内接円の半径→ 携帯版は別頁


《解説》
■三角形の内接円の半径の大きさは,面積と関係付けることができます.
 
 三角形の内接円の半径をrとおく.
 三角形を右図のように3つに分けると,
と表せることが分かります.
 さらに,(a+b+c)/2=sとおくと

S=rs となります.

■三角形の面積は,いろんな求め方があります.そこで,ヘロンの公式などを用いて三角形の面積を求めておくと,内接円の半径が求まります.

【ヘロンの公式】
三辺の長さがa , b , cである三角形の面積Sを求めるには
まず、s= を求めておき
次に、S= …(1)
とします。
(1)はS= …(2)
と書くこともできますが、教科書では通常(1)の形で書かれています。
ヘロンの公式で求めた面積は、他の方法で求めた面積と等しいはずだということを使います。
■例
 三角形の3辺の長さが,それぞれ13,14,15のとき,内接円の半径を求めなさい.
(答案)
 s=(13+14+15)/2=21

 ヘロンの公式により、S=
 他方,S=21r 
 ゆえに,r=4・・・(答)



《問題1》

 三角形の3辺の長さが次のように与えられているとき,この三角形の内接円の半径を求めなさい.
(1)
 
 

3,4,5

(2)
 
 

9,10,17

(3)
 
 

11,13,20

(4)
 
 

15,26,37


《問題2》

 次の三角形の内接円の半径を求めなさい.
(1)
a=8,b=3,C=60°

(2)
b=15,c=7,A=60°

(3)
c=3,a=5,B=120°

(4)
a=5,b=16,C=120°

《問題3》

 三角形ABCにおいて(CA+AB):(BC+CA):(AB+BC)=5:6:7である.
(1) sinAを求めよ.
(2) 三角形ABCの内接円と外接円の半径の比を求めよ.

(昭和女子大入試問題からの引用)

(1)
 の形で求めると,
 ア=,イ=

(2)
  : 
 

(参考)
 △ABCについて
内接円の半径をr,外接円の半径をR,面積をS,3辺の長さの和の半分をとするとき,これらについて成り立つ関係(まとめ)
(1) 2辺とその間の角で面積を表す

(2) 3辺と外接円の半径で面積を表す

正弦定理から

これを(1)に代入すると


(3) 3辺の長さの和と内接円の半径で面積を表す

このページの先頭の解説図

(4) 3辺の長さで面積を表す[ヘロンの公式]
(ヘロン:ギリシャの測量家,1世紀頃)




を次のように変形して代入する






ここで
a+b+c=2s, b+c−a=2s−2a
a+b−c=2s−2c, a−b+c=2s−2b
だから




■ここまでが高校の必須■

(5) 次の関係式(3個×3組)は「半角の公式」と呼ばれることがある.






したがって





したがって



※文字を入れ換えると,B, Cに関する公式になる.
(6) 次の関係式はモルワイデの公式と呼ばれることがある.(検算などに使える)
※文字を入れ換えると,2個×3組の公式になる.

正弦定理により,
を左辺に代入すると

分子を積和の公式により変形する

分母を2倍角公式により変形する


ここで,三角形の内角の和については



であるから

同様にして


ここで
であるから


(7) 次のような関係式も成り立つ.



(5)の関係から



これらを辺々掛けると



さらに

から

を代入し,さらに

から

を代入すると

(5)の関係から



これらを辺々掛けると



(8) 次のような関係式も成り立つ











(7)の2番目の結果から





1つ前の式を利用すると

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