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== 三角方程式 ==(2次式)

○2次以上の三角方程式は,因数分解してsinθ=..., cosθ=...の形にしてから解くのが基本です.

◎次の30°,45°の整数倍の三角比は「必ず言えるように」覚えなければなりません.
A30°45°60°90°120°135°150°180°
sinA010
A30°45°60°90°120°135°150°180°
cosA10−1
A30°45°60°90°120°135°150°180°
tanA01なし−10

◎これらの角度の三角比は「結果を覚えているから」答えられるのです.
【例1】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
(解答)
因数分解すると


0°≦θ≦180°のとき,0≦sinθ≦1だから
(1) sinθ=−2となるθは存在しない
(2) sinθ=1よりθ=90°…(答)


右上に続く↑
以下の問題では,各自で計算用紙を使って計算してから,下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください.(暗算では無理でしょう)
【問題1】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
2sin2θ+sinθ−1=0
【問題2】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
sin2θ=1
【問題3】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.

sinθcosθが混ざった式になっている場合は,一方にそろえると因数分解しやすくなります.
 文字が2種類ある因数分解よりも,文字が1種類だけある因数分解の方が解きやすいということです.
sin2θcosθが混ざった式では,sin2θ=1−cos2θとして,cosθにそろえます.
sin2θ+cosθ=1
という問題の場合
(1−cos2θ)+cosθ=1
とすればcosθだけの式になります.

などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります.
cos2θsinθが混ざった式では,cos2θ=1−sin2θとして,sinθにそろえます.
sinθ+cos2θ=1
という問題の場合
sinθ+(1−sin2θ)=1
とすればsinθだけの式になります.

などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります.
【要点】
sinθcosθが混ざった式では,1次の方に勝たせる.(2次の方を変形する)
【例2】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
sin2θ+cosθ=1
(解答)
(1−cos2θ)+cosθ=1
cos2θ−cosθ=0
cosθ(cosθ−1)=0
cosθ=0, 1
(1) cosθ=0よりθ=90°
(2) cosθ=1よりθ=0°
(1)(2)よりθ=0°, 90°…(答)
【問題4】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
2cos2θ+3sinθ=3
【問題5】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
4sin2θ+8cosθ−7=0
右上に続く↑
【問題6】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
【問題7】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
【問題8】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.

【例3】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
2sinθcosθ+2sinθ−cosθ−1=0
※この問題では,sinθcosθも1次式になっており,どちらかを他方で表すのは無理です.
このまま因数分解します.
(解答)
2sinθ(cosθ+1)−(cosθ+1)=0
(2sinθ−1)(cosθ+1)=0

(1) よりθ=30°,150°
(2) cosθ=−1よりθ=180°
(1)(2)よりθ=30°,150°,180°…(答)
【問題9】
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.
右上に続く↑
【問題10】…(むずかしい)
0°≦θ≦180°のとき,次の方程式を解きなさい.

■[個別の頁からの質問に対する回答][三角方程式について/16.11.7]
例題3は誤答ですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.間違いですので訂正しました.