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≪行列の積の定義≫
[行ベクトルと列ベクトルの内積]
●行と列の掛け方
内積については,左からは行ベクトル
右からは列ベクトルを掛けるものとします。
左右を逆にしたものは定義されません。)

●要素数
行ベクトルの要素の個数(列数)と
列ベクトルの要素の個数(行数)が
等しいときに,行と列の内積が定義されます。

内積が定義できるものの例
内積が定義できないものの例
[行列の積]
●[m×型][×p型]=[m×p型]
積が定義されるためには,左の列数右の行数が等しくなければなりません。
結果は,[m×p型]となります。…(*1)
●成分は,成分は,i行と列の積がi行j列成分 となります。…(*2)
(*2)の図解
(*2)の具体例
1行と1列の積が1行1列成分:(1,1)成分になります.
1行と2列の積が1行2列成分:(1,2)成分になります.
1行と3列の積が1行3列成分:(1,3)成分になります.
2行と1列の積が2行1列成分:(2,1)成分になります.
2行と2列の積が2行2列成分:(2,2)成分になります.
2行と3列の積が2行3列成分:(2,3)成分になります.
3行と1列の積が3行1列成分:(3,1)成分になります.
3行と2列の積が3行2列成分:(3,2)成分になります.
3行と3列の積が3行3列成分:(3,3)成分になります.

【ここまでの要約】
 (*2) 「行と列の積」が「行列の各要素」になる.
 (*1) できた行列の型は「しりとり」


次の行列B1〜B9のうち,2×3行列
A=
に対して,右から掛けることができるものは,B7,B8,B9(行数が3のものです。),積は各々2×1型,2×2型,2×3型になります。

 また,2×3行列

A=
に対して,左から掛けることのできるものは,B2,B5,B8(列数が2のものです。)す,積は各々1×3型,2×3型,3×3型になります。
1=,2=,3=
4=,5=,6=
7=,8=,
9=

 
[問題]

次の行列B1〜B9のうち,3×2行列
C=
に対して,右から掛けることができるものを選びなさい。(チェックを付けなさい。)
1=,2=,
3=
4=,
5=,6=

7=,8=,
9=


次の行列B1〜B9のうち,3×2行列
C=
に対して,左から掛けることができるものを選びなさい。(チェックを付けなさい。)
1=,2=,
3=
4=,
5=,6=

7=,8=,
9=


[積の計算]





[問題]
[ア]=,[イ]=

[ウ]=,[エ]=,[オ]=,[カ]=

[キ]=,[ク]=

[ケ]=,[コ]=,[サ]=



各々正しいものを選んでください.
(1)行列の積


1×2行列 2×2行列 2×1行列

になり,その (2,1) 成分は
−1 −2 −3 1 2 3
になる.
(2)行列の積


3×2行列 2×2行列 3×3行列

になり,その (1,2) 成分は
3 4 5 6 7 8
になる.
(3)行列の積


3×2行列 2×2行列 3×3行列

になり,その (2,1) 成分は
−3 −2 −1 0 1 2
になる.
(4)行列の積


1×2行列 2×2行列 2×1行列

になり,その (1,2) 成分は
−7 −6 −5 5 6 7
になる.
(5)行列の積


1×2行列 1×3行列 2×1行列

2×1行列 2×3行列

になり,その (1,2) 成分は
2 3 4 5 6 7
になる.

(参考)Excelで行列の積を確かめる方法
○1
 行ベクトルと行ベクトル,または,列ベクトルと列ベクトルの(内)積を求めるには =SUMPRODUCT() を使う
(SUM+PRUDUCT:積の和ということか)
【例1】
のとき,内積を求めるには,右図のようにA1::C3の範囲にデータを入力しておいて
=SUMPRODUCT(A1:C1,A2:C2)
とするとよい.これにより,積1×4, 2×5, 3×6の和
4+10+18=32
が求められる.
【例2】
同様にして,2つの列ベクトル の内積を求めるには,右図のようにA1::B2の範囲にデータを入力しておいて
=SUMPRODUCT(A1:A2,B1:B2)
とするとよい.これにより,積1×2, 4×5の和
2+20=22
が求められる.
 このようにExcelにおいては,=SUMPRODUCT()は「行と行」「列と列」の内積を求めるのに使う.

○2
 行ベクトルと列ベクトル,もっと一般的に行列の積を求めるには =MMULT()を使う
(Matrix+MULT:行列の積ということか)
【例3】
行ベクトルと列ベクトルの積を求めるには,右図のようにデータを入力しておいて
=MMULT(A1:C1,D1:D3)
とするとよい.これにより,積1×4, 2×5, 3×6の和
4+10+18=32
が求められる.
【例3】
2×3行列と3×2行列の積を求めるには
[2×3型]×[3×2型]の積はしりとりで[2×2型]になる
例えばF4のセルから右2×下2の範囲で結果を表したいとき
(1) はじめに,F4のセルに =MMULT(A1:C2,D1:E3) と書きこみます.
※このように書きこんでも,F2に(1,1)成分の1つの数しか得られないことに注意.他の計算でよくやるようにコピー&ペーストやドラッグをしても残りの3個のセルには値が入らない.
次のようにして,2×2型の配列にするところが重要
(2) F4からG5までの[2×2型]の範囲を反転表示しておいて,画面上にある数式ウィンドウにマウスを当てながらCtrl+Shift+Enterとします.(CtrlキーとShiftキーを押しながらEnterキーを押します)
これにより2×2行列が得られます.

 このように「横向きの並び」に対して「縦向きの並び」のものを順に対応させて,掛けてから足すときは =MMULT() を使う.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積 ABの定義について/17.3.3]
行列に関してほぼ知識なしの状態でこのページにたどり着きましたが、ちゃんと理解できました。すごく分かりやすかったです。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/17.2.8]
windows8.1、IEの環境ですが、4(2)と(3)の数字が上下消えていて読めなくなっておりました(他は問題ありませんでした。こちらの機種(NECのタブレットPC)のせいかもしれませんが、念のため報告します。
=>[作者]:連絡ありがとう.原因となる箇所は特定できるのですが,区切り文字のスペースを入れるとエラーになる場合と,区切り文字のスペースを入れないとエラーになる場合があって,やってみないと分からないという感じです.(2)はスペースあり:エラー,なし:正常,(5)はなし:エラー,あり:正常とちょうど逆にすると直りました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/17.1.12]
(5)の式を示す画像が正しく表示されておりません。修正していただけると嬉しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.このエラーが時々起こることは認識していましたが,今原因が特定できました(たぶん).直っています.