PC用は別頁

== 複素数の計算 ==(解説)

■中学校では扱わない2次方程式

 次のような2次方程式は中学校では扱わない。
(1) x2+2=0 …(1)
(1)はx2=−2 と変形できるから、2乗が−2となる数が必要となる。

(2) x2−2x+5=0
(2)は(x−1)2=−4 と変形できるから、2乗が−4となる数が必要となる。
(3) 一般に、ax2+bx+c=0 (a0)の形でa , b , cの値を不用意に指定したとき、例えば
2x2+12x+23=0
2(x2+6x)+23=0
すなわち
2(x+3)2=−5
になり、その解を示すには2乗が負となる数を必要とするので、中学校で扱う数の範囲(実数の範囲)に解はない。
■複素数とは(負の数の平方根と虚数・複素数)
 中学校ではx2=−1のような2次方程式の解は考えない
中学校で扱う数は実数と呼ばれ、数直線上に表示されるもので、2乗すれば必ず0以上になる。このため、中学校で扱う数の範囲ではx2の値が「負の数」となるようなものはない。
 高校の数学IIでは
x2+1=0
すなわち
x2=−1 …(1)
のような2次方程式、さらに
a(x−p)2+q=0
すなわち
a(x−p)2=−q …(2)
のような2次方程式、一般に任意の実数a , b , cに対して2次方程式
ax2+bx+c=0 (a0) …(3)
の解を考えるために「負の数の平方根」「虚数」を導入する。

■虚数単位iの導入
 根号を用いて2次方程式を解くには、x2=a ⇒ x=±という変形を行う。
 これによりx2=−1を解くと、x=±のように根号の中が負である数が登場する。
 同様にして、x2=−2 ⇒ x=±
x2=−3 ⇒ x=±
となるが、「負の数の平方根」を表す記号を1つずつ作らなくても1つだけi=と定めると、他の負の数の平方根はすべてこのiで表すことができる。

■虚数単位i=を定義すると、負の数の平方根はすべてこの虚数単位で表すことができる。
(1) =−i
(2) ===i
(3) ===i
(4) ===2i
(5) ===i
(6) ===i
【虚数単位iの定義】
 x2=−1の1つの解を虚数単位といい、iで表す。
すなわち
i= …(1)
i2=−1 …(2)
 さらに、x2−2x+5=0すなわち(x−1)2=−4のような2次方程式についても
x−1=±
x−1=±2i
x=1±2i
 一般に2次方程式を解くと、
(x−p)2=−qx−p=±
x=p±
の形の数が登場する。(p , qは実数)
 そこでa+bi (a , bは実数)の形の数を考えれば、すべての2次方程式の解を表すことができる。このa+bi (a , bは実数)の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。

【複素数の定義】
 a+bi (a , bは実数)の形の数を複素数といい、a実部b虚部という。(2つの要素から成り立っている数・・・複素数)
 複素数のうちで、特にb=0のものを実数という。
 5+0iすなわち5は実数
 これに対してb0のものを虚数という。
 5−3iは虚数
 複素数のうちで、特にa=0のものを純虚数という。
 0+3iすなわち3iは純虚数
a+bia, bのうちで,ない方(=0の方)は書かずに省略するのが普通
虚部が0のもの,例えば5+0iは単に5と書く.
実部が0のもの,例えば0+5iは単に5iと書く.

 これに対して,実部も虚部も両方とも0のもの,すなわち0+0iは単に0と書く.(0i0なのでけんかにならない⇒図参照)

それでいいのだ〜♪

【複素数の計算規則】
 虚数単位iを含む式の和差積商については、次の計算規則に従って計算する。
○ iを含む式は、通常の文字式におけるa, b , c, x, yなどと同じように同類項の係数をまとめたり、和差積商の計算を行ったりすることができる。

(これだけでは、虚数単位の定義はどこへ行ったのか?と疑問を持つ人がいるかもしれないが、iについては通常の文字と異なる次の規則を追加する)
○ i2が登場すれば、−1に置き換える。
文字式 iを含む式
2a+3a=5a 2i+3i=5i
(2x+3y)+(x+4y)=3x+7y (2+3i)+(1+4i)=3+7i
(x+2)2=x2+4x+4 (i+2)2=i2+4i+4
i2+4i+4=−1+4i+4=3+4i
i3=i2·i=−i
i4=i2·i2=(−1)(−1)=1
これは、上記のi3の結果を使って次のように計算しても同じになる。
i4=i3·i=(−i)i=−i2=1
i5=i2·i2·i=(−1)(−1)i=i

(1+2i)+(3+4i)=4+6i
(1+2i)−(5+7i)=−4−5i
(1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i
i8=i2·i2·i2·i2=(−1)(−1)(−1)(−1)=1
i33=(i2)16i=(−1)16i=i
= = =−i

iを含む式は、最終的にa+bi (a, bは実数)の形になるように変形する

(学習の記録用)■読み終わったら→ ここ ←をクリック■

...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る

■[個別の頁からの質問に対する回答][複素数の計算について/17.8.7]
とても分かりやすかったです。 とても参考になりました。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][複素数の計算について/17.7.26]
複素数の定義 5−3iは複素数ではないのか。虚数となっている。 =>[作者]:連絡ありがとう.「複素数の定義」の右にある図で示されるように,複素数は実数と虚数から成り立っています.だから,虚数は複素数であり,実数は複素数です.・・・虚数と複素数とは「あれかこれか」の関係ではなく,西日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です.もちろん,実数と複素数も東日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です・・・(率直に言えば,この質問は想定外の質問です) とありますが、実数と虚数は背反関係にあるため「複素数の定義」の右の図のような包含図は誤りではないでしょうか。
=>[作者]:連絡ありがとう.なるほど,そういう見方をする人がいるのかと感心しています.

集合をオイラー図で描くとき「境界線の外と中,境界線をまたいだら背反関係になっていることを表す」「ただし,四角の中に丸がある場合や,丸の中に丸がある場合は内側にある丸は部分集合であることを示す(=背反関係ではない)」という約束で絵を描きます.
上の図では,虚数と実数は背反関係であることを表し,虚数が実数の部分集合であるという意味ではなく,実数が複素数と一致するという意味でもありません.

図1のように描くと,あなたの見方とは近いかもしれません・・・図1のうちで純虚数の丸を取り除いた図が東京図書の数学Uの教科書に出ています.

虚数と純虚数の関係は,どの図でも混乱なく理解できますので,以下において実数と虚数の関係が分かりやすいかどうかを考えてみます.

あなたの見方では元の図では虚数が実数の部分集合と見えることになり,教科書(図1)では実数が虚数の部分集合と見えることになって,いずれも具合が悪いように見えますが,上の解説から分かるようにそれは間違いです.
図3は論理的には正しいのですが,実数でも虚数でもない場所(本来空集合となるべき箇所)ができてしまって,初心者がそこに目を向けると混乱が起こることになります.

要約すると,元の図,図1,図2,図3のいずれも問題なく同じ内容を表しているのですが,集合図の約束(境界線による背反関係の表示,内側の境界線による部分集合の表示)をゆっくり論理的に考えなければ理解できないということでは,図示による視覚化の長所が薄まってしまいますので,おそらく,図2(ベン図とオイラー図の折衷方式)が最も自然に理解できるのかもしれません.図を入れ換えるかどうかはしばらく様子を見ます.
■[個別の頁からの質問に対する回答][複素数の計算について/16.10.11]
複素数の定義 5−3iは複素数ではないのか。虚数となっている。
=>[作者]:連絡ありがとう.「複素数の定義」の右にある図で示されるように,複素数は実数と虚数から成り立っています.だから,虚数は複素数であり,実数は複素数です.・・・虚数と複素数とは「あれかこれか」の関係ではなく,西日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です.もちろん,実数と複素数も東日本と日本のように一方が他方を含んでいる関係です・・・(率直に言えば,この質問は想定外の質問です)