■複素数の計算(解説) → 携帯版
■複素数とは(負の数の平方根と虚数・複素数)
 中学校ではx2=−1のような2次方程式の解は考えない
中学校で扱う数は実数と呼ばれ、数直線上に表示されるもので、2乗すれば必ず0以上になる。このため、中学校で扱う数の範囲ではx2の値が「負の数」となるようなものはない。
 高校の数学IIでは
x2+1=0
すなわち
x2=−1 …(1)
のような2次方程式、さらに
a(x−p)2+q=0
すなわち
a(x−p)2=−q …(2)
のような2次方程式、一般に任意の実数a , b , cに対して2次方程式
ax2+bx+c=0 (a0) …(3)
の解を考えるために「負の数の平方根」「虚数」を導入する。
■中学校では扱わない2次方程式

 次のような2次方程式は中学校では扱わない。
(1) x2+2=0 …(1)
(1)はx2=−2 と変形できるから、2乗が−2となる数が必要となる。

(2) x2−2x+5=0
(2)は(x−1)2=−4 と変形できるから、2乗が−4となる数が必要となる。
(3) 一般に、ax2+bx+c=0 (a0)の形でa , b , cの値を不用意に指定するしたとき、例えば
2x2+12x+23=0
2(x2+6x)+23=0
すなわち
2(x+3)2=−5
になり、その解を示すには2乗が負となる数を必要とするので、中学校で扱う数の範囲(実数の範囲)に解はない。
■虚数単位iの導入
 根号を用いて2次方程式を解くには、x2=a ⇒ x=±という変形を行う。
 これによりx2=−1を解くと、x=±のように根号の中が負である数が登場する。
 同様にして、x2=−2 ⇒ x=±
x2=−3 ⇒ x=±
となるが、「負の数の平方根」を表す記号を1つずつ作らなくても1つだけi=と定めると、他の負の数の平方根はすべてこのiで表すことができる。

■虚数単位i=を定義すると、負の数の平方根はすべてこの虚数単位で表すことができる。
(1) =−i
(2) ===i
(3) ===i
(4) ===2i
(5) ===i
(6) ===i
【虚数単位iの定義】
 x2=−1の1つの解を虚数単位といい、iで表す。
すなわち
i= …(1)
i2=−1 …(2)
 さらに、x2−2x+5=0すなわち(x−1)2=−4のような2次方程式についても
x−1=±
x−1=±2i
x=1±2i
 一般に2次方程式を解くと、
(x−p)2=−qx−p=±
x=p±
の形の数が登場する。(p , qは実数)
 そこでa+bi (a , bは実数)の形の数を考えれば、すべての2次方程式の解を表すことができる。このa+bi (a , bは実数)の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。

【複素数の定義】
 a+bi (a , bは実数)の形の数を複素数といい、a実部b虚部という。(2つの要素から成り立っている数・・・複素数)
 複素数のうちで、特にb=0のものを実数という。
 5+0iすなわち5は実数
 これに対してb0のものを虚数という。
 5−3iは虚数
 複素数のうちで、特にa=0のものを純虚数という。
 0+3iすなわち3iは純虚数
a+bia, bのうちで,ない方(=0の方)は書かずに省略するのが普通
虚部が0のもの,例えば5+0iは単に5と書く.
実部が0のもの,例えば0+5iは単に5iと書く.

 これに対して,実部も虚部も両方とも0のもの,すなわち0+0iは単に0と書く.(0i0なのでけんかにならない⇒右図参照)



それでいいのだ〜♪
【複素数の計算規則】
 虚数単位iを含む式の和差積商については、次の計算規則に従って計算する。
○ iを含む式は、通常の文字式におけるa, b , c, x, yなどと同じように同類項の係数をまとめたり、和差積商の計算を行ったりすることができる。

(これだけでは、虚数単位の定義はどこへ行ったのか?と疑問を持つ人がいるかもしれないが、iについては通常の文字と異なる次の規則を追加する)
○ i2が登場すれば、−1に置き換える。
文字式 iを含む式
2a+3a=5a 2i+3i=5i
(2x+3y)+(x+4y)=3x+7y (2+3i)+(1+4i)=3+7i
(x+2)2=x2+4x+4 (i+2)2=i2+4i+4
i2+4i+4=−1+4i+4=3+4i
i3=i2·i=−i
i4=i2·i2=(−1)(−1)=1
これは、上記のi3の結果を使って次のように計算しても同じになる。
i4=i3·i=(−i)i=−i2=1
i5=i2·i2·i=(−1)(−1)i=i

(1+2i)+(3+4i)=4+6i
(1+2i)−(5+7i)=−4−5i
(1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i
i8=i2·i2·i2·i2=(−1)(−1)(−1)(−1)=1
i33=(i2)16i=(−1)16i=i
= = =−i

iを含む式は、最終的にa+bi (a, bは実数)の形になるように変形する

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