次数最低の１文字について整理

== 次数最低の文字で整理 ==

○１つの文字について整理するとは
　２種類以上の文字を含む多項式では、どの文字に着目するかによって次数が変わる。
　「ある文字について」「ある文字に着目する」とはその文字だけを文字だと考え、他の文字を係数・数字と”見なす”ことをいう。
例
　a3+a2c−ab2−b2cは
「aに着目すると」＝「aについては」＝「b,cを係数と見なすと」
⇒ a3+a2c−ab2−b2c ⇒ ３次式になる
「bに着目すると」＝「bについては」＝「a,cを係数と見なすと」
⇒ (−a−c)b2+(a3+a2c) ⇒ ２次式になる
「cに着目すると」＝「cについては」＝「a,bを係数と見なすと」
⇒ (a2−b2)c+(a3−ab2) ⇒ １次式になる
○次数が最低の文字について整理するとは
　一般に、因数分解は次数が高くなるほど難しくなるので、２文字以上を含む多項式の因数分解では「次数が最も低い文字について整理する」のが有利となる。
上の例では

▼aについて整理すると
⇒ a3+a2c−ab2−bc ⇒ 数学Ｉでは、３次式の因数分解は「３乗の因数分解公式」が使えるような特別な形だけを扱い、それ以外は数学ＩＩの「因数定理」を待たなければならない。数学Ｉの範囲で、この因数分解を行うのは難しい。

▼bについて整理すると
⇒ (−a−c)b2+a2(a+c) ⇒ −(a+c)(b2−a2) となって、b2−a2 の因数分解に帰着する：一応できる。

右へ続く→

このページのバックアップ・ページ
（グーグルブロガー版）は，こちら⇒

→続き

◎cについて整理すると
⇒ (a2−b2)c+(a3−ab2) ⇒ １次式の因数分解になる（１次式の因数分解などと大きな声で言うのも恥ずかしい。１次式では定数の係数でくくる変形だけがある。）
⇒ (a2−b2)c+a(a2−b2)
この１次式でa2−b2が共通因数だから，これでくくると
⇒ (a2−b2)(c+a) …(1)

以上のように、因数分解を行うには次数が最低の文字について整理すると有利になる。

○その後どうするのか
　上の(1)式では文字cは係数の中にはないので(a2−b2)(c+a)の係数の部分a2−b2について、改めて仕切り直しとして次数最低の文字について整理する。（この問題では、a,bのいずれで整理しても２次となり、次のように容易に因数分解できる：(a+b)(a−b)
　元の式は、(a+b)(a−b)(c+a)となる。

【要約】
○　因数分解の前処理として「次数最低の文字で整理する」という変形が重要である。･･･１つの文字について整理するとは、他の文字を数字・係数と見なして、１つの文字だけを文字として扱うということである。

○　この後、因数分解を行うときは「次数最低の文字で整理する」→（仕切り直し）→「次数最低の文字で整理する」の繰り返しが必要なことがある。

《問題》　次の空欄に適当な式を埋めなさい．（英字は半角小文字、数字は半角とします．なお，タブキーで空欄を移動できます．）（暗算では無理です．計算用紙で計算してから答えてください） xについて整理するとは，xだけを文字として扱い，他の文字（ここではy）は数字の係数と同じ扱いにするということなので xy−x−y+1を文字の部分と定数の部分に分けると (xy−x)−y+1=(y−1)x+(−y+1) ♪♪～(y−1)x−(y−1)=(y−1)(x−1) (1) xy−x−y+1をxについて整理すると　()x＋()となる．
xについて整理するとは，xだけを文字として扱い，他の文字（ここではy）は数字の係数と同じ扱いにするということなので 3x2+2y2−7xy+8x−y−3をxの２次，１次，定数項の部分に分けると 3x2+(−7y+8)x+(2y2−y−3) ♪♪～3x2+(−7y+8)x+(2y−3)(y+1)と変形すると，２文字のタスキ掛け因数分解の準備ができるのだ (2) 3x2+2y2−7xy+8x−y−3をxについて整理すると　()x²＋()x＋(2y²−y−3)となる．
bについて整理するとは，bだけを文字として扱い，他の文字（ここではa, c）は数字の係数と同じ扱いにするということなので a2−c2−ab+bcを文字の部分と定数の部分に分けると (−ab+bc)+(a2−c2)=(−a+c)b+(a2−c2) ♪♪～(−a+c)b+(a2−c2)=−(a−c)b+(a−c)(a+c) =(a−c)(−b+a+c) (3) a2−c2−ab+bcをbについて整理すると　()b＋(a²－c²)となる．
aについて整理するとは，aだけを文字として扱い，他の文字（ここではb, c）は数字の係数と同じ扱いにするということなので a2b−ab2+b2c−bc2+c2a−ca2をaの２次，１次，定数項の部分に分けると (b−c)a2+(−b2+c2)a+(b2c−bc2) ♪♪～(b−c)a2−(b2−c2)a+(b2c−bc2) =(b−c){ a2−(b+c)a+bc }=(b−c)(a−b)(a−c) (4) a2b−ab2+b2c−bc2+c2a−ca2をaについて整理すると　()a²＋(c²－b²)a＋bc()となる．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／17.5.22］

括弧があると、括弧が必要なのか、答えを区切るだけなのか、それがわかりません。括弧が必要ではない式は、四角や、括弧でも種類を変えた方がいいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．かっこは必要です．幾つかの教科書を引用して例を示してみましょう．

東京図書.数学Ⅰ：4x2+xy2−2x+y+5をxについて整理すると4x2+(y2−2)x+(y+5)
第一学習社.数学Ⅰ：x2+3xy+4y+2x−5をxについて降べきの順に整理するとx2+(3y+2)x+(4y−5)

上記の答案において，どのかっこも省略できず，書かなければ不正解です．定数項の( )だけは省略しても正解の許容範囲となる場合がありますが，不正解とする先生もいます．
かっこは一重のとき (　)，二重のとき { (...) }，三重のとき [ { (...) } ] のように入れ子にする順序が決まっているので，自分流に変えてはいけません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／17.1.8］

勉強に活用しています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数最低の文字で整理について／17.4.6］

とってもわかりやすいです😊✨高校の宿題でまだ習っていないところが出てきて焦っていたところでした😅最後にある練習問題もちょうどいい難易度で、良かったです！習っていない人ように最初からヒントを出せるようにしてくれるとありがたいです。これからも使わせていただきます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．習っていないなと思ったら前の項目が見られるように，はじめにサブメニューが付いていますのでそれを見てください．

...メニューに戻る