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== 因数分解(応用問題) ==

この頁では因数分解の応用問題として次の4つの項目の解説があります.それぞれのタイトルをクリックするとその項目にジャンプできます.




「次数が低い文字について整理する」とは,次数の低い1つの文字(次数が最低の文字)に着目して,その文字だけを文字とみなし他の文字を係数(定数)とみなすということです.
誰がやっても
「1次式の因数分解は2次式の因数分解よりも簡単」
「2次式の因数分解は3次式の因数分解よりも簡単」「・・・」
というように,次数が低い因数分解の方が有利になるのです.
1次式の因数分解なんかあるのか?と思われるかもしれませんが,厳密な言い方は別として,1次式については次の「共通因数でくくる」という変形があります.
ax+bx=(a+b)x
1次式の因数分解はこれだけなので,ある文字について整理すると1次式になったら「しめた!共通因数の話だ!」と考えればよいことになります.
【例1.1】 次の式を因数分解してください.
ax+bx+a2−b2
(解説)
aの式だとみなすとax+bx+a2−b2となって最高次の項は2次になります.

bの式だとみなすとax+bx+a2b2となって最高次の項は2次になります.

xの式だとみなすとax+bx+a2−b2となって最高次の項は1次になります.

そこで,次数が最低になる文字xについて整理すると有利だということになります.xだけを文字と考え,他の文字は係数とみなすと
(ax+bx)+(a2−b2)・・・左のかっこは1次,右のかっこは定数
1次式の因数分解は,共通因数でくくる変形があるだけですから,共通因数を考えます.
(a+b)x+(a+b)(a−b)
=(a+b)(x+a−b)…(答)
この問題をaについて整理しても間違いではありませんが,2次式の因数分解になるので次のようにやや複雑になります.
ax+bx+a2−b2
=a2+xa−b2+bx
この2次式を因数分解するには,積が−b2+bxになるものうちで,和がxになるもの○と□を探して
(a+○)(a+□)
の形にします.
ところで,積が−b2+bxになるものは何かというと,それは全体の大きな因数分解をしている中で,定数項−b2+bxを2つの式の積に分けるということで,それは−b2+bxをあらかじめ因数分解しておくということです.
−b2+bx=b(x−b)
ここで,b+(x−b)=xとなって和がxになっています.
結局
a2+xa−b2+bx
=a2+xa+b(x−b)
=(a+b)(a+x−b)…(答)

【問題1】 次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください)
(1)
x2+2xy−3x−4y+2=(2y+x−1)
x x+2 x−2 y y+2 y−2
(2)
a2−2b2−ab+bc+ac−a+2b−c=(c+a−2b)
a+b+1 a+b−1 a−b+1 a−b−1
(3)
abx2−(a2+b2)x+ab=(bx−a)
ax+b ax−b bx+a bx−a
(4)
(a−b)(c−b)(c+a)−abc=(ca−ab−bc)
a+b+c a+b−c a−b+c a−b−c

(x2−5x)(x2−5x+10)+24のように同じ式x2−5xが2回以上登場するときは,この式を1文字に置き換えることによって「見やすく」「間違いにくく」なります.
【例2.1】 次の式を因数分解してください.
(x2−5x)(x2−5x+10)+24
(解説)
x2−5x=Aとおく
(原式)=A(A+10)+24=A2+10A+24
=(A+4)(A+6)
置き換えたのは解答者の都合で,他の人は別の文字かもしれないから,元の文字に戻して答える
=(x2−5x+4)(x2−5x+6)
かっこの中がさらに因数分解できる
=(x−1)(x−4)(x−2)(x−3)…(答)

上の【例2.1】のように初めから同じ式が含まれる場合だけでなく,次の例のように「うまく展開すれば同じ式が作れる」場合もあります.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)をそのままの順で1番目と2番目,3番目と4番目のかっこを展開すると
(x2+3x+2)(x2+7x+12)
となって,同じ式は登場しませんが,組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します.
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)

【例2.2】 次の式を因数分解してください.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−24
(解説)
(原式)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)−24
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)−24
x2+5x=Aとおく
(原式)=(A+4)(A+6)−24
=A2+10A+24−24=A2+10A=A(A+10)
元の文字に戻すと
=(x2+5x)(x2+5x+10)
=x(x+5)(x2+5x+10)…(答)
x2+5x+10は虚数の係数を使わなければ因数分解できない.通常,特に指定がなければ,上の答案のように整数,分数の係数の範囲まで因数分解すればよい.

上の【例2.2】のように2次と1次の組x2+○xまでが2回登場する場合だけでなく,次の例のように「定数項との組が同じになる」場合もあります.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)をそのままの順で1番目と2番目,3番目と4番目のかっこを展開すると
(x2+3x+2)(x2+9x+18)
となって,同じ式は登場しませんが,組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します.
(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)
=(x2+6+7x)(x2+6+5x)
※とにかく同じ式を作ると因数分解が有利になる
…「どうしても同じ式を作りたい」と考えます

【例2.3】 次の式を因数分解してください.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)−3x2
(解説)
(原式)=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)−3x2
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)−3x2
x2+6=Aとおく
(原式)=(A+7x)(A+5x)−3x2
=A2+12xA+35x2−3x2
=A2+12xA+32x2
=(A+4x)(A+8x)
元の文字に戻すと
=(x2+6+4x)(x2+6+8x)
=(x2+4x+6)(x2+8x+6)…(答)

【問題2】 次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください)
(1)
(x2+3x)(x2+3x−2)−8=(x+1)(x+2)(x+4)
x x+1 x−1 x+3 x−3
(2)
(x−2)(x−3)(x+4)(x+5)−44=(x2+2x−)(x2+2x−19)
1 2 3 4 5 6
(3)
(x−2)(x−3)(x+4)(x+6)+2x2=(x2+−12)(x2+3x−12)
x 2x 3x 4x 5x 6x

数学Uで習う因数定理よりも前の段階(数学T)に登場する3次の因数分解公式には,次のものがあります.
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
【例3.1】 次の式を因数分解してください.
(x+2)3+(x−3)3−(2x−1)3
(解説)
初めの2項だけを組み合わせると2x−1という因数ができます
(x+2)3+(x−3)3
={(x+2)+(x−3)}{(x+2)2−(x+2)(x−3)+(x−3)2}
=(2x−1){x2+4x+4−(x2−x−6)+(x2−6x+9)}
=(2x−1)(x2−x+19)
次に全体を見ると2x−1が共通因数になっています
(原式)=(2x−1)(x2−x+19)−(2x−1)3
=(2x−1){(x2−x+19)−(2x−1)2}
=(2x−1)(x2−x+19−(4x2−4x+1)}
=(2x−1)(−3x2+3x+18)
=−3(2x−1)(x2−x−6)
=−3(2x−1)(x−3)(x+2)
【例3.2】 次の式を因数分解してください.
(x−y)3+(y−z)3−3(x−y)(y−z)(z−x)
(解説)
最初の2項を組み合わせてx−zという因数を作り,第3項と共通因数x−zでくくり出てもできますが,やや長い答案になります.
これに対して,次のように問題の式に(z−x)3を足しておくと右辺が0になりますので,移項すれば出来上がります.
(x−y)3+(y−z)3+(z−x)3−3(x−y)(y−z)(z−x)
=(x−y+y−z+z−x)(…)=0
を利用すると
(原式)=−(z−x)3=(x−z)3…(答)


【問題3】 次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください)
(1)
(a+b+c)3−a3−b3−c3=(a+b)(b+c)(c+a)
−3 −2 −1 1 2 3
(2)
(b−c)3+(c−a)3+(a−b)3=(a−b)(b−c)(c−a)
−3 −2 −1 1 2 3
(3)
(x+y+z)3−(y+z−x)3−(z+x−y)3−(x+y−z)3=xyz
3 6 12 24 36 60

x4+x2+1のような式は複2次式と呼ばれ,x2=XとおくとX2+X+1という2次式になりますが,そこから先に進めない場合があります.
このような場合に,○2−□2の変形を利用すると因数分解できることがあります.
【例4.1】 次の式を因数分解してください.
x4+x2+1
(解説)
x2=XとおいてもX2+X+1となって(有理数の範囲では)因数分解できませんが,この式を
(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)
と変形すれば2次式に因数分解できたことになります.
【要点】
 ○2−□2の形に持ち込む

【問題4】 次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください)
(1)
x4+3x2+4=(x2+x+2)(x2−x+)
1 2 3 4 5 6
(2)
(x2−y2)2−8(x2+y2)+16=(x+y−2)(x−y+2)(x−y−2)
x+y+1 −x−y−1 x+y+2 −x−y−2
(3)
x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2
=(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)

x+y+z −x−y−z x+y+2z −x−y−2z

【類題と答】
 次の各式を因数分解してください.
(1.1)

(解答)
 文字のうちで,の次数が最低だからについて整理する.


…(答)
(1.2)

(解答)
※初歩的なことであるが,この問題の式自体は因数分解できていないことに注意.(因数分解できていたら問題にならない)
因数分解と言えるためには,最も大きな区切りが積の形になっていなければならないが,この問題文では引き算になっているので,展開してから改めて因数分解する必要がある.
 どの文字についても2次式だから,どの文字について整理しても条件は同じ.とりあえずについて整理する.





…(答)
…(この形の方がよい)

(1.3)
(解答)
 どの文字についても3次式だから,どの文字について整理しても条件は同じ.とりあえずについて整理する.(もちろんについて整理しても,最終的には同じ結果になる)




内では,は3次,は2次だから,とりあえずについて整理する.





内では,は2次,は1次だから,について整理する.



(原式)…(答)
(1.4)
(解答)
は2次,は1次だから,について整理する.

内では,とも2次だから,とりあえずについて整理する.


←文字係数のたすき掛け因数分解




(原式)
…(答)

(2.1)
(解答)
とおく

元のに戻す




…(答)
(2.2)
(解答)
とおく


元のに戻す

…(答)

(2.3)
(解答)
同じものがあればとおいて置き換えると簡単になる.同じものがないときは「作る」


同じものが登場するように,組合せを替える


とおく


元のに戻す
…(答)
※特に断り書きがない問題では「有理数までの範囲の係数を使って」因数分解する.上記の答えを1次式まで因数分解すると,無理数や虚数の係数が必要になるから,これ以上は進まなくてもよい.
…(不要)

(2.4)
(解答)
同じものが登場したら1文字に置き換える.想定外の箇所でも構わない!


とおく

元のに戻す
…(答)

(3.1)
(解答)


…(答)
(3.2)
(解答)
を利用すると,共通因数が作れる
とおくと



(原式)



…(答)

(3.3)
(解答)
を利用すると,共通因数が作れる
とおくと



(原式)



…(答)
(3.4)
(解答)
を利用すると,共通因数が作れる
とおくと





また

だから
(原式)



内ではが1次だから,で整理する




(原式)…(答)

(4.1)
(解答)
が考えられるが
は無理数の係数になるから,採用できない

…(答)
特に断り書きがない限り,因数分解は有理数の範囲で(整数と分数までを使って)行うが,をこれ以上因数分解するととなるから,その前で止める.
をこれ以上因数分解するととなるから,その前で止める.
(4.2)
(解答)
が考えられるが,は実係数で因数分解できないから,採用できない

…(答)
さらに因数分解すると虚数の係数が登場するから,ここで止める.

(4.3)
(解答)
が考えられるが,は虚数の係数が必要となるから,採用できない

…(答)
さらに因数分解すると虚数の係数が登場するから,ここで止める.
(4.4)
(解答)
ここまでの問題と同様に2種類考えられるが,無理数の係数が登場する方は採用できない





…(答)
さらに因数分解すると無理数の係数が登場するから,ここで止める.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][因数分解(応用問題)について/18.6.29]
問題3の(2)の細かい解説が欲しかったです。 例題と+、−、が違ったりするので解説がもうちょっとあると、とても助かります。
=>[作者]:連絡ありがとう.解説はあります.他に何を言えばよいのか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][ 因数分解(応用問題)について/18.5.15]
例の3の2の説明を詳しく
=>[作者]:連絡ありがとう.教える側は,これで十分詳しく,他に何が言えるのか?と考えますが,受け取る側がまだ足りないと思うとすれば,そのギャップを埋めるには何が必要なのか.長い目で見て考え中.
■[個別の頁からの質問に対する回答][因数分解(応用問題)について/18.4.17]
○2−□2の形に持ち込む”の所の問題4、(2)の解説を読んだ時に、なぜ原式の一番最初が(x2−y2−4)2+8(x2−y2)−8(x2+y2)になるのか分かりませんでした。
=>[作者]:連絡ありがとう.だから,したがって
になりますが,一方向の変形と捉えにくいようですので,その隙間を加筆します.
■[個別の頁からの質問に対する回答][ 因数分解(応用問題)について/18.2.12]
中3です。とても使いやすいサイトでテスト勉強に助かります。自分のみたい項目を見つけるのが大変なので、トップページで検索できたりすると嬉しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.過去には,サイト内検索を設置したこともありますが,あまり利用されないようでしたのでやめました.代わりに,前後の項目を示すサブメニューを設置しています.
■[個別の頁からの質問に対する回答][因数分解(応用問題)について/17.7.27]
問題4の(2)は、-16y^2となっていますが、-16x^2ではないでしょうか。
=>[作者]:連絡ありがとう.話がややこしいのですが,解説の通り読めば後はご指摘のように見えますが,解説の1行目が間違っていました(訂正しました)ので,後は正しくなります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][因数分解(応用問題)について/17.2.10]
問題3の(3)は(x+y+z)3-(y+z−x)3-(z+x−y)3-(x+y−z)3ではないでしょうか。
=>[作者]:連絡ありがとう.最近アップしたもので,点検が甘く問題文の方に転記ミスがあったようです.