三角方程式

== 三角方程式 ==（２次式）

○２次以上の三角方程式は，因数分解してsinθ=..., cosθ=...の形にしてから解くのが基本です．

◎次の30°，45°の整数倍の三角比は「必ず言えるように」覚えなければなりません．

$A$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\sin A$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$

$A$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\cos A$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

$A$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\tan A$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	なし	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

◎これらの角度の三角比は「結果を覚えているから」答えられるのです．

【例１】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sin ^2 \theta + \sin \theta -2=0$

（解答）
因数分解すると
$(\sin \theta + 2)(\sin \theta -1)=0$
$\sin \theta =-2,\hspace{10}1$
0°≦θ≦180°のとき，0≦sinθ≦1だから
(1)　 $\sin \theta =-2$ となるθは存在しない
(2)　 $\sin \theta =1$ より $\theta =90^{\circ}$ …（答）

以下の問題では，各自で計算用紙を使って計算してから，下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．（暗算では無理でしょう）

【問題１】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2\sin ^2 \theta + \sin \theta -1=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

　因数分解して $(2\sin \theta -1)(\sin \theta + 1)=0$ と変形します．すなわち $(2\sin \theta-1)(\sin \theta + 1)=0$
　これより $\sin \theta = \frac{1}{2},\hspace{10}-1$
$\sin \theta = \frac{1}{2}$ よりθ=30°,150°…（答）
　　他方の $\sin \theta = -1$ からは解は出てこない

【問題２】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sin ^2 \theta =1$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

$\sin^2 \theta=1$ すなわち $\sin \theta=\pm 1$ と変形します
$(\sin \theta -1)(\sin \theta + 1)=0$ より $\sin \theta=\pm 1$ としてもよい．
(1) $\sin \theta = 1$ よりθ=90°…（答）
(2) 他方の $\sin \theta = -1$ からは0°≦θ≦180°の範囲の解はない

【問題３】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sqrt{3}\tan ^2 \theta-4\tan \theta + \sqrt{3}=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},60^{\circ}$ $\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う（今さらビビッてどうなるのか！＃）
$\sqrt{3}\tan^2 \theta-4\tan \theta + \sqrt{3}=0$ $\rightarrow (\sqrt{3} \tan \theta -1)(\tan \theta -\sqrt{3})=0$ と変形します．
これより $\tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}},\hspace{10px}\sqrt{3}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ よりθ=30°…（答）
$\tan \theta =\sqrt{3}$ よりθ=60°…（答）

○sinθとcosθが混ざった式になっている場合は，一方にそろえると因数分解しやすくなります．
　文字が２種類ある因数分解よりも，文字が１種類だけある因数分解の方が解きやすいということです．

○sin2θとcosθが混ざった式では，sin2θ=1−cos2θとして，cosθにそろえます．

$\sin ^2 \theta + \cos \theta =1$
という問題の場合
$(1-\cos ^2 \theta) + \cos \theta =1$
とすれば $\cos \theta$ だけの式になります．
$\sin ^2 \theta \pm \sqrt{1-\sin ^2 \theta}=1$
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

○cos2θとsinθが混ざった式では，cos2θ=1−sin2θとして，sinθにそろえます．

$\sin \theta + \cos^2 \theta =1$
という問題の場合
$\sin \theta + (1-\sin^2 \theta)=1$
とすれば $\sin \theta$ だけの式になります．
$\pm \sqrt{1-\cos ^2 \theta}+ \cos^2 \theta=1$
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

【要点】
sinθとcosθが混ざった式では，１次の方に勝たせる．（２次の方を変形する）

【例２】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sin ^2 \theta + \cos \theta =1$

（解答）
$(1-\cos ^2 \theta) + \cos \theta =1$ $\cos^2 \theta - \cos \theta=0$
$\cos \theta(\cos \theta -1)=0$
$\cos \theta=0, \hspace{10}1$
(1)　 $\cos \theta =0$ より $\theta =90^{\circ}$
(2)　 $\cos \theta =1$ より $\theta =0^{\circ}$
(1)(2)より $\theta =0^{\circ},\hspace{10}90^{\circ}$ …（答）

【問題４】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2\cos ^2 \theta + 3\sin \theta =3$

$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},90^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},90^{\circ},135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos^2 \theta$ を $\sin \theta$ にそろえます．
$2(1-\sin^2 \theta)+ 3\sin \theta=3$
より
$2\sin^2 \theta-3\sin \theta + 1=0$
$(2\sin \theta -1)(sin \theta -1)=0$
$\sin \theta=\frac{1}{2},\hspace{10}1$
$\sin \theta = \frac{1}{2}$ よりθ=30°,150°
$\sin \theta =1$ よりθ=90°
以上からθ=30°,90°,150°…（答）

【問題５】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$4\sin ^2 \theta + 8\cos \theta -7=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

$\sin^2 \theta$ を $\cos \theta$ にそろえます．
$4(1-\cos^2 \theta)+ 8\cos \theta -7=0$
より
$4\cos^2 \theta -8\cos \theta + 3=0$
$(2\cos \theta -1)(2\cos \theta -3)=0$
$\cos \theta=\frac{1}{2},\hspace{10}\frac{3}{2}$

(1)　 $\cos \theta = \frac{1}{2}$ よりθ=60°

(2)　他方の $\cos \theta = \frac{3}{2}$ を満たす解はない
以上により，θ=60°…（答）

【問題６】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2\cos ^2 \theta + 3\sqrt{3}\sin \theta -5=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

$\cos^2 \theta$ を $\sin \theta$ にそろえます．
$2(1-\sin^2\theta)+ 3\sqrt{3}\sin \theta-5=0$
$2\sin^2 \theta-3\sqrt{3}\sin \theta + 3=0$
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う
$(2\sin \theta -\sqrt{3})(\sin\theta -\sqrt{3})=0$
これより $\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\hspace{10}\sqrt{3}$
$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ よりθ=60°,120°…（答）
他方の $\sin \theta =\sqrt{3}$ を満たす解はない

【問題７】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sqrt{2}\sin ^2 \theta + 3\cos \theta -2\sqrt{2}=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

$\sin^2 \theta$ を $\cos \theta$ にそろえます．
$\sqrt{2}(1-\cos^2 \theta)+ 3\cos \theta-2\sqrt{2}=0$
$\sqrt{2}\cos^2 \theta-3\cos \theta + \sqrt{2}=0$
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う
$(\sqrt{2}\cos \theta -1)(cos \theta -\sqrt{2})=0$
これより
$\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{10}\sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ よりθ=45°…（答）
他方の $\cos \theta =\sqrt{2}$ を満たす解はない

【問題８】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sin ^2 \theta =\cos^2 \theta$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

この問題では $\sin\theta$ を $\cos\theta$ で表してもよいし，その逆でもどちらでもできます．
$1-\cos^2 \theta =\cos^2 \theta$
$2\cos^2 \theta =1$
$\cos^2 \theta =\frac{1}{2}$
$\cos \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
(1)　 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $\theta =45^{\circ}$
(2)　 $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $\theta =135^{\circ}$
以上より， $\theta =45^{\circ},\hspace{10}135^{\circ}$

$\sin^2 \theta =1-\sin^2 \theta$
$2\sin^2 \theta =1$
$\sin^2 \theta =\frac{1}{2}$
$\sin \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
(1)　 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $\theta =45^{\circ},\hspace{10}135^{\circ}$
(2)　0°≦θ≦180°には $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす角はない
以上より， $\theta =45^{\circ},\hspace{10}135^{\circ}$

（別解）
$\cos \theta=0$ のときは $\theta=90^{\circ}\rightarrow \sin \theta=1$ となって，解とはならない．そこで両辺を $\cos^2 \theta\ne 0$ で割る．
$\tan ^2 \theta=1$
$\tan \theta= \pm 1$
(1)　 $\tan \theta = 1$ よりθ=45°
(2)　 $\tan \theta =-1$ よりθ=135°

【例３】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2\sin \theta \cos \theta + 2\sin \theta -\cos \theta -1=0$

※この問題では， $\sin\theta$ も $\cos\theta$ も１次式になっており，どちらかを他方で表すのは無理です．
このまま因数分解します．
（解答）
$2\sin \theta(\cos \theta+ 1) -(\cos \theta+ 1)=0$
$(2\sin \theta-1)(\cos \theta+ 1)=0$
$\sin \theta=\frac{1}{2},\hspace{10}\cos \theta=-1$
(1)　 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ より $\theta =30^{\circ},\hspace{10}150^{\circ}$
(2)　 $\cos \theta =-1$ より $\theta =180^{\circ}$
(1)(2)より $\theta =30^{\circ},\hspace{10}150^{\circ},\hspace{10}180^{\circ}$ …（答）

【問題９】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta -\sin \theta + 2\cos \theta -\sqrt{2}=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},120^{\circ}$

解説やり直す

※この問題では， $\sin\theta$ も $\cos\theta$ も１次式になっており，どちらかを他方で表すのは無理です．
このまま因数分解します．
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う．はじめに $\cos\theta$ について整理する．
$\cos \theta(\sqrt{2}\sin \theta + 2) -\sin \theta -\sqrt{2}=0$
$\sqrt{2}\cos \theta(\sin \theta + \sqrt{2}) -(\sin \theta + \sqrt{2})=0$
$(\sqrt{2}\cos \theta-1)(\sin \theta + \sqrt{2})=0$
$\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{10}\sin \theta =-\sqrt{2}$
(1)　 $\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta=45^{\circ}$
(2)　 $\sin \theta=-\sqrt{2}$ を満たす角はない
以上より， $\theta=45^{\circ}$ …（答）

【問題10】…（むずかしい）
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta + \sqrt{3}\tan \theta -3=0$

$\theta =30^{\circ}$ $\theta =45^{\circ}$ $\theta =60^{\circ}$ $\theta =90^{\circ}$
$\theta =30^{\circ},150^{\circ}$ $\theta =45^{\circ},135^{\circ}$ $\theta =60^{\circ},150^{\circ}$

解説やり直す

※この問題では，３種類の三角比が登場しているので，せめて２種類まで減らすことを考えます．
$2\tan \theta \cos \theta -2\sqrt{3}\cos \theta + \sqrt{3}\tan \theta -3=0$
$\tan\theta$ について整理すると
$\tan \theta(2\cos \theta + \sqrt{3}) -(2\sqrt{3}\cos \theta + 3)=0$
$\tan \theta(2\cos \theta + \sqrt{3}) -\sqrt{3}(2\cos \theta + \sqrt{3})=0$
$(\tan \theta-\sqrt{3})(2\cos \theta + \sqrt{3})=0$
$\tan \theta=\sqrt{3}, \hspace{10}\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(1)　 $\tan \theta=\sqrt{3}$ より $\theta=60^{\circ}$
(2)　 $\cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta=150^{\circ}$
以上より， $\theta=60^{\circ},\hspace{10}150^{\circ}$ …（答）

（別解）
$2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta + \sqrt{3}\frac{\sin \theta}{\cos \theta} -3=0$
$2\sin \theta \cos \theta -2\sqrt{3}\cos^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta -3\cos \theta=0$
$\sin\theta$ について整理すると
$\sin \theta(2 \cos \theta + \sqrt{3}) -(2\sqrt{3}\cos^2 \theta + 3\cos \theta)=0$
$\sin \theta(2 \cos \theta + \sqrt{3}) -\sqrt{3}\cos \theta(2\cos \theta + \sqrt{3})=0$
$(\sin \theta-\sqrt{3}\cos \theta)(2 \cos \theta + \sqrt{3})=0$
$\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta,\hspace{10}\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(1)　 $\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta$ より $\tan\theta =\sqrt{3}\rightarrow \theta=60^{\circ}$

(2)　 $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =150^{\circ}$
以上より， $\theta=60^{\circ},\hspace{10}150^{\circ}$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角方程式について／16.11.7］

例題3は誤答ですか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違いですので訂正しました．