○２次以上の三角方程式は，因数分解してsinθ=..., cosθ=...の形にしてから解くのが基本です．

◎次の30°，45°の整数倍の三角比は「必ず言えるように」覚えなければなりません．

A	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sinA	0	\( \dfrac{1}{2} \)	\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)	\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)	1	\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)	\( \dfrac{1}{2} \)	0

A	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
cosA	1	\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)	\( \dfrac{1}{2} \)	0	\( -\dfrac{1}{2} \)	\( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)	\( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)	−1

A	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
tanA	0	\( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)	1	\( \sqrt{3} \)	なし	\( -\sqrt{3} \)	−1	\( -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \)	0

◎これらの角度の三角比は「結果を覚えているから」答えられるのです．

【例１】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( \sin ^2 \theta+\sin \theta -2=0 \)

以下の問題では，各自で計算用紙を使って計算してから，下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．（暗算では無理でしょう）

【問題１】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
2sin2θ+sinθ−1=0

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

　因数分解して(2sinθ−1)(sinθ+1)=0と変形します．
　これより\( \sin \theta = \dfrac{1}{2},\hspace{10px}-1 \)
\( \sin \theta = \dfrac{1}{2} \)よりθ=30°,150°…（答）
　　他方のsinθ=−1からは解は出てこない

【問題２】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
sin2θ=1

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

sin2θ=1すなわちsinθ=±1と変形します
(sinθ−1)(sinθ+1)=0よりsinθ=±1としてもよい．
(1) sinθ=1よりθ=90°…（答）
(2) 他方のsinθ=−1からは0°≦θ≦180°の範囲の解はない

【問題３】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( \sqrt{3}\tan ^2 \theta-4\tan \theta+\sqrt{3}=0 \)

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,60° θ=30°,150° θ=60°,120°

根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う（今さらビビッてどうなるのか！＃）
\( \sqrt{3}\tan ^2 \theta-4\tan \theta+\sqrt{3}=0 \)
\( \rightarrow (\sqrt{3} \tan \theta -1)(\tan \theta -\sqrt{3})=0 \)と変形します．
これより\( \tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\hspace{10px}\sqrt{3} \)
\( \tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \)よりθ=30°…（答）
\( \tan \theta =\sqrt{3} \)よりθ=60°…（答）

○ sin2θとcosθが混ざった式では，sin2θ=1−cos2θとして，cosθにそろえます．

sin2θ+cosθ=1
という問題の場合
(1−cos2θ)+cosθ=1
とすればcosθだけの式になります．
\( \sin ^2 \theta \pm \sqrt{1-\sin ^2 \theta}=1 \)
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

○cos2θとsinθが混ざった式では，cos2θ=1−sin2θとして，sinθにそろえます．

sinθ+cos2θ=1
という問題の場合
sinθ+(1−sin2θ)=1
とすればsinθだけの式になります．
\( \pm \sqrt{1-\cos ^2 \theta}+ \cos^2 \theta=1 \)
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

【要点】
sinθとcosθが混ざった式では，１次の方に勝たせる．（２次の方を変形する）

【例２】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
sin2θ+cosθ=1

【問題４】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
2cos2θ+3sinθ=3

θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°
θ=30°,90°,150° θ=45°,90°,135°

cos2θをsinθにそろえます．
2(1−sin2θ)+3sinθ=3
より
2sin2θ−3sinθ+1=0
(2sinθ−1)(sinθ−1)=0
\( \sin \theta=\dfrac{1}{2},\hspace{10px}1 \)
\( \sin \theta=\dfrac{1}{2} \)よりθ=30°,150°
sinθ=1よりθ=90°
以上からθ=30°,90°,150°…（答）

【問題５】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
4sin2θ+8cosθ−7=0

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

sin2θをcosθにそろえます．
4(1−cos2θ)+8cosθ−7=0
より
4cos2θ−8cosθ+3=0
(2cosθ−1)(2cosθ−3)=0
\( \cos \theta=\dfrac{1}{2},\hspace{10px}\dfrac{3}{2} \)
(1)　\( \cos \theta=\dfrac{1}{2} \)よりθ=60°

(2)　他方の\( \cos \theta=\dfrac{3}{2} \)を満たす解はない
以上により，θ=60°…（答）

【問題６】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( 2\cos ^2 \theta+3\sqrt{3}\sin \theta -5=0 \)

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

cos2θをsinθにそろえます．
\( 2(1-\sin^2\theta)+3\sqrt{3}\sin \theta-5=0 \)
\( 2\sin^2 \theta-3\sqrt{3}\sin \theta+3=0 \)
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う
\( (2\sin \theta -\sqrt{3})(\sin\theta -\sqrt{3})=0 \)
これより\( \sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\hspace{10px}\sqrt{3} \)
\( \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)よりθ=60°,120°…（答）
他方の\( \sin \theta =\sqrt{3} \)を満たす解はない

【問題７】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( \sqrt{2}\sin ^2 \theta+3\cos \theta -2\sqrt{2}=0 \)

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

sin2θをcosθにそろえます．
\( \sqrt{2}(1-\cos^2 \theta)+3\cos \theta-2\sqrt{2}=0 \)
\( \sqrt{2}\cos^2 \theta-3\cos \theta +\sqrt{2}=0 \)
根号があっても，平気で(〜♪) たすき掛け因数分解を行う
\( (\sqrt{2}\cos \theta -1)(\cos \theta -\sqrt{2})=0 \)
これより
\( \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\hspace{10px}\sqrt{2} \)
\( \cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)よりθ=45°…（答）
他方の\( \cos\theta=\sqrt{2} \)を満たす解はない

【問題８】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( \sin ^2 \theta =\cos^2 \theta \)

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

この問題ではsinθをcosθで表してもよいし，その逆でもどちらでもできます．
1−cos2θ=cos2θ
2cos2θ=1
\( \cos^2 \theta =\dfrac{1}{2} \)
\( \cos \theta =\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
(1)　\( \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)からθ=45°
(2)　\( \cos \theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)からθ=135°
以上より，θ=45°, 135°
（別解1）
sin2θ=1−sin2θ
2sin2θ=1
\( \sin^2 \theta =\dfrac{1}{2} \)
\( \sin \theta =\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
(1)　\( \sin \theta =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)からθ=45°,135°
(2)　0°≦θ≦180°には\( \sin \theta =-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)を満たす角はない
以上より，θ=45°,135°
（別解2）
cosθ=0のときはθ=90°⇒ sinθ=1となって，解とはならない．そこで両辺をcos2θ (≠0)で割る．
tan2θ=1
tanθ=±1
(1)　tanθ=1よりθ=45°
(2)　tanθ=−1よりθ=135°

【例３】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
2sinθcosθ+2sinθ−cosθ−1=0

【問題９】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( \sqrt{2}\sin \theta \cos \theta -\sin \theta+2\cos \theta -\sqrt{2}=0 \)

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

※この問題では，sinθもcosθも１次式になっており，どちらかを他方で表すのは無理です．
このまま因数分解します．
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う．はじめにcosθについて整理する．
\( \cos \theta(\sqrt{2}\sin \theta+2) -\sin \theta -\sqrt{2}=0 \)
\( \sqrt{2}\cos \theta(\sin \theta + \sqrt{2}) -(\sin \theta + \sqrt{2})=0 \)
\( (\sqrt{2}\cos \theta-1)(\sin \theta +\sqrt{2})=0 \)
\( \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\hspace{10px}\sin \theta =-\sqrt{2} \)
(1)　\( \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)よりθ=45°
(2)　\( \sin \theta=-\sqrt{2} \)を満たす角はない
以上より，θ=45°…（答）

【問題10】…（むずかしい）
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
\( 2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\tan \theta -3=0 \)

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,150°

※この問題では，３種類の三角比が登場しているので，せめて２種類まで減らすことを考えます．
\( \tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \)だから，tanθ×cosθ=sinθ
\( 2\tan \theta \cos \theta -2\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\tan \theta -3=0 \)
tanθについて整理すると
\( \tan \theta(2\cos \theta + \sqrt{3}) -(2\sqrt{3}\cos \theta + 3)=0 \)
\( \tan \theta(2\cos \theta + \sqrt{3}) -\sqrt{3}(2\cos \theta + \sqrt{3})=0 \)
\( (\tan \theta-\sqrt{3})(2\cos \theta +\sqrt{3})=0 \)
\( \tan \theta=\sqrt{3}, \hspace{10px}\cos \theta =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
(1)　\( \tan \theta=\sqrt{3}\)よりθ=60°
(2)　\( \cos \theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)よりθ=150°
以上より，θ=60°,150°…（答）
（別解）
\( 2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\times\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} -3=0\)
\( 2\sin \theta \cos \theta -2\sqrt{3}\cos^2 \theta +\sqrt{3}\sin \theta -3\cos \theta=0 \)
sinθについて整理すると
\( \sin \theta(2 \cos \theta + \sqrt{3}) -(2\sqrt{3}\cos^2 \theta +3\cos \theta)=0 \)
\( \sin \theta(2 \cos \theta +\sqrt{3}) -\sqrt{3}\cos \theta(2\cos \theta + \sqrt{3})=0 \)
\( (\sin \theta-\sqrt{3}\cos \theta)(2 \cos \theta +\sqrt{3})=0 \)
\( \sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta,\hspace{10px}\cos \theta =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
(1)　\( \sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta \)より\( \tan\theta =\sqrt{3}\rightarrow \theta=60^{\circ} \)

(2)　\( \cos \theta =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)よりθ=150°
以上より，θ=60°,150°…（答）

例題3は誤答ですか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違いですので訂正しました．