■置き換えによる展開→ 携帯版    
■問題 次の式を展開せよ.
     ・・・  浴びるほどやって得意ワザに入れる感じで
■解説
○ 置き換えによる展開とは

 同じ式が2回以上登場するとき,これらに名前を付けて1文字で表わすと,「見やすく」「間違いにくく」なる.ここでは2回以上登場する式を1文字で置き換えて展開の計算を行うことを考える.
例1
(a+b+c)2 のように3つ以上からなる項の2乗は,教科書の基本公式にないからと言って,(a+b+c)(a+b+c) に直して「総当たり」で展開していると大変
 これを a+b=A と置き換えると,(A+c)2 になり展開公式が使えて,
(a+b+c)2
_____=(A+c)2
_____=A2+2Ac+c2

元に戻すと
_____=(a+b)2+2(a+b)c+c2
_____=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
形を整えると
_____=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

※ 置き換えに用いた文字 A は自分が付けた名前なので(他の人は別の名前をつけてもよいので),
(a+b+c)2=A2+2Ac+c2
にしてはいけない.


※ 慣れてくると,置き換える文字の代わりに ( )を使って次のように変形することもできるが,「どれがよい」ということはない.「自分に分かりやすい=間違いにくい」と思う方法でやればよい.
(a+b+c)2
_____=(a+b)2+2(a+b)c+c2
_____=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

_____=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
※ 計算が多いので,1題解くだけなら「力まかせ・総当たり・単純計算主義」でバラバラにした方が速いと考える人がいるかもしれない.しかし,何題も解くときは,やはり置き換え方式が有利.さらに,バラバラにする方式では,展開の逆=因数分解(右辺を左辺に戻す)のときに見通しが立たなくなる.  
「総当たりで」展開してもできないことはないが
次のような問題が幾つも登場すると困ってしまう・・・
(a−b+c)2 , (a−b−c)2 , (x2+x+2)2 , (x2−2x+5)2 ···


 実は,次の展開はかなりよく登場するので「準公式」として覚えてしまうことが多い.
【準公式】  (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

 この立場に立つと,以下の問題は直ちに解決する.

(a−b+c)2=a2+(−b)2+c2+2·a·(−b)+2·(−b)·c+2ca
_________=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca

(a+b−c)2
上の変形を見ていると知恵がついてきて,直ちに分かるようになる(符号と係数を変えるだけ)
________=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca
(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca
(x2+2x+3)2=x4+4x2+9+4x3+12x+6x2
___________=x4+4x3+10x2+12x+9



 結果のまとめ方:左の例のように
abc (a)
のサイクルにして書くことが多い.それ以外はダメだいうことではないが,一定の規則で並べると「書く人も・読む人も」「見やすく・間違いにくい」.
 しりとりで一周させて
♪〜「」→「」→「」→「
の順に並べるということ.
例2
 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のように一見同じものがないように見える式でもxA に置き換えても無駄 ) 工夫次第で同じ式が作れることがある.
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) のように組み合わせると,
 (x2+5x+4)(x2+5x+6) になるので,x2+5x=A とおけば簡単に展開できる.
(2次と1次)の組を考える例
  (x+1)(x+3)(x−5)(x−7)x2−4x=A とおくと
(A−5)(A−21) になり A2−26A+105

(2次と定数項)の組を考える例
  (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)x2+6=A とおくと
(A+7x)(A+5x) になり A2+12xA+35x2

【要点】
 2回以上登場する式は,1文字に置き換えると「見やすく=間違いにくく」なる.
  例1  (a+b+c)2a+b=A と置き換える.または { (a+b)+c }2 とする.
  例2  (a+b+c)(a−b+c)a+c=A と置き換える.または { (a+c)+b}{(a+c)−b} とする.
  例3  (a+b+c+d)(a+b−c−d)a+b=A , c+d=B と置き換える.または { (a+b)+(c+d) }{ (a+b)(c+d) } とする.

なお,次の変形はかなりよく登場するので,準公式などとして覚えてしまうことが多い.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
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以下は旧版のページ
《問題》
 次の表のうち,等しいものを選びなさい.
(ルール:一つクリックし,続けて「等しいもの」をクリックすると消えます.ただし、展開や因数分解は途中経過のものもあります.
間違えば消えません.ジョーカーが1枚含まれており,ジョーカーだけになれば終了です.)



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