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【 グラフの平行移動 】
【 グラフの平行移動 】 ・・・(1)
 関数
y=f(x)
のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=f(x−p)+q
になる.

 y=f(x) のグラフを右に 2,上に 3 だけ平行移動すると,
y=f(x−2)+3
になる.

(解説)+ (灰色表示は舞台裏のささやき)
○  あるグラフ上の任意の点 (x , y) が満たす関係式 y=f(x) をこのグラフの方程式とする.
 グラフの移動と言っても,いきなりグラフ全体を移動すると考えると難しくなるので,古い点をそれぞれ移動させて,出来た新しい点をつないだものが新しいグラフだと考える.
○ 移動前のグラフ(旧グラフ)上の点を (X , Y) ,移動後のグラフ(新グラフ)上の点を (x , y) とおくと,旧グラフ上の点 (X , Y)y=f(x) 上にあるから,
Y=f(X) …(1)
が成り立つ.
 点 (X , Y)x 軸の正の向きに(右に)py 軸の正の向きに(上に)q だけ平行移動したものが点 (x , y) だから
x=X+p …(2)
y=Y+q …(3)
が成り立つ.
 ここまでは,常識通り,右に移動するときは x 座標がプラスされ,上に移動するときは y 座標がプラスされている.

○ 新しいグラフの方程式を求めるのだから,新座標 (x , y) が満たす関係式を求めればよい.
 そのためには,(2)(3)から旧座標 (X , Y) を(1)に代入消去すればよい.
X=x−p …(2’)
Y=y−q …(3’)
 これらを(1)に代入すると,
y−q=f(x−p) …(1’)
となってできあがり.
 通常よく使う y= の形にすれば, q を移項して
y=f(x−p)+q
になる.
 右に 2 移動するときに x+2 ではなくて,x - 2 になるのは我慢するとしても,x だけマイナスにされて y だけプラスになっているのは不公平じゃないのか?
 ⇒ y−q=f(x−p) なので,右に 2 移動するときに x - 2 になって,上に 3 移動するときに y - 3 でつじつまが合っている.

○ 公式をよく見てみると,手品でも何でもなくて

y−q=f(x−p)
のように,旧座標 (X , Y) の関係が書かれているだけであることが分かる.(透かしのように浮かび上がる)

○ 新座標から旧座標を求めるには
X=x−p …(2’)
Y=y−q …(3’)
のように引き算になるというのが,引き算が登場する原因となっている.


具体例
(1) 1次関数
 直線 y=x のグラフを x 軸の正の向きに(右に) 2 だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=x−2
(2) 2次関数
 放物線 y=3x2 のグラフを x 軸の正の向きに(右に) 2y 軸の正の向きに(上に) 4 だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=3(x−2)2+4
(3) 分数関数
 直角双曲線 y= のグラフを x 軸の正の向きに(右に) 3y 軸の正の向きに(上に) 4 だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=+4
(4) 無理関数
 y= のグラフを x 軸の正の向きに(右に) 3y 軸の正の向きに(上に) 4 だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=+4
(5) 三角関数
 y=3 sin x のグラフを x 軸の正の向きに(右に) y 軸の正の向きに(上に) 1 だけ平行移動してできるグラフの方程式は

y=3 sin(x−)+1
(6) 
 円のグラフの方程式のように,y= ··· の形に(陽に)解いた形に書けないものは,右の(2)の形でグラフの移動を考える.
 x2+y2=r2 のグラフを x 軸の正の向きに(右に) py 軸の正の向きに(上に) q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
(x−p)2+(y−q)2=r2
(余談)
  数十年前に生徒から受けた質問:「公式には f があるのに,例題には f がない. f はどこに行ったのか?」
 ⇒ f(x) というのは,関数に付けた名前で x のところに値を入れて使えるようになっている.
  • f(x)=x2 のとき,f(3)=32=9
  • f(x)=2x+3 のとき,f(1)=5
     平行移動の公式では,次のような取り扱いに慣れることが重要.
  • f(x)=2x−1 のとき,f(a)=2a−1
  • f(x)=3x2 のとき,f(a+1)=3(a+1)2
  • f(x)=4x2 のとき,f(x−1)=4(x−1)2
【 グラフの平行移動 】 ・・・(2)
f(x , y)=0
のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
f(x−p , y−q)=0
になる.



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