■　分数関数
問題１
　次の分数関数のグラフを右図から選べ．
　（初めに関数を選び続いてグラフを選べ．グラフ側にはジョーカーが含まれている．）

問題２
　次のグラフについて漸近線の方程式を求めよ． __________１． 　y=+5

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________２． 　y=−3

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________３． 　y=

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________４． 　xy+2x−3y+4=0

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________５． 　(2x+1)(3y−2)=5

____________________漸近線の方程式は x=− , y=

問題３　　次の空欄を埋めよ．
(1)　y= のグラフは， y= のグラフを

x 軸の正の向きに ， y 軸の正の向きに だけ平行移動したものである．



(2)　y= のグラフは， y= のグラフを

x 軸の正の向きに ， y 軸の正の向きに だけ平行移動したものである．




(3)　漸近線の方程式が x=2 , y=3 で原点を通る双曲線の方程式は，

y=+

(4)　漸近線の方程式が x=−1 , y=−2 で点 (1 , 1) を通る双曲線の方程式は，
y=−
問題４　　次の空欄を埋めよ．
(1)　関数 y=|| の最小値を求めよ．

x= のとき，最小値 をとる．


(2)　関数 y= の最小値を求めよ．

x= のとき，最小値 をとる．
■解説
○　中学校で習う反比例の関数
y=

は右図１のような直角双曲線である．（直角双曲線の「直角」とは，漸近線が直角に交わるということで，直角でない双曲線は数学Ｃで学ぶ．）
【　グラフの平行移動　】　･･･(1)
　一般に，関数
y=f(x)
のグラフを x 軸の正の向きに p， y 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=f(x−p)+q
になる．
【　直角双曲線の平行移動　】　･･･(2)
　関数
y=
のグラフを x 軸の正の向きに p， y 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=+q
になる．
図１


(1)の詳しい解説→

(2)の例：

y=+4 のグラフは，y= のグラフを x 軸の正の向きに 2， y 軸の正の向きに 4 だけ平行移動したものだから，次のようなグラフになる．
【　漸近線の方程式　】　･･･(3)
　y=+q の漸近線の方程式は，x=p 及び y=q

※　グラフが限りなく近づく線（直線）を漸近線という．この場合，グラフは漸近線に限りなく近づくが，漸近線と交わったり接したりすることはない．
　例えば，y=q が漸近線であるとき，x のどのような値に対しても y=q となるることはない．
　また，x=p が漸近線であるとき， x=p の値に対応する点はない．
※　したがって，y=+q のグラフでは，x≠p 及び y≠q となる．
定義域は x<p , p<x
値域は y<q , q<y
【　xy=a の形での表示　】　･･･(4)
　関数
y=


は，分母を払えば xy=a と同じである．この形で書かれることもある，そのとき，平行移動や漸近線の公式は次の通り．
　xy=a のグラフを x 軸の正の向きに p， y 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
(x−p)(y−q)=a
　また，(x−p)(y−q)=a の漸近線の方程式は
x=p , y=q
 例
2xy−4x+3y−2=0 は
　(2x+3)(y−2)+6−2=0 と変形すると
　(2x+3)(y−2)=−4
　すなわち，(x+)(y−2)=−−2 となるから
xy=−2 のグラフを
　x 軸の正の向きに −， y 軸の正の向きに 2 だけ平行移動グラフで，
　漸近線の方程式は x=− , y=2 となる．
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