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== 内接円の半径 ==

《解説》
■三角形の内接円の半径の大きさは,面積と関係付けることができます.
 三角形の内接円の半径をrとおく.
 三角形を右図のように3つに分けると,
と表せることが分かります.

 さらに,

とおくと



となります.


■三角形の面積は,いろんな求め方があります.そこで,ヘロンの公式などを用いて三角形の面積を求めておくと,内接円の半径が求まります.

【ヘロンの公式】
三辺の長さがa , b , cである三角形の面積Sを求めるには
まず、s= を求めておき
次に、S= …(1)
とします。
(1)はS= …(2)
と書くこともできますが、教科書では通常(1)の形で書かれています。

 右図のように三角形の面積は,何通りも表し方があります.
 そこで,
ヘロンの公式で求めた面積
が,
内接円の半径で表した面積
と等しいはずだということを使うと内接円の半径が求まります.
【例】
 三角形の3辺の長さが,それぞれ13,14,15のとき,この三角形の内接円の半径を求めなさい.

(答案)

ヘロンの公式により



ここで

だから

ゆえに
…(答)


《問題1》
 三角形の3辺の長さが次のように与えられているとき,この三角形の内接円の半径を求めなさい.
間違ったとき[ ? ]をクリックすると解説が出ます.
(1)
3,4,5
1 2 3

(2)
9,10,17
1 2 3 4 5 6

(3)
11,13,20
1 2 3 4 5 6

(4)
15,26,37
1 2 3 4 5 6


《問題2》
 次の三角形の内接円の半径を求めなさい.
(1)
a=8,b=3,C=60°



(2)
b=15,c=7,A=60°




(3)
c=3,a=5,B=120°




(4)
a=5,b=16,C=120°






《問題3》

 三角形ABCにおいて
(CA+AB):(BC+CA):(AB+BC)=5:6:7
である.

(1) sinAを求めよ.



(2) 三角形ABCの内接円と外接円の半径の比を求めよ.

(昭和女子大入試問題からの引用)



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