商，分数関数の微分

■商，分数関数の微分

■商で表される関数

の導関数は，

で定義されます。

■ここで，本来の導関数の定義：に当てはめて，この式をｆ’(x)やｇ’(x)を用いて表すためには，分子の形に工夫を要します。f(x+h)g(x)　と　f(x)g(x+h)　では２つの関数が同時に変化しているので，右のイメージ図のように，一度に変化するのが１つの関数になるように，「つなぎ」の材料を引いて足す(引いて足せば元の式に等しい)という操作をします。
■右図（緑）の経路を考えると，分子は

f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)
={ f(x+h)-f(x) } g(x)-f(x) { g(x+h)-g(x) } となり，ｈ→0の極限移行により，

商の導関数の公式

・・・　ｆ　から言えば，「負けて勝つ」

■青の経路から行けば，分子は f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x+h)+f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)
=-f(x+h){ g(x+h)-g(x) } + { f(x+h)-f(x) } g(x+h) となり，ｈ→0の極限移行により，
分子は　 -f(x)g’(x)+f’(x)g(x)

［問題］

次の関数の微分を求めなさい。（初めに関数を選び，次に導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。選択肢が少ないので，間違えば「^～♪ふ^り_だしに^もど_る♪～」）