■三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式 → 携帯用は別頁 → 印刷用PDF版は別頁

■三角関数の和や積には多くの公式がありますが,「加法定理は覚える,他は作る」というのが,作者おすすめの考え方です。・・・ただし,そういう公式があるということと,およその形は記憶にとどめます。

[これだけは覚えよう] (2)(4)を作るところまでさかのぼると,だいぶ遠くなります。

=・・・(1)
=・・・(2)
sinは,さ行・・ストレート,same,そのまま♪ ++--
=・・・(3)
=・・・(4)
cosは,か行・・カーブ,気をつけよう,くせあり♪ +--+

[公式は現地調達]
 

(1)+(2)
s(+)=sc+cs
s(-)=sc-cs (+
---------
s(+)+s(-)=2sc
=・・・(5)
(1)-(2)
s(+)=sc+cs
s(-)=sc-cs (-
---------
s(+)-s(-)=2cs
=・・・(6)
(3)+(4)
c(+)=cc-ss
c(-)=cc+ss (+
---------
c(+)+c(-)=2cc
=・・・(7)
(3)-(4)
c(+)=cc-ss
c(-)=cc+ss (-
---------
c(+)-c(-)=-2ss
=・・・(8)
(一休み)


[問題1] 正しく対応させなさい。(初めに左側を,次に右側を選びなさい。正しく対応していれば消えます。)






--
[公式は現地調達2]
 
(1)+(2)
s(+)=sc+cs
s(-)=sc-cs (+
---------
s(+)+s(-)=2sc
α+β=A,α-β=B
とおくと←→

=・・(9)
(1)-(2)
s(+)=sc+cs
s(-)=sc-cs (-
---------
s(+)-s(-)=2cs
α+β=A,α-β=B
とおくと←→

=・・(10)
(3)+(4)
c(+)=cc-ss
c(-)=cc+ss (+
---------
c(+)+c(-)=2cc
α+β=A,α-β=B
とおくと←→

=・・(11)
(3)-(4)
c(+)=cc-ss
c(-)=cc+ss (-
---------
c(+)-c(-)=-2ss
α+β=A,α-β=B
とおくと←→

=・・(12)
--「加法定理」が見えますか?
[問題2] 正しく対応させなさい。(初めに左側を,次に右側を選びなさい。正しく対応していれば消えます。)






--
[公式は現地調達3]2倍角公式,半角公式,3倍角公式
(1)において
β=αとおく
<sinαの2倍角公式>
=・・(13)
(3)において
β=αとおく
<cosαの2倍角公式>
=・・(14)
= ( <・・・sin2α=1-cos2α)・・(15)
= ( <・・・cos2α=1-sin2α)・・(16)
(16)より <sinαの半角公式>
= ・・(17)
(<・・・sinα=±√・・の形で表すこともありますが,その場合はいずれかの符号を選ばなくてはなりません。)
(<・・・sin2(α/2)=(1-cosα)/2 の形で表すこともあります。)
(15)より <cosαの半角公式>
= ・・(18)
<上記(17)と同様,いろいろなまとめ方があります。すべて同じ意味です。>
(1)(13)より <sinαの3倍角公式>
=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcosαcosα+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα
=・・(19)
(3)(1)(15)より <cosαの3倍角公式>
=cos(2α+α)
=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos2α-1)cosα-2sinαcosαsinα
=(2cos2α-1)cosα-2(1-cos2α)cosα
=・・(20)
--そろそろ苦しいかも
[問題3] 正しく対応させなさい。(初めに左側を,次に右側を選びなさい。正しく対応していれば消えます。)










--
[公式は現地調達4]tanαに関するもの
(1)/(3)
=
=・・(21)
(2)/(4)
=
=・・(22)
(13)/(14) <tanαの2倍角公式>

=
=・・(23)
(17)/(18) <tanαの半角公式>

=
=・・(24)
(19)/(20) <tanαの3倍角公式>

=
=
-ここまで来たら気力あるのみ
[問題4] 正しく対応させなさい。(初めに左側を,次に右側を選びなさい。正しく対応していれば消えます。)









■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/18.9.5]
簡単だったので、もう少し難しい問題お願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.メニューを見て,その次のページに進んでください
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/18.8.17]
ひょんなことからチェビシェフの多項式のことを調べるはめになり、cos関数の加法定理ってなんだっけか、とググってたらこのサイトに出会いました。 高校生の頃にこのようなページがあれば良かったなぁ、と思いました。 まぁ、40年以上前のことなのであり得ませんが(^^; これからも分かり易い解説、宜しくお願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/18.1.30]
参考にさせていただきました 数学の問題は数をこなさないとすらすら解けるようにならないですかね?
=>[作者]:連絡ありがとう.「数をこなさないと」という部分については,そうだと思う部分と,数だけではないと思う部分があります.自分の内的ロジックとして使えるかどうかが身に着くかどうかの違いかな.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/18.1.12]
問題解きました。結びつけるだけは簡単すぎます。
=>[作者]:連絡ありがとう.公式が分かるようになるのが第1段階で,それができるようになったら,サブメニューで練習問題に進むようになっています.この手順を踏まずに,はじめから練習問題や応用問題に入ると身に着かないことが多いようです.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/17.12.11]
ひとつだけ暗記し、後は思い出して計算する、同感です。 符号の変化に注意(+→-,-→+) と解説していらっしゃいますが、たとえば sin(-a)=-sin(a), cos(-a)=cos(a) sin(a+π/2)=cos(a), cos(a+π/2)=-sin(a) が分かればsin(a+b)からcos(a+b)が出ます。 符号を暗記するより、sinとcosの位相ズレを知る方が 将来的に有望な気がします。
=>[作者]:連絡ありがとう.位相のズレで考える方が将来的に有望というのはその通りですが,この教材は高校2年生の初めの頃に習うものですので,位相で説明すると9割以上の生徒は学習を放棄ことが手に取るように予測できます.だから,この場面では言いたくても言うと混乱するのです.
位相のズレで説明すると,三角関数の微分も積分もπ/2だけ進むか遅れるかで処理でき,フーリエ級数の微分は行列の積で処理できますので,今日的なコンピュータ処理に適しています.波動方程式などの解を変数分離型のフーリエ級数で求めると,偏微分方程式を解く問題は,行列計算で機械的に処理できるはずだと夢が膨らんで・・・アー誰か止めてくれ.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/17.12.10]
最高
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/17.10.25]
よかった
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/17.6.28]
良いと思います。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式について/17.4.29]
公式一覧表的なものを作って欲しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.演習用だけでなく,調べ事や確認用として使うことがあるように思いますので,鋭意努力する予定です.→こちら
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式,3倍角公式,半角公式について/17.3.26]
すごく分かりやすくて、勉強中に使わせていただいています
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理,倍角公式について/17.3.2]
1+tanα^2=1/cosα^2 も有名ですので加えてみてはいかがでしょう
=>[作者]:連絡ありがとう.親切心で言っておられるということは分かるのですが,この頁は数学Uの加法定理や倍角公式の話題を扱っています.あなたが述べている話は数学Tの三角比の相互関係の頁で扱っています.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/17.2.19]
全然分からない
=>[作者]:具体的な手掛かりが何も書いてないので,「そーか分からないのか」としか言いようがない.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/16.12.11]
(cosα)^3*sinα
=>[作者]:連絡ありがとう.質問なら文章で書いてください.その式をどうしてほしいのですか?
 参考までに,wxMaximaで (cos(a))^3*sin(a)と書き込んで,メニューから三角関数の整理を選ぶと

と表示されるようですが・・・

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