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○ 置き換えによる展開とは 同じ式が２回以上登場するとき，これらに名前を付けて１文字で表わすと，「見やすく」「間違いにくく」なる．ここでは２回以上登場する式を１文字で置き換えて展開の計算を行うことを考える． 例１ (a+b+c)2 のように３つ以上からなる項の２乗は，教科書の基本公式にないからと言って，(a+b+c)(a+b+c) に直して「総当たり」で展開していると大変 これを a+b=A と置き換えると，(A+c)2 になり展開公式が使えて， (a+b+c)2※ 計算が多いので，１題解くだけなら「力まかせ・総当たり・単純計算主義」でバラバラにした方が速いと考える人がいるかもしれない．しかし，何題も解くときは，やはり置き換え方式が有利．さらに，バラバラにする方式では，展開の逆=因数分解（右辺を左辺に戻す）のときに見通しが立たなくなる． |
「総当たりで」展開してもできないことはないが
実は，次の展開はかなりよく登場するので「準公式」として覚えてしまうことが多い．
この立場に立つと，以下の問題は直ちに解決する． ・ (a - b+c)2=a2+( - b)2+c2+2·a·(- b)+2·( - b)·c+2ca =a2+b2+c2 - 2ab - 2bc+2ca ・ (a+b - c)2 上の変形を見ていると知恵がついてきて，直ちに分かるようになる（符号と係数を変えるだけ） =a2+b2+c2+2ab - 2bc - 2ca ・ (a - b - c)2=a2+b2+c2 - 2ab+2bc - 2ca ・ (x2+2x+3)2=x4+4x2+9+4x3+12x+6x2 =x4+4x3+10x2+12x+9
結果のまとめ方：左の例のように
しりとりで一周させて |
| 例２ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のように一見同じものがないように見える式でも（ x を A に置き換えても無駄 ） 工夫次第で同じ式が作れることがある． (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) のように組み合わせると， (x2+5x+4)(x2+5x+6) になるので，x2+5x=A とおけば簡単に展開できる． |
（２次と１次）の組を考える例 (x+1)(x+3)(x - 5)(x - 7) → x2 - 4x=A とおくと （２次と定数項）の組を考える例 (x+1)(x+2)(x+3)(x+6) → x2+6=A とおくと |
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【要点】
２回以上登場する式は，１文字に置き換えると「見やすく＝間違いにくく」なる． 例１ (a+b+c)2 → a+b=A と置き換える．または { (a+b)+c }2 とする． 例２ (a+b+c)(a - b+c) → a+c=A と置き換える．または { (a+c)+b}{(a+c) - b} とする． 例３ (a+b+c+d)(a+b - c - d) → a+b=A , c+d=B と置き換える．または { (a+b)+(c+d) }{ (a+b) - (c+d) } とする． なお，次の変形はかなりよく登場するので，準公式などとして覚えてしまうことが多い． |
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