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== 対称式の変形 ==
〇このページでは,対称式の値を求める練習をします.内容的には,学校の定期テストや実力テストのレベルです.
【基本1】
(1.1)(a+b)2=a2+b2+2ab
(1.2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
(解説)
(1.1)→この関係式を使えば,
P=a+b, Q=a2+b2, R=ab
のうち2つの値が分かれば残り1つの値を求めることができます.
【例1.1】
a+b=3, a2+b2=5のときabの値を求めてください.
(解答)
(a+b)2=a2+b2+2abに代入すると
a, bそれぞれの値を求めてくださいと述べているわけではない.
指定された積abの値だけ求めるとよい.
32=5+2ab
2ab=4
ab=2…(答)
(解説)
(1.2)←
この式は,(1.1)を繰り返し適用して求めることができます.



(1.2)→この関係式を使えば,
P=a+b+c, Q=a2+b2+c2, R=ab+bc+ca
のうち2つの値が分かれば残り1つの値を求めることができます.
【例1.2】
a+b+c=4, ab+bc+ca=3のときa2+b2+c2の値を求めてください.
(解答)
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)に代入すると
42=a2+b2+c2+6
a2+b2+c2=16−6=10…(答)

【問題1】 次の各問いに答えてください.
選択肢の中から正しいものを1つクリック.解答すれば解説が出ます.
(1)
a+b=4, ab=1のとき,a2+b2の値を求めてください.
(2)
a+b+c=3, a2+b2+c2=29のとき,ab+bc+caの値を求めてください.

【基本2】
a+b=P, ab=Qとおくと
(2.1)a2+b2=P2−2Q
(2.2)a3+b3=P3−3PQ
(2.3)a4+b4=P4−4P2Q+2Q2
(2.4)a5+b5=P5−5P3Q+5PQ2
(解説)
(2.1)は(1.1)と同じものです.
これらは,
対称式の値は,基本対称式で表せる
というよく使われる性質の例となっています.
(2.1)は覚えますが,他は必要になってからその場で作ればよいでしょう.
(2.2)←
a3+b3が登場する公式は,展開公式と因数分解公式があります.自分の得意な方からスタートして(2.2)を作ればよい.
(展開公式からスタートするとき)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
したがって
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=P3−3PQ
(因数分解公式からスタートするとき)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3+b3=(a+b){(a+b)2−3ab}
したがって
a3+b3=P(P2−3Q)=P3−3PQ

(2.3)←
4次以上の展開公式や因数分解公式を覚えている人は,少ないと思います.2次や3次を手掛かりにして,求める形になるように少しずつ式の形を整えます.
(2次の展開公式からスタートするとき)

左辺に(2.1)を使うと


したがって



(3次の展開公式からスタートするとき)



(2.1)(2.2)の結果を代入すると



(2.4)←
5次は2次と3次の組合せか4次と1次の組合せで作ることができます.
(2次と3次の組合せで作るとき)


(2.2)(2.3)の結果を使うと




(4次と1次の組合せで作るとき)


(2.2)(2.3)の結果を使うと



※「数分でできる」ということだけを覚え,結果は覚えないと割り切る方が,ストレスをためない秘訣かな

【問題2】 次の各問いに答えてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
a+b=2, a2+b2=8のとき,a3+b3の値を求めてください.
(2)
a+b=1, ab=1のとき,a4+b4の値を求めてください.


【基本3】
3つの文字a, b, cの対称式は,基本対称式a+b+c, ab+bc+ca, abcで表せる.
(3.1)

(3.2)
を使って変形する
(3.3)
を使って変形する

も求めておく
(解説)
(3.1)は(1.2)と同じものです.
(3.2)←
この公式は,大学入試では必須公式ですが,思い出せない場合でも数分で作れます.
とりあえずを展開して,不要な部分を引くことを考えます.







したがって





(やや難しい)
【問題3】 次の各問いに答えてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
のとき,
の値を求めよ.
(同志社大2000年入試問題)
9 12 18 27
(2)
a+b+c=0, a2+b2+c2=2のとき,a4+b4+c4の値を求めてください.

【基本4】
正の整数に対して,の値は,の多項式で表せる.
(解説)
なのでの対称式は和が与えられていれば,積が与えられていなくても式の値が求められることになります.
【例】





 一般に,正の整数以下のすべての自然数について,
の多項式で表されるならば,の多項式で表される.(数学的帰納法で示せます.)



ここで,は各々の多項式だから,それらの積の差はの多項式だと言える.

【問題4】 次の各問いに答えてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
のとき,の値を求めてください.
(2)
のとき,の値を求めてください.

(3)
の1つの解をとするとき,の値を求めてください.
(4)
のとき,の値を求めてください.
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