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== 底の変換公式 ==
■底の変換公式
a,b>0, a≠1のとき,任意の底c>0, c≠1に対して
logab=
が成り立つ.
(証明)
(復習)
対数の定義
logay=x ←→ y=ax (y>0, a>0, a≠1)

真数の累乗⇔前に付く係数
logaMn=n logaM …(*)
logab=x …(A)(b>0, a>0, a≠1)とおくと
b=ax …(B)
(B)の両辺に底をcとする対数をとると (c>0, c≠1)
”対数をとる”とは,”対数を取り除くこと”ではなく
logabb ×
”対数を考えること”を表す.
blogcb(底はc) 
axlogcax(底はc) 
logcb=logcax
logcb=x logca ←真数の累乗
logcb=logab · logca ← (A)
したがって
logab=

(式は苦手:図解にしてほしいという人への解説)
○対数logabは,y=で作られる図のような図形の面積比を表す.
 なぜかということは,数学Vで習うので,ここではとりあえず「対数とは面積の比」ということだけを押さえておくとよい.

logab=

 つまり,loga...とは,図のAの
面積を基準(分母)としたときの,面積を表す.
※筆者が高1のときに「なーんだ.対数なんて,ただの分数じゃん」と言ったら,当時の先生にカンカンに怒られた.先生としては,b/a ではなく,面積の比だと言いたかったようだ.
 これに対して,図のCの面積を基準として表すと,
logca=

logcb=

 
だから
 
が成り立つ.

(1)log23===
(2)log84==

次の計算公式は底が等しい場合に限り成り立つ.
1.logaM+logaN=logaMN
2.logaM−logaN=loga
3.n logaM=loga(M n)=logaM n
異なる底で表された対数について,上記のような計算を行うには,あらかじめ底が等しい対数に書き換えておかなければならない.


次の対数を簡単にせよ.
(1)log23·log32
(解答)
log23·log32=log23 =log22=1
(別解)
log23·log32= =1

(2)log56·log67·log75
(解答)
log56·log67·log75= =1

(3)log84
(解答)

log84====

(4)log9
(解答)

log9====−2



問題1次の対数を簡単にせよ.
(空欄を埋めよ)

(2)log39·log927=
採点するやり直す

(3)log84+log168=
採点するやり直す
(4)log= −
採点するやり直す

(5)(log325+log95)(log53+log259)=
採点するやり直す


対数のと指数のが等しいとき,次の関係が成り立つ.
指数関数を真数とする対数は,自分自身に等しい.
logaax=x …(I)
指数関数の累乗が対数となっているものは,自分自身に等しい.
alogax=x …(II)
(証明)
I ←
logaax=x logaa=x ←(*)
II ←
logax=logax ←明らか
対数の定義により
y=logaxay=x
logax=logaxalogax=x


問題2次の対数を簡単にせよ.
(空欄を埋めよ)
(3)5−log54=
採点するやり直す
(5)8log43=
採点するやり直す

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■[個別の頁からの質問に対する回答][底の変換公式について/16.12.31]
log2 1/5 ×log5 1/4など分数のある場合の計算方法も教えて欲しい
=>[作者]:連絡ありがとう.


のような変形は底の変換公式とは関係なく,それ以前に登場する対数の変形です.
この公式

の特別な場合として

もしくは,この公式

の特別な場合として

と考えます.
これらの前処理を行ってから,次に底の変換公式を使うことになります.