■不定積分(まとめ1)携帯版
≪記号≫
◎…高校生が公式としてすぐに使える方がよいもの
○…高校生として結果を覚えている必要はないが,問題として出されたらできるはずのもの
□…ヒントなしで高校生に直接問われることはないもの
a, b, c, C定数
f(x), g(x), p(x), q(x)関数
m, n整数の定数(正の整数だけを表す場合は,その式の但し書きに示す)

※この頁はまとめの頁なので,ほとんどの公式について証明を付けていない.証明が必要な場合は,基本事項を解説している前の頁を見るか,または,右辺の関数を微分してみるとよい.特に,合成関数の微分法が必要になります.↓

≪I≫多項式,有理関数(分数関数)の不定積分
◎I.1adx=ax+C

◎I.2xndx=+C.(ただしn≠−1の場合)
◎I.3x−1dx==log|x|+C

○I.4(ax+b)ndx=+C(ただしn≠−1, a≠0
○I.5(ax+b)−1dx==log|ax+b|+Ca≠0

分母の2次式が実数係数の2つの1次式に因数分解できない
とき(判別式D<0の場合)
□I.6=tan−1 +C.q>0
□I.7=tan−1 +C.q>0
□I.8 分母の2次式がax2+bx+c=a((x+p)2+q2)
の形になるとき.(ただし,a≠0, q>0
==tan−1 +C.

分子が分母の微分になっているとき
◎I.9dx=log|ax2+bx+c|+C


【例】
** I.1 **
(1)3dx=3x+C
(2)(−5)dx=−5x+C
公式でa=とすると
(3)=+C
ただし,次の2つに注意
dx1dxの省略記号と決められているので
公式でa=1として
.(4)dx=x+C
0dxは,公式でa=0として
.(5)0dx=C
右に続く→
→続き
【例】
** I.2 **
(1)x2dx=+C
(2)=x−2dx=+C=−+C
** I.3 **
(1)dx=2log|x|+C
(2)dx=(+ )dx=log|x|+C
** I.4 **
(1)(2x+3)4dx=+C.
(2)=(2x+3)−4dx=+C
=−+C
** I.5 **
(1)=(2x+3)−1dx=log|2x+3|+C
(2)部分分数分解により2つの分数式に変形できるもの
=
=()dx
=(log|3x−1|log|3x+1|)+C
=(log|3x−1|log|3x+1|)+C
=log||+C
** I.6 **
(1)=tan−1 +C
(2)==tan−1 +C
** I.7 **
(1)==tan−1 +C
(2)x2+2x+3=(x+1)2+()2だから
==tan−1 +C
** I.8 **
(1)2x2−12x+20=2( (x−3)2+12 )だから
=
=tan−1(x−3)+C
(2)3x2+6x+15=3( (x+1)2+22 )だから
=
=tan−1 +C
** I.9 **
(1)=log|x2+3x+4|+C
(2)dx=(+)dx
=log(x2+1)+tan−1 x+C
※解説は何回見ても構いません.(何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう.)
軽くチェック↓解説を読む↑

≪II≫無理関数(累乗根)の不定積分
各々の関数の定義域は,被積分関数の根号内が0以上となるような値(分母に来る場合は根号内が正となる値)など,各関数が実数として意味を持つ範囲とする.
◎II.1xadx=+C.(ただしa−1以外の実数)

この公式は,a=m, nは正の整数)の場合,
累乗根についての次の不定積分を表す.
dx=xdx=+C
同様にして,a=−m, nは正の整数,m≠n)の場合,
累乗根についての次の不定積分を表す.
dx=xdx=+C
ただし,a−1以外の実数であれば何でも成り立つので,例えばa=π (3.14592...)のときは
.xπdx=+Cが成り立つ.
またa=log2のときは
.xlog2dx=+Cが成り立つ.

○II.2dx=(ax+b)+C(ただしa≠0
○II.3dx=(ax+b)dx=+C
=(ax+b)+C(ただしa≠0
○II.4dx=(ax+b)dx
=+C
=+C(ただしa≠0, m≠n
【例】
** II.1 **
(1) 中学校以来,の省略記号として使われており,
分数の指数で書けば,xになる.したがって,その不定積分は
dx=dx=xdx=+C
=x+C=x+C
(2)dx=xdx=+C
=2x+C=2+C
(3) dx=xdx=+C=x+C
=x +C
** II.2 **
(1)dx=(2x+3)+C
(2)dx=−(2−x)+C
** II.3 **
(1) dx=(x+2)dx=+C
=(x+2)+C
(2) dx=(2x+3)dx=+C
=(2x+3)+C
** II.4 **
(1)dx=(1−x)dx
=+C=−2+C
(2)dx=(1−3x)dx
=+C=−+C
※解説は何回見ても構いません.(何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう.)
軽くチェック↓解説を読む↑

≪III≫指数関数の不定積分
◎III.1exdx=ex+C
◎III.2eaxdx=eax+C(ただしa≠0
III.2においてa=eloga → ax=(eloga)x=exlogaに注意すると,次の公式が得られる.
◎III.3axdx=ax+C(ただしa>0

○III.4xeaxdx=(ax−1)+C(ただしa≠0
(解説)
これは部分積分によって示すことができる.
f=xf '=1
g'=eaxg=
xeaxdx=x dx
=+C
=(ax−1)+C

○III.5xneaxdx(ただしa≠0nは正の整数)
は次の漸化式により,順次低い次数のnで表すことができ,上記のIII.4に帰着させて求められる.(「一般項を求めよう!」などと欲張ると無理がある)
xneaxdx=xn−1eaxdx
すなわち
.In=In−1
(解説)
部分積分によって示すことができる.
f=xnf '=nxn−1
g'=eaxg=

In=xneaxdxとおくと
In=xn xn−1eaxdx
.=In−1

○III.6dxは初等的には(有限回の変形と積分
によっては)求められないので注意
 必要な場合は,無限級数を用いて(無限回の変形を使って)表すことはできる.

○III.7e−x2dxは初等的には(有限回の変形と積分
によっては)求められないので注意(統計に出てくる誤差の関数.定積分については数表を用いて求めるのが普通)

これに対してxe−x2dxxex2dxは置換積分の問題
として,簡単に求められるので注意

○III.8=x−log(ex+1)+C
のようにf(ex)の形の式はt=exの置換積分の問題として求められるので注意
○III.9=(nx−log|a+benx|)+C(a,b,n≠0)
○III.10dx=log|a+benx|+C (a,b,n≠0)
t=exとおくと
.=ex=t
.dx=
(解説)
III.8←
=
=()dt
=log|t||t+1|+C=log(ex)−log(ex+1)+C
=x−log(ex+1)+C

III.9←
t=a+benxとおくと
.=bnenx=n(t−a)
.dx=
=
=dt
=()dt
=(log|t−a|log|t|)+C1
=(log|benx|log|a+benx|)+C1
=(log|b|+nx−log|a+benx|)+C1
log|b|+C1=Cとおく
=(nx−log|a+benx|)+C
=+C
III.10←
 同様にして,置換積分で示せる.
【例】
** III.2 **
(1)e3xdx=e3x+C
(2)e−xdx=−e−x+C
** III.3 **
(1)2xdx=2x+C
(2)32x+1dx=e(2x+1)log3dx= e(2x+1)log3+C
=+C
この計算は,次のように分けて行ってもできる.
32x+1dx=332xdx==39xdx=3+C
=+C
また,t=2x+1として置換積分によりIII.3を使ってもできる.
** III.4 **
(1)xe2xdx=(2x−1)+C
(2)xe−xdx=−e−x(x+1)+C
** III.5 **
(1)x2exdx=I2とおくと
.I1=ex(x−1)←III.4より
.I2=x2ex−2I1
だから
.I2=x2ex−2ex(x−1)=(x2−2x+2)ex+C
(2)x3exdx=I3とおくと
.I3=x2ex−3I2
だから
.I3=x3ex−3(x2−2x+2)ex+C
.=(x3−3x2+6x−6)ex+C
** III.6 **
(1)ex=1+x++++...
だから
dx=(+1++++...)dx
=log|x|+x++++...+C
この関数は,積分指数関数と呼ばれEixで表される.
V.6(2)In=dx(ただしnは2以上の整数)とおくと,
Inは次の漸化式を満たし,これを用いて順次次数の低いnを用いて表すことができ,上記のI1=Eixに帰着できる.(この漸化式も「一般項を求めよう!」などと考えない方が無難)
.In=−+In−1
** III.7 **
t=x2とおくと
.=2x
.dx=
(1)xex2dx=xet
=etdt=et+C=ex2+C
t=−x2とおくと
.=−2x
.dx=
(2)xex−2dx=xet
=−etdt=−et+C
=−e−x2+C
** III.8 **
t=exとおくと
.=ex=t
.dx=
(1)dx=
=dt=log|t+1|+C
=log(ex+1)+C
(2)=
t=enxとおくと
.=nenx=nt
.dx=
=dt
=()dt
=(log|t−1|log|t+1|)+C
=log||+C=log||+C

(3)dx
この問題は,分母の微分が分子になっているため,「即答できる形になっています」
 すなわち
dx=log|f(x)|+Cにより
dx=log(enx+e−nx)+C
※解説は何回見ても構いません.(何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう.)
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≪IV≫対数関数の不定積分
◎IV.1logx dx=xlogx−x+C
○IV.2xlogx dx=logx−+C
○IV.3x2logx dx=logx−+C
○IV.4xnlogax dx=logax−+C
(解説)
IV.1←次のように部分積分によって示すことができます.
f=logxf '=
g'=1g=x
fg'dx=fg−f 'g dx
=xlogx−x dx
=xlogx−dx=xlogx−x+C
IV.2〜IV.3はIV.4の特別な場合になっている(a=1, n=1,2の場合)ので,IV.4のみ示す.
f=logaxf '=
g'=xng=
fg'dx=fg−f 'g dx
=logax−dx
=logax−xndx
=logax−+C

○IV.5(logx)2dx=x(logx)2−2xlogx+2x+C
○IV.6In=(logx)ndxは次の漸化式によって順次次数を
下げてI1=logx dx=xlogx−xに帰着させることができる.
.In=x(logx)n−nIn−1
(解説)
IV.6←部分積分による
f=(logx)nf '=n(logx)n−1
g'=1g=x
In=(logx)ndxとおくと
In=fg'dx=fg−f 'gdx
=x(logx)nn(logx)n−1 xdx
=x(logx)n−n(logx)n−1dx=x(logx)n−In−1
ゆえに.In=x(logx)n−nIn−1
これにより
I2=x(logx)2−2I1=x(logx)2−2(xlogx−x)+C
I3=x(logx)3−3I2=x(logx)3−3{x(logx)2−2xlogx+2x}+C
のように順次求められる.

※次のIV.7〜IV.9のように,分母か分子にlogxがあって,分母にxがあるときは,置換積分でうまくxが消える.
○IV.7
dx=+C
○IV.8
=log|logx|+C
○IV.9
=−+C

※これに対して,次のIV.10, IV.11のように
分母にlogxがあってxがない形になっているものは,初等的に(有限回の変形と積分によっては)求められない.(必要な場合は無限級数で積分を示すことになる)
○IV.10
○IV.11
なお,分母にxではなくx+a (a≠0)があっても約分できないので,初等的には積分できない
○IV.12 dx
** IV.1 **
(1)log3x dx=(log3+logx)dx
=xlog3+(xlogx−x)+C
=x(log3+logx)−x+C
=xlog3x−x+C
(2)log(x2)dx=2logx dx
=2(xlogx−x)+C

f=log(x+3)f '=
g'=xg=
** IV.2 **
(1)xlog(x+3)dx
fg'dx=fg−f 'g dx
=log(x+3)−dx
=log(x+3)−(x−3+)dx
=log(x+3)−{ −3x+9log(x+3) }+C
=log(x+3)−+x+C
** IV.3 , IV.4**
(1)x2log2x dx=log2x−+C
t=x+2とおくと
dx=dt
** IV.5 **
(1){ log(x+2) }2dx
=(logt)2dt=t(logt)2−2tlogt+2t+C
=(x+2)(log(x+2))2−2(x+2)log(x+2)+2(x+2)+C
(解説)
IV.7←
t=logxとおくと
.=
.dx=x dt
dx= x dt
=tn dt=+C=+C
IV.8←
dxにおいて分子が分母の微分になっているから
log|分母| を作ればよい.
したがって,log|logx|+C
元の問題でlogxとなっているから,x>0は満たされており,log|x|のかわりにlogxとできるが,x>1→logx>0かどうかは分からないからlog|logx|とする.
IV.9←
t=logxとおくと
.=
.dx=x dt
dx=xdt
=t−ndt=+C
=−+C
=−+C
※解説は何回見ても構いません.(何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう.)
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■[個別の頁からの質問に対する回答][不定積分(まとめ1)について/17.3.9]
**III.8**の(2)∫1/(e^nx+e^-nx)dx=∫1/(t+t^-1)dt/ntは、∫1/(e^nx-e^-nx)dx=∫1/(t-t^-1)dt/ntではないですか? また、問題6の3行目の問題は、∫dx/(e^x+e^-x)は、問題を∫dx/(e^x-e^-x)とするか、又は回答にarctan(e^x)+Cを加えたほうが良いと思いますがあってますか?なお、貴サイトの教材は非常に良くできていて、私の若い時にこのような手段があったらもっと数学が理解できた違いないとつくづく思っており、もう少ししたら孫にこれで勉強するよう勧めようと思っています。
=>[作者]:連絡ありがとう.符号を訂正しました.

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