数列の和の極限

《解説》

区分求積法の考え方

■
　次の図において，ｙ＝ｘ^２，x軸，ｘ＝１の直線で囲まれた図形の面積を求めることを考えます．この図形は，長方形でもなく，三角形でもなく，円でもないので，小中学校で習った面積の求め方では求められません．むしろ，そのような面積が定義できるのか？と疑うことが，ここで扱うテーマを理解する早道です．
■
　そもそも，１×１の正方形の面積が１です（下図）．これより小さい図形は，0.1の長方形が何個入るかに応じて，次の桁を決めます．以下同様にして，0.01，0.001，．．．の正方形・長方形を入るだけ埋めて，求める図形がちょうど埋まるまで繰り返します．
　素朴に考えれば，境界線がｙ＝ｘ^２のような曲線では，正方形や長方形をどう並べても埋まりそうもありません．

■　右図のように，少し大き目の長方形の和（上組）と少し小さ目の長方形の和（下組）を考えます．もし，求める図形に面積Ｓがあるとすれば，

＜Ｓ＜となるはずです．
■　長方形の横幅を小さくしていったとき（→０），もしとの面積が一致したら，その一致した値を面積Ｓの定義とすることは合理的です．
（　はさみうち論法：　）
こまかな「すきま」が気になりますが，「ちりも積もれば山となる」とは限りません．この場合，「０はいくら足しても０」ということもあります．

■　下組

＝
＝
＝
＝　→　（ｎ→∞のとき）

■　上組

＝
＝
＝
＝　→　（ｎ→∞のとき）

■　以上により，S=・・・これが，求める図形の面積です．

■　定積分との関係
　上の図形の面積は，定積分で表わされます．
　これらを比較すると，

すなわち，

上組と下組は等しいので，　も成立します．

数列の和の極限を定積分に直す方法

■　数列の和の極限を定積分に直すには，次のような図を考えます．

　(公式)

■　この公式を使うには，「各部品」を正確に対応させることが大切です．（初めは，大変難しいものです．）

＜要点＞
１　まず，Δｘ（通常は１／ｎ）を分離すること：これがｄｘになります．
２　ｘ_ｋを決める　→　ｆ（ｘ_ｋ）を決める　→　ｆ（ｘ）を決める．　　　　　
３　limΣ→∫　とします．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
４　ｘ_０＝ａ，ｘ_ｎ＝ｂ　とします．（ｂ－ａ＝１でないなら，１の段階でΔｘを調整します．）　　　　　　　　　　　　　　　

(例１)　次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：Δｘの役割】

(考え方)

１／ｎ＝Δｘ　がなければ積分できません．なければ作ります．このために，１／ｎでくくります．（区間の幅は１）

ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ｆ（ｘ_ｋ）＝　→　ｆ（ｘ）＝　とします．

ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ａ＝ｘ_０＝０，　ｂ＝ｘ_ｎ＝１（区間の幅は１でよい．）

limΣを∫にします．

（答案）

＝＝

(例２)　次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：区間の幅】

(考え方１)

１／ｎでくくります．（区間の幅は１）

ｘ_ｋ＝ｋ／ｎ　→　ｆ（ｘ_ｋ）＝πsinπｘ_ｋ

　→　f(ｘ)＝πsinπｘ
ｘ_ｋ＝ｋ／ｎ　→ａ＝ｘ_０＝０，ｂ＝ｘ_ｎ＝１

（区間の幅は１）
limΣを∫にします．

(考え方２)

π／ｎ＝Δｘとします．（区間の幅はπ）

ｘ_ｋ＝ｋπ／ｎ　→　ｆ（ｘ_ｋ）＝sinｘ_ｋ

　→　f(ｘ)＝sinｘ
ｘ_ｋ＝ｋπ／ｎ　→ａ＝ｘ_０＝０，ｂ＝ｘ_ｎ＝π

（区間の幅はπ）
limΣを∫にします．

（答案１）

＝ （答案２）

＝

(例３)　次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：ｘ_ｋ←→ｆ（ｘ_ｋ）←→ｆ（ｘ）】

(考え方１)

１／ｎでくくります．（区間の幅は１）

＝

ｘ_ｋ＝ｋ／ｎとおくと，　ｆ（ｘ_ｋ）＝（１＋ｘ_ｋ）^２

ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）^２
ａ＝ｘ_０＝０，　ｂ＝ｘ_ｎ＝１（区間の幅は１）

limΣを∫にします．

(考え方２)

１／ｎでくくります．（区間の幅は１）

＝

ｘ_ｋ＝１＋ｋ／ｎとおくと，　ｆ（ｘ_ｋ）＝ｘ_ｋ^２

ｆ（ｘ）＝ｘ^２
ａ＝ｘ_０＝１，　ｂ＝ｘ_ｎ＝２（区間の幅は１）

limΣを∫にします．

（答案１）
＝
＝ （答案２）
＝
＝