次の各式を因数分解しなさい．（係数は整数の範囲とします．）（解答を見るには問題文を押す．）

２《　置き換え　》

３《　ｘ^３＋ｙ^３または　ｘ^３−ｙ^３に持ち込む》
《　ｘ^３＋ｙ^３＋z^３−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ）を適用する　》

４《　□^２−○^２に持ち込む　》

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ａ：２次，ｂ：２次，ｃ：２次（どの文字でも条件は同じ）→ａについて整理する

原式＝(ｂ−ｃ）ａ^２−（ｂ^２−ｃ^２）ａ＋ｂｃ（ｂ−ｃ）＝(ｂ−ｃ）ａ^２−（ｂ＋ｃ）(ｂ−ｃ）ａ＋ｂｃ(ｂ−ｃ）
＝(ｂ−ｃ）｛ａ^２−（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂｃ｝

｛　｝内は，ａ：２次，ｂ：１次，ｃ：１次なので，ｂまたはｃで整理する方法もあるが，
和と積の因数分解として，そのまま継続してもよい．

＝（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）
＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）・・・(答)［↑戻る］

ａ：３次，ｂ：３次，ｃ：３次（どの文字でも条件は同じ）→ａについて整理する

原式＝(ｂ−ｃ）ａ^３−（ｂ^３−ｃ^３）ａ＋（ｂ^３ｃ−ｃ^３ｂ）
＝(ｂ−ｃ）ａ^３−（ｂ−ｃ）（ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２）ａ＋ｂｃ（ｂ^２−ｃ^２）
＝(ｂ−ｃ）ａ^３−(ｂ−ｃ）（ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２）ａ＋ｂｃ(ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ）
＝(ｂ−ｃ）｛ａ^３−（ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２）ａ＋ｂｃ（ｂ＋ｃ）｝・・・（１）

｛　｝内は，ａ：３次，ｂ：２次，ｃ：２次→ｂで整理する

｛ａ^３−（ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２）ａ＋ｂｃ（ｂ＋ｃ）｝
＝（ｃ−ａ）ｂ^２＋（ｃ^２−ａｃ）ｂ＋（ａ^３−ａｃ^２）
＝（ｃ−ａ）ｂ^２＋ｃ（ｃ−ａ）ｂ＋ａ（ａ^２−ｃ^２）
＝（ｃ−ａ）ｂ^２＋ｃ（ｃ−ａ）ｂ−ａ（ｃ−ａ）（ｃ＋ａ）
＝（ｃ−ａ）｛ｂ^２＋ｃｂ−ａ（ｃ＋ａ）｝・・・（２）

｛　｝内は，ａ：２次，ｂ：２次，ｃ：１次→ｃで整理する

｛ｂ^２＋ｃｂ−ａ（ｃ＋ａ）｝
＝（ｂ−ａ）ｃ＋（ｂ^２−ａ^２）
＝（ｂ−ａ）ｃ＋（ｂ−ａ）（ｂ＋ａ）
＝（ｂ−ａ）（ｃ＋ｂ＋ａ）・・・（３）

(3)を(2）に，(2)を(1)に代入する

原式＝（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）（ｂ−ａ）（ｃ＋ｂ＋ａ）
＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）・・・(答)［↑戻る］

ａ：２次，ｂ：２次，ｃ：２次（どの文字でも条件は同じ）→ａについて整理する

原式＝（ｂ＋ｃ）｛ａ^２＋（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂｃ｝＋ａｂｃ
＝（ｂ＋ｃ）ａ^２＋｛（ｂ＋ｃ）^２＋ｂｃ｝ａ＋（ｂ＋ｃ）ｂｃ

たすきがけ：（ｂ＋ｃ）＝（ｂ＋ｃ）・１，　（ｂ＋ｃ）ｂｃ＝ｂｃ・（ｂ＋ｃ）

＝｛（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂｃ｝｛ａ＋ｂ＋ｃ｝
＝（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）・・・(答)［↑戻る］

ａ：２次，ｂ：２次，ｃ：２次（どの文字でも条件は同じ）→ａについて整理する

原式＝｛ａ＋（ｂ＋ｃ）｝｛（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂｃ｝−ａｂｃ
＝（ｂ＋ｃ）ａ^２＋ａｂｃ＋（ｂ＋ｃ）^２ａ＋ｂｃ（ｂ＋ｃ）−ａｂｃ
＝（ｂ＋ｃ）ａ^２＋（ｂ＋ｃ）^２ａ＋ｂｃ（ｂ＋ｃ）
＝（ｂ＋ｃ）｛ａ^２＋（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂｃ｝
＝（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｃ）
＝（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）・・・(答)［↑戻る］

ａ：２次，ｂ：２次，ｘ：２次（どの文字でも条件は同じ）→ｘについて整理できているので，ｘについて
たすきがけ

原式＝（ａｘ−ｂ）（ｂｘ−ａ）・・・(答)［↑戻る］

ａ：２次，ｂ：２次，ｘ：２次，ｙ２：次（どの文字でも条件は同じ）→ｘについて整理できているので，ｘについて
たすきがけ

原式＝｛(a-b)x+(a+b)y｝｛(a+b)x-(a-b)y｝
＝(ax-bx+ay+by)(ax+bx-ay+by)・・・(答)［↑戻る］

ｘ^２＋３ｘ＝Ａとおく

原式＝Ａ（Ａ−２）−８＝Ａ^２−２Ａ−８＝（Ａ＋２）（Ａ−４）＝（ｘ^２＋３ｘ＋２）（ｘ^２＋３ｘ−４）
＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋４）（ｘ−１）・・・(答)［↑戻る］

まとまったもの，２回以上出てくるものは　＝Ａなどとおいて，置き換えによって簡単にします．□１の問題のように，初めから「見つかるとき」は，それを置き換えますが，□２の問題のように同じものが見つからないときは，「作ってでも」置き換えに持っていきます．
その際，(ｘ＋１）（ｘ＋２）＝ｘ^２＋３ｘ＋２，　（ｘ＋３）（ｘ＋４）＝ｘ^２＋７ｘ＋１２　と展開すると，同じものができませんが，
（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝ｘ^２＋５ｘ＋６，　(ｘ＋１）（ｘ＋４）＝ｘ^２＋５ｘ＋４　のように展開すると，ｘ^２＋５ｘが２回登場します．

原式＝（ｘ^２＋５ｘ＋６）（ｘ^２＋５ｘ＋４）−８

ｘ^２＋５ｘ＝Ａ　とおくと

原式＝（Ａ＋６）（Ａ＋４）−８＝Ａ^２＋１０Ａ＋２４−８＝Ａ^２＋１０Ａ＋１６＝（Ａ＋２）（Ａ＋８）
＝（ｘ^２＋５ｘ＋２）（ｘ^２＋５ｘ＋８）・・・(答)［↑戻る］

＝｛（ｘ＋２）（ｘ−４）｝｛（ｘ＋３）（ｘ−５）｝−４４
＝（ｘ^２−２ｘ−８）（ｘ^２−２ｘ−１５）−４４

ｘ^２−２ｘ＝Ａとおく

原式＝（Ａ−８）（Ａ−１５）−４４
＝Ａ^２−２３Ａ＋１２０−４４＝Ａ^２−２３Ａ＋７６＝（Ａ−１９）（Ａ−４）
＝（ｘ^２−２ｘ−１９）（ｘ^２−２ｘ−４）・・・(答）［↑戻る］

同じものは始めの２項とは限りません．この問題では，どの組合せを考えても，初めの２項には同じものはできません．
しかし，２次＋定数項なら，同じものが登場します．
(ｘ−１）（ｘ−６）＝ｘ^２＋６−７ｘ，　（ｘ−２）（ｘ−３）＝ｘ^２＋６−５ｘ

原式＝｛(ｘ−１）（ｘ−６）｝｛（ｘ−２）（ｘ−３）｝−３ｘ^２＝（ｘ^２＋６−５ｘ）（ｘ^２＋６−７ｘ）−３ｘ^２

ｘ^２＋６＝Ａとおく

原式＝（Ａ−５ｘ）（Ａ−７ｘ）−３ｘ^２＝Ａ^２−１２Ａｘ＋３５ｘ^２−３ｘ^２＝Ａ^２−１２Ａｘ＋３２ｘ^２
＝（Ａ−４ｘ）（Ａ−８ｘ）＝（ｘ^２＋６−４ｘ）（ｘ^２＋６−８ｘ）＝（ｘ^２−４ｘ＋６）（ｘ^２−８ｘ＋６）・・・(答）［↑戻る］

「何か同じものはできないか」と考えます．

原式＝ｘｙ＋（ｘｙ＋１＋ｘ＋ｙ）（ｘｙ＋１）

ｘｙ＋１＝Ａとおくと

原式＝ｘｙ＋（Ａ＋ｘ＋ｙ）Ａ＝Ａ^２＋（ｘ＋ｙ）Ａ＋ｘｙ＝（Ａ＋ｘ）（Ａ＋ｙ）＝（ｘｙ＋ｘ＋１）（ｘｙ＋ｙ＋１）・・・(答）［↑戻る］

＝ｘ³+ｙ³+１³−３・ｘ・ｙ・１＝（ｘ＋ｙ＋１）（ｘ^２＋ｙ^２＋１^２−ｘｙ−ｙ・１−ｘ・１）
＝（ｘ＋ｙ＋１）（ｘ^２＋ｙ^２＋１−ｘｙ−ｙ−ｘ）・・・(答)　　［↑戻る］

＝（２ｘ）³＋（−３ｙ）³＋（−１）³−３（２ｘ）（−３ｙ）（−１）
＝（２ｘ−３ｙ−１）（４ｘ^２＋９ｙ^２＋１＋６ｘｙ−３ｙ＋２ｘ）・・・(答)　　［↑戻る］

ｂ−ｃ＝Ａ，ｃ−ａ＝Ｂとおくと，Ａ＋Ｂ＝ｂ−ａ･･(1)

原式＝Ａ³＋Ｂ³＋(a-b)³
＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２)＋(a-b)³
＝(ｂ−ａ）(Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２)＋(a-b)³　（なぜなら，(1)）
＝（ｂ−ａ）（Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２−（ｂ−ａ）^２）
＝（ｂ−ａ）（ｂ^２−２ｂｃ＋ｃ^２　−ｂｃ＋ｂａ＋ｃ^２−ａｃ　＋ｃ^２−２ａｃ＋ａ^２　−ａ^２＋２ａｂ−ｂ^２）
＝（ｂ−ａ）（−3ｂｃ＋3ｃ^２−3ａｃ＋3ａｂ）
＝（ｂ−ａ）3｛ａ（ｂ−ｃ）＋ｃ（ｃ−ｂ）｝
＝（ｂ−ａ）3（ｂ−ｃ）（ａ−ｃ）
＝3（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）・・・(答)

＜別解＞
ｂ−ｃ＝Ａ，ｃ−ａ＝Ｂ，ａ−ｂ＝Ｃとおくと，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝０・・・(2)
Ａ^３＋Ｂ^３＋Ｃ^３−３ＡＢＣ＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（Ａ^２＋Ｂ^２＋Ｃ^２−ＡＢ−ＢＣ−ＣＡ）において(2)により右辺は０
ゆえにＡ^３＋Ｂ^３＋Ｃ^３＝３ＡＢＣ＝３（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）（ａ−ｂ）・・・(答)　　［↑戻る］

 

＝｛(a+b+c)3-a3｝-（b3＋c3） ＝(a+b+c-a)｛(a+b+c)2+(a+b+c)a+a2｝−(b+c)(b2-bc+c2) 共通因数　b+c　でくくる． ＝(b+c)｛(a+b+c)2+(a+b+c)a+a2−(b2-bc+c2)｝ ＝(b+c)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+a2+ab+ac+a2-b2+bc-c2) ＝(b+c)(3a2+3ab+3bc+3ca) 第２の（）内をｃについて整理する ＝3(b+c)((a+b)c+a(a+b)) 共通因数　a+b　でくくる． ＝3(b+c)(a+b)(c+a)＝3(a+b)(b+c)(c+a)・・・（答）　　［↑戻る］

(なお，数学Ｂの因数定理を使えば， ａの式　ｆ（ａ）＝(a+b+c)3-a3-b3-c3において ｆ（-b)＝c3+b3-b3-c3=0だから，ｆ（ａ）はａ＋ｂで割り切れる． 同様にして ｆ（-c)＝b3+c3-b3-c3=0だから，ｆ（ａ）はａ＋cで割り切れる． また ｂの式　ｇ（ｂ）＝(a+b+c)3-a3-b3-c3において ｇ(-c)＝a3-a3+c3-c3=0だから，ｇ（ｂ）はｂ＋ｃで割り切れる． もとの式は３次式だから， ｆ（ａ）＝k(a+b)(a+c)(b+c)　・・・(1)とおける．（ｋは定数） もとの式から　ｆ（０）＝３ｂ2ｃ+３ｂｃ2 (1)からｆ（０）＝ｋｂｃ（ｂ＋ｃ）だからｋ＝３ ゆえに，3(a+b)(b+c)(c+a)・・・（答）)

ｘ−ｙ＝Ａ，ｙ−ｚ＝Ｂ，ｚ−ｘ＝Ｃとおくと，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝０だから，Ａ³＋Ｂ³＋Ｃ³−３ＡＢＣ＝０
原式＝Ａ³＋Ｂ³−３ＡＢＣ＝−Ｃ³＝−（ｚ−ｘ）³・・・(答)
＜別解＞
ｘ−ｙ＝Ａ，ｙ−ｚ＝Ｂとおくと，Ａ＋Ｂ＝ｘ−ｚ
原式＝Ａ³＋Ｂ³−３（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）（ｚ−ｘ）
＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２）−３（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）（ｚ−ｘ）
＝（ｘ−ｚ）（Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２）−３（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）（ｚ−ｘ）
＝（ｘ−ｚ）｛Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２＋３（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）｝
＝（ｘ−ｚ）｛（ｘ−ｙ）^２−（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）＋（ｙ−ｚ）^２＋３（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）｝
＝（ｘ−ｚ）｛（ｘ−ｙ）^２＋２（ｘ−ｙ）（ｙ−ｚ）＋（ｙ−ｚ）^２｝
＝（ｘ−ｚ）｛（ｘ−ｙ）＋（ｙ−ｚ）｝^２
＝（ｘ−ｚ）（ｘ−ｚ）^２＝（ｘ−ｚ）^３・・・(答)　　［↑戻る］

x+y+z＝Ａ，y+z-x＝Ｂ，z+x-y＝Ｃ，x+y-z＝Ｄとおくと,Ａ−Ｂ＝２ｘ，Ｃ＋Ｄ＝２ｘ
原式＝Ａ³−Ｂ³−（Ｃ³＋Ｄ³）＝(Ａ−Ｂ)(Ａ^２＋ＡＢ＋Ｂ^２)-(Ｃ＋Ｄ)(Ｃ^２−ＣＤ＋Ｄ^２)
＝(２ｘ)(Ａ^２＋ＡＢ＋Ｂ^２)-(２ｘ)(Ｃ^２−ＣＤ＋Ｄ^２)
＝２ｘ(Ａ^２＋ＡＢ＋Ｂ^２−Ｃ^２＋ＣＤ−Ｄ^２)

ここで
Ａ²＝　x²+y²+z²+2xy　+2yz　+2zx
ＡＢ＝(y+z)²-x²
　　＝−x²＋y²+z²　　　　　+2yz
Ｂ²＝x²　＋y²　+z²　-2xy　+2yz　-2zx
−Ｃ²＝-x²-y²-z²　+2xy　+2yz　-2zx
ＣＤ＝x²−（y−z）²
　　＝x²−y²−z²　　　　　+2yz
−Ｄ²＝−x²−y²−z²−2xy+2yz　+2zx　だから
Ａ^２＋ＡＢ＋Ｂ^２−Ｃ^２＋ＣＤ−Ｄ^２＝１２ｙｚ

原式＝２４ｘｙｚ・・・(答)　　［↑戻る］

＝（ｘ^２＋２）^２−ｘ^２＝（ｘ^２＋ｘ＋２）（ｘ^２−ｘ＋２）・・・（答）　　［↑戻る］

＝（ｘ^２−１）^２−(２ｘ)^２＝（ｘ^２＋２ｘ−１）（ｘ^２−２ｘ−１）・・・（答）　　［↑戻る］
（なお，（ｘ^２＋１）^２−(√8ｘ)^２＝（ｘ^２＋√8ｘ＋１）（ｘ^２−√8ｘ＋１）は，正しい変形ですが無理係数を使っていますので，問題文に示された指定に合いません．）
（さらに，これらは，１つの式に対して異なる２種類の因数分解があるように見えますが，
(ｘ＋１＋√2)(ｘ＋１−√2)(ｘ−１＋√2)(ｘ−１−√2)と書かれる式において
｛(ｘ＋１＋√2)(ｘ＋１−√2)｝×｛(ｘ−１＋√2)(ｘ−１−√2)｝の形で見せているものと
｛(ｘ＋１＋√2)(ｘ−１＋√2)｝×｛(ｘ＋１−√2)(ｘ−１−√2)｝の形で見せているものの見かけが異なるだけで，同一の式です．）

＝（ｘ^２−２）^２−(３ｘ)^２＝（ｘ^２＋３ｘ−２）（ｘ^２−３ｘ−２）・・・（答）　　［↑戻る］
（なお，（ｘ^２＋２）^２−(√17ｘ)^２＝（ｘ^２＋√17ｘ＋２）（ｘ^２−√17ｘ＋２）の変形が問題文に合わないのは，□１と同様です．）
（（ｘ^２＋ａ）^２−○^２型か（ｘ^２−ａ）^２−○^２型かを，前もって見分けることはできません．「両方試してみれば分かる」と考えます．）

＝（ｘ^２＋３ｙ^２）^２−（２ｘｙ）^２＝（ｘ^２＋２ｘｙ＋３ｙ^２）（ｘ^２−２ｘｙ＋３ｙ^２）・・・（答）　　［↑戻る］

=(ｘ⁴＋ｙ⁴)²-(x²y²)²=（ｘ⁴+ｘ^２ｙ^２＋ｙ⁴）（ｘ⁴-ｘ^２ｙ^２＋ｙ⁴）
={（ｘ²+ｙ^２）^２-(xy)^２}（ｘ⁴-ｘ^２ｙ^２＋ｙ⁴）=（ｘ²+xy+ｙ^２）(ｘ²-xy+ｙ^２)（ｘ⁴-ｘ^２ｙ^２＋ｙ⁴）・・・（答）　　［↑戻る］

={(a+b)²+(a-b)^２}^２-{(a+b)(a-b)}^２={(a+b)²+(a+b)(a-b)+(a-b)^２}{(a+b)²-(a+b)(a-b)+(a-b)^２}
={a²+2ab+b²+a²-b²+a²-2ab+b^２}{a²+2ab+b²-a²+b²+a²-2ab+b^２}
={3a²+b²}{a²+3b²}・・・（答）　　［↑戻る］

＝(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)^２−(２ａｂ)^２＝(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２−２ａｂ)(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２＋２ａｂ)
＝｛（ａ−ｂ）^２−ｃ^２｝｛(ａ＋ｂ）^２−ｃ^２｝＝（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ−ｃ）(ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）・・・（答）　　［↑戻る］
（なお，ａについて整理すると次の答案になります．
a^４−２(ｂ^２＋ｃ^２）ａ^２+（b^４＋ｃ^４−２ｂ^２ｃ^２）＝a^４−２(ｂ^２＋ｃ^２）ａ^２+（ｂ^２−ｃ^２）^２
＝a^４−２(ｂ^２＋ｃ^２）ａ^２+（ｂ−ｃ）^２（ｂ＋ｃ）^２＝a^４−２(ｂ^２＋ｃ^２）ａ^２+（ｂ^２−２ｂｃ＋ｃ^２）（ｂ^２＋２ｂｃ＋ｃ^２）
＝｛ａ^２−（ｂ^２−２ｂｃ＋ｃ^２)｝｛ａ^２−（ｂ^２＋２ｂｃ＋ｃ^２)｝＝｛ａ^２−（ｂ−ｃ)^２｝｛ａ^２−（ｂ＋ｃ）^２｝
＝（ａ−ｂ＋ｃ)（ａ＋ｂ−ｃ)（ａ−ｂ−ｃ)（ａ＋ｂ＋ｃ)・・・（答）　）

ｘ^２−ｙ^２＝Ａとおくと，ｘ^２＋ｙ^２＝Ａ＋２ｙ^２　だから，
原式＝Ａ^２−８（Ａ＋２ｙ^２）＋１６＝Ａ^２−８Ａ＋１６−１６ｙ^２＝(Ａ−４)^２−（４ｙ）^２
＝(Ａ−４＋４ｙ）(Ａ−４−４ｙ）＝(ｘ^２−ｙ^２−４＋４ｙ）(ｘ^２−ｙ^２−４−４ｙ）
＝｛ｘ^２−(ｙ−２)^２｝｛ｘ^２−(ｙ＋２)^２｝＝（ｘ＋ｙ−２）（ｘ−ｙ＋２）（ｘ＋ｙ＋２）（ｘ−ｙ−２）・・・（答）　　［↑戻る］
（なお，ｘ^２＋ｙ^２＝Ｂとおくと，ｘ^２−ｙ^２＝Ｂ−２ｙ^２　だから，
原式＝(Ｂ−２ｙ^２）^２−８Ｂ＋１６＝Ｂ^２−８Ｂ＋１６−４Ｂｙ^２＋４ｙ^４＝（Ｂ−４−２ｙ^２）^２−１６ｙ^２
＝（Ｂ−４−２ｙ^２−４ｙ）（Ｂ−４−２ｙ^２＋４ｙ）＝（ｘ^２＋ｙ^２−４−２ｙ^２−４ｙ）（ｘ^２＋ｙ^２−４−２ｙ^２＋４ｙ）
＝（ｘ^２−４−ｙ^２−４ｙ）（ｘ^２−４−ｙ^２＋４ｙ）　以下同様です．）