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== 分数関数 ==
■解説
○ 中学校で習う反比例の関数
y=

は図1のような直角双曲線である.(直角双曲線の「直角」とは,漸近線が直角に交わるということで,直角でない双曲線は数学Cで学ぶ.)
図1
【 グラフの平行移動 】 ・・・(1)
 一般に,関数
y=f(x)
のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=f(x−p)+q
になる.
【 直角双曲線の平行移動 】 ・・・(2)
 関数
.y=

のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
.y=+q

になる.
(2)の例:

y=+4 のグラフは,y= のグラフを x軸の正の向きに2y 軸の正の向きに 4 だけ平行移動したものだから,次のようなグラフになる.
【 漸近線の方程式 】 ・・・(3)
 y=+q の漸近線の方程式は,x=p 及び y=q

※ グラフが限りなく近づく線(直線)を漸近線という.この場合,グラフは漸近線に限りなく近づくが,漸近線と交わったり接したりすることはない.
 例えば,y=q が漸近線であるとき,x のどのような値に対しても y=q となるることはない.
 また,x=p が漸近線であるとき, x=p の値に対応する点はない.
※ したがって,y=+q のグラフでは,xp 及び yq となる.
定義域は x<p , p<x
値域は y<q , q<y
【 xy=a の形での表示 】 ・・・(4)
 関数
y=

は,分母を払えば xy=a と同じである.この形で書かれることもある,そのとき,平行移動や漸近線の公式は次の通り.
 xy=a のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
(x−p)(y−q)=a
 また,(x−p)(y−q)=a の漸近線の方程式は
x=p , y=q

2xy−4x+3y−2=0
 (2x+3)(y−2)+6−2=0 と変形すると
 (2x+3)(y−2)=−4
 すなわち,(x+)(y−2)=−−2 となるから
xy=−2 のグラフを
 x 軸の正の向きに y 軸の正の向きに 2 だけ平行移動グラフで,
 漸近線の方程式は x=− , y=2 となる.


問題1
 次の分数関数のグラフを下の図から選べ.
 (初めに関数を選び続いてグラフを選べ.グラフ側にはジョーカーが含まれている.)













問題2
 次のグラフについて漸近線の方程式を求めよ.
__________1.  y=+5採点するやり直すHELP

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________2.  y=−3採点するやり直すHELP

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________3.  y=採点するやり直すHELP

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________4.  xy+2x−3y+4=0採点するやり直すHELP

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________5.  (2x+1)(3y−2)=5採点するやり直すHELP

____________________漸近線の方程式は x=− , y=


問題3  次の空欄を埋めよ.
採点するやり直すHELP

(1) y= のグラフは, y= のグラフを

x 軸の正の向きに y 軸の正の向きに だけ平行移動したものである.

採点するやり直すHELP

(2) y= のグラフは, y= のグラフを

x 軸の正の向きに y 軸の正の向きに だけ平行移動したものである.

採点するやり直すHELP

(3) 漸近線の方程式が x=2 , y=3 で原点を通る双曲線の方程式は,

y=+

採点するやり直すHELP
(4) 漸近線の方程式が x=−1 , y=−2 で点 (1 , 1) を通る双曲線の方程式は,
y=

問題4  次の空欄を埋めよ.
採点するやり直すHELP

(1) 関数 y=|| の最小値を求めよ.

x= のとき,最小値 をとる.


採点するやり直すHELP

(2) 関数 y= の最小値を求めよ.

x= のとき,最小値 をとる.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][分数関数について/17.5.30]
分数関数の問題4は絶対値があって、どう場合分けしたらhelp通りのグラフになるか分かりません。宜しくお願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.問題4の(2)は場合分けした答案がついているので,(1)の話として答えます.
のグラフはそこに書いてあるグラフになるので,そのうちの負の部分の符号を変えるということです.(実際には,のとき負になるから符号が変わります.)
※xの値に応じて(木を見て)場合分けしようと考えているのは理解できますが,(森)を一目見れば直ちに分かります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][分数関数について/17.2.26]
(x-5)/(x-2)=3x+k というkが定数の式があり、この式の実数解の個数を求めるにはどうすればよいでしょうか? 分数関数と3x+kが一点で交わるようにするkを求める方法がわからず、解けません。 よろしくお願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.x−5=(x−2)(3x+k), (x≠2)として2次方程式の判別式で判断するとよいでしょう.
3x2+(k−7)x+(5−2k)=0
D=(k−7)2−12(5−2k)
=……
=(k+11)(k−1)
ア) k<−11, k>1 → ... イ)k=−11, 1 → ... ウ)−11<k<1 → ...
x=2となることはない