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== 置き換えによる展開 ==

○ 置き換えによる展開とは

 同じ式が2回以上登場するとき,これらに名前を付けて1文字で表わすと,「見やすく」「間違いにくく」なる.ここでは2回以上登場する式を1文字で置き換えて展開の計算を行うことを考える.
例1
(a+b+c)2 のように3つ以上からなる項の2乗は,教科書の基本公式にないからと言って,(a+b+c)(a+b+c) に直して「総当たり」で展開していると大変
 これを a+b=A と置き換えると,(A+c)2 になり展開公式が使えて,
(a+b+c)2
_____=(A+c)2
_____=A2+2Ac+c2

元に戻すと
_____=(a+b)2+2(a+b)c+c2
_____=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
形を整えると
_____=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

※ 置き換えに用いた文字 A は自分が付けた名前なので(他の人は別の名前をつけてもよいので),
(a+b+c)2=A2+2Ac+c2
にしてはいけない.


※ 慣れてくると,置き換える文字の代わりに ( )を使って次のように変形することもできるが,「どれがよい」ということはない.「自分に分かりやすい=間違いにくい」と思う方法でやればよい.
(a+b+c)2
_____=(a+b)2+2(a+b)c+c2
_____=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

_____=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
※ 計算が多いので,1題解くだけなら「力まかせ・総当たり・単純計算主義」でバラバラにした方が速いと考える人がいるかもしれない.しかし,何題も解くときは,やはり置き換え方式が有利.さらに,バラバラにする方式では,展開の逆=因数分解(右辺を左辺に戻す)のときに見通しが立たなくなる.  
「総当たりで」展開してもできないことはないが
次のような問題が幾つも登場すると困ってしまう・・・
(a−b+c)2 , (a−b−c)2 , (x2+x+2)2 , (x2−2x+5)2 ···


 実は,次の展開はかなりよく登場するので「準公式」として覚えてしまうことが多い.
【準公式】  (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

 この立場に立つと,以下の問題は直ちに解決する.

(a−b+c)2=a2+(−b)2+c2+2·a·(−b)+2·(−b)·c+2ca
_________=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca

(a+b−c)2
上の変形を見ていると知恵がついてきて,直ちに分かるようになる(符号と係数を変えるだけ)
________=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca
(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca
【要約】
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca (←bが−)
(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca (←cが−)
(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca (←b, cが−)
 (−a+b+c)2(a−b−c)2と同じ
 (−a−b+c)2(a+b−c)2と同じ
 (−a−b−c)2(a+b+c)2と同じ
a2+b2+c2−2ab−2bc−2caとなるものはない!
(そのわけ)
−2aba, bは異符号
−2bcb, cは異符号
を前提とすれば,a, cは同符号になる
 結果のまとめ方:上の例のように
abc (a)
のサイクルにして書くことが多い.それ以外はダメだいうことではないが,一定の規則で並べると「書く人も・読む人も」「見やすく・間違いにくい」.
 しりとりで一周させて
♪〜「」→「」→「」→「
の順に並べるということ.

例2
 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のように一見同じものがないように見える式でもxA に置き換えても無駄 ) 工夫次第で同じ式が作れることがある.
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) のように組み合わせると,
 (x2+5x+4)(x2+5x+6) になるので,x2+5x=A とおけば簡単に展開できる.
(2次と1次)の組を考える例
  (x+1)(x+3)(x−5)(x−7)x2−4x=A とおくと
(A−5)(A−21) になり A2−26A+105

(2次と定数項)の組を考える例
  (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)x2+6=A とおくと
(A+7x)(A+5x) になり A2+12xA+35x2



■問題 次の式を展開せよ.
・・・  浴びるほどやって得意ワザに入れる感じで

(1)  (a−2b+3c)2
=a2+b2+c2ab−bc+ca


(2)  (x+y+1)(x+y−2)
=x2+y2+xy−x−y−


(3)  (a−2b+3c)(a+2b+3c)
=a2b2+c2+ac


(4)  (x2+xy+y2)(x2−xy+y2)=x+xy+y


(5)  (x−1)(x+1)(x+3)(x+5)
=x4+x3+x2x−


(6)  (x3−x2+x−1)(x3+x2−x+1)
=x6−x4+x3x2+x−



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■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.6.13]
(6)について質問があります。何度やっても−1以外符号が反対になってしまうのですが、解き方が間違っているのでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.この質問の仕方は間違っています.何度やっても・・ということよりも,どのようにやったのか,つまり自分の答案を書かないとどこが間違っているのかを回答するのは無理です.
【よくある間違い】
a2−(b−c)2=a2+(−b+c)2と考えている人は,符号が全部逆になります.
a2−(b−c)2=a2−(b2−2bc+c2)=a2−b2+2bc−c2
a2+(−b+c)2=a2+b2−2bc+c2
です.
各問題に解説がついているのでそれを読んでください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.2.20]
(5)に関しての質問です。 X3(Xの3乗)−X2(Xの2乗)=A、X−1=Bとおいたのですが、 (A−B)(−A−B)で計算すると答えが違ってきます。 この置き換えは間違いなのでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.質問が間違っています・・・(6)の問題でしょう.次に,その置き替えはできません.