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■回転と拡大
【単位円上の複素数の積→偏角は和になる】
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cos(α+β)+i sin(α+β)
…(1)
(解説)
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cosα.cosβ+i.cosα.sinβ+i.sinα.cosβ+i2.sinα.sinβ

=(cosα.cosβ−sinα.sinβ)+i(cosα.sinβ+sinα.cosβ)
ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α+β)+i sin(α+β)
になる.

【単位円上の複素数の商→偏角は差になる】
=cos(α−β)+i sin(α−β)…(2)
(解説)
の分母と分子に分母の共役複素数cosβ−i sinβを掛けて,分母を実数に変える.
=
=
分母はcos2β+sin2β=1になるから
=cosα.cosβ+sinα.sinβ+i(sinα.cosβ−cosα.sinβ) ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α−β)+i.sin(α−β)
になる.


【問題1】
 次の複素数を求めてください.
(1)(cos+i sin )(cos+i sin )
1 −1 i −i
(3)(cos+i sin )2
1 −1 i −i
(4)
+i i +i i



■複素数の極形式
複素数の2通りの表し方
(1) (実部)+i(虚部) の形
(2) 絶対値×(cosθ+i sinθ の形(←これが極形式)
図4
○右図4のように,半径rの円を描くと
sinθ=
cosθ=
だから
x=r.cosθ
y=r.sinθ
になります.
したがって,
x+yi=r.cosθ+ir.sinθ=r(cosθ+i.sinθ)
という形で書くことができます.

x+yir(cosθ+i.sinθ)に直すときは,
r=
によって,絶対値rを求めることができます.

○複素数の絶対値(大きさ)は,その複素数の原点からの距離を表しています.
【例】
右図の赤で示した点が表す複素数は
5(cos+i sin)
=5(+i)
=+i


■複素数の積商の図形的な意味
【複素数の掛け算は回転・拡大】
複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)z2=r2(cosθ2+sinθ2)を掛けると
z1z2=r1r2(cos12)+sin12))
となるので,これらの積は元の複素数z1の大きさr1r2倍し,偏角θ1θ2を加えたものになります.
このように,偏角θ2,大きさr2の複素数を掛けると,これらで表される角度と大きさだけ「回転と拡大」を行うことになります.

【例1】
2(cos+i sin)
は,絶対値が2で偏角がの複素数(青丸)

これに
(cos+i sin)
を掛けると,

回転して,
倍したものになる(赤丸)
2(cos+i sin(cos+i sin)
=2(cos+i sin)=2i
【例2】
3=3(cos0+i sin0)は,絶対値が3で偏角が0の複素数(青丸)

これに
i=cos+i sinを掛けると,

回転したものになる(赤丸:3i

さらに,iを掛けると,回転したものになる(緑丸:−3

さらに,iを掛けると,回転したものになる(茶丸:−3i

さらに,iを掛けると,回転したものになる(青丸:3


【複素数の割り算は逆回転・縮小】
複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)z2=r2(cosθ2+sinθ2)で割ると
==(cos(α−β)+i.sin(α−β)) ←(4)
となるので,この商は元の複素数z1の大きさr1r2で割り,偏角θ1からθ2を引いたものになります.
このように,偏角θ2,大きさr2の複素数で割ると,これらで表される角度と大きさだけ「逆回転と縮小」を行うことになります.

【例1】
8(cos+i sin)=4+4iは,
絶対値が8で偏角がの複素数(青丸)

これを
2(cos+i sin)=2iで割ると,
時計回りに回転して,絶対値を半分にしたものになる.
(赤丸:
==
==−2i+2=2−2i
さらに,2iで割ると,時計回りに回転して,絶対値を半分にしたものになる.
(緑丸:i

【問題2】
(1)次の図において,青で示した点は複素数
z1=2(cos+i sin )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=(cos+i sin )
とするとき,これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください.


(2)次の図において,青で示した点は複素数
z1=2(cos+i sin )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=cos−i sin
とするとき,これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください.

(3)次の図において,赤で示した点は複素数
z1=3(cos+i sin )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=3(cos+i sin )
とするとき,これらの商を次の複素数平面上で示してください.

(4)次の図において,赤で示した点は複素数
z1=3(cos+i sin )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=(cos−i sin )
とするとき,これらの商を次の複素数平面上で示してください.



【問題3】 〜クロスワード・パズル風〜軽く明るく!

○はじめに空欄を1つクリックし,続いてその空欄に入る複素数を下の選択肢から選んで1つクリックしてください.
○正しければ代入されます.
○間違っていれば解説を読むことができます.

レベル1






[選択肢]



レベル2






[選択肢]



レベル3






[選択肢]



レベル4






[選択肢]



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■[個別の頁からの質問に対する回答][回転と拡大について/17.1.5]
問題2-3は1-iではないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.画面上のHelpを見てください.