.
 (公式)

■ この公式を使うには,「各部品」を正確に対応させることが大切です.(初めは,大変難しいものです.)

<要点>
1 まず,Δx(通常は1/n)を分離すること:これがdxになります.
2 xを決める → f(x)を決める → f(x)を決める.     
3 limΣ→ とします.                       
4 x=a,x=b とします.(b−a=1でないなら,1の段階でΔxを調整します.)               


(例1) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:Δxの役割】
(考え方)
  • 1/n=Δx がなければ積分できません.なければ作ります.このために,/nでくくります.(区間の幅は

  • k/n=x → f(x)= → f(x)= とします.
  • k/n=x → a=x=0, b=x=1(区間の幅はでよい.)
  • limΣをにします.
(答案)

(例2) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:区間の幅】
(考え方1)
  • /nでくくります.(区間の幅は
  • =k/n → f()=πsinπ

  •  → f(x)=πsinπx
  • =k/n →a=x=0,b=x=1

  • (区間の幅は
  • limΣをにします.
(考え方2)
  • π/n=Δxとします.(区間の幅はπ
  • =kπ/n → f()=sin

  •  → f(x)=sinx
  • =kπ/n →a=x=0,b=x=π

  • (区間の幅はπ
  • limΣをにします.
(答案1)

(答案2)



(例3) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:x←→f(x)←→f(x)】
(考え方1)
  • /nでくくります.(区間の幅は
  • =k/nとおくと, f()=(1+

  • f(x)=(1+x)
  • a=x, b=x(区間の幅は
  • limΣをにします.
(考え方2)
  • /nでくくります.(区間の幅は
  • =1+k/nとおくと, f()=

  • f(x)=x
  • a=x, b=x(区間の幅は
  • limΣをにします.
(答案1)

(答案2)



(例4) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:皮1枚過剰→引いてから足す】

(考え方)
 または  が  に等しいので,
 では,「皮1枚分」多いことになります.(次の図参照)

この場合,「大した違いはないから」などとあいまいにせず,「過剰分を引いて定積分を完成してから」「右端(または左端)の項を加え」ます.

(答案)




(例5) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:皮1枚不足→足してから引く】

(考え方)
 または  が  に等しいので,この問題では「皮1枚分不足」です.
この場合,「不足分を埋めて,定積分を完成してから」「引きます」.(次の図参照)(埋めるのは,左端でもよい.)

(答案)


(例6) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:3n等分→Δx=1/(3n)】

(考え方)
k=1〜3nなので,短冊の横幅としてΔx=1/(3n)を使うと,図形を想像しやすくなります.
(答案)


※ (例1)でnに3nを代入したものと一致します.

(例7) 次の極限値を定積分に直し,その値を求めなさい.【ポイント:a→初項,b→末項】

(考え方)
k=n+1〜3n なので,項数は2nです.
Δx=1/(2n),x=k/(2n)とおくとき,a=x=1/2,b=x3n=3/2 です.
(答案)



《問題》
 次の極限値を定積分に直したとき,右欄のどの式と等しくなりますか.(→→解説)


[第1問 / 全7問]

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