◇　規則を見つける問題（数字）　◇

　次の数字はある規則に従って並んでいます．空欄を埋めなさい．
(1)　
１，３，５，，９，．．．
　　

(2)

１７，１４，，８，５，２，．．
　　
(3)
１，３，９，，８１，．．
　　
(4)
−３，９，−２７，，−２４３，．．
　　
(5)
１，４，９，，２５，３６，．．
　　
(6)
１，−１，１，−１，，−１，．．
　　
(7)
３，５，３，５，，５，．．
　　
(8)
 
０，２，５，９，１４,，．．
　　
(9)
 
１，４，１０，２０，３５，，８４，．．
　　
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※　断り書き　兼　参考・・・「試験に出せない事情の説明」
  • 以上の問題は，数列に慣れるための導入として，素朴に受け止められること(=なるべく簡単な規則で答えること)を前提としています。数列が十分わかってきたときには，上の問題の解答には一意性がない(＝それだけが唯一の解答とは言えない)ことはすぐに分かります。
  • 例1　第１項から第５項まで示されていて，以下・・・となっている場合，例えば(1)の問題でも

    • ａｎ=2n-1 したがって　ａ４=7　だけでなく，an=2n-1+100(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) のような多項式（整関数）を考えれば，第6項以降にとんでもない値をとることが分かります。
  • 例2　また，(1)のようにa1=1，,a2=3，a3=5，a5=9　だけが与えられた場合，次数の高いものまで含めると解答は幾らでも作ることができます。

    • an=A(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
       +B(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)
       +C(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)
       +D(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)
       +E(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 　とすればn=1,2,3,4,5について0でない項は１項ずつとなるので
    n=1のときa1=1とするにはA=1/24とすればよく，同様にB=-1/2, C=5/4, E=9/24とすればよい。
    その結果
    an=1/24(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
       -1/2(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)
       +5/4(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)
       +D(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)
       +9/24(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) は，どんなＤの値についてもa1=1,a2=3,a3=5,a5=9を満たします。
    こうして，Ｄに適宜値を代入すれば，幾らでも解答を製造できます。
     
  • このようにして，出題者と解答者の間に一定の了解（習ったところしか出さないなど）があればこのページのような問題は，出題できると考えられます（例えば学校の定期試験までの範囲）が，それ以上のシビアな場面（実力テストや入学試験など）ではこのページのような問題が出題できるとは考えられません。穴埋め問題では、解の一意性が重要だからです。
  • しかし逆に，記述式問題で多様な解を答えさせれば受験生の創意工夫が見られるかもしれません。（数列の導入の場所に置いた意義が吹き飛んでしまって、ハイレベルな問題に変わってしまいますが・・・。）